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% Heine-Borel for the real topology
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%     Author: David Lester, Manchester University
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% All references are to WA Sutherland "Introduction to Metric and
% Topological Spaces", OUP, 1981
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%     Version 1.0            17/08/07  Initial Version
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% Notes: The statement of the theorem is capable of considerable
%        generalization. I just need a result for the reals now.
%        I suspect that the generalized proof is probably easier too.
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%        It isn't (easier)! The result is in metric_space, lemma
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%          compact_is_complete_totally_bounded
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heine_borel_scaf: THEORY

BEGIN

  IMPORTING real_topology,
            reals@bounded_reals[real]

  a,b,x: VAR real
  U,C:   VAR setofsets[real]

  heine_borel_aux: THEOREM
    a <= b AND every(open?,C) AND
    open_cover?(C,{x| a <= x AND x <= b},metric_induced_topology) =>
    EXISTS U: subset?(U,C) AND is_finite(U) AND
               subset?({x| a <= x AND x <= b},Union(U))

END heine_borel_scaf

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