Quellcodebibliothek Statistik Leitseite products/sources/formale Sprachen/GAP/pkg/hap/doc/   (Algebra von RWTH Aachen Version 4.15.1©)  Datei vom 19.6.2025 mit Größe 16 kB image not shown  

Impressum newSimplicial.xml   Sprache: XML

 
<Chapter><Heading> Simplicial Complexes</Heading> <Section><Heading>  </Heading> 
<ManSection> <Func Name="Homology" Arg="T,n"/> <Func Name="Homology" Arg="T"/> <Description> <P/> Inputs a pure cubical complex, or cubical complex, or simplicial complex <M>T</M> and a non-negative integer <M>n</M>. It returns the n-th integral homology of <M>T</M> as a list of torsion integers. If no value of <M>n</M> is input then the list of all homologies of <M>T</M> in dimensions 0 to Dimension(T) is returned . <P/><B>Examples:</B> <URL><Link>../tutorial/chap1.html</Link><LinkText>1</LinkText></URL> , <URL><Link>../tutorial/chap2.html</Link><LinkText>2</LinkText></URL> , <URL><Link>../tutorial/chap3.html</Link><LinkText>3</LinkText></URL> , <URL><Link>../tutorial/chap4.html</Link><LinkText>4</LinkText></URL> , <URL><Link>../tutorial/chap5.html</Link><LinkText>5</LinkText></URL> , <URL><Link>../tutorial/chap6.html</Link><LinkText>6</LinkText></URL> , <URL><Link>../tutorial/chap7.html</Link><LinkText>7</LinkText></URL> , <URL><Link>../tutorial/chap9.html</Link><LinkText>8</LinkText></URL> , <URL><Link>../tutorial/chap10.html</Link><LinkText>9</LinkText></URL> , <URL><Link>../tutorial/chap11.html</Link><LinkText>10</LinkText></URL> , <URL><Link>../tutorial/chap12.html</Link><LinkText>11</LinkText></URL> , <URL><Link>../tutorial/chap13.html</Link><LinkText>12</LinkText></URL> , <URL><Link>../tutorial/chap14.html</Link><LinkText>13</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutLinks.html</Link><LinkText>14</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutArithmetic.html</Link><LinkText>15</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutMetrics.html</Link><LinkText>16</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutArtinGroups.html</Link><LinkText>17</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutAspherical.html</Link><LinkText>18</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutParallel.html</Link><LinkText>19</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutBredon.html</Link><LinkText>20</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutPerformance.html</Link><LinkText>21</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutCocycles.html</Link><LinkText>22</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutPersistent.html</Link><LinkText>23</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutPoincareSeries.html</Link><LinkText>24</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutCoveringSpaces.html</Link><LinkText>25</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutCoverinSpaces.html</Link><LinkText>26</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutPolytopes.html</Link><LinkText>27</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutCoxeter.html</Link><LinkText>28</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutquasi.html</Link><LinkText>29</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutCubical.html</Link><LinkText>30</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutRandomComplexes.html</Link><LinkText>31</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutRosenbergerMonster.html</Link><LinkText>32</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutDavisComplex.html</Link><LinkText>33</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutDefinitions.html</Link><LinkText>34</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutSimplicialGroups.html</Link><LinkText>35</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutExtensions.html</Link><LinkText>36</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutSpaceGroup.html</Link><LinkText>37</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutFunctorial.html</Link><LinkText>38</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutGraphsOfGroups.html</Link><LinkText>39</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutIntro.html</Link><LinkText>40</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutTensorSquare.html</Link><LinkText>41</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutLieCovers.html</Link><LinkText>42</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutTorAndExt.html</Link><LinkText>43</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutLie.html</Link><LinkText>44</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutTwistedCoefficients.html</Link><LinkText>45</LinkText></URL> 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="RipsHomology" Arg="G,n"/> <Func Name="RipsHomology" Arg="G,n,p"/> <Description> <P/> Inputs a graph <M>G</M>, a non-negative integer <M>n</M> (and optionally a prime number <M>p</M>). It returns the integral homology (or mod p homology) in degree <M>n</M> of the Rips complex of <M>G</M>. <P/><B>Examples:</B> 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="Bettinumbers" Arg="T,n"/> <Func Name="Bettinumbers" Arg="T"/> <Description> <P/> Inputs a pure cubical complex, or cubical complex, simplicial complex or chain complex <M>T</M> and a non-negative integer <M>n</M>. The rank of the n-th rational homology group <M>H_n(T,\mathbb Q)</M> is returned. If no value for n is input then the list of Betti numbers in dimensions 0 to Dimension(T) is returned . <P/><B>Examples:</B> <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutMetrics.html</Link><LinkText>1</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutTDA.html</Link><LinkText>2</LinkText></URL> 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="ChainComplex" Arg="T"/> <Description> <P/> Inputs a pure cubical complex, or cubical complex, or simplicial complex <M>T</M> and returns the (often very large) cellular chain complex of <M>T</M>. <P/><B>Examples:</B> <URL><Link>../tutorial/chap1.html</Link><LinkText>1</LinkText></URL> , <URL><Link>../tutorial/chap3.html</Link><LinkText>2</LinkText></URL> , <URL><Link>../tutorial/chap4.html</Link><LinkText>3</LinkText></URL> , <URL><Link>../tutorial/chap10.html</Link><LinkText>4</LinkText></URL> , <URL><Link>../tutorial/chap12.html</Link><LinkText>5</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutMetrics.html</Link><LinkText>6</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutBredon.html</Link><LinkText>7</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutPersistent.html</Link><LinkText>8</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutCoveringSpaces.html</Link><LinkText>9</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutCoverinSpaces.html</Link><LinkText>10</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutCubical.html</Link><LinkText>11</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutSimplicialGroups.html</Link><LinkText>12</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutIntro.html</Link><LinkText>13</LinkText></URL> 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="CechComplexOfPureCubicalComplex" Arg="T"/> <Description> <P/> Inputs a d-dimensional pure cubical complex <M>T</M> and returns a simplicial complex <M>S</M>. The simplicial complex <M>S</M> has one vertex for each d-cube in <M>T</M>, and an n-simplex for each collection of n+1 d-cubes with non-trivial common intersection. The homotopy types of <M>T</M> and <M>S</M> are equal. <P/><B>Examples:</B> <URL><Link>../tutorial/chap10.html</Link><LinkText>1</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutCubical.html</Link><LinkText>2</LinkText></URL> 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="PureComplexToSimplicialComplex" Arg="T,k"/> <Description> <P/> Inputs either a d-dimensional pure cubical complex <M>T</M> or a d-dimensional pure permutahedral complex <M>T</M> together with a non-negative integer <M>k</M>. It returns the first <M>k</M> dimensions of a simplicial complex <M>S</M>. The simplicial complex <M>S</M> has one vertex for each d-cell in <M>T</M>, and an n-simplex for each collection of n+1 d-cells with non-trivial common intersection. The homotopy types of <M>T</M> and <M>S</M> are equal. <P/> For a pure cubical complex <M>T</M> this uses a slightly different algorithm to the function CechComplexOfPureCubicalComplex(T) but constructs the same simplicial complex. <P/><B>Examples:</B> <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutCubical.html</Link><LinkText>1</LinkText></URL> 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="RipsChainComplex" Arg="G,n"/> <Description> <P/> Inputs a graph <M>G</M> and a non-negative integer <M>n</M>. It returns <M>n+1</M> terms of a chain complex whose homology is that of the nerve (or Rips complex) of the graph in degrees up to <M>n</M>. <P/><B>Examples:</B> <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutMetrics.html</Link><LinkText>1</LinkText></URL> 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="VectorsToSymmetricMatrix" Arg="M"/> <Func Name="VectorsToSymmetricMatrix" Arg="M,distance"/> <Description> <P/> Inputs a matrix <M>M</M> of rational numbers and returns a symmetric matrix <M>S</M> whose <M>(i,j)</M> entry is the distance between the <M>i</M>-th row and <M>j</M>-th rows of <M>M</M> where distance is given by the sum of the absolute values of the coordinate differences. <P/> Optionally, a function distance(v,w) can be entered as a second argument. This function has to return a rational number for each pair of rational vectors <M>v,w</M> of length Length(M[1]). <P/><B>Examples:</B> <URL><Link>../tutorial/chap5.html</Link><LinkText>1</LinkText></URL> , <URL><Link>../tutorial/chap10.html</Link><LinkText>2</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutMetrics.html</Link><LinkText>3</LinkText></URL> 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="EulerCharacteristic" Arg="T"/> <Description> <P/> Inputs a pure cubical complex, or cubical complex, or simplicial complex <M>T</M> and returns its Euler characteristic. <P/><B>Examples:</B> 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="MaximalSimplicesToSimplicialComplex" Arg="L"/> <Description> <P/> Inputs a list L whose entries are lists of vertices representing the maximal simplices of a simplicial complex. The simplicial complex is returned. Here a "vertex" is a GAP object such as an integer or a subgroup. <P/><B>Examples:</B> <URL><Link>../tutorial/chap3.html</Link><LinkText>1</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutCoveringSpaces.html</Link><LinkText>2</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutCoverinSpaces.html</Link><LinkText>3</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutCubical.html</Link><LinkText>4</LinkText></URL> 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="SkeletonOfSimplicialComplex" Arg="S,k"/> <Description> <P/> Inputs a simplicial complex <M>S</M> and a positive integer <M>k</M> less than or equal to the dimension of <M>S</M>. It returns the truncated <M>k</M>-dimensional simplicial complex <M>S^k</M> (and leaves <M>S</M> unchanged). <P/><B>Examples:</B> 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="GraphOfSimplicialComplex" Arg="S"/> <Description> <P/> Inputs a simplicial complex <M>S</M> and returns the graph of <M>S</M>. <P/><B>Examples:</B> <URL><Link>../tutorial/chap2.html</Link><LinkText>1</LinkText></URL> , <URL><Link>../tutorial/chap5.html</Link><LinkText>2</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutRandomComplexes.html</Link><LinkText>3</LinkText></URL> 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="ContractibleSubcomplexOfSimplicialComplex" Arg="S"/> <Description> <P/> Inputs a simplicial complex <M>S</M> and returns a (probably maximal) contractible subcomplex of <M>S</M>. <P/><B>Examples:</B> 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="PathComponentsOfSimplicialComplex" Arg="S,n"/> <Description> <P/> Inputs a simplicial complex <M>S</M> and a nonnegative integer <M>n</M>. If <M>n=0</M> the number of path components of <M>S</M> is returned. Otherwise the n-th path component is returned (as a simplicial complex). <P/><B>Examples:</B> 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="QuillenComplex" Arg="G"/> <Description> <P/> Inputs a finite group <M>G</M> and returns, as a simplicial complex, the order complex of the poset of non-trivial elementary abelian subgroups of <M>G</M>. <P/><B>Examples:</B> <URL><Link>../tutorial/chap1.html</Link><LinkText>1</LinkText></URL> , <URL><Link>../tutorial/chap10.html</Link><LinkText>2</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutBredon.html</Link><LinkText>3</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutCubical.html</Link><LinkText>4</LinkText></URL> 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="SymmetricMatrixToIncidenceMatrix" Arg="S,t"/> <Func Name="SymmetricMatrixToIncidenceMatrix" Arg="S,t,d"/> <Description> <P/> Inputs a symmetric integer matrix S and an integer t. It returns the matrix <M>M</M> with <M>M_{ij}=1</M> if <M>I_{ij}</M> is less than <M> t</M> and <M>I_{ij}=1</M> otherwise. <P/> An optional integer <M>d</M> can be given as a third argument. In this case the incidence matrix should have roughly at most <M>d</M> entries in each row (corresponding to the <M>d</M> smallest entries in each row of <M>S</M>). <P/><B>Examples:</B> 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="IncidenceMatrixToGraph" Arg="M"/> <Description> <P/> Inputs a symmetric 0/1 matrix M. It returns the graph with one vertex for each row of <M>M</M> and an edges between vertices <M>i</M> and <M>j</M> if the <M>(i,j)</M> entry in <M>M</M> equals 1. <P/><B>Examples:</B> 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="CayleyGraphOfGroup" Arg="G,A"/> <Description> <P/> Inputs a group <M>G</M> and a set <M>A</M> of generators. It returns the Cayley graph. <P/><B>Examples:</B> 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="PathComponentsOfGraph" Arg="G,n"/> <Description> <P/> Inputs a graph <M>G</M> and a nonnegative integer <M>n</M>. If <M>n=0</M> the number of path components is returned. Otherwise the n-th path component is returned (as a graph). <P/><B>Examples:</B> 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="ContractGraph" Arg="G"/> <Description> <P/> Inputs a graph <M>G</M> and tries to remove vertices and edges to produce a smaller graph <M>G' such that the indlusion G' \rightarrow G</M> induces a homotopy equivalence <M>RG \rightarrow RG' of Rips complexes. If the graph G is modified the function returns true, and otherwise returns false.

Examples: ../tutorial/chap5.html1 , ../www/SideLinks/About/aboutMetrics.html2 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="GraphDisplay" Arg="G"/> <Description> <P/> This function uses GraphViz software to display a graph <M>G</M>. <P/><B>Examples:</B> <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutMetrics.html</Link><LinkText>1</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutTopology.html</Link><LinkText>2</LinkText></URL> 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="SimplicialMap" Arg="K,L,f"/> <Func Name="SimplicialMapNC" Arg="K,L,f"/> <Description> <P/> Inputs simplicial complexes <M>K</M> , <M>L</M> and a function <M>f\colon K!.vertices \rightarrow L!.vertices</M> representing a simplicial map. It returns a simplicial map <M>K \rightarrow L</M>. If <M>f</M> does not happen to represent a simplicial map then SimplicialMap(K,L,f) will return fail; SimplicialMapNC(K,L,f) will not do any check and always return something of the data type "simplicial map". <P/><B>Examples:</B> 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="ChainMapOfSimplicialMap" Arg="f"/> <Description> <P/> Inputs a simplicial map <M>f\colon K \rightarrow L</M> and returns the corresponding chain map <M>C_\ast(f) \colon C_\ast(K) \rightarrow C_\ast(L)</M> of the simplicial chain complexes.. <P/><B>Examples:</B> 
</Description> </ManSection> 
<ManSection> <Func Name="SimplicialNerveOfGraph" Arg="G,d"/> <Description> <P/> Inputs a graph <M>G</M> and returns a <M>d</M>-dimensional simplicial complex <M>K</M> whose 1-skeleton is equal to <M>G</M>. There is a simplicial inclusion <M>K \rightarrow RG</M> where: (i) the inclusion induces isomorphisms on homotopy groups in dimensions less than <M>d</M>; (ii) the complex <M>RG</M> is the Rips complex (with one <M>n</M>-simplex for each complete subgraph of <M>G</M> on <M>n+1</M> vertices). <P/><B>Examples:</B> <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutMetrics.html</Link><LinkText>1</LinkText></URL> , <URL><Link>../www/SideLinks/About/aboutRandomComplexes.html</Link><LinkText>2</LinkText></URL> 
</Description> </ManSection> </Section> </Chapter>

98%


¤ Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.0.25Bemerkung:  (vorverarbeitet)  ¤

*Bot Zugriff




Wurzel

Suchen

Beweissystem der NASA

Beweissystem Isabelle

NIST Cobol Testsuite

Cephes Mathematical Library

Wiener Entwicklungsmethode

Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.

Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.