Quellcodebibliothek Statistik Leitseite products/sources/formale Sprachen/GAP/doc/ref/   (Algebra von RWTH Aachen Version 4.15.1©)  Datei vom 18.9.2025 mit Größe 127 kB image not shown  

Quelle  chap47.html   Sprache: HTML

 
 products/sources/formale Sprachen/GAP/doc/ref/chap47.html


<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<title>GAP (ref) - Chapter 47: Finitely Presented Groups</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap47"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chap2.html">2</a>  <a href="chap3.html">3</a>  <a href="chap4.html">4</a>  <a href="chap5.html">5</a>  <a href="chap6.html">6</a>  <a href="chap7.html">7</a>  <a href="chap8.html">8</a>  <a href="chap9.html">9</a>  <a href="chap10.html">10</a>  <a href="chap11.html">11</a>  <a href="chap12.html">12</a>  <a href="chap13.html">13</a>  <a href="chap14.html">14</a>  <a href="chap15.html">15</a>  <a href="chap16.html">16</a>  <a href="chap17.html">17</a>  <a href="chap18.html">18</a>  <a href="chap19.html">19</a>  <a href="chap20.html">20</a>  <a href="chap21.html">21</a>  <a href="chap22.html">22</a>  <a href="chap23.html">23</a>  <a href="chap24.html">24</a>  <a href="chap25.html">25</a>  <a href="chap26.html">26</a>  <a href="chap27.html">27</a>  <a href="chap28.html">28</a>  <a href="chap29.html">29</a>  <a href="chap30.html">30</a>  <a href="chap31.html">31</a>  <a href="chap32.html">32</a>  <a href="chap33.html">33</a>  <a href="chap34.html">34</a>  <a href="chap35.html">35</a>  <a href="chap36.html">36</a>  <a href="chap37.html">37</a>  <a href="chap38.html">38</a>  <a href="chap39.html">39</a>  <a href="chap40.html">40</a>  <a href="chap41.html">41</a>  <a href="chap42.html">42</a>  <a href="chap43.html">43</a>  <a href="chap44.html">44</a>  <a href="chap45.html">45</a>  <a href="chap46.html">46</a>  <a href="chap47.html">47</a>  <a href="chap48.html">48</a>  <a href="chap49.html">49</a>  <a href="chap50.html">50</a>  <a href="chap51.html">51</a>  <a href="chap52.html">52</a>  <a href="chap53.html">53</a>  <a href="chap54.html">54</a>  <a href="chap55.html">55</a>  <a href="chap56.html">56</a>  <a href="chap57.html">57</a>  <a href="chap58.html">58</a>  <a href="chap59.html">59</a>  <a href="chap60.html">60</a>  <a href="chap61.html">61</a>  <a href="chap62.html">62</a>  <a href="chap63.html">63</a>  <a href="chap64.html">64</a>  <a href="chap65.html">65</a>  <a href="chap66.html">66</a>  <a href="chap67.html">67</a>  <a href="chap68.html">68</a>  <a href="chap69.html">69</a>  <a href="chap70.html">70</a>  <a href="chap71.html">71</a>  <a href="chap72.html">72</a>  <a href="chap73.html">73</a>  <a href="chap74.html">74</a>  <a href="chap75.html">75</a>  <a href="chap76.html">76</a>  <a href="chap77.html">77</a>  <a href="chap78.html">78</a>  <a href="chap79.html">79</a>  <a href="chap80.html">80</a>  <a href="chap81.html">81</a>  <a href="chap82.html">82</a>  <a href="chap83.html">83</a>  <a href="chap84.html">84</a>  <a href="chap85.html">85</a>  <a href="chap86.html">86</a>  <a href="chap87.html">87</a>  <a href="chapBib.html">Bib</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap46.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap48.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap47_mj.html">[MathJax on]</a></p>
<p><a id="X7AA982637E90B35A" name="X7AA982637E90B35A"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap47.html#X7AA982637E90B35A">47 <span class="Heading">Finitely Presented Groups</span></a>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap47.html#X7824C8167B3CFAB1">47.1 <span class="Heading">IsSubgroupFpGroup and IsFpGroup</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X7AF7E2B48199452C">47.1-1 IsSubgroupFpGroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X850B9DF17D90C3A2">47.1-2 IsFpGroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X8370BF3B78D0B14D">47.1-3 InfoFpGroup</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap47.html#X7D55E56E790F85FD">47.2 <span class="Heading">Creating Finitely Presented Groups</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X7EF4179E78BC7313"><code>47.2-1 \/</code></a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X7CE0FA5F8695241E">47.2-2 FactorGroupFpGroupByRels</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X7B3D290B87B6EFE4">47.2-3 ParseRelators</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X85EAA789848B528E">47.2-4 StringFactorizationWord</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap47.html#X84D693EC872DAA55">47.3 <span class="Heading">Comparison of Elements of Finitely Presented Groups</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X797D29628203CBD6"><code>47.3-1 \=</code></a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X7B350C718573B8DF"><code>47.3-2 \<</code></a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X87512CF485CC4128">47.3-3 FpElmComparisonMethod</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X82CB9EC982CDAEAC">47.3-4 SetReducedMultiplication</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap47.html#X7B0B2781796800AD">47.4 <span class="Heading">Preimages in the Free Group</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X85CF3931849FB441">47.4-1 FreeGroupOfFpGroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X79C77C5184CA02B6">47.4-2 FreeGeneratorsOfFpGroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X87BA180287CD1F71">47.4-3 RelatorsOfFpGroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X8447A2397A1E524B">47.4-4 UnderlyingElement</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X7F34C8017DC03FDB">47.4-5 ElementOfFpGroup</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap47.html#X869143D284F3379D">47.5 <span class="Heading">Operations for Finitely Presented Groups</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X7AB7187779EDC9BA">47.5-1 PseudoRandom</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap47.html#X7BD0CEBA7B225416">47.6 <span class="Heading">Coset Tables and Coset Enumeration</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X7F7F31E47D7F6EF8">47.6-1 CosetTable</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X87D175757C581E62">47.6-2 TracedCosetFpGroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X7EC1B0EE876E478A">47.6-3 FactorCosetAction</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X82926A7F8365A341">47.6-4 CosetTableBySubgroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X7DE601F179E6FD09">47.6-5 CosetTableFromGensAndRels</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X822B188F87E9E642">47.6-6 CosetTableDefaultMaxLimit</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X7A80A00E7E088E44">47.6-7 CosetTableDefaultLimit</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X829D31A981CB2AF4">47.6-8 MostFrequentGeneratorFpGroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X7912E6577B577A5C">47.6-9 IndicesInvolutaryGenerators</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap47.html#X85B882F782D7AFD0">47.7 <span class="Heading">Standardization of coset tables</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X85FD1D637EF1EBE7">47.7-1 CosetTableStandard</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X85FCD8DF81BA94D5">47.7-2 StandardizeTable</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap47.html#X87C3FA0784A85309">47.8 <span class="Heading">Coset tables for subgroups in the whole group</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X846EC8AB7803114D">47.8-1 CosetTableInWholeGroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X857F239583AFE0B7">47.8-2 SubgroupOfWholeGroupByCosetTable</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap47.html#X7E17A14E823F953D">47.9 <span class="Heading">Augmented Coset Tables and Rewriting</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X80F8BF1D867DA7C1">47.9-1 AugmentedCosetTableInWholeGroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X7AF67CFD846C1159">47.9-2 AugmentedCosetTableMtc</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X7F3F09C778552811">47.9-3 AugmentedCosetTableRrs</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X86B65EA186140244">47.9-4 RewriteWord</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap47.html#X87FBDA2B815A8776">47.10 <span class="Heading">Low Index Subgroups</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X85C5151380E19122">47.10-1 LowIndexSubgroupsFpGroupIterator</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap47.html#X81003D217D92E342">47.11 <span class="Heading">Converting Groups to Finitely Presented Groups</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X7F28268F850F454E">47.11-1 IsomorphismFpGroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X81B2B3B6812FD62D">47.11-2 IsomorphismFpGroupByGenerators</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap47.html#X826604AA7F18BFA3">47.12 <span class="Heading">New Presentations and Presentations for Subgroups</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X78D87FA68233C401">47.12-1 IsomorphismSimplifiedFpGroup</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap47.html#X86E7CE077D82133D">47.13 <span class="Heading">Preimages under Homomorphisms from an FpGroup</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X7ABC3C917D41A74B">47.13-1 SubgroupOfWholeGroupByQuotientSubgroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X8047D7A37B27FEEA">47.13-2 IsSubgroupOfWholeGroupByQuotientRep</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X84E6CEA28611C112">47.13-3 AsSubgroupOfWholeGroupByQuotient</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X7DA1151D84289FC9">47.13-4 DefiningQuotientHomomorphism</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap47.html#X846072F779B51087">47.14 <span class="Heading">Quotient Methods</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X7B5DDADC80F5796B">47.14-1 PQuotient</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X86EB30A7867EEF16">47.14-2 EpimorphismQuotientSystem</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X7CA738DB80B20D67">47.14-3 EpimorphismPGroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X7CA20E2582DC45FD">47.14-4 EpimorphismNilpotentQuotient</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X869F70CC818C946D">47.14-5 SolvableQuotient</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X79A4D3B68110F48A">47.14-6 EpimorphismSolvableQuotient</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X81167847832DD3B1">47.14-7 LargerQuotientBySubgroupAbelianization</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap47.html#X81451C4B8463B848">47.15 <span class="Heading">Abelian Invariants for Subgroups</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X83B63ED8826F4268">47.15-1 AbelianInvariantsSubgroupFpGroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X804F664180BA2134">47.15-2 AbelianInvariantsSubgroupFpGroupMtc</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X8586137B7AAA6C10">47.15-3 <span class="Heading">AbelianInvariantsSubgroupFpGroupRrs</span></a>
</span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X850E4CD784F6EAA8">47.15-4 AbelianInvariantsNormalClosureFpGroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X801635B28079E56A">47.15-5 AbelianInvariantsNormalClosureFpGroupRrs</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap47.html#X86C43E3B81ED25DC">47.16 <span class="Heading">Testing Finiteness of Finitely Presented Groups</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X82F444F67BE0E4FE">47.16-1 IsInfiniteAbelianizationGroup</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap47.html#X85C9FD548394C1E2">47.16-2 NewmanInfinityCriterion</a></span>
</div></div>
</div>

<h3>47 <span class="Heading">Finitely Presented Groups</span></h3>

<p>A <em>finitely presented group</em> (in short: FpGroup) is a group generated by a finite set of <em>abstract generators</em> subject to a finite set of <em>relations</em> that these generators satisfy. Every finite group can be represented as a finitely presented group, though in almost all cases it is computationally much more efficient to work in another representation (even the regular permutation representation).</p>

<p>Finitely presented groups are obtained by factoring a free group by a set of relators. Their elements know about this presentation and compare accordingly.</p>

<p>So to create a finitely presented group you first have to generate a free group (see <code class="func">FreeGroup</code> (<a href="chap37.html#X8215999E835290F0"><span class="RefLink">37.2-1</span></a>) for details). There are two ways to specify a quotient of the free group: either by giving a list of relators or by giving a list of equations. Relators are just words in the generators of the free group. Equations are represented as pairs of words in the generators of the free group. In either case the generators of the quotient are <em>the images</em> of the free generators under the canonical homomorphism from the free group onto the quotient. So for example to create the group</p>

<p class="pcenter">⟨ a, b ∣ a^2, b^3, (a b)^5 ⟩</p>

<p>you can use the following commands:</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">f := FreeGroup( "a", "b" );;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">g := f / [ f.1^2, f.2^3, (f.1*f.2)^5 ];</span>
<fp group on the generators [ a, b ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">h := f / [ [f.1^2, f.1^0], [f.2^3, f.1^0], [(f.1*f.2)^4, f.2^-1*f.1^-1] ];</span>
<fp group on the generators [ a, b ]>
</pre></div>

<p>Note that you cannot call the generators by their names. These names are not variables, but just display figures. So, if you want to access the generators by their names, you first have to introduce the respective variables and to assign the generators to them.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Unbind(a);</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">GeneratorsOfGroup( g );</span>
[ a, b ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">a;</span>
Error, Variable: 'a' must have a value
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">a := g.1;; b := g.2;; # assign variables</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">GeneratorsOfGroup( g );</span>
[ a, b ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">a in f;</span>
false
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">a in g;</span>
true
</pre></div>

<p>To relieve you of the tedium of typing the above assignments, <em>when working interactively</em>, there is the function <code class="func">AssignGeneratorVariables</code> (<a href="chap37.html#X814203E281F3272E"><span class="RefLink">37.2-3</span></a>).</p>

<p>Note that the generators of the free group are different from the generators of the FpGroup (even though they are displayed by the same names). That means that words in the generators of the free group are not elements of the finitely presented group. Vice versa elements of the FpGroup are not words.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">a*b = b*a;</span>
false
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">(b^2*a*b)^2 = a^0;</span>
true
</pre></div>

<p>Such calculations comparing elements of an FpGroup may run into problems: There exist finitely presented groups for which no algorithm exists (it is known that no such algorithm can exist) that will tell for two arbitrary words in the generators whether the corresponding elements in the FpGroup are equal.</p>

<p>Therefore the methods used by <strong class="pkg">GAP</strong> to compute in finitely presented groups may run into warning errors, run out of memory or run forever. If the FpGroup is (by theory) known to be finite the algorithms are guaranteed to terminate (if there is sufficient memory available), but the time needed for the calculation cannot be bounded a priori. See <a href="chap47.html#X7BD0CEBA7B225416"><span class="RefLink">47.6</span></a> and <a href="chap47.html#X86C43E3B81ED25DC"><span class="RefLink">47.16</span></a>.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">(b^2*a*b)^2;</span>
(b^2*a*b)^2
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">a^0;</span>
<identity ...>
</pre></div>

<p>A consequence of our convention is that elements of finitely presented groups are not printed in a unique way. See also <code class="func">SetReducedMultiplication</code> (<a href="chap47.html#X82CB9EC982CDAEAC"><span class="RefLink">47.3-4</span></a>). For many <q>higher level</q> computations for a finite group, such as conjugacy classes or character table, it is advisable not to use an FpGroup but an isomorphic group in a better internal representation, such as a pc group (see <code class="func">IsomorphismPcGroup</code> (<a href="chap46.html#X873CEB137BA1CD6E"><span class="RefLink">46.5-2</span></a>)) or a permutation group (see <code class="func">IsomorphismPermGroup</code> (<a href="chap43.html#X80B7B1C783AA1567"><span class="RefLink">43.3-1</span></a>)). In fact, calling a function such as <code class="func">ConjugacyClasses</code> (<a href="chap39.html#X871B570284BBA685"><span class="RefLink">39.10-2</span></a>) with an FpGroup for which <code class="code">HasIsFinite</code> returns <code class="keyw">false</code> may result in an error message, because the developers of the FpGroup code do not want an <em>automatic</em> <code class="func">IsFinite</code> (<a href="chap30.html#X808A4061809A6E67"><span class="RefLink">30.4-2</span></a>) test (which may not terminate) in the function. (Once the <code class="func">IsFinite</code> (<a href="chap30.html#X808A4061809A6E67"><span class="RefLink">30.4-2</span></a>) value is known, the computation in question can be done with the FpGroup, but still it is advisable to use a better internal representation.)</p>

<p><a id="X7824C8167B3CFAB1" name="X7824C8167B3CFAB1"></a></p>

<h4>47.1 <span class="Heading">IsSubgroupFpGroup and IsFpGroup</span></h4>

<p><a id="X7AF7E2B48199452C" name="X7AF7E2B48199452C"></a></p>

<h5>47.1-1 IsSubgroupFpGroup</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IsSubgroupFpGroup</code>( <var class="Arg">H</var> )</td><td class="tdright">( category )</td></tr></table></div>
<p>is the category for finitely presented groups or subgroups of a finitely presented group.</p>

<p><a id="X850B9DF17D90C3A2" name="X850B9DF17D90C3A2"></a></p>

<h5>47.1-2 IsFpGroup</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IsFpGroup</code>( <var class="Arg">G</var> )</td><td class="tdright">( filter )</td></tr></table></div>
<p>is a synonym for <code class="code">IsSubgroupFpGroup(<var class="Arg">G</var>) and IsGroupOfFamily(<var class="Arg">G</var>)</code>.</p>

<p>Free groups are a special case of finitely presented groups, namely finitely presented groups with no relators.</p>

<p>Note that <code class="code">FreeGroup(infinity)</code> (which exists e.g. for purposes of rewriting presentations with further generators) satisfies this filter, though of course it is not finitely generated (and thus not finitely presented). <code class="code">IsFpGroup</code> thus is not a proper property test and slightly misnamed for the sake of its most prominent uses.</p>

<p>Another special case are groups given by polycyclic presentations. <strong class="pkg">GAP</strong> uses a special representation for these groups which is created in a different way. See chapter <a href="chap46.html#X7EAD57C97EBF7E67"><span class="RefLink">46</span></a> for details.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">g:=FreeGroup(2);</span>
<free group on the generators [ f1, f2 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsFpGroup(g);</span>
true
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">h:=CyclicGroup(2);</span>
<pc group of size 2 with 1 generator>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsFpGroup(h);</span>
false
</pre></div>

<p><a id="X8370BF3B78D0B14D" name="X8370BF3B78D0B14D"></a></p>

<h5>47.1-3 InfoFpGroup</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ InfoFpGroup</code></td><td class="tdright">( info class )</td></tr></table></div>
<p>The info class for functions dealing with finitely presented groups is <code class="func">InfoFpGroup</code>.</p>

<p><a id="X7D55E56E790F85FD" name="X7D55E56E790F85FD"></a></p>

<h4>47.2 <span class="Heading">Creating Finitely Presented Groups</span></h4>

<p><a id="X7EF4179E78BC7313" name="X7EF4179E78BC7313"></a></p>

<h5><code>47.2-1 \/</code></h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ \/</code>( <var class="Arg">F</var>, <var class="Arg">rels</var> )</td><td class="tdright">( method )</td></tr></table></div>
<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ \/</code>( <var class="Arg">F</var>, <var class="Arg">eqns</var> )</td><td class="tdright">( method )</td></tr></table></div>
<p>creates a finitely presented group given by the presentation <span class="SimpleMath">⟨ gens ∣ <var class="Arg">rels</var> ⟩</span> or <span class="SimpleMath">⟨ gens ∣ <var class="Arg">eqns</var> ⟩</span>, respectively where <span class="SimpleMath">gens</span> are the free generators of the free group <var class="Arg">F</var>. Relations can be entered either as words or as pairs of words in the generators of <var class="Arg">F</var>. In the former case we refer to the words given as <em>relators</em>, in the latter we refer to the pairs of words as <em>equations</em>. The two methods can currently not be mixed.</p>

<p>The same result is obtained with the infix operator <code class="code">/</code>, i.e., as <var class="Arg">F</var> <code class="code">/</code> <var class="Arg">rels</var>.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">f := FreeGroup( 3 );;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">f / [ f.1^4, f.2^3, f.3^5, f.1*f.2*f.3 ];</span>
<fp group on the generators [ f1, f2, f3 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">f / [ [ f.1^4, f.1^0 ], [ f.2^3, f.1^0 ], [ f.1, f.2^-1*f.3^-1 ] ];</span>
<fp group on the generators [ f1, f2, f3 ]>
</pre></div>

<p><a id="X7CE0FA5F8695241E" name="X7CE0FA5F8695241E"></a></p>

<h5>47.2-2 FactorGroupFpGroupByRels</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ FactorGroupFpGroupByRels</code>( <var class="Arg">G</var>, <var class="Arg">elts</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>returns the factor group <var class="Arg">G</var>/<span class="SimpleMath">N</span> of <var class="Arg">G</var> by the normal closure <span class="SimpleMath">N</span> of <var class="Arg">elts</var> where <var class="Arg">elts</var> is expected to be a list of elements of <var class="Arg">G</var>.</p>

<p><a id="X7B3D290B87B6EFE4" name="X7B3D290B87B6EFE4"></a></p>

<h5>47.2-3 ParseRelators</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ ParseRelators</code>( <var class="Arg">gens</var>, <var class="Arg">rels</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Will translate a list of relations as given in print, e.g. <span class="SimpleMath">x y^2 = (x y^3 x)^2 xy = yzx</span> into relators. <var class="Arg">gens</var> must be a list of generators of a free group, each being displayed by a single letter. <var class="Arg">rels</var> is a string that lists a sequence of equalities. These must be written in the letters which are the names of the generators in <var class="Arg">gens</var>. Change of upper/lower case is interpreted to indicate inverses.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">f:=FreeGroup("x","y","z");;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">AssignGeneratorVariables(f);</span>
#I  Assigned the global variables [ x, y, z ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">r:=ParseRelators([x,y,z],</span>
<span class="GAPprompt">></span> <span class="GAPinput">"x^2 = y^5 = z^3 = (xyxyxy^4)^2 = (xz)^2 = (y^2z)^2 = 1");</span>
[ x^2, y^5, z^3, (x*z)^2, (y^2*z)^2, ((x*y)^3*y^3)^2 ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">g:=f/r;</span>
<fp group on the generators [ x, y, z ]>
</pre></div>

<p><a id="X85EAA789848B528E" name="X85EAA789848B528E"></a></p>

<h5>47.2-4 StringFactorizationWord</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ StringFactorizationWord</code>( <var class="Arg">w</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>returns a string that expresses a given word <var class="Arg">w</var> in compact form written as a string. Inverses are expressed by changing the upper/lower case of the generators, recurring expressions are written as products.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">StringFactorizationWord(z^-1*x*y*y*y*x*x*y*y*y*x*y^-1*x);</span>
"Z(xy3x)2Yx"
</pre></div>

<p><a id="X84D693EC872DAA55" name="X84D693EC872DAA55"></a></p>

<h4>47.3 <span class="Heading">Comparison of Elements of Finitely Presented Groups</span></h4>

<p><a id="X797D29628203CBD6" name="X797D29628203CBD6"></a></p>

<h5><code>47.3-1 \=</code></h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ \=</code>( <var class="Arg">a</var>, <var class="Arg">b</var> )</td><td class="tdright">( method )</td></tr></table></div>
<p>Two elements of a finitely presented group are equal if they are equal in this group. Nevertheless they may be represented as different words in the generators. Because of the fundamental problems mentioned in the introduction to this chapter such a test may take very long and cannot be guaranteed to finish.</p>

<p>The method employed by <strong class="pkg">GAP</strong> for such an equality test use the underlying finitely presented group. First (unless this group is known to be infinite) <strong class="pkg">GAP</strong> tries to find a faithful permutation representation by a bounded Todd-Coxeter. If this fails, a Knuth-Bendix (see <a href="chap52.html#X87693BDC79DC6EBF"><span class="RefLink">52.5</span></a>) is attempted and the words are compared via their normal form.</p>

<p>If only elements in a subgroup are to be tested for equality it thus can be useful to translate the problem in a new finitely presented group by rewriting (see <code class="func">IsomorphismFpGroup</code> (<a href="chap47.html#X7F28268F850F454E"><span class="RefLink">47.11-1</span></a>));</p>

<p>The equality test of elements underlies many <q>basic</q> calculations, such as the order of an element, and the same type of problems can arise there. In some cases, working with rewriting systems can still help to solve the problem. The <strong class="pkg">kbmag</strong> package provides such functionality, see the package manual for further details.</p>

<p><a id="X7B350C718573B8DF" name="X7B350C718573B8DF"></a></p>

<h5><code>47.3-2 \<</code></h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ \<</code>( <var class="Arg">a</var>, <var class="Arg">b</var> )</td><td class="tdright">( method )</td></tr></table></div>
<p>Compared with equality testing, problems get even worse when trying to compute a total ordering on the elements of a finitely presented group. As any ordering that is guaranteed to be reproducible in different runs of <strong class="pkg">GAP</strong> or even with different groups given by syntactically equal presentations would be prohibitively expensive to implement, the ordering of elements is depending on a method chosen by <strong class="pkg">GAP</strong> and not guaranteed to stay the same when repeating the construction of an FpGroup. The only guarantee given for the <code class="code"><</code> ordering for such elements is that it will stay the same for one family during its lifetime. The attribute <code class="func">FpElmComparisonMethod</code> (<a href="chap47.html#X87512CF485CC4128"><span class="RefLink">47.3-3</span></a>) is used to obtain a comparison function for a family of FpGroup elements.</p>

<p><a id="X87512CF485CC4128" name="X87512CF485CC4128"></a></p>

<h5>47.3-3 FpElmComparisonMethod</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ FpElmComparisonMethod</code>( <var class="Arg">fam</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<p>If <var class="Arg">fam</var> is the elements family of a finitely presented group this attribute returns a function <code class="code">smaller(<var class="Arg">left</var>, <var class="Arg">right</var>)</code> that will be used to compare elements in <var class="Arg">fam</var>.</p>

<p><a id="X82CB9EC982CDAEAC" name="X82CB9EC982CDAEAC"></a></p>

<h5>47.3-4 SetReducedMultiplication</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SetReducedMultiplication</code>( <var class="Arg">obj</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>For an FpGroup <var class="Arg">obj</var>, an element <var class="Arg">obj</var> of it or the family <var class="Arg">obj</var> of its elements, this function will force immediate reduction when multiplying, keeping words short at extra cost per multiplication.</p>

<p><a id="X7B0B2781796800AD" name="X7B0B2781796800AD"></a></p>

<h4>47.4 <span class="Heading">Preimages in the Free Group</span></h4>

<p><a id="X85CF3931849FB441" name="X85CF3931849FB441"></a></p>

<h5>47.4-1 FreeGroupOfFpGroup</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ FreeGroupOfFpGroup</code>( <var class="Arg">G</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<p>returns the underlying free group for the finitely presented group <var class="Arg">G</var>. This is the group generated by the free generators provided by the <code class="func">FreeGeneratorsOfFpGroup</code> (<a href="chap47.html#X79C77C5184CA02B6"><span class="RefLink">47.4-2</span></a>) value of <var class="Arg">G</var>.</p>

<p><a id="X79C77C5184CA02B6" name="X79C77C5184CA02B6"></a></p>

<h5>47.4-2 FreeGeneratorsOfFpGroup</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ FreeGeneratorsOfFpGroup</code>( <var class="Arg">G</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ FreeGeneratorsOfWholeGroup</code>( <var class="Arg">U</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p><code class="func">FreeGeneratorsOfFpGroup</code> returns the underlying free generators corresponding to the generators of the finitely presented group <var class="Arg">G</var> which must be a full FpGroup.</p>

<p><code class="func">FreeGeneratorsOfWholeGroup</code> also works for subgroups of an FpGroup and returns the free generators of the full group that defines the family.</p>

<p><a id="X87BA180287CD1F71" name="X87BA180287CD1F71"></a></p>

<h5>47.4-3 RelatorsOfFpGroup</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ RelatorsOfFpGroup</code>( <var class="Arg">G</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<p>returns the relators of the finitely presented group <var class="Arg">G</var> as words in the free generators provided by the <code class="func">FreeGeneratorsOfFpGroup</code> (<a href="chap47.html#X79C77C5184CA02B6"><span class="RefLink">47.4-2</span></a>) value of <var class="Arg">G</var>.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">f := FreeGroup( "a", "b" );;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">g := f / [ f.1^5, f.2^2, f.1^f.2*f.1 ];</span>
<fp group on the generators [ a, b ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Size( g );</span>
10
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">FreeGroupOfFpGroup( g ) = f;</span>
true
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">FreeGeneratorsOfFpGroup( g );</span>
[ a, b ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">RelatorsOfFpGroup( g );</span>
[ a^5, b^2, b^-1*a*b*a ]
</pre></div>

<p>Note that these attributes are only available for the <em>full</em> finitely presented group. It is possible (for example by using <code class="func">Subgroup</code> (<a href="chap39.html#X7C82AA387A42DCA0"><span class="RefLink">39.3-1</span></a>)) to construct a subgroup of index <span class="SimpleMath">1</span> which is not identical to the whole group. The latter one can be obtained in this situation via <code class="func">Parent</code> (<a href="chap31.html#X7BC856CC7F116BB0"><span class="RefLink">31.7-1</span></a>).</p>

<p>Elements of a finitely presented group are not words, but are represented using a word from the free group as representative. The following two commands obtain this representative, respectively create an element in the finitely presented group.</p>

<p><a id="X8447A2397A1E524B" name="X8447A2397A1E524B"></a></p>

<h5>47.4-4 UnderlyingElement</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ UnderlyingElement</code>( <var class="Arg">elm</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>Let <var class="Arg">elm</var> be an element of a group whose elements are represented as words with further properties. Then <code class="func">UnderlyingElement</code> returns the word from the free group that is used as a representative for <var class="Arg">elm</var>.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">w := g.1*g.2;</span>
a*b
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsWord( w );</span>
false
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">ue := UnderlyingElement( w );</span>
a*b
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsWord( ue );</span>
true
</pre></div>

<p><a id="X7F34C8017DC03FDB" name="X7F34C8017DC03FDB"></a></p>

<h5>47.4-5 ElementOfFpGroup</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ ElementOfFpGroup</code>( <var class="Arg">fam</var>, <var class="Arg">word</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>If <var class="Arg">fam</var> is the elements family of a finitely presented group and <var class="Arg">word</var> is a word in the free generators underlying this finitely presented group, this operation creates the element with the representative <var class="Arg">word</var> in the free group.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">ge := ElementOfFpGroup( FamilyObj( g.1 ), f.1*f.2 );</span>
a*b
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">ge in f;</span>
false
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">ge in g;</span>
true
</pre></div>

<p><a id="X869143D284F3379D" name="X869143D284F3379D"></a></p>

<h4>47.5 <span class="Heading">Operations for Finitely Presented Groups</span></h4>

<p>Finitely presented groups are groups and so all operations for groups should be applicable to them (though not necessarily efficient methods are available). However, one may run into errors if the FpGroup does not store that it is finite; see the introduction to this chapter. Most methods for finitely presented groups rely on coset enumeration. See <a href="chap47.html#X7BD0CEBA7B225416"><span class="RefLink">47.6</span></a> for details.</p>

<p>The command <code class="func">IsomorphismPermGroup</code> (<a href="chap43.html#X80B7B1C783AA1567"><span class="RefLink">43.3-1</span></a>) can be used to obtain a faithful permutation representation, if such a representation of small degree exists. (Otherwise it might run very long or fail.)</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">f := FreeGroup( "a", "b" );</span>
<free group on the generators [ a, b ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">g := f / [ f.1^2, f.2^3, (f.1*f.2)^5 ];</span>
<fp group on the generators [ a, b ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">h := IsomorphismPermGroup( g );</span>
[ a, b ] -> [ (2,4)(5,6), (1,2,3)(4,5,6) ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">u:=Subgroup(g,[g.1*g.2]);;rt:=RightTransversal(g,u);</span>
RightTransversal(<fp group of size 60 on the generators
[ a, b ]>,Group([ a*b ]))
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Image(ActionHomomorphism(g,rt,OnRight));</span>
Group([ (1,2)(3,4)(5,7)(6,8)(9,10)(11,12),
  (1,3,2)(4,5,6)(7,8,9)(10,11,12) ])
</pre></div>

<p><a id="X7AB7187779EDC9BA" name="X7AB7187779EDC9BA"></a></p>

<h5>47.5-1 PseudoRandom</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ PseudoRandom</code>( <var class="Arg">F:</var> <var class="Arg">radius</var> <var class="Arg">:=</var> <var class="Arg">l</var> )</td><td class="tdright">( method )</td></tr></table></div>
<p>The default algorithm for <code class="func">PseudoRandom</code> (<a href="chap30.html#X811B5BD47DC5356B"><span class="RefLink">30.7-2</span></a>) makes little sense for finitely presented or free groups, as it produces words that are extremely long.</p>

<p>By specifying the option <code class="code">radius</code>, instead elements are taken as words in the generators of <var class="Arg">F</var> in the ball of radius <var class="Arg">l</var> with equal distribution in the free group.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">PseudoRandom(g:radius:=20);</span>
a^3*b^2*a^-2*b^-1*a*b^-4*a*b^-1*a*b^-4
</pre></div>

<p><a id="X7BD0CEBA7B225416" name="X7BD0CEBA7B225416"></a></p>

<h4>47.6 <span class="Heading">Coset Tables and Coset Enumeration</span></h4>

<p>Coset enumeration (see <a href="chapBib.html#biBNeu82">[Neu82]</a> for an explanation) is one of the fundamental tools for the examination of finitely presented groups. This section describes <strong class="pkg">GAP</strong> functions that can be used to invoke a coset enumeration.</p>

<p>Note that in addition to the built-in coset enumerator there is the <strong class="pkg">GAP</strong> package <strong class="pkg">ACE</strong>. Moreover, <strong class="pkg">GAP</strong> provides an interactive Todd-Coxeter in the <strong class="pkg">GAP</strong> package <strong class="pkg">ITC</strong> which is based on the <strong class="pkg">XGAP</strong> package.</p>

<p><a id="X7F7F31E47D7F6EF8" name="X7F7F31E47D7F6EF8"></a></p>

<h5>47.6-1 CosetTable</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ CosetTable</code>( <var class="Arg">G</var>, <var class="Arg">H</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>returns the coset table of the finitely presented group <var class="Arg">G</var> on the cosets of the subgroup <var class="Arg">H</var>.</p>

<p>Basically a coset table is the permutation representation of the finitely presented group on the cosets of a subgroup (which need not be faithful if the subgroup has a nontrivial core). Most of the set theoretic and group functions use the regular representation of <var class="Arg">G</var>, i.e., the coset table of <var class="Arg">G</var> over the trivial subgroup.</p>

<p>The coset table is returned as a list of lists. For each generator of <var class="Arg">G</var> and its inverse the table contains a generator list. A generator list is simply a list of integers. If <span class="SimpleMath">l</span> is the generator list for the generator <span class="SimpleMath">g</span> and if <span class="SimpleMath">l[i] = j</span> then generator <span class="SimpleMath">g</span> takes the coset <span class="SimpleMath">i</span> to the coset <span class="SimpleMath">j</span> by multiplication from the right. Thus the permutation representation of <var class="Arg">G</var> on the cosets of <var class="Arg">H</var> is obtained by applying <code class="func">PermList</code> (<a href="chap42.html#X78D611D17EA6E3BC"><span class="RefLink">42.5-2</span></a>) to each generator list.</p>

<p>The coset table is standard (see below).</p>

<p>For finitely presented groups, a coset table is computed by a Todd-Coxeter coset enumeration. Note that you may influence the performance of that enumeration by changing the values of the global variables <code class="func">CosetTableDefaultLimit</code> (<a href="chap47.html#X7A80A00E7E088E44"><span class="RefLink">47.6-7</span></a>) and <code class="func">CosetTableDefaultMaxLimit</code> (<a href="chap47.html#X822B188F87E9E642"><span class="RefLink">47.6-6</span></a>) described below and that the options described under <code class="func">CosetTableFromGensAndRels</code> (<a href="chap47.html#X7DE601F179E6FD09"><span class="RefLink">47.6-5</span></a>) are recognized.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">tab := CosetTable(g, Subgroup(g, [ g.1, g.2*g.1*g.2*g.1*g.2^-1 ]));</span>
[ [ 1, 4, 5, 2, 3 ], [ 1, 4, 5, 2, 3 ], [ 2, 3, 1, 4, 5 ],
  [ 3, 1, 2, 4, 5 ] ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">List( last, PermList );</span>
[ (2,4)(3,5), (2,4)(3,5), (1,2,3), (1,3,2) ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">PrintArray( TransposedMat( tab ) );</span>
[ [  1,  1,  2,  3 ],
  [  4,  4,  3,  1 ],
  [  5,  5,  1,  2 ],
  [  2,  2,  4,  4 ],
  [  3,  3,  5,  5 ] ]
</pre></div>

<p>The last printout in the preceding example provides the coset table in the form in which it is usually used in hand calculations: The rows correspond to the cosets, the columns correspond to the generators and their inverses in the ordering <span class="SimpleMath">g_1, g_1^{-1}, g_2, g_2^{-1}</span>. (See section <a href="chap47.html#X85B882F782D7AFD0"><span class="RefLink">47.7</span></a> for a description on the way the numbers are assigned.)</p>

<p><a id="X87D175757C581E62" name="X87D175757C581E62"></a></p>

<h5>47.6-2 TracedCosetFpGroup</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ TracedCosetFpGroup</code>( <var class="Arg">tab</var>, <var class="Arg">word</var>, <var class="Arg">pt</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Traces the coset number <var class="Arg">pt</var> under the word <var class="Arg">word</var> through the coset table <var class="Arg">tab</var>. (Note: <var class="Arg">word</var> must be in the free group, use <code class="func">UnderlyingElement</code> (<a href="chap47.html#X8447A2397A1E524B"><span class="RefLink">47.4-4</span></a>) if in doubt.)</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">TracedCosetFpGroup(tab,UnderlyingElement(g.1),2);</span>
4
</pre></div>

<p><a id="X7EC1B0EE876E478A" name="X7EC1B0EE876E478A"></a></p>

<h5>47.6-3 FactorCosetAction</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ FactorCosetAction</code>( <var class="Arg">G</var>, <var class="Arg">H</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>returns the action of <var class="Arg">G</var> on the cosets of its subgroup <var class="Arg">H</var>.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">u := Subgroup( g, [ g.1, g.1^g.2 ] );</span>
Group([ a, b^-1*a*b ])
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">FactorCosetAction( g, u );</span>
[ a, b ] -> [ (2,4)(5,6), (1,2,3)(4,5,6) ]
</pre></div>

<p><a id="X82926A7F8365A341" name="X82926A7F8365A341"></a></p>

<h5>47.6-4 CosetTableBySubgroup</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ CosetTableBySubgroup</code>( <var class="Arg">G</var>, <var class="Arg">H</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>returns a coset table for the action of <var class="Arg">G</var> on the cosets of <var class="Arg">H</var>. The columns of the table correspond to the <code class="func">GeneratorsOfGroup</code> (<a href="chap39.html#X79C44528864044C5"><span class="RefLink">39.2-4</span></a>) value of <var class="Arg">G</var>.</p>

<p><a id="X7DE601F179E6FD09" name="X7DE601F179E6FD09"></a></p>

<h5>47.6-5 CosetTableFromGensAndRels</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ CosetTableFromGensAndRels</code>( <var class="Arg">fgens</var>, <var class="Arg">grels</var>, <var class="Arg">fsgens</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>is an internal function which is called by the functions <code class="func">CosetTable</code> (<a href="chap47.html#X7F7F31E47D7F6EF8"><span class="RefLink">47.6-1</span></a>), <code class="func">CosetTableInWholeGroup</code> (<a href="chap47.html#X846EC8AB7803114D"><span class="RefLink">47.8-1</span></a>) and others. It is, in fact, the workhorse that performs a Todd-Coxeter coset enumeration. <var class="Arg">fgens</var> must be a set of free generators and <var class="Arg">grels</var> a set of relators in these generators. <var class="Arg">fsgens</var> are subgroup generators expressed as words in these generators. The function returns a coset table with respect to <var class="Arg">fgens</var>.</p>

<p><code class="func">CosetTableFromGensAndRels</code> will call <code class="code">TCENUM.CosetTableFromGensAndRels</code>. This makes it possible to replace the built-in coset enumerator with another one by assigning <code class="code">TCENUM</code> to another record.</p>

<p>The library version which is used by default performs a standard Felsch strategy coset enumeration. You can call this function explicitly as <code class="code">GAPTCENUM.CosetTableFromGensAndRels</code> even if other coset enumerators are installed.</p>

<p>The expected parameters are</p>


<dl>
<dt><strong class="Mark"><var class="Arg">fgens</var></strong></dt>
<dd><p>generators of the free group <var class="Arg">F</var></p>

</dd>
<dt><strong class="Mark"><var class="Arg">grels</var></strong></dt>
<dd><p>relators as words in <var class="Arg">F</var></p>

</dd>
<dt><strong class="Mark"><var class="Arg">fsgens</var></strong></dt>
<dd><p>subgroup generators as words in <var class="Arg">F</var>.</p>

</dd>
</dl>
<p><code class="func">CosetTableFromGensAndRels</code> processes two options (see chapter <a href="chap8.html#X7FD84061873F72A2"><span class="RefLink">8</span></a>):</p>


<dl>
<dt><strong class="Mark"><code class="code">max</code></strong></dt>
<dd><p>The limit of the number of cosets to be defined. If the enumeration does not finish with this number of cosets, an error is raised and the user is asked whether she wants to continue. The default value is the value given in the variable <code class="code">CosetTableDefaultMaxLimit</code>. (Due to the algorithm the actual limit used can be a bit higher than the number given.)</p>

</dd>
<dt><strong class="Mark"><code class="code">silent</code></strong></dt>
<dd><p>If set to <code class="keyw">true</code> the algorithm will not raise the error mentioned under option <code class="code">max</code> but silently return <code class="keyw">fail</code>. This can be useful if an enumeration is only wanted unless it becomes too big.</p>

</dd>
</dl>
<p><a id="X822B188F87E9E642" name="X822B188F87E9E642"></a></p>

<h5>47.6-6 CosetTableDefaultMaxLimit</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ CosetTableDefaultMaxLimit</code></td><td class="tdright">( global variable )</td></tr></table></div>
<p>is the default limit for the number of cosets allowed in a coset enumeration.</p>

<p>A coset enumeration will not finish if the subgroup does not have finite index, and even if it has it may take many more intermediate cosets than the actual index of the subgroup is. To avoid a coset enumeration <q>running away</q> therefore <strong class="pkg">GAP</strong> has a <q>safety stop</q> built in. This is controlled by the global variable <code class="func">CosetTableDefaultMaxLimit</code>.</p>

<p>If this number of cosets is reached, <strong class="pkg">GAP</strong> will issue an error message and prompt the user to either continue the calculation or to stop it. The default value is <span class="SimpleMath">4096000</span>.</p>

<p>See also the description of the options to <code class="func">CosetTableFromGensAndRels</code> (<a href="chap47.html#X7DE601F179E6FD09"><span class="RefLink">47.6-5</span></a>).</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">f := FreeGroup( "a", "b" );;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">u := Subgroup( f, [ f.2 ] );</span>
Group([ b ])
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Index( f, u );</span>
Error, the coset enumeration has defined more than 4096000 cosets
 called from
TCENUM.CosetTableFromGensAndRels( fgens, grels, fsgens ) called from
CosetTableFromGensAndRels( fgens, grels, fsgens ) called from
TryCosetTableInWholeGroup( H ) called from
CosetTableInWholeGroup( H ) called from
IndexInWholeGroup( H ) called from
...
Entering break read-eval-print loop ...
type 'return;' if you want to continue with a new limit of 8192000 cosets,
type 'quit;' if you want to quit the coset enumeration,
type 'maxlimit := 0; return;' in order to continue without a limit
<span class="GAPbrkprompt">brk></span> <span class="GAPinput">quit;</span>
</pre></div>

<p>At this point, a <code class="keyw">break</code>-loop (see Section <a href="chap6.html#X8593B49F8705B486"><span class="RefLink">6.4</span></a>) has been entered. The line beginning <code class="code">Error</code> tells you why this occurred. The next seven lines occur if <code class="func">OnBreak</code> (<a href="chap6.html#X82EBF01181C3C859"><span class="RefLink">6.4-3</span></a>) has its default value <code class="func">Where</code> (<a href="chap6.html#X7A7FFA2B7C1EF5A3"><span class="RefLink">6.4-5</span></a>). They explain, in this case, how <strong class="pkg">GAP</strong> came to be doing a coset enumeration. Then you are given a number of options of how to escape the <code class="keyw">break</code>-loop: you can either continue the calculation with a larger number of permitted cosets, stop the calculation if you don't expect the enumeration to finish (like in the example above), or continue without a limit on the number of cosets. (Choosing the first option will, of course, land you back in a break-loop. Try it!)



<p>Setting <code class="func">CosetTableDefaultMaxLimit</code> (or the <code class="code">max</code> option value, for any function that invokes a coset enumeration) to <code class="func">infinity</code> (<a href="chap18.html#X8511B8DF83324C27"><span class="RefLink">18.2-1</span></a>) (or to <span class="SimpleMath">0</span>) will force all coset enumerations to continue until they either get a result or exhaust the whole available space. For example, each of the following two inputs</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">CosetTableDefaultMaxLimit := 0;;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Index( f, u );</span>
</pre></div>

<p>or</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Index( f, u : max := 0 );</span>
</pre></div>

<p>have essentially the same effect as choosing the third option (typing: <code class="code">maxlimit := 0; return;</code>) at the <code class="code">brk></code> prompt above (instead of <code class="code">quit;</code>).</p>

<p><a id="X7A80A00E7E088E44" name="X7A80A00E7E088E44"></a></p>

<h5>47.6-7 CosetTableDefaultLimit</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ CosetTableDefaultLimit</code></td><td class="tdright">( global variable )</td></tr></table></div>
<p>is the default number of cosets with which any coset table is initialized before doing a coset enumeration.</p>

<p>The function performing this coset enumeration will automatically extend the table whenever necessary (as long as the number of cosets does not exceed the value of <code class="func">CosetTableDefaultMaxLimit</code> (<a href="chap47.html#X822B188F87E9E642"><span class="RefLink">47.6-6</span></a>)), but this is an expensive operation. Thus, if you change the value of <code class="func">CosetTableDefaultLimit</code>, you should set it to a number of cosets that you expect to be sufficient for your subsequent coset enumerations. On the other hand, if you make it too large, your job will unnecessarily waste a lot of space.</p>

<p>The default value of <code class="func">CosetTableDefaultLimit</code> is <span class="SimpleMath">1000</span>.</p>

<p><a id="X829D31A981CB2AF4" name="X829D31A981CB2AF4"></a></p>

<h5>47.6-8 MostFrequentGeneratorFpGroup</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ MostFrequentGeneratorFpGroup</code>( <var class="Arg">G</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>is an internal function which is used in some applications of coset table methods. It returns the first of those generators of the given finitely presented group <var class="Arg">G</var> which occur most frequently in the relators.</p>

<p><a id="X7912E6577B577A5C" name="X7912E6577B577A5C"></a></p>

<h5>47.6-9 IndicesInvolutaryGenerators</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IndicesInvolutaryGenerators</code>( <var class="Arg">G</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<p>returns the indices of those generators of the finitely presented group <var class="Arg">G</var> which are known to be involutions. This knowledge is used by internal functions to improve the performance of coset enumerations.</p>

<p><a id="X85B882F782D7AFD0" name="X85B882F782D7AFD0"></a></p>

<h4>47.7 <span class="Heading">Standardization of coset tables</span></h4>

<p>For any two coset numbers <span class="SimpleMath">i</span> and <span class="SimpleMath">j</span> with <span class="SimpleMath">i < j</span> the first occurrence of <span class="SimpleMath">i</span> in a coset table precedes the first occurrence of <span class="SimpleMath">j</span> with respect to the usual row-wise ordering of the table entries. Following the notation of Charles Sims' book on computation with finitely presented groups [Sim94] we call such a table a standard coset table.



<p>The table entries which contain the first occurrences of the coset numbers <span class="SimpleMath">i > 1</span> recursively provide for each <span class="SimpleMath">i</span> a representative of the corresponding coset in form of a unique word <span class="SimpleMath">w_i</span> in the generators and inverse generators of <span class="SimpleMath">G</span>. The first coset (which is <span class="SimpleMath">H</span> itself) can be represented by the empty word <span class="SimpleMath">w_1</span>. A coset table is standard if and only if the words <span class="SimpleMath">w_1, w_2, ...</span> are length-plus-lexicographic ordered (as defined in <a href="chapBib.html#biBSims94">[Sim94]</a>), for short: <em>lenlex</em>.</p>

<p>This standardization of coset tables is different from that used in <strong class="pkg">GAP</strong> versions 4.2 and earlier. Before that, we ignored the columns that correspond to inverse generators and hence only considered words in the generators of <span class="SimpleMath">G</span>. We call this older ordering the <em>semilenlex</em> standard as it also applies to the case of semigroups where no inverses of the generators are known.</p>

<p>We changed our default from the semilenlex standard to the lenlex standard to be consistent with <a href="chapBib.html#biBSims94">[Sim94]</a>. However, the semilenlex standardisation remains available and the convention used for all implicit standardisations can be selected by setting the value of the global variable <code class="func">CosetTableStandard</code> (<a href="chap47.html#X85FD1D637EF1EBE7"><span class="RefLink">47.7-1</span></a>) to either <code class="code">"lenlex"</code> or <code class="code">"semilenlex"</code>. Independent of the current value of <code class="func">CosetTableStandard</code> (<a href="chap47.html#X85FD1D637EF1EBE7"><span class="RefLink">47.7-1</span></a>) you can standardize (or restandardize) a coset table at any time using <code class="func">StandardizeTable</code> (<a href="chap47.html#X85FCD8DF81BA94D5"><span class="RefLink">47.7-2</span></a>).</p>

<p><a id="X85FD1D637EF1EBE7" name="X85FD1D637EF1EBE7"></a></p>

<h5>47.7-1 CosetTableStandard</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ CosetTableStandard</code></td><td class="tdright">( global variable )</td></tr></table></div>
<p>specifies the definition of a <em>standard coset table</em>. It is used whenever coset tables or augmented coset tables are created. Its value may be <code class="code">"lenlex"</code> or <code class="code">"semilenlex"</code>. If it is <code class="code">"lenlex"</code> coset tables will be standardized using all their columns as defined in Charles Sims' book (this is the new default standard of GAP). If it is "semilenlex" they will be standardized using only their generator columns (this was the original GAP standard). The default value of CosetTableStandard is "lenlex".



<p><a id="X85FCD8DF81BA94D5" name="X85FCD8DF81BA94D5"></a></p>

<h5>47.7-2 StandardizeTable</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ StandardizeTable</code>( <var class="Arg">table</var>, <var class="Arg">standard</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>standardizes the given coset table <var class="Arg">table</var>. The second argument is optional. It defines the standard to be used, its values may be <code class="code">"lenlex"</code> or <code class="code">"semilenlex"</code> specifying the new or the old convention, respectively. If no value for the parameter <var class="Arg">standard</var> is provided the function will use the global variable <code class="func">CosetTableStandard</code> (<a href="chap47.html#X85FD1D637EF1EBE7"><span class="RefLink">47.7-1</span></a>) instead. Note that the function alters the given table, it does not create a copy.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">StandardizeTable( tab, "semilenlex" );</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">PrintArray( TransposedMat( tab ) );</span>
[ [  1,  1,  2,  4 ],
  [  3,  3,  4,  1 ],
  [  2,  2,  3,  3 ],
  [  5,  5,  1,  2 ],
  [  4,  4,  5,  5 ] ]
</pre></div>

<p><a id="X87C3FA0784A85309" name="X87C3FA0784A85309"></a></p>

<h4>47.8 <span class="Heading">Coset tables for subgroups in the whole group</span></h4>

<p><a id="X846EC8AB7803114D" name="X846EC8AB7803114D"></a></p>

<h5>47.8-1 CosetTableInWholeGroup</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ CosetTableInWholeGroup</code>( <var class="Arg">H</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
--> --------------------

--> maximum size reached

--> --------------------

100%


¤ Dauer der Verarbeitung: 0.30 Sekunden  (vorverarbeitet)  ¤

*© Formatika GbR, Deutschland




Wurzel

Suchen

Beweissystem der NASA

Beweissystem Isabelle

NIST Cobol Testsuite

Cephes Mathematical Library

Wiener Entwicklungsmethode

Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.

Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.