Quelle  Universal.thy   Sprache: Isabelle

(*  Title:      HOL/HOLCF/Universal.thy
    Author:     Brian Huffman
*)

java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

theory
importsbasis_until_mono  assumes "\i a S b. \finite S; P (node i a S); b \ S; ubasis_le a b\ \ P b"
begin

unbundle no  shows "ubasis_le a b \ ubasis_le (ubasis_until P a) (ubasis_until P b)"


subsection \<open>Basis for universal domain\<close>

subsubsection  case (ubasis_le_trans a b c) thus ?case bynext

type_synonym ubasis = natnext

definition
  node    by (metis assms ubasis_le.simps
where
  "node i a apply (rule finite_subset [where B="java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 41 out of bounds for length 40

java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 5 out of bounds for length 5
unfolding node_def byjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

lemma java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
unfolding node_def by simpby (rule

lemma node_inject  "udom_principal t = Abs_udom {u. java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
  " ideal_completion ubasis_le udom_principal Rep_udom
    \<Longrightarrow> node i a S = node j b T \<longleftrightarrow> i = j \<and> a = b \<and> S = T"usingby (rule
unfoldingapply (inductapply (simp,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 4 out of bounds for length 4

lemma node_gt0by (rule
unfolding node_def less_Suc_eq_le
by typedef 'a compact_basis = "{x::'by auto

lemma node_gt1: "java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
unfolding node_def less_Suc_eq_leby (rule java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 21 out of bounds for length 0
  compact_le_def    "(\) \ (\x y. Rep_compact_basis x \ Rep_compact_basis y)"

lemma nat_less_power2:nstanceend
  by (factusing type_definition_compact_basisby (rule

lemma node_gt2  "approximants = (\x. {a. Rep_compact_basis a \ x})"
unfolding node_defdefinition
apply (rule  "compact_bot = Abs_compact_basis \"
applylemma Rep_compact_bot [simpunfolding compact_bot_def java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
apply (java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
apply (simp add: nat_less_power2 [THEN order_less_imp_le])
apply (erule sum_mono2, simp, simp)
done

lemma eq_prod_encode_pairI:
  "java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 85) out of bounds for length 30
  by  case     show ?case java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 4 out of bounds for length 4

lemma node_cases:
  assumes 1: "x = 0 \ P"
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 12 out of bounds for length 12
  shows "P"
 apply (cases x)
  apply    thus "(if x \ a then a else x) = y"
 apply (rule      apply (frule      apply (frule (1) x_eq      apply (rule below_antisym, assumption      apply simp      apply (erule (1)       done
where
 apply (simp add: node_def)
 apply (rule eq_prod_encode_pairI
lemma choose_lemma  "\finite A; A \ {}\ \ choose A \ {x\A. \y\A. x \ y \ x = y}"
done

lemma node_induct:
  assumesapply (ruleapply (frule (1) finite_has_maximaldone
  assumes 2: "\i a S. \P a; finite S; \b\S. P b\ \ P (node i a S)"
  shows "P xapply (frule (1) choose_lemma, simp)
 apply (lemma choose_in: "\finite A; A \ {}\ \ choose A \ A"
 apply (case_tacby (frule (1) choose_lemma
  apply (simp add: 1)
 apply (simp add: 2 node_gt1 node_gt2where  "choose_pos A x (if finite A \ x \ A \ x \ choose A
done


subsubsection

inductive
  ubasis_leapply (relation "measure (cardapply clarsimp
where assumptionapply (erule choose_inapply java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 4 out of bounds for length 4
  ubasis_le_refl  "\card A = n; finite A\ \ inj_on (choose_pos A) A"
| apply (induct n   apply simp
    " apply (frule (1) choose_in)
| ubasis_le_lower apply (apply (drule_tac x="A - apply (simp add: choose_pos.simps)
    "finite S \ ubasis_le a (node i a S)"
| ubasis_le_upper
    "\finite S; b \ S; ubasis_le a b\ \ ubasis_le (node i a S) b"

lemma ubasis_le_minimal: "ubasis_le 0 x"
apply (inductapply (induct n arbitraryapply simp apply (case_tac apply (fruleapply (subst choose_pos.simps)
apply (rule ubasis_le_refl)
apply simp
apply (done
done

interpretation udomlemma choose_pos_lessD  "\choose_pos A x < choose_pos A y; finite A; x \ A; y \ A\ \ x \ y"
apply standard
apply (rule ubasis_le_refl)
apply (erule apply (induct A x arbitrary: y rule apply simp apply (case_tac "x = choose A"  apply simp
done apply (case_tac "y = choose apply (simp add: choose_pos_choose)


subsubsection apply (erule  apply (simp add: done

function
  ubasis_until :: "java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
where
  "ubasis_until P| "cb_take (Suc n) = (| "cb_take (Suc n) = (\<lambda>a. Abs_compact_basis (approx n\<cdot>(Rep_compact_basis a)))"
|  "Rep_compact_basis (cb_take (Suc n) a)by (simp add: cb_take
apply (ruleapply (rule
   applylemma cb_take_less: "cb_take n x unfolding compact_le_def
   lemma cb_take_idem: "cb_take n (cb_take n x) = cb_take n x"
    apply simp_allby (cases n, simp
done

termination ubasis_untilunfolding compact_le_defby (cases n, java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
apply (relation "measure snd")
applyapply (subgoal_tac "range (cb_take 0) = {apply (rule finite_imageD [where f="Rep_compact_basis"])
apply (simp add: node_gt1)
doneapply (clarsimp simp addapply (ruleapply (rule inj_onIdone

lemma ubasis_until: java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 5 out of bounds for length 5

lemma ubasis_until
by (inductlemma compact_approx_rank: "cb_take (rank xunfolding rank_def

lemma ubasis_until_same
by (induct x rule: node_induct) simp_allapply (rule below_antisym [apply (subst compact_approx_rank [apply (erule cb_take_chain_ledone

java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 2 out of bounds for length 0
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
by (rule ubasis_until_same

lemma ubasis_until_0:
  "\x. x \ 0 \ \ P x \ ubasis_until P x = 0"
by (induct java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

lemma ubasis_until_less: "ubasis_le (ubasis_until java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 5 out of bounds for length 5
apply (java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 13) out of bounds for length 10
apply (simp 
  by (metisdefinition

lemma ubasis_until_chain:
  assumes  "rank_eq x = {y. rank y =
  shows "ubasis_le (ubasis_until P x) (ubasis_until Q x)"
apply (inductlemma rank_lt_cong: "rankunfolding rank_lt_def by simp
apply (simpunfolding rank_eq_def
  by (metisunfolding rank_lt_def

lemma ubasis_until_mono:
  assumesapply (ruleapply (erule rank_leD [symmetric])
  shows
prooflemma finite_rank_eq: "finite (rank_eq x)"
  casejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
next
  lemma rank_lt_Int_rank_eq: "rank_lt x \ rank_eq x = {}"
next
  case (ubasis_le_lowerjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    by (metis ubasis_le.simps ubasis_until.simps(2) ubasis_until_less)lemma rank_lt_Un_rank_eq: "rank_lt x \ rank_eq x = rank_le x"
next
  casesubsubsection \<open>Sequencing basis elements\<close>
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 10 out of bounds for length 10
qed

lemma finite_range_ubasis_until:
  "finite {x. P x} \ finite (range (ubasis_until P))"
apply (rule finite_subset [where B="insert 0 {x. P x}"])
apply (clarsimp simp add: ubasis_until')
apply simp
done


subsection \<open>Defining the universal domain by ideal completion\<close>

typedef udom  "place x = card (rank_lt x) + choose_pos (rank_eq x) x"
by (rulelemma place_bounded: "place x < card (rank_le x)"

instantiation  apply (rule add_strict_left_mono)
   apply (rule finite_rank_eq)

definition
  "x \ y \ Rep_udom x \ Rep_udom y"

instance ..
end

instance udom :: po  apply (rule  apply (simp add: java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 4 out of bounds for length 4
usinglemma place_rank_mono:
by (rule udom.typedef_ideal_po  shows "rank x < rank y \ place x < place y"

instance udomapply (rule order_transapply (rule card_monoapply (rule finite_rank_ltapply (simp add: rank_le_def rank_lt_def subset_eq)
using type_definition_udom below_udom_def apply (rule linorder_cases [where x="rank x" and   apply (drule place_rank_mono, simp  apply (simp add: place_def  apply (rule inj_on_choose_pos [where      apply (rule finite_rank_eq)
by (rule udomby (rule inj_onI

subsubsection \<open>Embedding and projection on basis elements\<close>
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 5 out of bounds for length 5
  "udom_principal tlemma rank_sub_less: "x \<noteq> compact_bot \<Longrightarrow> rank (sub x) < rank x"

lemmaapply (simpapply (rule rank_leIapply (ruledone
by (rule exIapply (ruleapply (eruledone

unfolding sub_def by (cases
  ideal_completion ubasis_le udom_principal Rep_udomunfoldingapply (cases "rank y",apply (simp apply (subgoal_tac "cb_take nat
using type_definition_udom below_udom_def  where "basis_emb x = (if x = compact_bot then 0 else
using udom_principal_def ubasis_countable
by (ruletermination   by (relation "measure place

text

lemma  "basis_emb compact_bot = 0"
apply (induct x rule
apply (simp  "basis_emb x = node (place x) (basis_emb (sub x)) (basis_emb ` {y. place y < place x if "x \<noteq> compact_bot"
done

instance udom :: pcpo
by intro_classes

lemma inst_udom_pcpo: "\ = udom_principal 0"
by (rule udom_minimal [THEN bottomI  by (cases "x = compact_bot") (simp_all add: basis_emb_rec


subsection \<open>Compact bases of domains\<close>apply (rule finite_Intapply (rule disjI1apply (subgoal_tac "finite (apply (rule finite_vimageI [OF _ inj_place])

typedef 'aby (rule finite_imageI [OF fin1])
by auto  "\place x < place y; x \ y\ \ rank x < rank y"

lemma applyapplyapply (ruleapply (simpapply (simp apply simp
by (rule

lemma Abs_compact_basis_inverse' "x \ y \ ubasis_le (basis_emb x) (basis_emb y)"
   "compact x \ Rep_compact_basis (Abs_compact_basis x) = x"
by (rule    assume "place x < < rank y"

instantiation    with \<open>place x < place y\<close> show ?case
begin

definition      apply (rule ubasis_le_trans      apply (rule        apply (simp add: less_max_iff_disj)
      done
      next

instance ..
    hence "x = y" by (rule    thus ?case by (simp  next

instance compact_basis :: (pcpo      apply (case_tac "x = compact_bot", simp add      apply (simp add: basis_emb.simps [of      apply (rule ubasis_le_upper      apply       apply (simp add       apply (erule place_sub_less      apply (erule rev_below_trans      apply (rule      done
using type_definition_compact_basisqed
by (java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 10 out of bounds for length 10

definition    (ubasis_until (\<lambda>x. x \<in> range (basis_emb :: 'a compact_basis \<Rightarrow> ubasis)) x)"
  approximants
  "approximants = (\x. {a. Rep_compact_basis a \ x})"

definition
   apply (subst ubasis_until_same)
  "compact_bot = Abs_compact_basis \"

lemma Rep_compact_botdone
unfolding compact_bot_def lemma basis_prj_node:

lemma compact_bot_minimal    \<Longrightarrow> basis_prj (node i a S) = (basis_prj a :: 'a compact_basis)"
unfolding compact_le_defapply (subst basis_emb_compact_bot [symmetric])


subsection \<open>Universality of \emph{udom}\<close>

textapply (cases "x = compact_bot", simpapply (simp add: basis_embapply (simp add: fin2done
of approx functionsproof (induct a b refl a) show ?case by (rulenext

locale bifinite_approx_chain  case (ubasis_le_lower S a i) thus    apply (cases "node i a S \ range (basis_emb :: 'a compact_basis \ nat)")
     apply (simp add: basis_prj_basis_emb)
begin


subsubsection     apply (rule sub_below)

lemma finite_has_maximal:
  fixes A :: "'a case (ubasis_le_upper S b a i) thus ?case
  shows     apply (erule rangeE     apply (simp add     apply (clarsimp simp add: node_eq_basis_emb_iff     apply (simp add: basis_prj_basis_emb    apply (simp add: basis_prj_node)
proof (induct rule: finite_ne_induct)
  case (singleton x)
    show ?case by simp
next
  case (insert a A)
  from \<open>\<exists>x\<in>A. \<forall>y\<in>A. x \<sqsubseteq> y \<longrightarrow> x = y\<close>
  obtain x where x:   apply (rule ubasis_until)
  apply simp
  show ?case
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    fix y
      show "below.ideal (approximants w)"
    thus "(if x \ a then a else x) = y"
      apply auto    thus "\x. x \ approximants w" ..
      apply (frule (1) below_trans)
      apply (frule (1) x_eq)
      apply (rule    obtain i where i: "approx i\(Rep_compact_basis x) = Rep_compact_basis x"
          obtain j where j: "approx j\(Rep_compact_basis y) = Rep_compact_basis y"
      apply (erule (    let ?z = "Abs_compact_basis (approx (max i j)\w)"
      done
  next
    show "(if by (simp add: approximants_def compact_le_def)
      by (simp add    ultimately show "\z \ approximants w. x \ z \ y \ z" ..
  qed
qed

definition
  choose :: "'a approximants_def compact_le_def
where
  "choose A = (SOME x. x \ {x\A. \y\A. x \ y \ x = y})"

lemma java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 10 out of bounds for length 5
  "\finite A; A \ {}\ \ choose A \ {x\A. \y\A. x \ y \ x = y}"
unfolding choose_def
apply (rule someI_ex)next
apply (frule (1) nts (Rep_compact_basis a) = {b. b \<sqsubseteq> a}"
done  fix x y :: "'a"

lemma maximal_choose:
  "\finite A; y \ A; choose A \ y\ \ choose A = y"
apply (cases "A = approximants_def subset_eq)
apply (frule       (metis Abs_compact_basis_inverse')
done

lemma choose_in: "\finite A; A \ {}\ \ choose A \ A"
by  by (simp addnext

function
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
where
  "choose_pos A x =
    (if    using bifinite  hence "bifinite_approx_chain a unfolding bifinite_approx_chain_def .
      then Sucqed
by auto

termination choose_pos
apply (relation context bifinite_approx_chain begin
apply clarsimp
apply (rule card_Diff1_less)
apply assumption
apply (erule choose_in)
apply clarsimp
done

declare  udom_prj :: "udom \ 'a"

lemma choose_pos_choose: "finite A \ choose_pos A (choose A) = 0"
by (simp add: choose_pos.simpslemma udom_emb_principal:

lemma inj_on_choose_pos [OF refl]:
  "\card A = n; finite A\ \ inj_on (choose_pos A) A"
 apply (inductapply (rule compact_basis.extension_principalapply (rule udom.principal_monoapply (erule basis_emb_mono)
  apply simplemma udom_prj_principal:
 apply (case_tac "A = {}", simp)
 apply (fruleapply (rule udom.extension_principal)apply (rule compact_basis.principal_mono)
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 4 out of bounds for length 4
 apply (drule_tac apply standard
 apply (simp  apply (rule compact_basis.principal_induct, simp)
 apply (simp split  apply (simp add: basis_prj_basis_emb)
  apply (simp add: udom_emb_principal udom_prj_principal)
done

lemma choose_pos_bounded [OF reflend
  "\card A = n; finite A; x \ A\ \ choose_pos A x < n"
apply (induct n arbitrary: A)
apply simp
 apply (case_tac "A java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
 apply (frulejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
apply (substsubsection \<open>Chain of approx functions for type \emph{udom}\<close>
apply simp
done

lemma   "udom_approx i =
  "\choose_pos A x < choose_pos A y; finite A; x \ A; y \ A\ \ x \ y"
 apply (inductlemma udom_approx_mono:
 apply simp
 apply (case_tac "x = choose A")
  apply simp
  apply (rule notI)
  apply (frule (2) maximal_chooseapply (ruleapply (frule (2) order_less_le_trans [OF node_gt2apply (erule order_less_imp_le)
  apply simp
 apply (case_tac "y = choose Ak>cont f; finite S\ \ adm (\x. f x \ S)"
  apply (simp add: choose_pos_chooseby (erule adm_subst, induct set: finite, java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
 apply (drule_tacunfolding udom_approx_def
apply (erule udom_approx_mono)
 apply (erule meta_mp)
 apply (simp lemma finite_deflation_udom_approx: "finite_deflation (udom_approx i)"
done


subsubsection \<open>Compact basis take function\<close>    by (induct x rule: udom.principal_induct       (simp add: udom_approx_principal ubasis_until_idem)

primrec
  cb_take :: "nat \ 'a compact_basis \ 'a compact_basis" where
  "cb_take 0 = (java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 19) out of bounds for length 4
| "cb_take (Suc n) = (\a. Abs_compact_basis (approx n\(Rep_compact_basis a)))"

declare    done

lemma cb_take_zero [simp]: "cb_take 0 a apply (rule finite_range_imp_finite_fixes)
by (simp    apply (rule rev_finite_subset [OF *])

lemma Rep_cb_take:
  " apply (simp add: adm_mem_finitejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
by (simp add.simps())

lemmas     done

lemma cb_take_covers: "\n. cb_take n x = x"
apply (subgoal_tac udom_approx: finite_deflation "
apply (simp add: Rep_compact_basis_inject [symmetric])
apply (simp add: Rep_cb_take)
apply (rule compact_eq_approx)
apply (rule Rep_compact_basis')
done

lemma cb_take_less: "cb_take n x \ x"
unfolding compact_le_def
by

cb_take_idem  cb_takecb_take
unfolding Rep_compact_basis_inject [symmetric]
by (cases n, simp( chainI

ke_mono:"x\ y \ cb_take n x \ cb_take n y"
unfolding compact_le_def
by ( n, simp add Rep_cb_take)

lemma : "m\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 91 out of bounds for length 91
unfoldingjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 24 out of bounds for length 24
apply ( m, simp n, )
apply (simp add: Rep_cb_take,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 4 out of bounds for length 4
done

lemma finite_range_cb_take: "finite (range (cb_take n))"
apply(ases
apply (subgoal_tac "range (apply (rule cfun_eqI, simp : contlub_cfun_fun)
apply (rule [where""])
apply (rule finite_subset [where B="apply(rule lub_below)
apply (clarsimp simp()
apply (rule finite_range_approx)
apply ( inj_onI, simp add Rep_compact_basis_inject
done


subsubsection \<open>Rank of basis elements\<close>

definition
  rank :: "'a compact_basis \ nat"
where
  "ank = (LEAST n. cb_taken x"

lemma compact_approx_rank: "cb_take (rank x) x = x"
unfolding rank_def
apply (rule java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 20 out of bounds for length 10
apply ( cb_take_covers
done

lemma : " x \ n \ cb_take n x = x"
apply (rule below_antisymdone
apply (subst compact_approx_rank [symmetric])
 ( cb_take_chain_le
done

lemma   show (\<lambda>i. udom_approx i)"
 rank_def rule)

lemma rank_le_iff:   "(\i. udom_approx i) = ID"
by ( iffIOF  rank_leI

lemmajava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 3 out of bounds for length 3
using rank_leI [of 0 compact_bot udom: bifinite

lemmarank_eq_0_iff]: "rank =0\ x = compact_bot"
using rank_le_iff [of x 0] by auto

definition
  rank_le :: "'hide_const (open) node
where
  "rank_le x = {y.unbundle binomial_syntax

definition
  rank_lt: 'acompact_basis\ 'a compact_basis set"
where
  "rank_lt x = {y. rank y < rank x}"

definition
  rank_eq :: "'a compact_basis \ 'a compact_basis set"
where
  "rank_eq x = {y. rank y = rank x}"

lemma rank_eq_cong: "rank x = rank y \ rank_eq x = rank_eq y"
unfolding rank_eq_def by simp

lemma rank_lt_cong: "rank x = rank y \ rank_lt x = rank_lt y"
unfolding rank_lt_def by simp

lemma rank_eq_subset: "rank_eq x \ rank_le x"
unfolding rank_eq_def rank_le_def by auto

lemma rank_lt_subset: "rank_lt x \ rank_le x"
unfolding rank_lt_def rank_le_def by auto

lemma finite_rank_le: "finite (rank_le x)"
unfolding rank_le_def
apply (rule finite_subset [where B="range (cb_take (rank x))"])
apply clarify
apply (rule range_eqI)
apply (erule rank_leD [symmetric])
apply (rule finite_range_cb_take)
done

lemma finite_rank_eq: "finite (rank_eq x)"
by (rule finite_subset [OF rank_eq_subset finite_rank_le])

lemma finite_rank_lt: "finite (rank_lt x)"
by (rule finite_subset [OF rank_lt_subset finite_rank_le])

lemma rank_lt_Int_rank_eq: "rank_lt x \ rank_eq x = {}"
unfolding rank_lt_def rank_eq_def rank_le_def by auto

lemma rank_lt_Un_rank_eq: "rank_lt x \ rank_eq x = rank_le x"
unfolding rank_lt_def rank_eq_def rank_le_def by auto


subsubsection \<open>Sequencing basis elements\<close>

definition
  place :: "'a compact_basis \ nat"
where
  "place x = card (rank_lt x) + choose_pos (rank_eq x) x"

lemma place_bounded: "place x < card (rank_le x)"
unfolding place_def
 apply (rule ord_less_eq_trans)
  apply (rule add_strict_left_mono)
  apply (rule choose_pos_bounded)
   apply (rule finite_rank_eq)
  apply (simp add: rank_eq_def)
 apply (subst card_Un_disjoint [symmetric])
    apply (rule finite_rank_lt)
   apply (rule finite_rank_eq)
  apply (rule rank_lt_Int_rank_eq)
 apply (simp add: rank_lt_Un_rank_eq)
done

lemma place_ge: "card (rank_lt x) \ place x"
unfolding place_def by simp

lemma place_rank_mono:
  fixes x y :: "'a compact_basis"
  shows "rank x < rank y \ place x < place y"
apply (rule less_le_trans [OF place_bounded])
apply (rule order_trans [OF _ place_ge])
apply (rule card_mono)
apply (rule finite_rank_lt)
apply (simp add: rank_le_def rank_lt_def subset_eq)
done

lemma place_eqD: "place x = place y \ x = y"
 apply (rule linorder_cases [where x="rank x" and y="rank y"])
   apply (drule place_rank_mono, simp)
  apply (simp add: place_def)
  apply (rule inj_on_choose_pos [where A="rank_eq x", THEN inj_onD])
     apply (rule finite_rank_eq)
    apply (simp cong: rank_lt_cong rank_eq_cong)
   apply (simp add: rank_eq_def)
  apply (simp add: rank_eq_def)
 apply (drule place_rank_mono, simp)
done

lemma inj_place: "inj place"
by (rule inj_onI, erule place_eqD)


subsubsection \<open>Embedding and projection on basis elements\<close>

definition
  sub :: "'a compact_basis \ 'a compact_basis"
where
  "sub x = (case rank x of 0 \<Rightarrow> compact_bot | Suc k \<Rightarrow> cb_take k x)"

lemma rank_sub_less: "x \ compact_bot \ rank (sub x) < rank x"
unfolding sub_def
apply (cases "rank x", simp)
apply (simp add: less_Suc_eq_le)
apply (rule rank_leI)
apply (rule cb_take_idem)
done

lemma place_sub_less: "x \ compact_bot \ place (sub x) < place x"
apply (rule place_rank_mono)
apply (erule rank_sub_less)
done

lemma sub_below: "sub x \ x"
unfolding sub_def by (cases "rank x", simp_all add: cb_take_less)

lemma rank_less_imp_below_sub: "\x \ y; rank x < rank y\ \ x \ sub y"
unfolding sub_def
apply (cases "rank y", simp)
apply (simp add: less_Suc_eq_le)
apply (subgoal_tac "cb_take nat x \ cb_take nat y")
apply (simp add: rank_leD)
apply (erule cb_take_mono)
done

function basis_emb :: "'a compact_basis \ ubasis"
  where "basis_emb x = (if x = compact_bot then 0 else
    node (place x) (basis_emb (sub x))
      (basis_emb ` {y. place(*  Title:      HOL/HOLCF/Universal.thy
  by simp_all

termination basis_emb
  by (relation "measure place") (simp_all add: place_sub_less)

declare basis_emb.simps [simp del]

lemma basis_emb_compact_bot [simp]:
  "basis_emb compact_bot = 0"
  using basis_emb.simps [of compact_bot] by simp

lemma basis_emb_rec:
  "basis_emb x = node (place x) (basis_emb (sub x)) (basis_emb ` {y. place y < place x \<and> x \<sqsubseteq> y})"
  if "x \<noteq> compact_bot"
  using that basis_emb.simps [of x] by simp

lemma basis_emb_eq_0_iff [simp]:
  "basis_emb x = 0 \<longleftrightarrow> x = compact_bot"
  by (cases "x = compact_bot") (simp_all add: basis_emb_rec)

lemma fin1: "finite {y. place y < place x \<and> x \<sqsubseteq> y}"
apply (subst Collect_conj_eq)
apply (rule finite_Int)
apply (rule disjI1)
apply (subgoal_tac "finite (place -` {n. n < place x})", simp)
apply (rule finite_vimageI [OF _ inj_place])
apply (simp add: lessThan_def [symmetric])
done

lemma fin2: "finite (basis_emb ` {y. place y < place x \<and> x \<sqsubseteq> y})"
by (rule finite_imageI [OF fin1])

lemma rank_place_mono:
  "\<lbrakk>place x < place y; x \<sqsubseteq> y\<rbrakk> \<Longrightarrow> rank x < rank y"
apply (rule linorder_cases, assumption)
apply (simp add: place_def cong: rank_lt_cong rank_eq_cong)
apply (drule choose_pos_lessD)
apply (rule finite_rank_eq)
apply (simp add: rank_eq_def)
apply (simp add: rank_eq_def)
apply simp
apply (drule place_rank_mono, simp)
done

lemma basis_emb_mono:
  "x \<sqsubseteq> y \<Longrightarrow> ubasis_le (basis_emb x) (basis_emb y)"
proof (induct "max (place x) (place y)" arbitrary: x y rule: less_induct)
  case less
  show ?case proof (rule linorder_cases)
    assume "place x < place y"
    then have "rank x < rank y"
      using \<open>x \<sqsubseteq> y\<close> by (rule rank_place_mono)
    with \<open>place x < place y\<close> show ?case
      apply (case_tac "y = compact_bot", simp)
      apply (simp add: basis_emb.simps [of y])
      apply (rule ubasis_le_trans [OF _ ubasis_le_lower [OF fin2]])
      apply (rule less)
       apply (simp add: less_max_iff_disj)
       apply (erule place_sub_less)
      apply (erule rank_less_imp_below_sub [OF \<open>x \<sqsubseteq> y\<close>])
      done
  next
    assume "place x = place y"
    hence "x = y" by (rule place_eqD)
    thus ?case by (simp add: ubasis_le_refl)
  next
    assume "place x > place y"
    with \<open>x \<sqsubseteq> y\<close> show ?case
      apply (case_tac "x = compact_bot", simp add: ubasis_le_minimal)
      apply (simp add: basis_emb.simps [of x])
      apply (rule ubasis_le_upper [OF fin2], simp)
      apply (rule less)
       apply (simp add: less_max_iff_disj)
       apply (erule place_sub_less)
      apply (erule rev_below_trans)
      apply (rule sub_below)
      done
  qed
qed

lemma inj_basis_emb: "inj basis_emb"
proof (rule injI)
  fix x y
  assume "basis_emb x = basis_emb y"
  then show "x = y"
    by (cases "x = compact_bot \<or> y = compact_bot") (auto simp add: basis_emb_rec fin2 place_eqD)
qed

definition
  basis_prj :: "ubasis \<Rightarrow> 'a compact_basis"
where
  "basis_prj x = inv basis_emb
    (ubasis_until (\<lambda>x. x \<in> range (basis_emb :: 'a compact_basis \<Rightarrow> ubasis)) x)"

lemma basis_prj_basis_emb: "\<And>x. basis_prj (basis_emb x) = x"
unfolding basis_prj_def
 apply (subst ubasis_until_same)
  apply (rule rangeI)
 apply (rule inv_f_f)
 apply (rule inj_basis_emb)
done

lemma basis_prj_node:
  "\<lbrakk>finite S; node i a S \<notin> range (basis_emb :: 'a compact_basis \<Rightarrow> nat)\<rbrakk>
    \<Longrightarrow> basis_prj (node i a S) = (basis_prj a :: 'a compact_basis)"
unfolding basis_prj_def by simp

lemma basis_prj_0: "basis_prj 0 = compact_bot"
apply (subst basis_emb_compact_bot [symmetric])
apply (rule basis_prj_basis_emb)
done

lemma node_eq_basis_emb_iff:
  "finite S \<Longrightarrow> node i a S = basis_emb x \<longleftrightarrow>
    x \<noteq> compact_bot \<and> i = place x \<and> a = basis_emb (sub x) \<and>
        S = basis_emb ` {y. place y < place x \<and> x \<sqsubseteq> y}"
apply (cases "x = compact_bot", simp)
apply (simp add: basis_emb.simps [of x])
apply (simp add: fin2)
done

lemma basis_prj_mono: "ubasis_le a b \<Longrightarrow> basis_prj a \<sqsubseteq> basis_prj b"
proof (induct a b rule: ubasis_le.induct)
  case (ubasis_le_refl a) show ?case by (rule below_refl)
next
  case (ubasis_le_trans a b c) thus ?case by - (rule below_trans)
next
  case (ubasis_le_lower S a i) thus ?case
    apply (cases "node i a S \<in> range (basis_emb :: 'a compact_basis \<Rightarrow> nat)")
     apply (erule rangeE, rename_tac x)
     apply (simp add: basis_prj_basis_emb)
     apply (simp add: node_eq_basis_emb_iff)
     apply (simp add: basis_prj_basis_emb)
     apply (rule sub_below)
    apply (simp add: basis_prj_node)
    done
next
  case (ubasis_le_upper S b a i) thus ?case
    apply (cases "node i a S \<in> range (basis_emb :: 'a compact_basis \<Rightarrow> nat)")
     apply (erule rangeE, rename_tac x)
     apply (simp add: basis_prj_basis_emb)
     apply (clarsimp simp add: node_eq_basis_emb_iff)
     apply (simp add: basis_prj_basis_emb)
    apply (simp add: basis_prj_node)
    done
qed

lemma basis_emb_prj_less: "ubasis_le (basis_emb (basis_prj x)) x"
unfolding basis_prj_def
 apply (subst f_inv_into_f [where f=basis_emb])
  apply (rule ubasis_until)
  apply (rule range_eqI [where x=compact_bot])
  apply simp
 apply (rule ubasis_until_less)
done

lemma ideal_completion:
  "ideal_completion below Rep_compact_basis (approximants :: 'a \<Rightarrow> _)"
proof
  fix w :: "'a"
  show "below.ideal (approximants w)"
  proof (rule below.idealI)
    have "Abs_compact_basis (approx 0\<cdot>w) \<in> approximants w"
      by (simp add: approximants_def approx_below)
    thus "\<exists>x. x \<in> approximants w" ..
  next
    fix x y :: "'a compact_basis"
    assume x: "x \<in> approximants w" and y: "y \<in> approximants w"
    obtain i where i: "approx i\<cdot>(Rep_compact_basis x) = Rep_compact_basis x"
      using compact_eq_approx Rep_compact_basis' by fast
    obtain j where j: "approx j\<cdot>(Rep_compact_basis y) = Rep_compact_basis y"
      using compact_eq_approx Rep_compact_basis' by fast
    let ?z = "Abs_compact_basis (approx (max i j)\<cdot>w)"
    have "?z \<in> approximants w"
      by (simp add: approximants_def approx_below)
    moreover from x y have "x \<sqsubseteq> ?z \<and> y \<sqsubseteq> ?z"
      by (simp add: approximants_def compact_le_def)
         (metis i j monofun_cfun chain_mono chain_approx max.cobounded1 max.cobounded2)
    ultimately show "\<exists>z \<in> approximants w. x \<sqsubseteq> z \<and> y \<sqsubseteq> z" ..
  next
    fix x y :: "'a compact_basis"
    assume "x \<sqsubseteq> y" "y \<in> approximants w" thus "x \<in> approximants w"
      unfolding approximants_def compact_le_def
      by (auto elim: below_trans)
  qed
next
  fix Y :: "nat \<Rightarrow> 'a"
  assume "chain Y"
  thus "approximants (\<Squnion>i. Y i) = (\<Union>i. approximants (Y i))"
    unfolding approximants_def
    by (auto simp add: compact_below_lub_iff)
next
  fix a :: "'a compact_basis"
  show "approximants (Rep_compact_basis a) = {b. b \<sqsubseteq> a}"
    unfolding approximants_def compact_le_def ..
next
  fix x y :: "'a"
  assume "approximants x \<subseteq> approximants y"
  hence "\<forall>z. compact z \<longrightarrow> z \<sqsubseteq> x \<longrightarrow> z \<sqsubseteq> y"
    by (simp add: approximants_def subset_eq)
       (metis Abs_compact_basis_inverse')
  hence "(\<Squnion>i. approx i\<cdot>x) \<sqsubseteq> y"
    by (simp add: lub_below approx_below)
  thus "x \<sqsubseteq> y"
    by (simp add: lub_distribs)
next
  show "\<exists>f::'a compact_basis \<Rightarrow> nat. inj f"
    by (rule exI, rule inj_place)
qed

end

interpretation compact_basis:
  ideal_completion below Rep_compact_basis
    "approximants :: 'a::bifinite \<Rightarrow> 'a compact_basis set"
proof -
  obtain a :: "nat \<Rightarrow> 'a \<rightarrow> 'a" where "approx_chain a"
    using bifinite ..
  hence "bifinite_approx_chain a"
    unfolding bifinite_approx_chain_def .
  thus "ideal_completion below Rep_compact_basis (approximants :: 'a \<Rightarrow> _)"
    by (rule bifinite_approx_chain.ideal_completion)
qed


subsubsection \<open>EP-pair from any bifinite domain into \emph{udom}\<close>

context bifinite_approx_chain begin

definition
  udom_emb :: "'a \<rightarrow> udom"
where
  "udom_emb = compact_basis.extension (\<lambda>x. udom_principal (basis_emb x))"

definition
  udom_prj :: "udom \<rightarrow> 'a"
where
  "udom_prj = udom.extension (\<lambda>x. Rep_compact_basis (basis_prj x))"

lemma udom_emb_principal:
  "udom_emb\<cdot>(Rep_compact_basis x) = udom_principal (basis_emb x)"
unfolding udom_emb_def
apply (rule compact_basis.extension_principal)
apply (rule udom.principal_mono)
apply (erule basis_emb_mono)
done

lemma udom_prj_principal:
  "udom_prj\<cdot>(udom_principal x) = Rep_compact_basis (basis_prj x)"
unfolding udom_prj_def
apply (rule udom.extension_principal)
apply (rule compact_basis.principal_mono)
apply (erule basis_prj_mono)
done

lemma ep_pair_udom: "ep_pair udom_emb udom_prj"
 apply standard
  apply (rule compact_basis.principal_induct, simp)
  apply (simp add: udom_emb_principal udom_prj_principal)
  apply (simp add: basis_prj_basis_emb)
 apply (rule udom.principal_induct, simp)
 apply (simp add: udom_emb_principal udom_prj_principal)
 apply (rule basis_emb_prj_less)
done

end

abbreviation "udom_emb \<equiv> bifinite_approx_chain.udom_emb"
abbreviation "udom_prj \<equiv> bifinite_approx_chain.udom_prj"

lemmas ep_pair_udom =
  bifinite_approx_chain.ep_pair_udom [unfolded bifinite_approx_chain_def]


subsection \<open>Chain of approx functions for type \emph{udom}\<close>

definition
  udom_approx :: "nat \<Rightarrow> udom \<rightarrow> udom"
where
  "udom_approx i =
    udom.extension (\<lambda>x. udom_principal (ubasis_until (\<lambda>y. y \<le> i) x))"

lemma udom_approx_mono:
  "ubasis_le a b \<Longrightarrow>
    udom_principal (ubasis_until (\<lambda>y. y \<le> i) a) \<sqsubseteq>
    udom_principal (ubasis_until (\<lambda>y. y \<le> i) b)"
apply (rule udom.principal_mono)
apply (rule ubasis_until_mono)
apply (frule (2) order_less_le_trans [OF node_gt2])
apply (erule order_less_imp_le)
apply assumption
done

lemma adm_mem_finite: "\<lbrakk>cont f; finite S\<rbrakk> \<Longrightarrow> adm (\<lambda>x. f x \<in> S)"
by (erule adm_subst, induct set: finite, simp_all)

lemma udom_approx_principal:
  "udom_approx i\<cdot>(udom_principal x) =
    udom_principal (ubasis_until (\<lambda>y. y \<le> i) x)"
unfolding udom_approx_def
apply (rule udom.extension_principal)
apply (erule udom_approx_mono)
done

lemma finite_deflation_udom_approx: "finite_deflation (udom_approx i)"
proof
  fix x show "udom_approx i\<cdot>(udom_approx i\<cdot>x) = udom_approx i\<cdot>x"
    by (induct x rule: udom.principal_induct, simp)
       (simp add: udom_approx_principal ubasis_until_idem)
next
  fix x show "udom_approx i\<cdot>x \<sqsubseteq> x"
    by (induct x rule: udom.principal_induct, simp)
       (simp add: udom_approx_principal ubasis_until_less)
next
  have *: "finite (range (\<lambda>x. udom_principal (ubasis_until (\<lambda>y. y \<le> i) x)))"
    apply (subst range_composition [where f=udom_principal])
    apply (simp add: finite_range_ubasis_until)
    done
  show "finite {x. udom_approx i\<cdot>x = x}"
    apply (rule finite_range_imp_finite_fixes)
    apply (rule rev_finite_subset [OF *])
    apply (clarsimp, rename_tac x)
    apply (induct_tac x rule: udom.principal_induct)
    apply (simp add: adm_mem_finite *)

    
qed

interpretation:  "udom_approx i"
by ( apply ( : A)

emma[]: "chain (\i. udom_approx i)"
unfolding frule)
apply rule)
apply( .)
apply( udom_approx_mono
apply ( udom_approx_mono
apply (rule.)
apply (
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 4 out of bounds for length 4

]:"\i. udom_approx i) = ID"
apply  subst.)
apply (rule
apply ( lub_below
apply (simp)
apply (rule.below
apply (rule_tacinudom)
applyapply( notI
apply (rule_tac i=   java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 12 out of bounds for length 12
apply simp
apply (simp:)
apply ( add ubasis_le_refl
done

lemma java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
proof
  "chain\i. udom_approx i)"
    byrule)
  show "(\i. udom_approx i) = ID"
    by (rulelemmacb_take_zero []: "cb_take a =compact_bot"
qed

instance: 
by (fast: udom_approx

hide_const

unbundle

end

quality99%

¤ Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.0.21Bemerkung:  (vorverarbeitet)  ¤

*© Formatika GbR, Deutschland