products/Sources/formale Sprachen/PVS/vectors/  image not shown  

Quellcode-Bibliothek

© Kompilation durch diese Firma

[Weder Korrektheit noch Funktionsfähigkeit der Software werden zugesichert.]

Datei: law_cos_pos_3D.prf   Interaktion und
PortierbarkeitCoq

Untersuchung Coq©
(************************************************************************)
(*         *   The Coq Proof Assistant / The Coq Development Team       *)
(*  v      *   INRIA, CNRS and contributors - Copyright 1999-2018       *)
(* <O___,, *       (see CREDITS file for the list of authors)           *)
(*   \VV/  **************************************************************)
(*    //   *    This file is distributed under the terms of the         *)
(*         *     GNU Lesser General Public License Version 2.1          *)
(*         *     (see LICENSE file for the text of the license)         *)
(************************************************************************)

Set Implicit Arguments.

(** Streams *)

CoInductive Stream (A : Type) :=
  Cons : A -> Stream A -> Stream A.

Section Streams.
  Variable A : Type.

  Notation Stream := (Stream A).


Definition hd (x:Stream) := match x with
                            | Cons a _ => a
                            end.

Definition tl (x:Stream) := match x with
                            | Cons _ s => s
                            end.


Fixpoint Str_nth_tl (n:nat) (s:Stream) : Stream :=
  match n with
  | O => s
  | S m => Str_nth_tl m (tl s)
  end.

Definition Str_nth (n:nat) (s:Stream) : A := hd (Str_nth_tl n s).


Lemma unfold_Stream :
 forall x:Stream, x = match x with
                      | Cons a s => Cons a s
                      end.
Proof.
  intro x.
  case x.
  trivial.
Qed.

Lemma tl_nth_tl :
 forall (n:nat) (s:Stream), tl (Str_nth_tl n s) = Str_nth_tl n (tl s).
Proof.
  simple induction n; simpl; auto.
Qed.
Hint Resolve tl_nth_tl: datatypes.

Lemma Str_nth_tl_plus :
 forall (n m:nat) (s:Stream),
   Str_nth_tl n (Str_nth_tl m s) = Str_nth_tl (n + m) s.
simple induction n; simpl; intros; auto with datatypes.
rewrite <- H.
rewrite tl_nth_tl; trivial with datatypes.
Qed.

Lemma Str_nth_plus :
 forall (n m:nat) (s:Stream), Str_nth n (Str_nth_tl m s) = Str_nth (n + m) s.
intros; unfold Str_nth; rewrite Str_nth_tl_plus;
 trivial with datatypes.
Qed.

(** Extensional Equality between two streams  *)

CoInductive EqSt (s1 s2: Stream) : Prop :=
    eqst :
        hd s1 = hd s2 -> EqSt (tl s1) (tl s2) -> EqSt s1 s2.

(** A coinduction principle *)

Ltac coinduction proof :=
  cofix proof; intros; constructor;
   [ clear proof | try (apply proof; clear proof) ].


(** Extensional equality is an equivalence relation *)

Theorem EqSt_reflex : forall s:Stream, EqSt s s.
coinduction EqSt_reflex.
reflexivity.
Qed.

Theorem sym_EqSt : forall s1 s2:Stream, EqSt s1 s2 -> EqSt s2 s1.
coinduction Eq_sym.
+ case H; intros; symmetry ; assumption.
+ case H; intros; assumption.
Qed.


Theorem trans_EqSt :
 forall s1 s2 s3:Stream, EqSt s1 s2 -> EqSt s2 s3 -> EqSt s1 s3.
coinduction Eq_trans.
- transitivity (hd s2).
  + case H; intros; assumption.
  + case H0; intros; assumption.
- apply (Eq_trans (tl s1) (tl s2) (tl s3)).
  + case H; trivial with datatypes.
  + case H0; trivial with datatypes.
Qed.

(** The definition given is equivalent to require the elements at each
    position to be equal *)

Theorem eqst_ntheq :
 forall (n:nat) (s1 s2:Stream), EqSt s1 s2 -> Str_nth n s1 = Str_nth n s2.
unfold Str_nth; simple induction n.
- intros s1 s2 H; case H; trivial with datatypes.
- intros m hypind.
  simpl.
  intros s1 s2 H.
  apply hypind.
  case H; trivial with datatypes.
Qed.

Theorem ntheq_eqst :
 forall s1 s2:Stream,
   (forall n:nat, Str_nth n s1 = Str_nth n s2) -> EqSt s1 s2.
coinduction Equiv2.
- apply (H 0).
- intros n; apply (H (S n)).
Qed.

Section Stream_Properties.

Variable P : Stream -> Prop.

(*i
Inductive Exists : Stream -> Prop :=
  | Here    : forall x:Stream, P x -> Exists x
  | Further : forall x:Stream, ~ P x -> Exists (tl x) -> Exists x.
i*)

Inductive Exists ( x: Stream ) : Prop :=
  | Here : P x -> Exists x
  | Further : Exists (tl x) -> Exists x.

CoInductive ForAll (x: Stream) : Prop :=
    HereAndFurther : P x -> ForAll (tl x) -> ForAll x.

Lemma ForAll_Str_nth_tl : forall m x, ForAll x -> ForAll (Str_nth_tl m x).
Proof.
induction m.
- tauto.
- intros x [_ H].
  simpl.
  apply IHm.
  assumption.
Qed.

Section Co_Induction_ForAll.
Variable Inv : Stream -> Prop.
Hypothesis InvThenP : forall x:Stream, Inv x -> P x.
Hypothesis InvIsStable : forall x:Stream, Inv x -> Inv (tl x).

Theorem ForAll_coind : forall x:Stream, Inv x -> ForAll x.
coinduction ForAll_coind; auto.
Qed.
End Co_Induction_ForAll.

End Stream_Properties.

End Streams.

Section Map.
Variables A B : Type.
Variable f : A -> B.
CoFixpoint map (s:Stream A) : Stream B := Cons (f (hd s)) (map (tl s)).

Lemma Str_nth_tl_map : forall n s, Str_nth_tl n (map s)= map (Str_nth_tl n s).
Proof.
induction n.
- reflexivity.
- simpl.
  intros s.
  apply IHn.
Qed.

Lemma Str_nth_map : forall n s, Str_nth n (map s)= f (Str_nth n s).
Proof.
intros n s.
unfold Str_nth.
rewrite Str_nth_tl_map.
reflexivity.
Qed.

Lemma ForAll_map : forall (P:Stream B -> Prop) (S:Stream A), ForAll (fun s => P
(map s)) S <-> ForAll P (map S).
Proof.
intros P S.
split; generalize S; clear S; cofix ForAll_map; intros S; constructor;
destruct H as [H0 H]; firstorder.
Qed.

Lemma Exists_map : forall (P:Stream B -> Prop) (S:Stream A), Exists (fun s => P
(map s)) S -> Exists P (map S).
Proof.
intros P S H.
(induction H;[left|right]); firstorder.
Defined.

End Map.

Section Constant_Stream.
Variable A : Type.
Variable a : A.
CoFixpoint const  : Stream A := Cons a const.
End Constant_Stream.

Section Zip.

Variable A B C : Type.
Variable f: A -> B -> C.

CoFixpoint zipWith (a:Stream A) (b:Stream B) : Stream C :=
Cons (f (hd a) (hd b)) (zipWith (tl a) (tl b)).

Lemma Str_nth_tl_zipWith : forall n (a:Stream A) (b:Stream B),
 Str_nth_tl n (zipWith a b)= zipWith (Str_nth_tl n a) (Str_nth_tl n b).
Proof.
induction n.
- reflexivity.
- intros [x xs] [y ys].
  unfold Str_nth in *.
  simpl in *.
  apply IHn.
Qed.

Lemma Str_nth_zipWith : forall n (a:Stream A) (b:Stream B), Str_nth n (zipWith a
 b)= f (Str_nth n a) (Str_nth n b).
Proof.
intros.
unfold Str_nth.
rewrite Str_nth_tl_zipWith.
reflexivity.
Qed.

End Zip.

Unset Implicit Arguments.

¤ Diese beiden folgenden Angebotsgruppen bietet das Unternehmen0.17Angebot  Wie Sie bei der Firma Beratungs- und Dienstleistungen beauftragen können  ¤



Begriffe der Konzeptbildung
Was zu einem Entwurf gehört
Begriffe der Konzeptbildung
Hier finden Sie eine Liste der Produkte des Unternehmens

Mittel




schauen Sie vor die Tür

Die hierunter aufgelisteten Ziele sind für diese Firma wichtig


Ziele

Entwicklung einer Software für die statische Quellcodeanalyse


Bot Zugriff