Quellcodebibliothek Statistik Leitseite products/sources/formale Sprachen/GAP/pkg/agt/doc/   (Algebra von RWTH Aachen Version 4.15.1©)  Datei vom 31.11.2022 mit Größe 48 kB image not shown  

Quelle  chap5.html   Sprache: HTML

 
 products/sources/formale Sprachen/GAP/pkg/agt/doc/chap5.html


<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<title>GAP (AGT) - Chapter 5: Strongly regular graphs</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap5"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chap2.html">2</a>  <a href="chap3.html">3</a>  <a href="chap4.html">4</a>  <a href="chap5.html">5</a>  <a href="chapBib.html">Bib</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap4.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chapBib.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap5_mj.html">[MathJax on]</a></p>
<p><a id="X87124C8C7EBA8FA4" name="X87124C8C7EBA8FA4"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap5.html#X87124C8C7EBA8FA4">5 <span class="Heading">Strongly regular graphs</span></a>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap5.html#X83058CF27C8B6252">5.1 <span class="Heading">Strongly regular graph parameter tuples</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7BDCA7FC8099E4DA">5.1-1 ComplementSRGParameters</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7D084B867FAB9540">5.1-2 SRGToGlobalParameters</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7F8FBF4979A8691C">5.1-3 GlobalToSRGParameters</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X78A726B97E1DDBF9">5.1-4 IsPrimitiveSRGParameters</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X83EA0CCB82C73E10">5.1-5 IsTypeISRGParameters</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7D08E56679DE6352">5.1-6 IsTypeIISRGParameters</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7E7A85448760251C">5.1-7 KreinParameters</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7A28C30884FC0563">5.1-8 IsKreinConditionsSatisfied</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X84B6F9277E8CC268">5.1-9 IsAbsoluteBoundSatisfied</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap5.html#X7F1C308E7FBFB2CE">5.2 <span class="Heading">Small strongly regular graphs</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7DF407A486E0ED6C">5.2-1 AGT_Brouwer_Parameters_MAX</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X78106751814D8248">5.2-2 AGT_Brouwer_Parameters</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X8317E4297BF4DA06">5.2-3 IsSRGAvailable</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X81F787C9785852DF">5.2-4 SRGLibraryInfo</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X80FDF0E180E2AD1C">5.2-5 SRG</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X84C6A1E07B6EF902">5.2-6 NrSRGs</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X87BF9E737B7CF1D3">5.2-7 OneSRG</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X8689B88682B38FA5">5.2-8 AllSRGs</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X790723A787A2B233">5.2-9 SRGIterator</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7E336CEE866EE79C">5.2-10 SmallFeasibleSRGParameterTuples</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X809D77DC7C2FC194">5.2-11 IsEnumeratedSRGParameterTuple</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7FB5B50A863F9C6C">5.2-12 IsKnownSRGParameterTuple</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X8144A6E179332EEB">5.2-13 IsAllSRGsStored</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap5.html#X810D1C6D78972AE5">5.3 <span class="Heading">Strongly regular graph constructors</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X858F0340827EB586">5.3-1 DisjointUnionOfCliques</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7B19862D7C5D5A92">5.3-2 CompleteMultipartiteGraph</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X824EAD2280962759">5.3-3 TriangularGraph</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X87047AA482E8A9DB">5.3-4 SquareLatticeGraph</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X82AD546282D33207">5.3-5 HoffmanSingletonGraph</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7ABF0B3087384159">5.3-6 HigmanSimsGraph</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X831A6A9784499FDE">5.3-7 SimsGerwitzGraph</a></span>
</div></div>
</div>

<h3>5 <span class="Heading">Strongly regular graphs</span></h3>

<p>In this chapter we give functions to investigate strongly regular graphs. In particular, we provide a collection of strongly regular graphs which can be a useful computational resource.</p>

<p><a id="X83058CF27C8B6252" name="X83058CF27C8B6252"></a></p>

<h4>5.1 <span class="Heading">Strongly regular graph parameter tuples</span></h4>

<p>In this section, we give functions to investigate the parameters of a strongly regular graph. For the definition of feasible strongly regular graph parameters, see <code class="func">IsFeasibleSRGParameters</code> (<a href="chap2.html#X8436E237851A17BC"><span class="RefLink">2.3-3</span></a>).</p>

<p><a id="X7BDCA7FC8099E4DA" name="X7BDCA7FC8099E4DA"></a></p>

<h5>5.1-1 ComplementSRGParameters</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ ComplementSRGParameters</code>( <var class="Arg">parms</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: A list.</p>

<p>Given feasible strongly regular graph parameters <var class="Arg">parms</var>, this function returns the complement parameters of <var class="Arg">parms</var>.</p>

<p>Suppose <span class="SimpleMath">Γ</span> is a strongly regular graph with parameters <span class="SimpleMath">(v,k,a,b)</span>. Then the complement of <span class="SimpleMath">Γ</span> is a strongly regular graph with parameters <span class="SimpleMath">(v,v-k-1,v-2-2k+b,v-2k+a)</span> (see <a href="chapBib.html#biBBCN_1989">[BCN89]</a>). We define the <em>complement parameters</em> of the feasible strongly regular graph parameter tuple <span class="SimpleMath">(v,k,a,b)</span> as the tuple <span class="SimpleMath">(v,v-k-1,v-2-2k+b,v-2k+a)</span>.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">ComplementSRGParameters([16,9,4,6]);</span>
[ 16, 6, 2, 2 ]
    
  </pre></div>

<p><a id="X7D084B867FAB9540" name="X7D084B867FAB9540"></a></p>

<h5>5.1-2 SRGToGlobalParameters</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SRGToGlobalParameters</code>( <var class="Arg">parms</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: A list.</p>

<p>Given feasible strongly regular graph parameters <var class="Arg">parms</var>, this function returns the global parameters of a graph with strongly regular graph parameters <var class="Arg">parms</var>. For information on global parameters of a graph, see <a href="chapBib.html#biBGRAPE_2018">[Soi18]</a>.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">SRGToGlobalParameters([50,7,0,1]);</span>
[ [ 0, 0, 7 ], [ 1, 0, 6 ], [ 1, 6, 0 ] ]
    
  </pre></div>

<p><a id="X7F8FBF4979A8691C" name="X7F8FBF4979A8691C"></a></p>

<h5>5.1-3 GlobalToSRGParameters</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ GlobalToSRGParameters</code>( <var class="Arg">parms</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: A list.</p>

<p>Given the global parameters <var class="Arg">parms</var> of a connected strongly regular graph, this function returns the strongly regular graph parameters of the graph. For information on global parameters of a graph, see <a href="chapBib.html#biBGRAPE_2018">[Soi18]</a>.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">parms:=GlobalParameters(JohnsonGraph(5,3));</span>
[ [ 0, 0, 6 ], [ 1, 3, 2 ], [ 4, 2, 0 ] ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">GlobalToSRGParameters(parms);              </span>
[ 10, 6, 3, 4 ]
    
  </pre></div>

<p><a id="X78A726B97E1DDBF9" name="X78A726B97E1DDBF9"></a></p>

<h5>5.1-4 IsPrimitiveSRGParameters</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IsPrimitiveSRGParameters</code>( [<var class="Arg">v</var>, <var class="Arg">k</var>, <var class="Arg">a</var>, <var class="Arg">b</var>] )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: <code class="keyw">true</code> or <code class="keyw">false</code>.</p>

<p>Given a list of integers of length 4, <var class="Arg">[v,k,a,b]</var>, this function returns <code class="keyw">true</code> if <span class="SimpleMath">(<var class="Arg">v,k,a,b</var>)</span> is a feasible parameter tuple for a primitive strongly regular graph. Otherwise, this function returns <code class="keyw">false</code>.</p>

<p>Let <span class="SimpleMath">(v,k,a,b)</span> be feasible strongly regular parameters with complement parameters <span class="SimpleMath">(v',k',a',b')</span>. Then the parameter tuple <span class="SimpleMath">(v,k,a,b)</span> is called <em>primitive</em> if <span class="SimpleMath">bnot= 0</span> and <span class="SimpleMath">b'not= 0.



<p>A strongly regular graph <span class="SimpleMath">Γ</span> is called <em>primitive</em> if <span class="SimpleMath">Γ</span> and its complement is connected. It is known that a non-primitive strongly regular graph is a union of cliques, or the complement of a union of cliques. From our definition, it follows that a strongly regular graph <span class="SimpleMath">Γ</span> is primitive if and only if <span class="SimpleMath">Γ</span> has primitive strongly regular graph parameters (see <a href="chapBib.html#biBBCN_1989">[BCN89]</a>).</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsFeasibleSRGParameters([8,6,4,6]); </span>
true
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsPrimitiveSRGParameters([8,6,4,6]);</span>
false
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsPrimitiveSRGParameters([10,6,3,4]);</span>
true
    
  </pre></div>

<p><a id="X83EA0CCB82C73E10" name="X83EA0CCB82C73E10"></a></p>

<h5>5.1-5 IsTypeISRGParameters</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IsTypeISRGParameters</code>( [<var class="Arg">v</var>, <var class="Arg">k</var>, <var class="Arg">a</var>, <var class="Arg">b</var>] )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: <code class="keyw">true</code> or <code class="keyw">false</code>.</p>

<p>Given a list of integers of length 4, <var class="Arg">[v,k,a,b]</var>, this function returns <code class="keyw">true</code> if <span class="SimpleMath">(<var class="Arg">v,k,a,b</var>)</span> is a feasible parameter tuple for a type I strongly regular graph. Otherwise, this function returns <code class="keyw">false</code>.</p>

<p>A feasible strongly regular parameter tuple <span class="SimpleMath">(v,k,a,b)</span> is of <em>type I</em> (or a <em>conference graph</em>) if there exists a positive integer <span class="SimpleMath">t</span> such that <span class="SimpleMath">v=4t+1,k=2t,a=t-1,b=t</span>.</p>

<p>There are two types of strongly regular graphs, called type I and type II (see <a href="chapBib.html#biBBCN_1989">[BCN89]</a>). Let <span class="SimpleMath">Γ</span> be a strongly regular graph with parameters <span class="SimpleMath">(v,k,a,b)</span>. Then <span class="SimpleMath">Γ</span> is of <em>type I</em> if and only if <span class="SimpleMath">(v,k,a,b)</span> is of type I.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsTypeISRGParameters([5,2,0,1]);                              </span>
true
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsTypeISRGParameters([9,4,1,2]);</span>
true
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsTypeISRGParameters([10,3,0,1]); </span>
false
    
  </pre></div>

<p><a id="X7D08E56679DE6352" name="X7D08E56679DE6352"></a></p>

<h5>5.1-6 IsTypeIISRGParameters</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IsTypeIISRGParameters</code>( [<var class="Arg">v</var>, <var class="Arg">k</var>, <var class="Arg">a</var>, <var class="Arg">b</var>] )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: <code class="keyw">true</code> or <code class="keyw">false</code>.</p>

<p>Given a list of integers of length 4, <var class="Arg">[v,k,a,b]</var>, this function returns <code class="keyw">true</code> if <span class="SimpleMath">(<var class="Arg">v,k,a,b</var>)</span> is a feasible parameter tuple for a type II strongly regular graph. Otherwise, this function returns <code class="keyw">false</code>.</p>

<p>A feasible strongly regular parameter tuple <span class="SimpleMath">(v,k,a,b)</span> is of <em>type II</em> if the polynomial <span class="SimpleMath">x^2-(a-b)x+b-k</span> has integer zeros.</p>

<p>There are two types of strongly regular graphs, called type I and <em>type II</em> (see <a href="chapBib.html#biBBCN_1989">[BCN89]</a>). Let <span class="SimpleMath">Γ</span> be a strongly regular graph with parameters <span class="SimpleMath">(v,k,a,b)</span>. Then <span class="SimpleMath">Γ</span> is of <em>type II</em> if and only if all of its eigenvalues are integer. The eigenvalues of <span class="SimpleMath">Γ</span> are <span class="SimpleMath">k</span> and the zeros of the polynomial <span class="SimpleMath">x^2-(a-b)x+b-k</span> (see <a href="chapBib.html#biBBCN_1989">[BCN89]</a>). From our definition, it follows that <span class="SimpleMath">Γ</span> is of type II if and only if <span class="SimpleMath">(v,k,a,b)</span> is of type II.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsTypeIISRGParameters([5,2,0,1]); </span>
false
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsTypeIISRGParameters([9,4,1,2]); </span>
true
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsTypeIISRGParameters([10,3,0,1]);</span>
true
    
  </pre></div>

<p><a id="X7E7A85448760251C" name="X7E7A85448760251C"></a></p>

<h5>5.1-7 KreinParameters</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ KreinParameters</code>( [<var class="Arg">v</var>, <var class="Arg">k</var>, <var class="Arg">a</var>, <var class="Arg">b</var>] )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>Returns: A list.</p>

<p>Given feasible strongly regular graph parameters <var class="Arg">[v, k, a, b]</var>, this function returns a list of (non-trivial) Krein parameters of a strongly regular graph with parameters <span class="SimpleMath">(<var class="Arg">v,k,a,b</var>)</span>.</p>

<p>If the eigenvalues of a strongly regular graph are integer, the object returned is a list of integers. If the eigenvalues are irrational, the object returned will be a list of cyclotomic numbers.</p>

<p>Let <span class="SimpleMath">Γ</span> be a strongly regular graph with parameters <span class="SimpleMath">(v,k,a,b)</span> and eigenvalues <span class="SimpleMath">k≥ r > s</span>. Then the <em>Krein parameters</em> of <span class="SimpleMath">Γ</span> are the numbers</p>

<p class="pcenter">K_{1}=(k+r)(s+1)^{2} - (r+1)(k+r+2rs),</p>

<p class="pcenter">K_{2}=(k+s)(r+1)^{2} - (s+1)(k+s+2rs).</p>

<p>For information on the Krein parameters of strongly regular graphs, see <a href="chapBib.html#biBBCN_1989">[BCN89]</a>.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">KreinParameters([10,6,3,4]);</span>
[ 1, 16 ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">KreinParameters([13,6,2,3]);</span>
[ -14*E(13)-12*E(13)^2-14*E(13)^3-14*E(13)^4-12*E(13)^5-12*E(13)^6-12*E(13)^7
   -12*E(13)^8-14*E(13)^9-14*E(13)^10-12*E(13)^11-14*E(13)^12, 
-12*E(13)-14*E(13)^2-12*E(13)^3-12*E(13)^4-14*E(13)^5-14*E(13)^6-14*E(13)^7
   -14*E(13)^8-12*E(13)^9-12*E(13)^10-14*E(13)^11-12*E(13)^12 ]
    
  </pre></div>

<p><a id="X7A28C30884FC0563" name="X7A28C30884FC0563"></a></p>

<h5>5.1-8 IsKreinConditionsSatisfied</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IsKreinConditionsSatisfied</code>( [<var class="Arg">v</var>, <var class="Arg">k</var>, <var class="Arg">a</var>, <var class="Arg">b</var>] )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>Returns: <code class="keyw">true</code> or <code class="keyw">false</code>.</p>

<p>Given feasible strongly regular graph parameters <var class="Arg">[v, k, a, b]</var>, this function returns <code class="keyw">true</code> if the parameters satisfy the Krein conditions. Otherwise, this function returns <code class="keyw">false</code>.</p>

<p>Let <span class="SimpleMath">Γ</span> be a strongly regular graph with parameters <span class="SimpleMath">(v,k,a,b)</span> and Krein parameters <span class="SimpleMath">K_1,K_2</span> (see <code class="func">KreinParameters</code> (<a href="chap5.html#X7E7A85448760251C"><span class="RefLink">5.1-7</span></a>). The <em>Krein conditions</em> of <span class="SimpleMath">Γ</span> are the inequalities</p>

<p class="pcenter">K_{1}\geq 0, K_{2}\geq 0.</p>

<p>It is known that any strongly regular graph must have parameters that satisfy the Krein conditions. For information on the Krein conditions of strongly regular graphs, see <a href="chapBib.html#biBBCN_1989">[BCN89]</a>.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsKreinConditionsSatisfied([28,9,0,4]);</span>
false
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsKreinConditionsSatisfied([13,6,2,3]);</span>
true
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsKreinConditionsSatisfied([10,6,3,4]);</span>
true
    
  </pre></div>

<p><a id="X84B6F9277E8CC268" name="X84B6F9277E8CC268"></a></p>

<h5>5.1-9 IsAbsoluteBoundSatisfied</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IsAbsoluteBoundSatisfied</code>( [<var class="Arg">v</var>, <var class="Arg">k</var>, <var class="Arg">a</var>, <var class="Arg">b</var>] )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: <code class="keyw">true</code> or <code class="keyw">false</code>.</p>

<p>Given primitive strongly regular graph parameters <var class="Arg">[v, k, a, b]</var>, this function returns <code class="keyw">true</code> if the parameters satisfy the absolute bound. Otherwise, this function returns <code class="keyw">false</code>.</p>

<p>Let <span class="SimpleMath">Γ</span> be a primitive strongly regular graph with parameters <span class="SimpleMath">(v,k,a,b)</span> and eigenvalues <span class="SimpleMath">k≥ r > s</span>, with multiplicities <span class="SimpleMath">1,f,g</span>. The <em>absolute bound</em> for the number of vertices of <span class="SimpleMath">Γ</span> is</p>

<p class="pcenter">v\leq f(f+3)/2, v\leq g(g+3)/2.</p>

<p>For information on the absolute bound of strongly regular graphs, see <a href="chapBib.html#biBBCN_1989">[BCN89]</a>.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsAbsoluteBoundSatisfied([13,6,3,4]);</span>
false
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsAbsoluteBoundSatisfied([50,21,4,12]);</span>
false
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsAbsoluteBoundSatisfied([50,21,8,9]); </span>
true
    
  </pre></div>

<p><a id="X7F1C308E7FBFB2CE" name="X7F1C308E7FBFB2CE"></a></p>

<h4>5.2 <span class="Heading">Small strongly regular graphs</span></h4>

<p>In this section, we give functions to access and use the library of strongly regular graphs currently stored in this package. The information on small strongly regular graphs in this section is based on the tables of Andries Brouwer <a href="chapBib.html#biBB_2018">[Bro18a]</a>.</p>

<p><a id="X7DF407A486E0ED6C" name="X7DF407A486E0ED6C"></a></p>

<h5>5.2-1 AGT_Brouwer_Parameters_MAX</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ AGT_Brouwer_Parameters_MAX</code></td><td class="tdright">( global variable )</td></tr></table></div>
<p>This variable stores the largest value <span class="SimpleMath">v</span> for which the current package contains information about the parameters of all strongly regular graphs with at most <span class="SimpleMath">v</span> vertices. This information is stored in the list <code class="func">AGT_Brouwer_Parameters</code> (<a href="chap5.html#X78106751814D8248"><span class="RefLink">5.2-2</span></a>).</p>

<p><a id="X78106751814D8248" name="X78106751814D8248"></a></p>

<h5>5.2-2 AGT_Brouwer_Parameters</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ AGT_Brouwer_Parameters</code></td><td class="tdright">( global variable )</td></tr></table></div>
<p>This variable stores information about the feasible strongly regular graph parameters found in Brouwer <a href="chapBib.html#biBB_2018">[Bro18a]</a> and the available strongly regular graphs. <var class="Arg">AGT_Brouwer_Parameters</var> is a list, each element of which is a list of length <span class="SimpleMath">4</span>. For an element <code class="code">[parms,status,stored,num]</code>, each entry denotes the following;</p>


<dl>
<dt><strong class="Mark"><code class="code">parms</code></strong></dt>
<dd><p>A feasible strongly regular graph parameter tuple <code class="code">[v,k,a,b]</code>, where <var class="Arg">v</var> is less than <code class="func">AGT_Brouwer_Parameters_MAX</code> (<a href="chap5.html#X7DF407A486E0ED6C"><span class="RefLink">5.2-1</span></a>).</p>

</dd>
<dt><strong class="Mark"><code class="code">status</code></strong></dt>
<dd><p>the status of the known strongly regular graphs with parameters <code class="code">parms</code>. This entry is</p>


<ul>
<li><p><span class="SimpleMath">0</span> if there exists a strongly regular graph with parameters <code class="code">parms</code>, and all such graphs have been enumerated,</p>

</li>
<li><p><span class="SimpleMath">1</span> if there exists a strongly regular graph with parameters <code class="code">parms</code>, but all such graphs have not been enumerated,</p>

</li>
<li><p><span class="SimpleMath">2</span> if it is not known if a strongly regular graph with parameters <code class="code">parms</code> exists,</p>

</li>
<li><p><span class="SimpleMath">3</span> if it has been proven that no strongly regular graph with parameters <code class="code">parms</code> exists.</p>

</li>
</ul>
</dd>
<dt><strong class="Mark"><code class="code">stored</code></strong></dt>
<dd><p>the number of non-isomoprhic strongly regular graphs with parameters <code class="code">parms</code> that are available in the current package.</p>

</dd>
<dt><strong class="Mark"><code class="code">num</code></strong></dt>
<dd><p>the number of non-isomorphic strongly regular graphs with parameters <code class="code">parms</code> that exist. If this has not been determined, the value of <code class="code">num</code> is set to <code class="code">-1</code>.</p>

</dd>
</dl>

<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">AGT_Brouwer_Parameters[34];  </span>
[ [ 36, 20, 10, 12 ], 0, 32548, 32548 ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">AGT_Brouwer_Parameters[35];  </span>
[ [ 37, 18, 8, 9 ], 1, 6760, -1 ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">AGT_Brouwer_Parameters[2530];</span>
[ [ 765, 176, 28, 44 ], 2, 0, -1 ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">AGT_Brouwer_Parameters[4530];</span>
[ [ 1293, 646, 322, 323 ], 3, 0, 0 ]
    
  </pre></div>

<p><a id="X8317E4297BF4DA06" name="X8317E4297BF4DA06"></a></p>

<h5>5.2-3 IsSRGAvailable</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IsSRGAvailable</code>( <var class="Arg">parms</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: <code class="keyw">true</code> or <code class="keyw">false</code>.</p>

<p>Given feasible strongly regular graph parameters <var class="Arg">parms</var>, this function returns <code class="keyw">true</code> if there is a strongly regular graph with parameters <var class="Arg">parms</var> stored in this package. If <var class="Arg">parms</var> is a feasible parameter tuple but there is no strongly regular graphs with parameters <var class="Arg">parms</var> available, the function returns <code class="keyw">false</code>.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsSRGAvailable([28,12,6,4]);</span>
true
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsSRGAvailable([28,9,0,4]); </span>
false
    
  </pre></div>

<p><a id="X81F787C9785852DF" name="X81F787C9785852DF"></a></p>

<h5>5.2-4 SRGLibraryInfo</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SRGLibraryInfo</code>( <var class="Arg">parms</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: A list.</p>

<p>Given feasible strongly regular graph parameters <var class="Arg">parms</var>, with first parameter <var class="Arg">v</var> at most <code class="func">AGT_Brouwer_Parameters_MAX</code> (<a href="chap5.html#X7DF407A486E0ED6C"><span class="RefLink">5.2-1</span></a>), this function returns the element of <code class="func">AGT_Brouwer_Parameters</code> (<a href="chap5.html#X78106751814D8248"><span class="RefLink">5.2-2</span></a>) corresponding to <var class="Arg">parms</var>.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">SRGLibraryInfo([37,18,8,9]); </span>
[ [ 37, 18, 8, 9 ], 1, 6760, -1 ]
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">SRGLibraryInfo([36,15,6,6]);</span>
[ [ 36, 15, 6, 6 ], 0, 32548, 32548 ]
    
  </pre></div>

<p><a id="X80FDF0E180E2AD1C" name="X80FDF0E180E2AD1C"></a></p>

<h5>5.2-5 SRG</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SRG</code>( <var class="Arg">parms</var>, <var class="Arg">n</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: A record or <code class="keyw">fail</code>.</p>

<p>Given feasible strongly regular graph parameters <var class="Arg">parms</var> and positive integer <var class="Arg">n</var>, this function returns the <var class="Arg">n</var>th strongly regular graph with parameters <var class="Arg">parms</var> available in this package. If there there is no <var class="Arg">n</var>th strongly regular graph with parameters <var class="Arg">parms</var> available, the function returns <code class="keyw">fail</code>.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">SRG([16,6,2,2],1);</span>
rec( adjacencies := [ [ 2, 3, 4, 5, 6, 7 ] ], 
group := <permutation group with 6 generators>, isGraph := true, 
names := [ 1 .. 16 ], order := 16, representatives := [ 1 ], 
schreierVector := [ -1, 6, 4, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 4, 4, 4, 3, 3, 3 ] )
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">SRG([16,6,2,2],2);</span>
rec( adjacencies := [ [ 2, 3, 4, 5, 6, 7 ] ], group := Group([ (3,4)(5,6)(8,9)
(11,14)(12,13)(15,16), (2,3)(4,5)(6,7)(9,11)(10,12)(14,15), (1,2)(5,8)(6,9)
(7,10)(11,12)(13,14) ]), isGraph := true, names := [ 1 .. 16 ], 
order := 16, representatives := [ 1 ], 
schreierVector := [ -1, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 1 ] )
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">SRG([28,9,0,4],1);      </span>
fail
    
  </pre></div>

<p><a id="X84C6A1E07B6EF902" name="X84C6A1E07B6EF902"></a></p>

<h5>5.2-6 NrSRGs</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ NrSRGs</code>( <var class="Arg">parms</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: An integer.</p>

<p>Given feasible strongly regular graph parameters <var class="Arg">parms</var>, this function returns the number of pairwise non-isomorphic strongly regular graphs with parameters <var class="Arg">parms</var> currently stored in this package.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">NrSRGs([36,15,6,6]);   </span>
32548
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">NrSRGs([28,9,0,4]); </span>
0
    
  </pre></div>

<p><a id="X87BF9E737B7CF1D3" name="X87BF9E737B7CF1D3"></a></p>

<h5>5.2-7 OneSRG</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ OneSRG</code>( <var class="Arg">parms</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: A record or <code class="keyw">fail</code>.</p>

<p>Given feasible strongly regular graph parameters <var class="Arg">parms</var>, this function returns one strongly regular graph with parameters <var class="Arg">parms</var>. If there there is no strongly regular graph with parameters <var class="Arg">parms</var> available, the function returns <code class="keyw">fail</code>.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">OneSRG([16,9,4,6]); </span>
rec( adjacencies := [ [ 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 ] ], 
group := Group([ (6,7)(9,10)(12,13)(15,16), (5,6)(8,9)(11,12)(14,15), (2,5)
(3,6)(4,7)(9,11)(10,14)(13,15), (1,2)(5,8)(6,9)(7,10) ]), isGraph := true, 
names := [ 1 .. 16 ], order := 16, representatives := [ 1 ], 
schreierVector := [ -1, 4, 3, 3, 3, 2, 1, 4, 4, 4, 3, 2, 1, 3, 2, 1 ] )
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">OneSRG([28,9,0,4]); </span>
fail
    
  </pre></div>

<p><a id="X8689B88682B38FA5" name="X8689B88682B38FA5"></a></p>

<h5>5.2-8 AllSRGs</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ AllSRGs</code>( <var class="Arg">parms</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: A list.</p>

<p>Given feasible strongly regular graph parameters <var class="Arg">parms</var>, this function returns a list of all pairwise non-isomorphic strongly regular graphs with parameters <var class="Arg">parms</var> available in this package.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">AllSRGs([16,6,2,2]);</span>
[ rec( adjacencies := [ [ 2, 3, 4, 5, 6, 7 ] ], 
  group := <permutation group with 6 generators>, isGraph := true, 
  names := [ 1 .. 16 ], order := 16, representatives := [ 1 ], 
  schreierVector := [ -1, 6, 4, 3, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 4, 4, 4, 3, 3, 3 ] ),
rec( adjacencies := [ [ 2, 3, 4, 5, 6, 7 ] ], group := Group([ (3,4)(5,6)
  (8,9)(11,14)(12,13)(15,16), (2,3)(4,5)(6,7)(9,11)(10,12)(14,15), (1,2)
  (5,8)(6,9)(7,10)(11,12)(13,14) ]), isGraph := true, 
  names := [ 1 .. 16 ], order := 16, representatives := [ 1 ], 
  schreierVector := [ -1, 3, 2, 1, 2, 1, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 1, 1, 2, 1 ] )]
    
  </pre></div>

<p><a id="X790723A787A2B233" name="X790723A787A2B233"></a></p>

<h5>5.2-9 SRGIterator</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SRGIterator</code>( <var class="Arg">parms</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: An iterator.</p>

<p>Given feasible strongly regular graph parameters <var class="Arg">parms</var>, this function returns an iterator of all pairwise non-isomorphic strongly regular graph with parameters <var class="Arg">parms</var> that are stored in this package.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">SRGIterator([16,6,2,2]);</span>
<iterator>
    
  </pre></div>

<p><a id="X7E336CEE866EE79C" name="X7E336CEE866EE79C"></a></p>

<h5>5.2-10 SmallFeasibleSRGParameterTuples</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SmallFeasibleSRGParameterTuples</code>( <var class="Arg">v</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: A list.</p>

<p>Given an integer <var class="Arg">v</var>, this function returns a list of all feasible parameter tuples with at most <var class="Arg">v</var> vertices, according to the list of Brouwer <a href="chapBib.html#biBB_2018">[Bro18a]</a>. The list contains parameter tuples with first parameter at most <code class="func">AGT_Brouwer_Parameters_MAX</code> (<a href="chap5.html#X7DF407A486E0ED6C"><span class="RefLink">5.2-1</span></a>).</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">SmallFeasibleSRGParameterTuples(16);</span>
[ [ 5, 2, 0, 1 ], [ 9, 4, 1, 2 ], [ 10, 3, 0, 1 ], [ 10, 6, 3, 4 ], 
[ 13, 6, 2, 3 ], [ 15, 6, 1, 3 ], [ 15, 8, 4, 4 ], [ 16, 5, 0, 2 ], 
[ 16, 10, 6, 6 ], [ 16, 6, 2, 2 ], [ 16, 9, 4, 6 ] ]
    
  </pre></div>

<p><a id="X809D77DC7C2FC194" name="X809D77DC7C2FC194"></a></p>

<h5>5.2-11 IsEnumeratedSRGParameterTuple</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IsEnumeratedSRGParameterTuple</code>( <var class="Arg">parms</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: <code class="keyw">true</code> or <code class="keyw">false</code>.</p>

<p>Given feasible strongly regular graph parameters <var class="Arg">parms</var> with first parameter <var class="Arg">v</var> at most <code class="func">AGT_Brouwer_Parameters_MAX</code> (<a href="chap5.html#X7DF407A486E0ED6C"><span class="RefLink">5.2-1</span></a>), this function returns <code class="keyw">true</code> if the strongly regular graphs with parameters <var class="Arg">parms</var> have been enumerated, according to the list of Brouwer <a href="chapBib.html#biBB_2018">[Bro18a]</a>. Otherwise, this function returns <code class="keyw">false</code>.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsEnumeratedSRGParameterTuple([37,18,8,9]);</span>
false
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsEnumeratedSRGParameterTuple([56,10,0,2]);</span>
true
    
  </pre></div>

<p><a id="X7FB5B50A863F9C6C" name="X7FB5B50A863F9C6C"></a></p>

<h5>5.2-12 IsKnownSRGParameterTuple</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IsKnownSRGParameterTuple</code>( <var class="Arg">parms</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: <code class="keyw">true</code> or <code class="keyw">false</code>.</p>

<p>Given feasible strongly regular graph parameters <var class="Arg">parms</var> with first parameter <var class="Arg">v</var> at most <code class="func">AGT_Brouwer_Parameters_MAX</code> (<a href="chap5.html#X7DF407A486E0ED6C"><span class="RefLink">5.2-1</span></a>), this function returns <code class="keyw">true</code> if it is known that there exists a strongly regular graph with parameters <var class="Arg">parms</var>, according to the list of Brouwer <a href="chapBib.html#biBB_2018">[Bro18a]</a>. Otherwise, this function returns <code class="keyw">false</code>.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsKnownSRGParameterTuple([64,28,12,12]);</span>
true
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsKnownSRGParameterTuple([64,30,18,10]);</span>
false
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsKnownSRGParameterTuple([65,32,15,16]);</span>
false
    
  </pre></div>

<p><a id="X8144A6E179332EEB" name="X8144A6E179332EEB"></a></p>

<h5>5.2-13 IsAllSRGsStored</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IsAllSRGsStored</code>( <var class="Arg">parms</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: <code class="keyw">true</code> or <code class="keyw">false</code>.</p>

<p>Given feasible strongly regular graph parameters <var class="Arg">parms</var> with first parameter <var class="Arg">v</var> at most <code class="func">AGT_Brouwer_Parameters_MAX</code> (<a href="chap5.html#X7DF407A486E0ED6C"><span class="RefLink">5.2-1</span></a>), this function returns <code class="keyw">true</code> if all pairwise non-isomorphic strongly regular graphs with parameters <var class="Arg">parms</var> are stored in the package. Otherwise, this function returns <code class="keyw">false</code>.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsAllSRGsStored([37,18,8,9]);</span>
false
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsAllSRGsStored([36,15,6,6]);</span>
true
    
  </pre></div>

<p><a id="X810D1C6D78972AE5" name="X810D1C6D78972AE5"></a></p>

<h4>5.3 <span class="Heading">Strongly regular graph constructors</span></h4>

<p>In this section, we give functions to construct certain graphs, most of which are strongly regular graphs.</p>

<p><a id="X858F0340827EB586" name="X858F0340827EB586"></a></p>

<h5>5.3-1 DisjointUnionOfCliques</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ DisjointUnionOfCliques</code>( <var class="Arg">n1</var>, <var class="Arg">n2</var>, <var class="Arg">...</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: A record.</p>

<p>Given positive integers <var class="Arg">n1, n2,...</var>, this function returns the graph consisting of the disjoint union of cliques with orders <var class="Arg">n1, n2,...</var>.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">DisjointUnionOfCliques(3,5,7);            </span>
rec( adjacencies := [ [ 2, 3 ], [ 5, 6, 7, 8 ], [ 10, 11, 12, 13, 14, 15 ] ], 
autGroup := <permutation group with 12 generators>, 
group := <permutation group with 12 generators>, isGraph := true, 
isSimple := true, order := 15, representatives := [ 1, 4, 9 ], 
schreierVector := [ -1, 12, 11, -2, 10, 9, 8, 7, -3, 6, 5, 4, 3, 2, 1 ] )
    
  </pre></div>

<p><a id="X7B19862D7C5D5A92" name="X7B19862D7C5D5A92"></a></p>

<h5>5.3-2 CompleteMultipartiteGraph</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ CompleteMultipartiteGraph</code>( <var class="Arg">n1</var>, <var class="Arg">n2</var>, <var class="Arg">...</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: A record.</p>

<p>Given positive integers <var class="Arg">n1, n2,...</var>, this function returns the complete multipartite graph with parts of orders <var class="Arg">n1, n2,...</var>.</p>

<p>Let <span class="SimpleMath">n_1,n_2,dots,n_t</span> be positive integers. Then the <em>complete multipartite graph</em>, <span class="SimpleMath">K_n_1,n_2,dots,n_t}</span>, has vertex set that can be partitioned into <span class="SimpleMath">t</span> disjoint sets <span class="SimpleMath">X_1,X_2,dots,X_t</span> of sizes <span class="SimpleMath">n_1,n_2,dots,n_t</span> such that distinct vertices are adjacent if and only if they belong to different <span class="SimpleMath">X_i</span>.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">CompleteMultipartiteGraph(4,2,1);</span>
rec( adjacencies := [ [ 5, 6, 7 ], [ 1, 2, 3, 4, 7 ], [ 1, 2, 3, 4, 5, 6 ] ], 
autGroup := Group([ (5,6), (3,4), (2,3), (1,2) ]), group := Group([ (5,6),
  (3,4), (2,3), (1,2) ]), isGraph := true, isSimple := true, order := 7, 
representatives := [ 1, 5, 7 ], 
schreierVector := [ -1, 4, 3, 2, -2, 1, -3 ] )
    
  </pre></div>

<p><a id="X824EAD2280962759" name="X824EAD2280962759"></a></p>

<h5>5.3-3 TriangularGraph</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ TriangularGraph</code>( <var class="Arg">n</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: A record.</p>

<p>Given an integer <var class="Arg">n</var>, where <span class="SimpleMath"><var class="Arg">n</var>≥ 3</span>, this function returns the triangular graph on <var class="Arg">n</var> points.</p>

<p>Let <span class="SimpleMath">n</span> be an integer, where <span class="SimpleMath">n≥ 3</span>. The <em>triangular graph</em> , <span class="SimpleMath">T(n)</span>, has vertex set consisting of the subsets of <span class="SimpleMath">{1,2,...,n}</span> of size <span class="SimpleMath">2</span>, and two distinct vertices <span class="SimpleMath">A,B</span> are joined by an edge precisely when <span class="SimpleMath">|A∩ B|=1</span>.</p>

<p>The graph <span class="SimpleMath">T(n)</span> is strongly regular with parameters <span class="SimpleMath">(n choose 2,2(n-2),n-2,4)</span>. For <span class="SimpleMath">nnot= 8</span>, <span class="SimpleMath">T(n)</span> is the unique strongly regular graph with its parameters. There are four pairwise non-isomomorphic strongly regular graphs that have the same parameters as <span class="SimpleMath">T(8)</span>, which are the triangular graph <span class="SimpleMath">T(8)</span> and the <em>Chang graphs</em> (see <a href="chapBib.html#biBC_1958">[Con58]</a> and <a href="chapBib.html#biBC_1959">[Cha59]</a>).</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">TriangularGraph(7); </span>
rec( adjacencies := [ [ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 ] ], 
group := Group([ (1,7,12,16,19,21,6)(2,8,13,17,20,5,11)(3,9,14,18,4,10,15),
  (2,7)(3,8)(4,9)(5,10)(6,11) ]), isGraph := true, isSimple := true, 
names := [ [ 1, 2 ], [ 1, 3 ], [ 1, 4 ], [ 1, 5 ], [ 1, 6 ], [ 1, 7 ], 
    [ 2, 3 ], [ 2, 4 ], [ 2, 5 ], [ 2, 6 ], [ 2, 7 ], [ 3, 4 ], [ 3, 5 ], 
    [ 3, 6 ], [ 3, 7 ], [ 4, 5 ], [ 4, 6 ], [ 4, 7 ], [ 5, 6 ], [ 5, 7 ], 
    [ 6, 7 ] ], order := 21, representatives := [ 1 ], 
schreierVector := [ -1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 
    1, 1, 1 ] )
    
  </pre></div>

<p><a id="X87047AA482E8A9DB" name="X87047AA482E8A9DB"></a></p>

<h5>5.3-4 SquareLatticeGraph</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SquareLatticeGraph</code>( <var class="Arg">n</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: A record.</p>

<p>Given an integer <var class="Arg">n</var>, where <span class="SimpleMath"><var class="Arg">n</var>≥ 2</span>, this function returns the square lattice graph on <span class="SimpleMath">n^2</span> points.</p>

<p>Let <span class="SimpleMath">n</span> be an integer, where <span class="SimpleMath">n≥ 2</span>. The <em>square lattice graph</em>, <span class="SimpleMath">L_2(n)</span>, has vertex set <span class="SimpleMath">{1,2,...,n}×{1,2,...,n}</span>, and two distinct vertices are joined by an edge precisely when they have the same value at one coordinate.</p>

<p>The graph <span class="SimpleMath">L_2(n)</span> is strongly regular with parameters <span class="SimpleMath">(n^2,2(n-1),n-2,2)</span>. For <span class="SimpleMath">nnot= 4</span>, <span class="SimpleMath">L_2(n)</span> is the unique strongly regular graph with its parameters. There are two pairwise non-isomomorphic strongly regular graphs that have the same parameters as <span class="SimpleMath">L_2(4)</span>, which are the square lattice graph graph <span class="SimpleMath">L_2(4)</span> and the <em>Shrikhande graph</em> (see <a href="chapBib.html#biBS_1959b">[Shr59]</a>).</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">SquareLatticeGraph(6);</span>
rec( adjacencies := [ [ 2, 3, 4, 5, 6, 7, 13, 19, 25, 31 ] ], 
group := <permutation group with 5 generators>, isGraph := true, 
names := [ [ 1, 1 ], [ 1, 2 ], [ 1, 3 ], [ 1, 4 ], [ 1, 5 ], [ 1, 6 ], 
    [ 2, 1 ], [ 2, 2 ], [ 2, 3 ], [ 2, 4 ], [ 2, 5 ], [ 2, 6 ], [ 3, 1 ], 
    [ 3, 2 ], [ 3, 3 ], [ 3, 4 ], [ 3, 5 ], [ 3, 6 ], [ 4, 1 ], [ 4, 2 ], 
    [ 4, 3 ], [ 4, 4 ], [ 4, 5 ], [ 4, 6 ], [ 5, 1 ], [ 5, 2 ], [ 5, 3 ], 
    [ 5, 4 ], [ 5, 5 ], [ 5, 6 ], [ 6, 1 ], [ 6, 2 ], [ 6, 3 ], [ 6, 4 ], 
    [ 6, 5 ], [ 6, 6 ] ], order := 36, representatives := [ 1 ], 
schreierVector := [ -1, 3, 3, 3, 3, 3, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 
    1, 3, 3, 3, 3, 3, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 1, 3, 3, 3, 3, 3 ] )
    
  </pre></div>

<p><a id="X82AD546282D33207" name="X82AD546282D33207"></a></p>

<h5>5.3-5 HoffmanSingletonGraph</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ HoffmanSingletonGraph</code>(  )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: A record.</p>

<p>This function returns the Hoffman-Singleton graph.</p>

<p>The <em>Hoffman-Singleton graph</em> is the unique strongly regular graph with parameters <span class="SimpleMath">(50,7,0,1)</span>. For more information on this graph, see <a href="chapBib.html#biBB_2018b">[Bro18b]</a>.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">gamma:=HoffmanSingletonGraph();;</span>
    
  </pre></div>

<p><a id="X7ABF0B3087384159" name="X7ABF0B3087384159"></a></p>

<h5>5.3-6 HigmanSimsGraph</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ HigmanSimsGraph</code>(  )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: A record.</p>

<p>This function returns the Higman-Sims graph.</p>

<p>The <em>Higman-Sims graph</em> is the unique strongly regular graph with parameters <span class="SimpleMath">(100,22,0,6)</span>. For more information on this graph, see <a href="chapBib.html#biBB_2018b">[Bro18b]</a>.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">gamma:=HigmanSimsGraph();;</span>
    
  </pre></div>

<p><a id="X831A6A9784499FDE" name="X831A6A9784499FDE"></a></p>

<h5>5.3-7 SimsGerwitzGraph</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SimsGerwitzGraph</code>(  )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: A record.</p>

<p>This function returns the Sims-Gerwitz graph.</p>

<p>The <em>Sims-Gerwitz graph</em> is the unique strongly regular graph with parameters <span class="SimpleMath">(56,10,0,2)</span>. For more information on this graph, see <a href="chapBib.html#biBB_2018b">[Bro18b]</a>.</p>


<div class="example"><pre>
    
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">gamma:=SimsGerwitzGraph();;</span>
    
  </pre></div>


<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap4.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chapBib.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chap2.html">2</a>  <a href="chap3.html">3</a>  <a href="chap4.html">4</a>  <a href="chap5.html">5</a>  <a href="chapBib.html">Bib</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="http://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>

100%


¤ Dauer der Verarbeitung: 0.6 Sekunden  (vorverarbeitet)  ¤

*© Formatika GbR, Deutschland




Wurzel

Suchen

Beweissystem der NASA

Beweissystem Isabelle

NIST Cobol Testsuite

Cephes Mathematical Library

Wiener Entwicklungsmethode

Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.

Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.