Quellcodebibliothek Statistik Leitseite products/sources/formale Sprachen/GAP/pkg/cap/doc/   (Algebra von RWTH Aachen Version 4.15.1©)  Datei vom 22.8.2025 mit Größe 32 kB image not shown  

Quelle  chap5.html   Sprache: HTML

 
 products/sources/formale Sprachen/GAP/pkg/cap/doc/chap5.html


<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<title>GAP (CAP) - Chapter 5: Category of Categories</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap5"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chap2.html">2</a>  <a href="chap3.html">3</a>  <a href="chap4.html">4</a>  <a href="chap5.html">5</a>  <a href="chap6.html">6</a>  <a href="chap7.html">7</a>  <a href="chap8.html">8</a>  <a href="chap9.html">9</a>  <a href="chap10.html">10</a>  <a href="chap11.html">11</a>  <a href="chap12.html">12</a>  <a href="chap13.html">13</a>  <a href="chap14.html">14</a>  <a href="chap15.html">15</a>  <a href="chap16.html">16</a>  <a href="chap17.html">17</a>  <a href="chap18.html">18</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap4.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap6.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap5_mj.html">[MathJax on]</a></p>
<p><a id="X87C0818C7EFB273D" name="X87C0818C7EFB273D"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap5.html#X87C0818C7EFB273D">5 <span class="Heading">Category of Categories</span></a>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap5.html#X7A8C280B85B50DE0">5.1 <span class="Heading">The Category Cat</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X810DBB407D117E6B">5.1-1 CapCat</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap5.html#X7CC6903E78F24167">5.2 <span class="Heading">Categories</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X814369D484E429EF">5.2-1 IsCapCategoryAsCatObject</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7CBE360B8629DC79">5.2-2 IsCapFunctor</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7D2DD1297D6E57D0">5.2-3 IsCapNaturalTransformation</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap5.html#X86EC0F0A78ECBC10">5.3 <span class="Heading">Constructors</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7F7E47537FD1EDC3">5.3-1 AsCatObject</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7E3142BA84C1EC72">5.3-2 AsCapCategory</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap5.html#X78D1062D78BE08C1">5.4 <span class="Heading">Functors</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7814A6FC86238C93">5.4-1 CapFunctor</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7E4F877C7C91B7CA">5.4-2 CapFunctor</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X78773EEC7F33AC3A">5.4-3 SourceOfFunctor</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X8710DBB68544497A">5.4-4 RangeOfFunctor</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7A75B6A77C9F6836">5.4-5 AddObjectFunction</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X78CD5D1E811A85CF">5.4-6 FunctorObjectOperation</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X85EFB9BE8145B737">5.4-7 AddMorphismFunction</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7D3BAF84793D9576">5.4-8 FunctorMorphismOperation</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X850397447A1A766E">5.4-9 ApplyFunctor</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X8562CA1F795C5154">5.4-10 InputSignature</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X781664C7876ED8A0">5.4-11 InstallFunctor</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X833F9B6D85713A4F">5.4-12 IdentityFunctor</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X83FFF5538147E243">5.4-13 FunctorCanonicalizeZeroObjects</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7EF63850830B8064">5.4-14 NaturalIsomorphismFromIdentityToCanonicalizeZeroObjects</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7AA6B22B7BF73AAE">5.4-15 FunctorCanonicalizeZeroMorphisms</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X8223CAD483193F52">5.4-16 NaturalIsomorphismFromIdentityToCanonicalizeZeroMorphisms</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap5.html#X836749D8814FEEE6">5.5 <span class="Heading">Natural transformations</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7F32E8C985178781">5.5-1 Name</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7C9810B8858249A0">5.5-2 NaturalTransformation</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7DFC4C9183446E95">5.5-3 AddNaturalTransformationFunction</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X867F8B6A78462396">5.5-4 ApplyNaturalTransformation</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X79E6BE7E83687767">5.5-5 InstallNaturalTransformation</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7EAB133B81CDB5E5">5.5-6 HorizontalPreComposeNaturalTransformationWithFunctor</a></span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap5.html#X7B8AC0BB8370031D">5.5-7 HorizontalPreComposeFunctorWithNaturalTransformation</a></span>
</div></div>
</div>

<h3>5 <span class="Heading">Category of Categories</span></h3>

<p>Categories itself with functors as morphisms form a category Cat. So the data structure of <code class="code">CapCategory</code>s is designed to be objects in a category. This category is implemented in <code class="code">CapCat</code>. For every category, the corresponding object in Cat can be obtained via <code class="code">AsCatObject</code>. The implemetation of the category of categories offers a data structure for functors. Those are implemented as morphisms in this category, so functors can be handled like morphisms in a category. Also convenience functions to install functors as methods are implemented (in order to avoid <code class="code">ApplyFunctor</code>).</p>

<p><a id="X7A8C280B85B50DE0" name="X7A8C280B85B50DE0"></a></p>

<h4>5.1 <span class="Heading">The Category Cat</span></h4>

<p><a id="X810DBB407D117E6B" name="X810DBB407D117E6B"></a></p>

<h5>5.1-1 CapCat</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ CapCat</code></td><td class="tdright">( global variable )</td></tr></table></div>
<p>This variable stores the category of categories. Every category object is constructed as an object in this category, so Cat is constructed when loading the package.</p>

<p><a id="X7CC6903E78F24167" name="X7CC6903E78F24167"></a></p>

<h4>5.2 <span class="Heading">Categories</span></h4>

<p><a id="X814369D484E429EF" name="X814369D484E429EF"></a></p>

<h5>5.2-1 IsCapCategoryAsCatObject</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IsCapCategoryAsCatObject</code>( <var class="Arg">object</var> )</td><td class="tdright">( filter )</td></tr></table></div>
<p>Returns: <code class="keyw">true</code> or <code class="keyw">false</code></p>

<p>The GAP category of CAP categories seen as object in Cat.</p>

<p><a id="X7CBE360B8629DC79" name="X7CBE360B8629DC79"></a></p>

<h5>5.2-2 IsCapFunctor</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IsCapFunctor</code>( <var class="Arg">object</var> )</td><td class="tdright">( filter )</td></tr></table></div>
<p>Returns: <code class="keyw">true</code> or <code class="keyw">false</code></p>

<p>The GAP category of functors.</p>

<p><a id="X7D2DD1297D6E57D0" name="X7D2DD1297D6E57D0"></a></p>

<h5>5.2-3 IsCapNaturalTransformation</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IsCapNaturalTransformation</code>( <var class="Arg">object</var> )</td><td class="tdright">( filter )</td></tr></table></div>
<p>Returns: <code class="keyw">true</code> or <code class="keyw">false</code></p>

<p>The GAP category of natural transformations.</p>

<p><a id="X86EC0F0A78ECBC10" name="X86EC0F0A78ECBC10"></a></p>

<h4>5.3 <span class="Heading">Constructors</span></h4>

<p><a id="X7F7E47537FD1EDC3" name="X7F7E47537FD1EDC3"></a></p>

<h5>5.3-1 AsCatObject</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ AsCatObject</code>( <var class="Arg">C</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<p>Given a CAP category <span class="Math">C</span>, this method returns the corresponding object in Cat. For technical reasons, the filter <code class="code">IsCapCategory</code> must not imply the filter <code class="code">IsCapCategoryObject</code>. For example, if <code class="code">InitialObject</code> is applied to an object, it returns the initial object of its category. If it is applied to a category, it returns the initial object of the category. If a CAP category would be a category object itself, this would be ambiguous. So categories must be wrapped in a CatObject to be an object in Cat. This method returns the wrapper object. The category can be reobtained by <code class="code">AsCapCategory</code>.</p>

<p><a id="X7E3142BA84C1EC72" name="X7E3142BA84C1EC72"></a></p>

<h5>5.3-2 AsCapCategory</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ AsCapCategory</code>( <var class="Arg">C</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<p>For an object <span class="Math">C</span> in Cat, this method returns the underlying CAP category. This method is inverse to <code class="code">AsCatObject</code>, i.e. AsCapCategory( AsCatObject( A ) ) = A.</p>

<p><a id="X78D1062D78BE08C1" name="X78D1062D78BE08C1"></a></p>

<h4>5.4 <span class="Heading">Functors</span></h4>

<p>Functors are morphisms in Cat, thus they have source and target which are categories. A multivariate functor can be constructed via a product category as source, a presheaf is constructed via the opposite category as source. However, the user can explicitly decide the arity of a functor (which will only have technical implications). Thus, it is for example possible to consider a functor <span class="Math">A \times B \rightarrow C</span> either as a unary functor with source category <span class="Math">A \times B</span> or as a binary functor. Moreover, an object and a morphism function can be added to a functor, to apply it to objects or morphisms in the source category.</p>

<p><a id="X7814A6FC86238C93" name="X7814A6FC86238C93"></a></p>

<h5>5.4-1 CapFunctor</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ CapFunctor</code>( <var class="Arg">name</var>, <var class="Arg">A</var>, <var class="Arg">B</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ CapFunctor</code>( <var class="Arg">name</var>, <var class="Arg">A</var>, <var class="Arg">B</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ CapFunctor</code>( <var class="Arg">name</var>, <var class="Arg">A</var>, <var class="Arg">B</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ CapFunctor</code>( <var class="Arg">name</var>, <var class="Arg">A</var>, <var class="Arg">B</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>These methods construct a unary CAP functor. The first argument is a string for the functor's name. A and B are the source and target of the functor, and they can be given as objects in CapCat or as a CAP-category.



<p><a id="X7E4F877C7C91B7CA" name="X7E4F877C7C91B7CA"></a></p>

<h5>5.4-2 CapFunctor</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ CapFunctor</code>( <var class="Arg">name</var>, <var class="Arg">list</var>, <var class="Arg">B</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ CapFunctor</code>( <var class="Arg">name</var>, <var class="Arg">list</var>, <var class="Arg">B</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>These methods construct a possible multivariate CAP functor. The first argument is a string for the functor's name. The second argument is a list encoding the input signature of the functor. It can be given as a list of pairs [ [ A_1, b_1 ], \dots, [ A_n, b_n ] ] where a pair consists of a category A_i (given as an object in CapCat or as a CAP-category) and a boolean b_i for i = 1, \dots, n. Instead of a pair [ A_i, b_i ], you can also give simply A_i, which will be interpreted as the pair [ A_i, \mathtt{false} ]. The third argument is the target B of the functor, and it can be given as an object in CapCat or as a CAP-category. The output is a functor with source given by the product category D_1 \times ... \times D_n, where D_i = A_i if b_i = \mathtt{false}, and D_i = A_i^{\mathrm{op}} otherwise.



<p><a id="X78773EEC7F33AC3A" name="X78773EEC7F33AC3A"></a></p>

<h5>5.4-3 SourceOfFunctor</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ SourceOfFunctor</code>( <var class="Arg">F</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<p>The argument is a functor <span class="Math">F</span>. The output is its source as CAP category.</p>

<p><a id="X8710DBB68544497A" name="X8710DBB68544497A"></a></p>

<h5>5.4-4 RangeOfFunctor</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ RangeOfFunctor</code>( <var class="Arg">F</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<p>The argument is a functor <span class="Math">F</span>. The output is its range as CAP category.</p>

<p><a id="X7A75B6A77C9F6836" name="X7A75B6A77C9F6836"></a></p>

<h5>5.4-5 AddObjectFunction</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ AddObjectFunction</code>( <var class="Arg">F</var>, <var class="Arg">f</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>This operation adds a function <span class="Math">f</span> to the functor <span class="Math">F</span> which can then be applied to objects in the source. The given function <span class="Math">f</span> has to take arguments according to the <code class="code">InputSignature</code> of <span class="Math">F</span>, i.e., if the input signature is given by <span class="Math">[ [A_1, b_1], \dots, [A_n,b_n] ]</span>, then <span class="Math">f</span> must take <span class="Math">n</span> arguments, where the <span class="Math">i</span>-th argument is an object in the category <span class="Math">A_i</span> (the boolean <span class="Math">b_i</span> is ignored). The function should return an object in the range of the functor, except when the automatic call of <code class="code">AddObject</code> was enabled via <code class="code">EnableAddForCategoricalOperations</code>. In this case the output only has to be a GAP object in <code class="code">IsAttributeStoringRep</code>, which will be automatically added as an object to the range of the functor.</p>

<p><a id="X78CD5D1E811A85CF" name="X78CD5D1E811A85CF"></a></p>

<h5>5.4-6 FunctorObjectOperation</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ FunctorObjectOperation</code>( <var class="Arg">F</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a GAP operation</p>

<p>The argument is a functor <span class="Math">F</span>. The output is the GAP operation realizing the action of <span class="Math">F</span> on objects.</p>

<p><a id="X85EFB9BE8145B737" name="X85EFB9BE8145B737"></a></p>

<h5>5.4-7 AddMorphismFunction</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ AddMorphismFunction</code>( <var class="Arg">F</var>, <var class="Arg">f</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>This operation adds a function <span class="Math">f</span> to the functor <span class="Math">F</span> which can then be applied to morphisms in the source. The given function <span class="Math">f</span> has to take as its first argument an object <span class="Math">s</span> that is equal (via <code class="code">IsEqualForObjects</code>) to the source of the result of applying <span class="Math">F</span> to the input morphisms. The next arguments of <span class="Math">f</span> have to morphisms according to the <code class="code">InputSignature</code> of <span class="Math">F</span>, i.e., if the input signature is given by <span class="Math">[ [A_1, b_1], \dots, [A_n,b_n] ]</span>, then <span class="Math">f</span> must take <span class="Math">n</span> arguments, where the <span class="Math">i</span>-th argument is a morphism in the category <span class="Math">A_i</span> (the boolean <span class="Math">b_i</span> is ignored). The last argument of <span class="Math">f</span> must be an object <span class="Math">r</span> that is equal (via <code class="code">IsEqualForObjects</code>) to the range of the result of applying <span class="Math">F</span> to the input morphisms. The function should return a morphism in the range of the functor, except when the automatic call of <code class="code">AddMorphism</code> was enabled via <code class="code">EnableAddForCategoricalOperations</code>. In this case the output only has to be a GAP object in <code class="code">IsAttributeStoringRep</code> (with attributes <code class="code">Source</code> and <code class="code">Range</code> containing also GAP objects in <code class="code">IsAttributeStoringRep</code>), which will be automatically added as a morphism to the range of the functor.</p>

<p><a id="X7D3BAF84793D9576" name="X7D3BAF84793D9576"></a></p>

<h5>5.4-8 FunctorMorphismOperation</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ FunctorMorphismOperation</code>( <var class="Arg">F</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a GAP operation</p>

<p>The argument is a functor <span class="Math">F</span>. The output is the GAP operation realizing the action of <span class="Math">F</span> on morphisms.</p>

<p><a id="X850397447A1A766E" name="X850397447A1A766E"></a></p>

<h5>5.4-9 ApplyFunctor</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ ApplyFunctor</code>( <var class="Arg">func</var>, <var class="Arg">A</var>[, <var class="Arg">B</var>, <var class="Arg">...</var>] )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: IsCapCategoryCell</p>

<p>Applies the functor <var class="Arg">func</var> either to</p>


<ul>
<li><p>an object or morphism <var class="Arg">A</var> in the source of <var class="Arg">func</var> or</p>

</li>
<li><p>to objects or morphisms belonging to the categories in the input signature of <var class="Arg">func</var>.</p>

</li>
</ul>
<p><a id="X8562CA1F795C5154" name="X8562CA1F795C5154"></a></p>

<h5>5.4-10 InputSignature</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ InputSignature</code>( <var class="Arg">F</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<p>Returns: IsList</p>

<p>The argument is a functor <span class="Math">F</span>. The output is a list of pairs <span class="Math">[ [ A_1, b_1 ], \dots, [ A_n, b_n ] ]</span> where a pair consists of a CAP-category <span class="Math">A_i</span> and a boolean <span class="Math">b_i</span> for <span class="Math">i = 1, \dots, n</span>. The source of <span class="Math">F</span> is given by the product category <span class="Math">D_1 \times ... \times D_n</span>, where <span class="Math">D_i = A_i</span> if <span class="Math">b_i = \mathtt{false}</span>, and <span class="Math">D_i = A_i^{\mathrm{op}}</span> otherwise.</p>

<p><a id="X781664C7876ED8A0" name="X781664C7876ED8A0"></a></p>

<h5>5.4-11 InstallFunctor</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ InstallFunctor</code>( <var class="Arg">F</var>, <var class="Arg">s</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>Returns: nothing</p>

<p>The arguments are a functor <span class="Math">F</span> and a string <span class="Math">s</span>. To simplify the description of this operation, we let <span class="Math">[ [ A_1, b_1 ], \dots, [ A_n, b_n ] ]</span> denote the input signature of <span class="Math">F</span>. This method tries to install <span class="Math">3</span> operations: an operation <span class="Math">\omega_1</span> with the name <span class="Math">s</span>, an operation <span class="Math">\omega_2</span> with the name <span class="Math">s\mathtt{OnObjects}</span>, and an operation <span class="Math">\omega_3</span> with the name <span class="Math">s\mathtt{OnMorphisms}</span>. The operation <span class="Math">\omega_1</span> takes as input either <span class="Math">n</span>- objects/morphisms in <span class="Math">A_i</span> or a single object/morphism in the source of <span class="Math">F</span>, and outputs the result of applying <span class="Math">F</span> to this input. <span class="Math">\omega_2</span> and <span class="Math">\omega_3</span> are the corresponding variants for objects or morphisms only. This function can only be called once for each functor, every further call will be ignored.</p>

<p><a id="X833F9B6D85713A4F" name="X833F9B6D85713A4F"></a></p>

<h5>5.4-12 IdentityFunctor</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ IdentityFunctor</code>( <var class="Arg">cat</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a functor</p>

<p>Returns the identity functor of the category <var class="Arg">cat</var> viewed as an object in the category of categories.</p>

<p><a id="X83FFF5538147E243" name="X83FFF5538147E243"></a></p>

<h5>5.4-13 FunctorCanonicalizeZeroObjects</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ FunctorCanonicalizeZeroObjects</code>( <var class="Arg">cat</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a functor</p>

<p>Returns the endofunctor of the category <var class="Arg">cat</var> with zero which maps each (object isomorphic to the) zero object to <code class="code">ZeroObject</code>(<var class="Arg">cat</var>) and to itself otherwise. This functor is equivalent to the identity functor.</p>

<p><a id="X7EF63850830B8064" name="X7EF63850830B8064"></a></p>

<h5>5.4-14 NaturalIsomorphismFromIdentityToCanonicalizeZeroObjects</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ NaturalIsomorphismFromIdentityToCanonicalizeZeroObjects</code>( <var class="Arg">cat</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a natural transformation</p>

<p>Returns the natural isomorphism from the identity functor to <code class="code">FunctorCanonicalizeZeroObjects</code>(<var class="Arg">cat</var>).</p>

<p><a id="X7AA6B22B7BF73AAE" name="X7AA6B22B7BF73AAE"></a></p>

<h5>5.4-15 FunctorCanonicalizeZeroMorphisms</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ FunctorCanonicalizeZeroMorphisms</code>( <var class="Arg">cat</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a functor</p>

<p>Returns the endofunctor of the category <var class="Arg">cat</var> with zero which maps each object to itself, each morphism <span class="SimpleMath">ϕ</span> to itself, unless it is congruent to the zero morphism; in this case it is mapped to <code class="code">ZeroMorphism</code>(<code class="code">Source</code>(<span class="SimpleMath">ϕ</span>), <code class="code">Range</code>(<span class="SimpleMath">ϕ</span>)). This functor is equivalent to the identity functor.</p>

<p><a id="X8223CAD483193F52" name="X8223CAD483193F52"></a></p>

<h5>5.4-16 NaturalIsomorphismFromIdentityToCanonicalizeZeroMorphisms</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ NaturalIsomorphismFromIdentityToCanonicalizeZeroMorphisms</code>( <var class="Arg">cat</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a natural transformation</p>

<p>Returns the natural isomorphism from the identity functor to <code class="code">FunctorCanonicalizeZeroMorphisms</code>(<var class="Arg">cat</var>).</p>

<p><a id="X836749D8814FEEE6" name="X836749D8814FEEE6"></a></p>

<h4>5.5 <span class="Heading">Natural transformations</span></h4>

<p>Natural transformations form the <span class="Math">2</span>-cells of Cat. As such, it is possible to compose them vertically and horizontally, see Section <a href="chap4.html#X7B780EDB7E466121"><span class="RefLink">4.3</span></a>.</p>

<p><a id="X7F32E8C985178781" name="X7F32E8C985178781"></a></p>

<h5>5.5-1 Name</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ Name</code>( <var class="Arg">arg</var> )</td><td class="tdright">( attribute )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a string</p>

<p>As every functor, every natural transformation has a name attribute. It has to be a string and will be set by the Constructor.</p>

<p><a id="X7C9810B8858249A0" name="X7C9810B8858249A0"></a></p>

<h5>5.5-2 NaturalTransformation</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ NaturalTransformation</code>( [<var class="Arg">name</var>, ]<var class="Arg">F</var>, <var class="Arg">G</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a natural transformation</p>

<p>Constructs a natural transformation between the functors <var class="Arg">F</var><span class="Math">:A \rightarrow B</span> and <var class="Arg">G</var><span class="Math">:A \rightarrow B</span>. The string <var class="Arg">name</var> is optional, and, if not given, set automatically from the names of the functors</p>

<p><a id="X7DFC4C9183446E95" name="X7DFC4C9183446E95"></a></p>

<h5>5.5-3 AddNaturalTransformationFunction</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ AddNaturalTransformationFunction</code>( <var class="Arg">N</var>, <var class="Arg">func</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>Adds the function <var class="Arg">func</var> to the natural transformation <var class="Arg">N</var>. The function should take three arguments. If <span class="Math">N: F \rightarrow G</span>, the arguments should be <span class="Math">F(A), A, G(A)</span>. The ouptput should be a morphism, <span class="Math">F(A) \rightarrow G(A)</span>.</p>

<p><a id="X867F8B6A78462396" name="X867F8B6A78462396"></a></p>

<h5>5.5-4 ApplyNaturalTransformation</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ ApplyNaturalTransformation</code>( <var class="Arg">N</var>, <var class="Arg">A</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a morphism</p>

<p>Given a natural transformation <var class="Arg">N</var><span class="Math">:F \rightarrow G</span> and an object <var class="Arg">A</var>, this function should return the morphism <span class="Math">F(A) \rightarrow G(A)</span>, corresponding to <var class="Arg">N</var>.</p>

<p><a id="X79E6BE7E83687767" name="X79E6BE7E83687767"></a></p>

<h5>5.5-5 InstallNaturalTransformation</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ InstallNaturalTransformation</code>( <var class="Arg">N</var>, <var class="Arg">name</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>Installs the natural transformation <var class="Arg">N</var> as operation with the name <var class="Arg">name</var>. Argument for this operation is an object, output is a morphism.</p>

<p><a id="X7EAB133B81CDB5E5" name="X7EAB133B81CDB5E5"></a></p>

<h5>5.5-6 HorizontalPreComposeNaturalTransformationWithFunctor</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ HorizontalPreComposeNaturalTransformationWithFunctor</code>( <var class="Arg">N</var>, <var class="Arg">F</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a natural transformation</p>

<p>Computes the horizontal composition of the natural transformation <var class="Arg">N</var> and the functor <var class="Arg">F</var>.</p>

<p><a id="X7B8AC0BB8370031D" name="X7B8AC0BB8370031D"></a></p>

<h5>5.5-7 HorizontalPreComposeFunctorWithNaturalTransformation</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ HorizontalPreComposeFunctorWithNaturalTransformation</code>( <var class="Arg">F</var>, <var class="Arg">N</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a natural transformation</p>

<p>Computes the horizontal composition of the functor <var class="Arg">F</var> and the natural transformation <var class="Arg">N</var>.</p>


<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap4.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap6.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chap2.html">2</a>  <a href="chap3.html">3</a>  <a href="chap4.html">4</a>  <a href="chap5.html">5</a>  <a href="chap6.html">6</a>  <a href="chap7.html">7</a>  <a href="chap8.html">8</a>  <a href="chap9.html">9</a>  <a href="chap10.html">10</a>  <a href="chap11.html">11</a>  <a href="chap12.html">12</a>  <a href="chap13.html">13</a>  <a href="chap14.html">14</a>  <a href="chap15.html">15</a>  <a href="chap16.html">16</a>  <a href="chap17.html">17</a>  <a href="chap18.html">18</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="https://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>

100%


¤ Dauer der Verarbeitung: 0.17 Sekunden  (vorverarbeitet)  ¤

*© Formatika GbR, Deutschland




Wurzel

Suchen

Beweissystem der NASA

Beweissystem Isabelle

NIST Cobol Testsuite

Cephes Mathematical Library

Wiener Entwicklungsmethode

Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.

Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.