Quelle vectors_cos.pvs Sprache: PVS

vectors_cos[n: posnat]: THEORY
BEGIN

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%                                      .
%                                     / \
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%                                 /       \
%                               /          \
%                      vc     /             \
%                           /                \    vb
%                         /                   \
%                       /                      \
%                     /                         \
%                   /                            \
%                 /                           ab  \
%               /                                  \
%               ------------------------------------
%                               va

  IMPORTING vectors, trig@trig_basic

  va,vb,vc,v0,v1,v2: VAR Vector[n]

  ab: VAR real

  cosines_law   : LEMMA
                     LET a = norm(va),
                         b = norm(vb),
                         c = norm(vc)
                     IN
                      vc = va - vb AND
                      a*b*cos(ab) = va*vb
                        IMPLIES
                           sq(c) = sq(a) + sq(b) - 2*a*b*cos(ab)

  IMPORTING trig@trig_inverses

  angle_exists: LEMMA (EXISTS ab:  LET  a = norm(va),
                                        b = norm(vb) IN
                              a*b*cos(ab) = va*vb)

  angle_between(u,v:Nz_vector[n]): real = arccos(u*v/(norm(u)*norm(v)))

  cosines_law_bnd : LEMMA
                     LET a = norm(va),
                         b = norm(vb),
                         c = norm(vc)
                     IN
                         vc = va - vb IMPLIES
                            sq(c) >= sq(a-b)

  cosines_law_ge : LEMMA
                     LET a = norm(va),
                         b = norm(vb),
                         c = norm(vc)
                     IN
                         vc = va - vb IMPLIES
                            c >= abs(a-b)

  cosines_law_le : LEMMA
                     LET a = norm(va),
                         b = norm(vb),
                         c = norm(vc)
                     IN
                         vc = va - vb IMPLIES
                                 c <= a + b

END vectors_cos

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