Quellcodebibliothek Statistik Leitseite products/sources/formale Sprachen/GAP/pkg/homalg/doc/   (Algebra von RWTH Aachen Version 4.15.1©)  Datei vom 10.0.2024 mit Größe 10 kB image not shown  

Quelle  chap1.html   Sprache: HTML

 
 products/sources/formale Sprachen/GAP/pkg/homalg/doc/chap1.html


<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<title>GAP (homalg) - Chapter 1: Introduction</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap1"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chap2.html">2</a>  <a href="chap3.html">3</a>  <a href="chap4.html">4</a>  <a href="chap5.html">5</a>  <a href="chap6.html">6</a>  <a href="chap7.html">7</a>  <a href="chap8.html">8</a>  <a href="chap9.html">9</a>  <a href="chap10.html">10</a>  <a href="chap11.html">11</a>  <a href="chap12.html">12</a>  <a href="chapA.html">A</a>  <a href="chapB.html">B</a>  <a href="chapC.html">C</a>  <a href="chapD.html">D</a>  <a href="chapE.html">E</a>  <a href="chapF.html">F</a>  <a href="chapBib.html">Bib</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap2.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap1_mj.html">[MathJax on]</a></p>
<p><a id="X7DFB63A97E67C0A1" name="X7DFB63A97E67C0A1"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap1.html#X7DFB63A97E67C0A1">1 <span class="Heading">Introduction</span></a>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap1.html#X7F1B40DB7C1395DD">1.1 <span class="Heading">What is the role of the <strong class="pkg">homalg</strong> package in the <strong class="pkg">homalg</strong> project?</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1.html#X873C99678745ABAF">1.1-1 <span class="Heading">Philosophy</span></a>
</span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1.html#X82A79A2A78AED00B">1.1-2 <span class="Heading"><strong class="pkg">homalg</strong> provides ...</span></a>
</span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1.html#X78E6DF7E878D754D">1.1-3 <span class="Heading">Building upon the <strong class="pkg">homalg</strong> package</span></a>
</span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap1.html#X78DD800B83ABC621">1.2 <span class="Heading">This manual</span></a>
</span>
</div>
</div>

<h3>1 <span class="Heading">Introduction</span></h3>

<p><a id="X7F1B40DB7C1395DD" name="X7F1B40DB7C1395DD"></a></p>

<h4>1.1 <span class="Heading">What is the role of the <strong class="pkg">homalg</strong> package in the <strong class="pkg">homalg</strong> project?</span></h4>

<p><a id="X873C99678745ABAF" name="X873C99678745ABAF"></a></p>

<h5>1.1-1 <span class="Heading">Philosophy</span></h5>

<p>The package <strong class="pkg">homalg</strong> is meant to be the first part of a continuously growing <span class="URL"><a href="http://www.opensource.org/">open source</a></span> multi volume book about <span class="URL"><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Homological_algebra">homological</a></span> and <span class="URL"><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Homotopical_algebra">homotopical algebra</a></span>. <strong class="pkg">homalg</strong> is an attempt to translate as much as possible of homological algebra, as can be found in books like <a href="chapBib.html#biBce">[CE99]</a>, <a href="chapBib.html#biBML">[ML63]</a>, <a href="chapBib.html#biBHS">[HS97]</a>, <a href="chapBib.html#biBrot">[Rot79]</a>, <a href="chapBib.html#biBweihom">[Wei94]</a>, and <a href="chapBib.html#biBGM">[GM03]</a>, into a language that a computer can directly understand. But just like the aforementioned books, <strong class="pkg">homalg</strong> should, to a great extent, be readable by a mathematician, even without deep programming knowledge. For the reasons mentioned in (--> Appendix <a href="chapB.html#X7D2A5B127A68AB58"><span class="RefLink">Why GAP4?</span></a>) <strong class="pkg">GAP4</strong> was chosen as the language of <strong class="pkg">homalg</strong>.</p>

<p><a id="X82A79A2A78AED00B" name="X82A79A2A78AED00B"></a></p>

<h5>1.1-2 <span class="Heading"><strong class="pkg">homalg</strong> provides ...</span></h5>

<p>The package <strong class="pkg">homalg</strong> is the foundational part of the project. It provides procedures to construct basic objects in homological algebra:</p>


<ul>
<li><p>filtrations of objects</p>

</li>
<li><p>complexes (of objects and of complexes)</p>

</li>
<li><p>chain morphisms</p>

</li>
<li><p>bicomplexes</p>

</li>
<li><p>bigraded (differential) objects</p>

</li>
<li><p>spectral sequences</p>

</li>
<li><p>functors</p>

</li>
</ul>
<p>Beside these so-called constructors <strong class="pkg">homalg</strong> provides <a href="../../../doc/tut/chap8.html#X7DF5DBF9868B02C0"><span class="RefLink">operations</span></a> to perform computations with these objects. The list of operations includes:</p>


<ul>
<li><p>computation of subfactor objects</p>

</li>
<li><p>applying functors (like <code class="code">Ext</code>, <code class="code">Tor</code>, ...) to objects, morphisms, complexes and chain morphisms</p>

</li>
<li><p>derivation and composition of functors</p>

</li>
<li><p>horse shoe resolution of short exact sequences of objects</p>

</li>
<li><p>connecting homomorphisms and long exact sequences</p>

</li>
<li><p>Cartan-Eilenberg resolution of complexes</p>

</li>
<li><p>hyper (co)homology</p>

</li>
<li><p>spectral sequences of bicomplexes</p>

</li>
<li><p>the Grothendieck spectral sequences associated to two composable functors</p>

</li>
<li><p>test if an object is torsion-free, reflexive, projective, stably free, pure</p>

</li>
<li><p>determine the rank, grade, projective dimension, degree of torsion-freeness, and codegree of purity of an object</p>

</li>
</ul>
<p>Using the philosophy of <strong class="pkg">GAP4</strong>, one or more <a href="../../../doc/tut/chap8.html#X7AEED9AB824CD4DA"><span class="RefLink">methods</span></a> are <a href="../../../doc/ref/chap78.html#X795EE8257848B438"><span class="RefLink">installed</span></a> for each operation, depending on <a href="../../../doc/tut/chap8.html#X81C430C37B2F16D8"><span class="RefLink">properties</span></a> and <a href="../../../doc/tut/chap8.html#X7C701DBF7BAE649A"><span class="RefLink">attributes</span></a> of these objects. These properties and attributes can themselves be computed by methods installed for this purpose.</p>

<p><a id="X78E6DF7E878D754D" name="X78E6DF7E878D754D"></a></p>

<h5>1.1-3 <span class="Heading">Building upon the <strong class="pkg">homalg</strong> package</span></h5>

<p>As mentioned above, the package <strong class="pkg">homalg</strong> should only be the first and foundational part of the <strong class="pkg">homalg</strong> project. On the one hand it is designed independently of the details of the different matrix operations, which other packages are meant to provide. Typically, these packages (like <strong class="pkg">RingsForHomalg</strong>) heavily rely on existing, well tested, and optimized systems like <strong class="pkg">Singular</strong>, <strong class="pkg">Macaulay2</strong>, or <strong class="pkg">MAGMA</strong>. On the other hand other packages can be built upon or extend the <strong class="pkg">homalg</strong> package in different ways:</p>


<ul>
<li><p>add constructors (sheaves, schemes, simplicial sets, ...)</p>

</li>
<li><p>add methods for basic operation (Yoneda products, Massey products, Steenrod operations, ...)</p>

</li>
<li><p>add methods to compute sheaf cohomology, local cohomology, Hochschild (co)homology, cyclic (co)homology...</p>

</li>
<li><p>provide algorithms for holonomic <span class="SimpleMath">D</span>-modules based on the restriction algorithm: localization, computing tensor products, <code class="code">Hom</code>, <code class="code">Ext</code>, de Rham cohomology, ...</p>

</li>
<li><p>support change of rings, Lyndon/Hochschild-Serre spectral sequence, base change spectral sequences, ...</p>

</li>
<li><p>support perturbation techniques, Serre and Eilenberg-Moore spectral sequence of simplicial spaces of infinite type, ...</p>

</li>
<li><p>...</p>

</li>
</ul>
<p>The project will remain open and contributions are highly welcome. The different packages will be attributed to their respective authors. The whole project will be attributed to the "homalg team", i.e. the authors and contributers of all packages in the project.</p>

<p><a id="X78DD800B83ABC621" name="X78DD800B83ABC621"></a></p>

<h4>1.2 <span class="Heading">This manual</span></h4>

<p>Chapter <a href="chap2.html#X855C716578E12A0B"><span class="RefLink">2</span></a> describes the installation of this package. The remaining chapters are each devoted to one of the <strong class="pkg">homalg</strong> objects (--> <a href="chap1.html#X82A79A2A78AED00B"><span class="RefLink">1.1-2</span></a>) with its constructors, properties, attributes, and operations.</p>


<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap2.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chap2.html">2</a>  <a href="chap3.html">3</a>  <a href="chap4.html">4</a>  <a href="chap5.html">5</a>  <a href="chap6.html">6</a>  <a href="chap7.html">7</a>  <a href="chap8.html">8</a>  <a href="chap9.html">9</a>  <a href="chap10.html">10</a>  <a href="chap11.html">11</a>  <a href="chap12.html">12</a>  <a href="chapA.html">A</a>  <a href="chapB.html">B</a>  <a href="chapC.html">C</a>  <a href="chapD.html">D</a>  <a href="chapE.html">E</a>  <a href="chapF.html">F</a>  <a href="chapBib.html">Bib</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="http://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>

100%


¤ Dauer der Verarbeitung: 0.16 Sekunden  (vorverarbeitet)  ¤

*© Formatika GbR, Deutschland




Wurzel

Suchen

Beweissystem der NASA

Beweissystem Isabelle

NIST Cobol Testsuite

Cephes Mathematical Library

Wiener Entwicklungsmethode

Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.

Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.