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Datei: majority_seq.pvs Sprache: PVS

Original von: PVS^©

majority_seq[T: NONEMPTY_TYPE]: THEORY
%------------------------------------------------------------------------
%
%  majority (basic definitions and properties)
%  -------------------------------------------
%
%      Author: Ricky W. Butler
%
%  This theory defines the majority function over a finite sequence of
%  values.  The following functions are defined:
%
%           is_majority(mv,fs) -- predicate that is true IFF mv is
%                                 the majority value of the sequence
%
%           maj_exists(fs)     -- predicate that us true IFF a majority
%                                 exists
%
%           maj(fs)            -- function that returns the majority value
%                                 if a majority exists.  If a majority does
%                                 not exist, the function returns an
%                                 unspecified value from the type T.
%                                 This value may not be in the sequence.
%
%           inseq(x,fs)        -- predicate that is true IFF x is in
%                                 the sequence
%
%   Note: the following function can be defined that will return
%   a value from the sequence if a majority does not exist.
%
%     finseq: TYPE = {fs | length(fs) > 0}
%
%     fsq: VAR finseq
%     Maj(fsq): {x: T | in_seq(x,fsq)} = IF maj_exists(fsq) THEN maj(fsq)
%                                        ELSE choose({x: T | in_seq(x,fsq)})
%                                        ENDIF
%
%------------------------------------------------------------------------

BEGIN

  IMPORTING seqs[T], finite_sets@finite_sets_below

  fs: VAR finite_sequence[T]
  mv, mv1, mv2, x: VAR T

  is_majority(mv: T, fs): bool =
       2*card({i: below(length(fs)) | seq(fs)(i) = mv}) > length(fs)

  maj_exists(fs): bool = (EXISTS (mv: T): is_majority(mv,fs))

  maj(fs): {mv | maj_exists(fs) => is_majority(mv,fs)}

  in_seq(x,fs): bool = (EXISTS (i: below(length(fs))): seq(fs)(i) = x)

  is_majority_unique: LEMMA is_majority(mv1,fs) AND is_majority(mv2,fs)
                            IMPLIES mv1 = mv2

  maj_lem:            LEMMA is_majority(mv,fs) IFF
                            maj_exists(fs) AND maj(fs) = mv

  maj_subset:         LEMMA   (EXISTS (A: finite_set[below(length(fs))]):
                               2*card(A) > length(fs)
                               AND (FORALL (i: below(length(fs))): A(i)
                                              IMPLIES seq(fs)(i) = mv))
                            IMPLIES is_majority(mv,fs)

  maj_in_seq:         LEMMA is_majority(mv,fs) IMPLIES in_seq(mv,fs)

% ===================== Some Special Sequences ===================

  f1: VAR [below[1] -> T]

  length_eq_1: LEMMA maj( (# length := 1, seq := f1 #) ) = f1(0)

  n: VAR posnat
  c: VAR T

%  const_seq(n,c): finite_sequence[T] = (# length := n,
%                           seq := (LAMBDA (i: below(n)): c) #)

  is_majority_const: LEMMA is_majority(c, const_seq(n,c))

  maj_const:         LEMMA maj_exists(const_seq(n,c)) AND
                           maj(const_seq(n,c)) = c

END majority_seq

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