Quellcodebibliothek Statistik Leitseite products/sources/formale Sprachen/GAP/pkg/gradedmodules/doc/   (Algebra von RWTH Aachen Version 4.15.1©)  Datei vom 22.11.2024 mit Größe 14 kB image not shown  

Quelle  chap4.html   Sprache: HTML

 
 products/sources/formale Sprachen/GAP/pkg/gradedmodules/doc/chap4.html


<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<title>GAP (GradedModules) - Chapter 4: The Tate Resolution</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap4"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chap2.html">2</a>  <a href="chap3.html">3</a>  <a href="chap4.html">4</a>  <a href="chap5.html">5</a>  <a href="chapBib.html">Bib</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap3.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap5.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap4_mj.html">[MathJax on]</a></p>
<p><a id="X7FE838537D4DF8E7" name="X7FE838537D4DF8E7"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap4.html#X7FE838537D4DF8E7">4 <span class="Heading">The Tate Resolution</span></a>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap4.html#X83CE0B0785329667">4.1 <span class="Heading">The Tate Resolution: Operations and Functions</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap4.html#X7A9DCED27D5F0D67">4.1-1 TateResolution</a></span>
</div></div>
</div>

<h3>4 <span class="Heading">The Tate Resolution</span></h3>

<p><a id="X83CE0B0785329667" name="X83CE0B0785329667"></a></p>

<h4>4.1 <span class="Heading">The Tate Resolution: Operations and Functions</span></h4>

<p><a id="X7A9DCED27D5F0D67" name="X7A9DCED27D5F0D67"></a></p>

<h5>4.1-1 TateResolution</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">‣ TateResolution</code>( <var class="Arg">M</var>, <var class="Arg">degree_lowest</var>, <var class="Arg">degree_highest</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a <strong class="pkg">homalg</strong> cocomplex</p>

<p>Compute the Tate resolution of the sheaf <var class="Arg">M</var>.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">R := HomalgFieldOfRationalsInDefaultCAS( ) * "x0..x3";;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">S := GradedRing( R );;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">A := KoszulDualRing( S, "e0..e3" );;</span>
</pre></div>

<p>In the following we construct the different exterior powers of the cotangent bundle shifted by <span class="SimpleMath">1</span>. Observe how a single <span class="SimpleMath">1</span> travels along the diagnoal in the window <span class="SimpleMath">[ -3 .. 0 ] x [ 0 .. 3 ]</span>. <br /> <br /> First we start with the structure sheaf with its Tate resolution:</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">O := S^0;</span>
<The graded free left module of rank 1 on a free generator>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">T := TateResolution( O, -5, 5 );</span>
<An acyclic cocomplex containing
10 morphisms of graded left modules at degrees [ -5 .. 5 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">betti := BettiTable( T );</span>
<A Betti diagram of <An acyclic cocomplex containing 
10 morphisms of graded left modules at degrees [ -5 .. 5 ]>>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Display( betti );</span>
total:   35  20  10   4   1   1   4  10  20  35  56   ?   ?   ?
----------|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
    3:   35  20  10   4   1   .   .   .   .   .   .   0   0   0
    2:    *   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   0   0
    1:    *   *   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   0
    0:    *   *   *   .   .   .   .   .   1   4  10  20  35  56
----------|---|---|---|---|---|---|---|---S---|---|---|---|---|
twist:   -8  -7  -6  -5  -4  -3  -2  -1   0   1   2   3   4   5
---------------------------------------------------------------
Euler:  -35 -20 -10  -4  -1   0   0   0   1   4  10  20  35  56
</pre></div>

<p>The Castelnuovo-Mumford regularity of the <em>underlying module</em> is distinguished among the list of twists by the character <code class="code">'V'</code> pointing to it. It is <em>not</em> an invariant of the sheaf (see the next diagram). <br /> <br /> The residue class field (i.e. S modulo the maximal homogeneous ideal):</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">k := HomalgMatrix( Indeterminates( S ), Length( Indeterminates( S ) ), 1, S );</span>
<A 4 x 1 matrix over a graded ring>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">k := LeftPresentationWithDegrees( k );</span>
<A graded cyclic left module presented by 4 relations for a cyclic generator>
</pre></div>

<p>Another way of constructing the structure sheaf:</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">U0 := SyzygiesObject( 1, k );</span>
<A graded torsion-free left module presented by yet unknown relations for 4 ge\
nerators>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">T0 := TateResolution( U0, -5, 5 );</span>
<An acyclic cocomplex containing
10 morphisms of graded left modules at degrees [ -5 .. 5 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">betti0 := BettiTable( T0 );</span>
<A Betti diagram of <An acyclic cocomplex containing 
10 morphisms of graded left modules at degrees [ -5 .. 5 ]>>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Display( betti0 );</span>
total:   35  20  10   4   1   1   4  10  20  35  56   ?   ?   ?
----------|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
    3:   35  20  10   4   1   .   .   .   .   .   .   0   0   0
    2:    *   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   0   0
    1:    *   *   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   0
    0:    *   *   *   .   .   .   .   .   1   4  10  20  35  56
----------|---|---|---|---|---|---|---|---S---|---|---|---|---|
twist:   -8  -7  -6  -5  -4  -3  -2  -1   0   1   2   3   4   5
---------------------------------------------------------------
Euler:  -35 -20 -10  -4  -1   0   0   0   1   4  10  20  35  56
</pre></div>

<p>The cotangent bundle:</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">cotangent := SyzygiesObject( 2, k );</span>
<A graded torsion-free left module presented by yet unknown relations for 6 ge\
nerators>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsFree( UnderlyingModule( cotangent ) );</span>
false
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Rank( cotangent );</span>
3
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">cotangent;</span>
<A graded reflexive non-projective rank 3 left module presented by 4 relations\
 for 6 generators>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">ProjectiveDimension( UnderlyingModule( cotangent ) );</span>
2
</pre></div>

<p>the cotangent bundle shifted by <span class="SimpleMath">1</span> with its Tate resolution:</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">U1 := cotangent * S^1;</span>
<A graded non-torsion left module presented by 4 relations for 6 generators>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">T1 := TateResolution( U1, -5, 5 );</span>
<An acyclic cocomplex containing
10 morphisms of graded left modules at degrees [ -5 .. 5 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">betti1 := BettiTable( T1 );</span>
<A Betti diagram of <An acyclic cocomplex containing 
10 morphisms of graded left modules at degrees [ -5 .. 5 ]>>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Display( betti1 );</span>
total:   120   70   36   15    4    1    6   20   45   84  140    ?    ?    ?
-----------|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
    3:   120   70   36   15    4    .    .    .    .    .    .    0    0    0
    2:     *    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    0    0
    1:     *    *    .    .    .    .    .    1    .    .    .    .    .    0
    0:     *    *    *    .    .    .    .    .    .    6   20   45   84  140
-----------|----|----|----|----|----|----|----|----|----S----|----|----|----|
twist:    -8   -7   -6   -5   -4   -3   -2   -1    0    1    2    3    4    5
-----------------------------------------------------------------------------
Euler:  -120  -70  -36  -15   -4    0    0   -1    0    6   20   45   84  140
</pre></div>

<p>The second power <span class="SimpleMath">U^2</span> of the shifted cotangent bundle <span class="SimpleMath">U=U^1</span> and its Tate resolution:</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">U2 := SyzygiesObject( 3, k ) * S^2;</span>
<A graded rank 3 left module presented by 1 relation for 4 generators>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">T2 := TateResolution( U2, -5, 5 );</span>
<An acyclic cocomplex containing
10 morphisms of graded left modules at degrees [ -5 .. 5 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">betti2 := BettiTable( T2 );</span>
<A Betti diagram of <An acyclic cocomplex containing 
10 morphisms of graded left modules at degrees [ -5 .. 5 ]>>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Display( betti2 );</span>
total:   140   84   45   20    6    1    4   15   36   70  120    ?    ?    ?
-----------|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
    3:   140   84   45   20    6    .    .    .    .    .    .    0    0    0
    2:     *    .    .    .    .    .    1    .    .    .    .    .    0    0
    1:     *    *    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    0
    0:     *    *    *    .    .    .    .    .    .    4   15   36   70  120
-----------|----|----|----|----|----|----|----|----|----S----|----|----|----|
twist:    -8   -7   -6   -5   -4   -3   -2   -1    0    1    2    3    4    5
-----------------------------------------------------------------------------
Euler:  -140  -84  -45  -20   -6    0    1    0    0    4   15   36   70  120
</pre></div>

<p>The third power <span class="SimpleMath">U^3</span> of the shifted cotangent bundle <span class="SimpleMath">U=U^1</span> and its Tate resolution:</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">U3 := SyzygiesObject( 4, k ) * S^3;</span>
<A graded free left module of rank 1 on a free generator>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Display( U3 );</span>
Q[x0,x1,x2,x3]^(1 x 1)

(graded, degree of generator: 1)
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">T3 := TateResolution( U3, -5, 5 );</span>
<An acyclic cocomplex containing
10 morphisms of graded left modules at degrees [ -5 .. 5 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">betti3 := BettiTable( T3 );</span>
<A Betti diagram of <An acyclic cocomplex containing 
10 morphisms of graded left modules at degrees [ -5 .. 5 ]>>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Display( betti3 );</span>
total:   56  35  20  10   4   1   1   4  10  20  35   ?   ?   ?
----------|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
    3:   56  35  20  10   4   1   .   .   .   .   .   0   0   0
    2:    *   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   0   0
    1:    *   *   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   0
    0:    *   *   *   .   .   .   .   .   .   1   4  10  20  35
----------|---|---|---|---|---|---|---|---|---S---|---|---|---|
twist:   -8  -7  -6  -5  -4  -3  -2  -1   0   1   2   3   4   5
---------------------------------------------------------------
Euler:  -56 -35 -20 -10  -4  -1   0   0   0   1   4  10  20  35
</pre></div>

<p>Another way to construct <span class="SimpleMath">U^2=U^(3-1)</span>:</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">u2 := GradedHom( U1, S^(-1) );</span>
<A graded torsion-free right module on 4 generators satisfying yet unknown rel\
ations>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">t2 := TateResolution( u2, -5, 5 );</span>
<An acyclic cocomplex containing
10 morphisms of graded right modules at degrees [ -5 .. 5 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">BettiTable( t2 );</span>
<A Betti diagram of <An acyclic cocomplex containing 
10 morphisms of graded right modules at degrees [ -5 .. 5 ]>>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Display( last );</span>
total:   140   84   45   20    6    1    4   15   36   70  120    ?    ?    ?
-----------|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
    3:   140   84   45   20    6    .    .    .    .    .    .    0    0    0
    2:     *    .    .    .    .    .    1    .    .    .    .    .    0    0
    1:     *    *    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    0
    0:     *    *    *    .    .    .    .    .    .    4   15   36   70  120
-----------|----|----|----|----|----|----|----|----|----S----|----|----|----|
twist:    -8   -7   -6   -5   -4   -3   -2   -1    0    1    2    3    4    5
-----------------------------------------------------------------------------
Euler:  -140  -84  -45  -20   -6    0    1    0    0    4   15   36   70  120
</pre></div>


<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap3.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap5.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chap2.html">2</a>  <a href="chap3.html">3</a>  <a href="chap4.html">4</a>  <a href="chap5.html">5</a>  <a href="chapBib.html">Bib</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="https://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>

100%


¤ Dauer der Verarbeitung: 0.15 Sekunden  (vorverarbeitet)  ¤

*© Formatika GbR, Deutschland




Wurzel

Suchen

Beweissystem der NASA

Beweissystem Isabelle

NIST Cobol Testsuite

Cephes Mathematical Library

Wiener Entwicklungsmethode

Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.

Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.