Quelle path_ops.pvs Sprache: PVS

path_ops[T: TYPE]: THEORY
BEGIN

   IMPORTING paths[T], subgraphs[T], sep_sets[T], graph_ops[T]

   G: VAR graph[T]
   u,v,s,t,yt: VAR T
   e: VAR doubleton[T]
   W,V: VAR finite_set[T]
   w,w1,p,p1,q,q1: VAR prewalk

   walk?_del_vert     : LEMMA walk?(del_vert(G, v), w) IMPLIES walk?[T](G, w)

   walk?_del_vert_not : LEMMA walk?(G, w) AND NOT verts_of(w)(v)
                                          IMPLIES walk?(del_vert(G, v), w)

   path?_del_vert     : LEMMA FORALL (w: prewalk): path?(del_vert(G, v), w)
                                                       IMPLIES path?[T](G, w)

   path?_del_verts    : LEMMA FORALL (w: prewalk): path?(del_verts(G, W), w)
                                                       IMPLIES path?[T](G, w)


   IMPORTING walk_inductions[T],path_circ[T]

   walk_to_path      : LEMMA (EXISTS (w: prewalk): walk_from?(G,w,s,t)) IMPLIES
                                 (EXISTS (p: prewalk): path?(G,p) AND
                                                   walk_from?(G,p,s,t))

   walk_to_path_less      : LEMMA  walk_from?(G,w,s,t) IMPLIES
                                 (EXISTS (p: prewalk): path?(G,p) AND
                                                   walk_from?(G,p,s,t)and length(p)<=length(w))

   walk_to_path_from : LEMMA walk_from?(G,w,s,t) IMPLIES
                                 (EXISTS (p: prewalk): path_from?(G,p,s,t))

   walk_to_path_from_less : LEMMA walk_from?(G,w,s,t) IMPLIES
                                 (EXISTS (p: prewalk): path_from?(G,p,s,t) AND
                                                       length(p)<=length(w))

% More lemmas to aid in Menger and other advanced theories.

   path_disjoint: LEMMA u /= yt AND path_from?(G, p, u, yt)
                                AND path_from?(G, q, yt, v)
                                AND empty?(intersection(verts_of(trunc1(p)),verts_of(q)))
                        IMPLIES path_from?(G,trunc1(p) o q,u,v)

END path_ops

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