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Datei: basis_2D.pvs Sprache: PVS

Original von: PVS^©

basis_2D: THEORY
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%     Orthonormal Basis for 2D Vectors      3-4-2010
%
%     Authors: Anthony Narkawicz     NASA Langley
%              Ricky Butler          NASA Langley
%------------------------------------------------------------------------------

BEGIN

   IMPORTING vectors_2D

   e1,e2  : VAR Vect2
   w,w1,w2: VAR Vect2
   a1,a2,b1,b2  : VAR real

   orthogonal_basis: LEMMA
     e1 /= zero AND
     e2 /= zero AND
     orthogonal?(e1,e2) IMPLIES
     w = ((w*e1)/sqv(e1))*e1 + ((w*e2)/sqv(e2))*e2

   orthonormal?(e1,e2): bool =
     orthogonal?(e1,e2) AND e1 /= zero AND norm(e1) = 1 AND
     e2 /= zero AND norm(e2) = 1

   orthonormal_basis: LEMMA FORALL (w:Vect2):
     orthonormal?(e1,e2) IMPLIES
     w = (w*e1)*e1 + (w*e2)*e2

   basis_two_dot_zero: LEMMA
     w /= zero AND e1 /= zero AND w*e1 = 0 AND w*e2 = 0
     IMPLIES
     (EXISTS (c:real): c*e1 = e2)

   basis_add: LEMMA
     %% orthonormal?(e1,e2) AND
     w1 = (w1*e1)*e1 + (w1*e2)*e2 AND
     w2 = (w2*e1)*e1 + (w2*e2)*e2
   IMPLIES
     w1+w2 = ((w1+w2)*e1)*e1 + ((w1+w2)*e2)*e2

   basis_sub: LEMMA
     %% orthonormal?(e1,e2) AND
     w1 = (w1*e1)*e1 + (w1*e2)*e2 AND
     w2 = (w2*e1)*e1 + (w2*e2)*e2
   IMPLIES
     w1-w2 = ((w1-w2)*e1)*e1 + ((w1-w2)*e2)*e2

   basis_sqv: LEMMA FORALL (a,b: real,w: Vect2):
     orthonormal?(e1,e2) AND
     w = (a)*e1 + (b)*e2
     IMPLIES
        sqv(w) = sq(a) + sq(b)

   basis_dot: LEMMA  FORALL (a,b,c,d: real):
     orthonormal?(e1,e2) IMPLIES
     LET s = (a)*e1 + (b)*e2,
         v = (c)*e1 + (d)*e2
     IN
        s*v = a*c + b*d


   IMPORTING perpendicular_2D

   basis_perpR: LEMMA  FORALL (a,b: real):
     LET e2 = perpR(e1),
         s = (a)*e1 + (b)*e2
     IN
        perpR(s) = (a)*e2 - b*e1

   vh_vp_orthon: LEMMA FORALL (v: Nz_vect2):
     LET
       vh = ^(v),
       vp = perpR(vh)
     IN
      orthonormal?(vh, vp)

  orthogonal_basis_sqv: LEMMA
    orthogonal?(e1,e2) AND
    w = a1*e1 + a2*e2 IMPLIES
    sqv(w) = sq(a1)*sqv(e1) + sq(a2)*sqv(e2)

  orthonormal_basis_sqv: LEMMA
    orthonormal?(e1,e2) AND
    w = a1*e1 + a2*e2 IMPLIES
    sqv(w) = sq(a1) + sq(a2)

  orthogonal_basis_norm: LEMMA
    orthogonal?(e1,e2) AND
    w = a1*e1 + a2*e2 IMPLIES
    norm(w) = sqrt(sq(a1)*sqv(e1) + sq(a2)*sqv(e2))

  orthonormal_basis_norm: LEMMA
    orthonormal?(e1,e2) AND
    w = a1*e1 + a2*e2 IMPLIES
    norm(w) = sqrt(sq(a1) + sq(a2))

  orthogonal_basis_norm_ge: LEMMA
    orthogonal?(e1,e2) AND
    w = a1*e1 + a2*e2 IMPLIES
    norm(w) >= abs(a1)*norm(e1)

  orthonormal_basis_norm_ge: LEMMA
    orthonormal?(e1,e2) AND
    w = a1*e1 + a2*e2 IMPLIES
    norm(w) >= abs(a1)

  orthogonal_basis_dot: LEMMA
    orthogonal?(e1,e2) AND
    w1 = a1*e1 + a2*e2 AND
    w2 = b1*e1 + b2*e2 IMPLIES
    w1*w2 = (a1*b1)*sqv(e1) + (a2*b2)*sqv(e2)

  orthonormal_basis_dot: LEMMA
    orthonormal?(e1,e2) AND
    w1 = a1*e1 + a2*e2 AND
    w2 = b1*e1 + b2*e2 IMPLIES
    w1*w2 = a1*b1 + a2*b2

END basis_2D

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Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.