Quelle tensor.gd Sprache: unbekannt

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#W tensor.gd QuaGroup Willem de Graaf
##
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## Tensor products of quantized enveloping algebras and their modules.
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#C IsQEATensorPowElement( <qt> )
##
## category of elements of the tensor square of a quantized enveloping
## algebra.
##
DeclareCategory( "IsQEATensorPowElement", IsTensorElement and
 IsMultiplicativeElementWithOne);
DeclareCategoryCollections( "IsQEATensorPowElement" );
DeclareCategoryFamily( "IsQEATensorPowElement" );

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#O TensorPower( , <d> )
##
## Here is a quantized universal enveloping algebra, and <d> a
## non-negative integer. This function returns the asociatitive algebra
## with underlying vector space the <d>-fold tensor product of with
## itself. The product is defined componentwise.
##
DeclareOperation( "TensorPower", [ IsVectorSpace, IsInt ] );

#1
## By using the comultiplication $\Delta$ of a quantized universal
## enveloping algebra $U$, the tensor product of two $U$-modules
## can be made into a $U$-module. {\sf QuaGroup} uses the comultiplication
## given by the following formulas
##
## $$ \Delta( F_{\alpha} ) = F_{\alpha}\otimes K_{\alpha}^{-1} +
## 1\otimes F_{\alpha},$$
## $$ \Delta( K_{\alpha} ) = K_{\alpha}\otimes K_{\alpha},$$
## $$ \Delta( E_{\alpha} ) = E_{\alpha}\otimes 1 + K_{\alpha}\otimes
## E_{\alpha}.$$
##
## Furthermore, for $u\in U$ we set $\Delta^2(u) = (\Delta\otimes 1)
## (\Delta(u))$,
## $\Delta^3(u) = (\Delta\otimes 1\otimes 1)(\Delta^2(u))$, etc.
## These formulas are used to make the tensor product of three, four, ...
## $U$-modules into a $U$-module. It is of course also possible to do this
## by using the tensor product for two $U$-modules.
##

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#O UseTwistedHopfStructure( , <f> )
##
## Use twisted Hopf structure, by the (anti-)automorphism <f>.
##
DeclareOperation( "UseTwistedHopfStructure", [ IsQuantumUEA,
 IsAlgebraHomomorphism, IsAlgebraHomomorphism ] );

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##
#A HopfStructureTwist( )
##
DeclareAttribute( "HopfStructureTwist", IsQuantumUEA );

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#O ComultiplicationMap( , <d> )
##
DeclareAttribute( "ComultiplicationMap", IsQuantumUEA );

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##
#C IsComultMap( <map> )
#C IsGenericCoMultMap( <map> )
#C IsInducedCoMultMap( <map> )
##
DeclareCategory( "IsCoMultMap", IsAlgebraHomomorphism );
DeclareCategory( "IsGenericCoMultMap", IsCoMultMap );
DeclareCategory( "IsInducedCoMultMap", IsCoMultMap );

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##
#A AntipodeMap( )
##
DeclareAttribute( "AntipodeMap", IsQuantumUEA );

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##
#A CounitMap( )
##
DeclareAttribute( "CounitMap", IsQuantumUEA );

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##
#C IsDualElement( )
##
## category of elements of a dual vector space.
##
DeclareCategory( "IsDualElement", IsVector and IsMapping and
 IsSPGeneralMapping );
DeclareCategoryCollections( "IsDualElement" );
DeclareCategoryFamily( "IsDualElement" );

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#F IsDualElementsSpace( <V> )
##
## Finite dimensional spaces of dual elements are handled by nice bases.
##
DeclareHandlingByNiceBasis( "IsDualElementsSpace",
 "for free left modules of dual elements" );

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##
#O DualSpace( <V> )
##
## The dual space of the vector space <V>.
##
DeclareOperation( "DualSpace", [ IsLeftModule ] );

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##
#A DualAlgebraModule( <V> )
##
## The dual module of the algebra module <V>.
##
DeclareAttribute( "DualAlgebraModule", IsAlgebraModule );

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##
#A TrivialAlgebraModule( )
##
## The trivial module over 
##
DeclareAttribute( "TrivialAlgebraModule", IsAlgebra );

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