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Datei: Denotation.thy Sprache: Isabelle

Original von: Isabelle^©

(*  Title:      ZF/IMP/Denotation.thy
    Author:     Heiko Loetzbeyer and Robert Sandner, TU München
*)

section \<open>Denotational semantics of expressions and commands\<close>

theory Denotation imports Com begin

subsection \<open>Definitions\<close>

consts
  A     :: "i => i => i"
  B     :: "i => i => i"
  C     :: "i => i"

definition
  Gamma :: "[i,i,i] => i"  (\<open>\<Gamma>\<close>) where
  "\(b,cden) ==
    (\<lambda>phi. {io \<in> (phi O cden). B(b,fst(io))=1} \<union>
           {io \<in> id(loc->nat). B(b,fst(io))=0})"

primrec
  "A(N(n), sigma) = n"
  "A(X(x), sigma) = sigma`x"
  "A(Op1(f,a), sigma) = f`A(a,sigma)"
  "A(Op2(f,a0,a1), sigma) = f`"

primrec
  "B(true, sigma) = 1"
  "B(false, sigma) = 0"
  "B(ROp(f,a0,a1), sigma) = f`"
  "B(noti(b), sigma) = not(B(b,sigma))"
  "B(b0 andi b1, sigma) = B(b0,sigma) and B(b1,sigma)"
  "B(b0 ori b1, sigma) = B(b0,sigma) or B(b1,sigma)"

primrec
  "C(\) = id(loc->nat)"
  "C(x \ a) =
    {io \<in> (loc->nat) \<times> (loc->nat). snd(io) = fst(io)(x := A(a,fst(io)))}"
  "C(c0\ c1) = C(c1) O C(c0)"
  "C(\ b \ c0 \ c1) =
    {io \<in> C(c0). B(b,fst(io)) = 1} \<union> {io \<in> C(c1). B(b,fst(io)) = 0}"
  "C(\ b \ c) = lfp((loc->nat) \ (loc->nat), \(b,C(c)))"

subsection \<open>Misc lemmas\<close>

lemma A_type [TC]: "[|a \ aexp; sigma \ loc->nat|] ==> A(a,sigma) \ nat"
  by (erule aexp.induct) simp_all

lemma B_type [TC]: "[|b \ bexp; sigma \ loc->nat|] ==> B(b,sigma) \ bool"
by (erule bexp.induct, simp_all)

lemma C_subset: "c \ com ==> C(c) \ (loc->nat) \ (loc->nat)"
  apply (erule com.induct)
      apply simp_all
      apply (blast dest: lfp_subset [THEN subsetD])+
  done

lemma C_type_D [dest]:
    "[| \ C(c); c \ com |] ==> x \ loc->nat & y \ loc->nat"
  by (blast dest: C_subset [THEN subsetD])

lemma C_type_fst [dest]: "[| x \ C(c); c \ com |] ==> fst(x) \ loc->nat"
  by (auto dest!: C_subset [THEN subsetD])

lemma Gamma_bnd_mono:
  "cden \ (loc->nat) \ (loc->nat)
    ==> bnd_mono ((loc->nat) \<times> (loc->nat), \<Gamma>(b,cden))"
  by (unfold bnd_mono_def Gamma_def) blast

end

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Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung ist noch experimentell.