products/sources/formale sprachen/Isabelle/ZF/ex/  image not shown  

Quellcode-Bibliothek

© Kompilation durch diese Firma

[Weder Korrektheit noch Funktionsfähigkeit der Software werden zugesichert.]

Datei:   Sprache: Isabelle

Untersuchung Isabelle©
(*  Title:      ZF/ex/Group.thy *)

section \<open>Groups\<close>

theory Group imports ZF begin

text\<open>Based on work by Clemens Ballarin, Florian Kammueller, L C Paulson and
Markus Wenzel.\<close>


subsection \<open>Monoids\<close>

(*First, we must simulate a record declaration:
record monoid =
  carrier :: i
  mult :: "[i,i] => i" (infixl "\<cdot>\<index>" 70)
  one :: i ("\<one>\<index>")
*)

definition
  carrier :: "i => i" where
  "carrier(M) == fst(M)"

definition
  mmult :: "[i, i, i] => i" (infixl \<open>\<cdot>\<index>\<close> 70) where
  "mmult(M,x,y) == fst(snd(M)) ` "

definition
  one :: "i => i" (\<open>\<one>\<index>\<close>) where
  "one(M) == fst(snd(snd(M)))"

definition
  update_carrier :: "[i,i] => i" where
  "update_carrier(M,A) == "

definition
  m_inv :: "i => i => i" (\<open>inv\<index> _\<close> [81] 80) where
  "inv\<^bsub>G\<^esub> x == (THE y. y \ carrier(G) & y \\<^bsub>G\<^esub> x = \\<^bsub>G\<^esub> & x \\<^bsub>G\<^esub> y = \\<^bsub>G\<^esub>)"

locale monoid = fixes G (structure)
  assumes m_closed [intro, simp]:
         "\x \ carrier(G); y \ carrier(G)\ \ x \ y \ carrier(G)"
      and m_assoc:
         "\x \ carrier(G); y \ carrier(G); z \ carrier(G)\
          \<Longrightarrow> (x \<cdot> y) \<cdot> z = x \<cdot> (y \<cdot> z)"
      and one_closed [intro, simp]: "\ \ carrier(G)"
      and l_one [simp]: "x \ carrier(G) \ \ \ x = x"
      and r_one [simp]: "x \ carrier(G) \ x \ \ = x"

text\<open>Simulating the record\<close>
lemma carrier_eq [simp]: "carrier() = A"
  by (simp add: carrier_def)

lemma mult_eq [simp]: "mmult(, x, y) = M ` "
  by (simp add: mmult_def)

lemma one_eq [simp]: "one() = I"
  by (simp add: one_def)

lemma update_carrier_eq [simp]: "update_carrier(,B) = "
  by (simp add: update_carrier_def)

lemma carrier_update_carrier [simp]: "carrier(update_carrier(M,B)) = B"
  by (simp add: update_carrier_def)

lemma mult_update_carrier [simp]: "mmult(update_carrier(M,B),x,y) = mmult(M,x,y)"
  by (simp add: update_carrier_def mmult_def)

lemma one_update_carrier [simp]: "one(update_carrier(M,B)) = one(M)"
  by (simp add: update_carrier_def one_def)


lemma (in monoid) inv_unique:
  assumes eq: "y \ x = \" "x \ y' = \"
    and G: "x \ carrier(G)" "y \ carrier(G)" "y' \ carrier(G)"
  shows "y = y'"
proof -
  from G eq have "y = y \ (x \ y')" by simp
  also from G have "... = (y \ x) \ y'" by (simp add: m_assoc)
  also from G eq have "... = y'" by simp
  finally show ?thesis .
qed

text \<open>
  A group is a monoid all of whose elements are invertible.
\<close>

locale group = monoid +
  assumes inv_ex:
     "\x. x \ carrier(G) \ \y \ carrier(G). y \ x = \ & x \ y = \"

lemma (in group) is_group [simp]: "group(G)" by (rule group_axioms)

theorem groupI:
  fixes G (structure)
  assumes m_closed [simp]:
      "\x y. \x \ carrier(G); y \ carrier(G)\ \ x \ y \ carrier(G)"
    and one_closed [simp]: "\ \ carrier(G)"
    and m_assoc:
      "\x y z. \x \ carrier(G); y \ carrier(G); z \ carrier(G)\ \
      (x \<cdot> y) \<cdot> z = x \<cdot> (y \<cdot> z)"
    and l_one [simp]: "\x. x \ carrier(G) \ \ \ x = x"
    and l_inv_ex: "\x. x \ carrier(G) \ \y \ carrier(G). y \ x = \"
  shows "group(G)"
proof -
  have l_cancel [simp]:
    "\x y z. \x \ carrier(G); y \ carrier(G); z \ carrier(G)\ \
    (x \<cdot> y = x \<cdot> z) \<longleftrightarrow> (y = z)"
  proof
    fix x y z
    assume G: "x \ carrier(G)" "y \ carrier(G)" "z \ carrier(G)"
    {
      assume eq: "x \ y = x \ z"
      with G l_inv_ex obtain x_inv where xG: "x_inv \ carrier(G)"
        and l_inv: "x_inv \ x = \" by fast
      from G eq xG have "(x_inv \ x) \ y = (x_inv \ x) \ z"
        by (simp add: m_assoc)
      with G show "y = z" by (simp add: l_inv)
    next
      assume eq: "y = z"
      with G show "x \ y = x \ z" by simp
    }
  qed
  have r_one:
    "\x. x \ carrier(G) \ x \ \ = x"
  proof -
    fix x
    assume x: "x \ carrier(G)"
    with l_inv_ex obtain x_inv where xG: "x_inv \ carrier(G)"
      and l_inv: "x_inv \ x = \" by fast
    from x xG have "x_inv \ (x \ \) = x_inv \ x"
      by (simp add: m_assoc [symmetric] l_inv)
    with x xG show "x \ \ = x" by simp
  qed
  have inv_ex:
    "!!x. x \ carrier(G) ==> \y \ carrier(G). y \ x = \ & x \ y = \"
  proof -
    fix x
    assume x: "x \ carrier(G)"
    with l_inv_ex obtain y where y: "y \ carrier(G)"
      and l_inv: "y \ x = \" by fast
    from x y have "y \ (x \ y) = y \ \"
      by (simp add: m_assoc [symmetric] l_inv r_one)
    with x y have r_inv: "x \ y = \"
      by simp
    from x y show "\y \ carrier(G). y \ x = \ & x \ y = \"
      by (fast intro: l_inv r_inv)
  qed
  show ?thesis
    by (blast intro: group.intro monoid.intro group_axioms.intro
                     assms r_one inv_ex)
qed

lemma (in group) inv [simp]:
  "x \ carrier(G) \ inv x \ carrier(G) & inv x \ x = \ & x \ inv x = \"
  apply (frule inv_ex)
  apply (unfold Bex_def m_inv_def)
  apply (erule exE)
  apply (rule theI)
  apply (rule ex1I, assumption)
   apply (blast intro: inv_unique)
  done

lemma (in group) inv_closed [intro!]:
  "x \ carrier(G) \ inv x \ carrier(G)"
  by simp

lemma (in group) l_inv:
  "x \ carrier(G) \ inv x \ x = \"
  by simp

lemma (in group) r_inv:
  "x \ carrier(G) \ x \ inv x = \"
  by simp


subsection \<open>Cancellation Laws and Basic Properties\<close>

lemma (in group) l_cancel [simp]:
  assumes "x \ carrier(G)" "y \ carrier(G)" "z \ carrier(G)"
  shows "(x \ y = x \ z) \ (y = z)"
proof
  assume eq: "x \ y = x \ z"
  hence  "(inv x \ x) \ y = (inv x \ x) \ z"
    by (simp only: m_assoc inv_closed assms)
  thus "y = z" by (simp add: assms)
next
  assume eq: "y = z"
  then show "x \ y = x \ z" by simp
qed

lemma (in group) r_cancel [simp]:
  assumes "x \ carrier(G)" "y \ carrier(G)" "z \ carrier(G)"
  shows "(y \ x = z \ x) \ (y = z)"
proof
  assume eq: "y \ x = z \ x"
  then have "y \ (x \ inv x) = z \ (x \ inv x)"
    by (simp only: m_assoc [symmetric] inv_closed assms)
  thus "y = z" by (simp add: assms)
next
  assume eq: "y = z"
  thus  "y \ x = z \ x" by simp
qed

lemma (in group) inv_comm:
  assumes "x \ y = \"
      and G: "x \ carrier(G)" "y \ carrier(G)"
  shows "y \ x = \"
proof -
  from G have "x \ y \ x = x \ \" by (auto simp add: assms)
  with G show ?thesis by (simp del: r_one add: m_assoc)
qed

lemma (in group) inv_equality:
     "\y \ x = \; x \ carrier(G); y \ carrier(G)\ \ inv x = y"
apply (simp add: m_inv_def)
apply (rule the_equality)
 apply (simp add: inv_comm [of y x])
apply (rule r_cancel [THEN iffD1], auto)
done

lemma (in group) inv_one [simp]:
  "inv \ = \"
  by (auto intro: inv_equality)

lemma (in group) inv_inv [simp]: "x \ carrier(G) \ inv (inv x) = x"
  by (auto intro: inv_equality)

text\<open>This proof is by cancellation\<close>
lemma (in group) inv_mult_group:
  "\x \ carrier(G); y \ carrier(G)\ \ inv (x \ y) = inv y \ inv x"
proof -
  assume G: "x \ carrier(G)" "y \ carrier(G)"
  then have "inv (x \ y) \ (x \ y) = (inv y \ inv x) \ (x \ y)"
    by (simp add: m_assoc l_inv) (simp add: m_assoc [symmetric] l_inv)
  with G show ?thesis by (simp_all del: inv add: inv_closed)
qed


subsection \<open>Substructures\<close>

locale subgroup = fixes H and G (structure)
  assumes subset: "H \ carrier(G)"
    and m_closed [intro, simp]: "\x \ H; y \ H\ \ x \ y \ H"
    and  one_closed [simp]: "\ \ H"
    and m_inv_closed [intro,simp]: "x \ H \ inv x \ H"


lemma (in subgroup) mem_carrier [simp]:
  "x \ H \ x \ carrier(G)"
  using subset by blast


lemma subgroup_imp_subset:
  "subgroup(H,G) \ H \ carrier(G)"
  by (rule subgroup.subset)

lemma (in subgroup) group_axiomsI [intro]:
  assumes "group(G)"
  shows "group_axioms (update_carrier(G,H))"
proof -
  interpret group G by fact
  show ?thesis by (force intro: group_axioms.intro l_inv r_inv)
qed

lemma (in subgroup) is_group [intro]:
  assumes "group(G)"
  shows "group (update_carrier(G,H))"
proof -
  interpret group G by fact
  show ?thesis
  by (rule groupI) (auto intro: m_assoc l_inv mem_carrier)
qed

text \<open>
  Since \<^term>\<open>H\<close> is nonempty, it contains some element \<^term>\<open>x\<close>.  Since
  it is closed under inverse, it contains \<open>inv x\<close>.  Since
  it is closed under product, it contains \<open>x \<cdot> inv x = \<one>\<close>.
\<close>

text \<open>
  Since \<^term>\<open>H\<close> is nonempty, it contains some element \<^term>\<open>x\<close>.  Since
  it is closed under inverse, it contains \<open>inv x\<close>.  Since
  it is closed under product, it contains \<open>x \<cdot> inv x = \<one>\<close>.
\<close>

lemma (in group) one_in_subset:
  "\H \ carrier(G); H \ 0; \a \ H. inv a \ H; \a\H. \b\H. a \ b \ H\
   \<Longrightarrow> \<one> \<in> H"
by (force simp add: l_inv)

text \<open>A characterization of subgroups: closed, non-empty subset.\<close>

declare monoid.one_closed [simp] group.inv_closed [simp]
  monoid.l_one [simp] monoid.r_one [simp] group.inv_inv [simp]

lemma subgroup_nonempty:
  "~ subgroup(0,G)"
  by (blast dest: subgroup.one_closed)


subsection \<open>Direct Products\<close>

definition
  DirProdGroup :: "[i,i] => i"  (infixr \<open>\<Otimes>\<close> 80) where
  "G \ H == carrier(H),
              (\<lambda><<g,h>, <g', h'>>
                   \<in> (carrier(G) \<times> carrier(H)) \<times> (carrier(G) \<times> carrier(H)).
                <g \<cdot>\<^bsub>G\<^esub> g', h \<cdot>\<^bsub>H\<^esub> h'>),
              <\<one>\<^bsub>G\<^esub>, \<one>\<^bsub>H\<^esub>>, 0>"

lemma DirProdGroup_group:
  assumes "group(G)" and "group(H)"
  shows "group (G \ H)"
proof -
  interpret G: group G by fact
  interpret H: group H by fact
  show ?thesis by (force intro!: groupI G.m_assoc H.m_assoc G.l_inv H.l_inv
          simp add: DirProdGroup_def)
qed

lemma carrier_DirProdGroup [simp]:
     "carrier (G \ H) = carrier(G) \ carrier(H)"
  by (simp add: DirProdGroup_def)

lemma one_DirProdGroup [simp]:
     "\\<^bsub>G \ H\<^esub> = <\\<^bsub>G\<^esub>, \\<^bsub>H\<^esub>>"
  by (simp add: DirProdGroup_def)

lemma mult_DirProdGroup [simp]:
     "[|g \ carrier(G); h \ carrier(H); g' \ carrier(G); h' \ carrier(H)|]
      ==> <g, h> \<cdot>\<^bsub>G \<Otimes> H\<^esub> <g', h'> = <g \<cdot>\<^bsub>G\<^esub> g', h \<cdot>\<^bsub>H\<^esub> h'>"
  by (simp add: DirProdGroup_def)

lemma inv_DirProdGroup [simp]:
  assumes "group(G)" and "group(H)"
  assumes g: "g \ carrier(G)"
      and h: "h \ carrier(H)"
  shows "inv \<^bsub>G \ H\<^esub> = G\<^esub> g, inv\<^bsub>H\<^esub> h>"
  apply (rule group.inv_equality [OF DirProdGroup_group])
  apply (simp_all add: assms group.l_inv)
  done

subsection \<open>Isomorphisms\<close>

definition
  hom :: "[i,i] => i" where
  "hom(G,H) ==
    {h \<in> carrier(G) -> carrier(H).
      (\<forall>x \<in> carrier(G). \<forall>y \<in> carrier(G). h ` (x \<cdot>\<^bsub>G\<^esub> y) = (h ` x) \<cdot>\<^bsub>H\<^esub> (h ` y))}"

lemma hom_mult:
  "\h \ hom(G,H); x \ carrier(G); y \ carrier(G)\
   \<Longrightarrow> h ` (x \<cdot>\<^bsub>G\<^esub> y) = h ` x \<cdot>\<^bsub>H\<^esub> h ` y"
  by (simp add: hom_def)

lemma hom_closed:
  "\h \ hom(G,H); x \ carrier(G)\ \ h ` x \ carrier(H)"
  by (auto simp add: hom_def)

lemma (in group) hom_compose:
     "\h \ hom(G,H); i \ hom(H,I)\ \ i O h \ hom(G,I)"
by (force simp add: hom_def comp_fun)

lemma hom_is_fun:
  "h \ hom(G,H) \ h \ carrier(G) -> carrier(H)"
  by (simp add: hom_def)


subsection \<open>Isomorphisms\<close>

definition
  iso :: "[i,i] => i"  (infixr \<open>\<cong>\<close> 60) where
  "G \ H == hom(G,H) \ bij(carrier(G), carrier(H))"

lemma (in group) iso_refl: "id(carrier(G)) \ G \ G"
  by (simp add: iso_def hom_def id_type id_bij)


lemma (in group) iso_sym:
     "h \ G \ H \ converse(h) \ H \ G"
apply (simp add: iso_def bij_converse_bij, clarify)
apply (subgoal_tac "converse(h) \ carrier(H) \ carrier(G)")
 prefer 2 apply (simp add: bij_converse_bij bij_is_fun)
apply (auto intro: left_inverse_eq [of _ "carrier(G)" "carrier(H)"]
            simp add: hom_def bij_is_inj right_inverse_bij)
done

lemma (in group) iso_trans:
     "\h \ G \ H; i \ H \ I\ \ i O h \ G \ I"
  by (auto simp add: iso_def hom_compose comp_bij)

lemma DirProdGroup_commute_iso:
  assumes "group(G)" and "group(H)"
  shows "(\ \ carrier(G \ H). ) \ (G \ H) \ (H \ G)"
proof -
  interpret group G by fact
  interpret group H by fact
  show ?thesis by (auto simp add: iso_def hom_def inj_def surj_def bij_def)
qed

lemma DirProdGroup_assoc_iso:
  assumes "group(G)" and "group(H)" and "group(I)"
  shows "(\<,z> \ carrier((G \ H) \ I). >)
          \<in> ((G \<Otimes> H) \<Otimes> I) \<cong> (G \<Otimes> (H \<Otimes> I))"
proof -
  interpret group G by fact
  interpret group H by fact
  interpret group I by fact
  show ?thesis
    by (auto intro: lam_type simp add: iso_def hom_def inj_def surj_def bij_def)
qed

text\<open>Basis for homomorphism proofs: we assume two groups \<^term>\<open>G\<close> and
  \<^term>\<open>H\<close>, with a homomorphism \<^term>\<open>h\<close> between them\<close>
locale group_hom = G: group G + H: group H
  for G (structure) and H (structure) and h +
  assumes homh: "h \ hom(G,H)"
  notes hom_mult [simp] = hom_mult [OF homh]
    and hom_closed [simp] = hom_closed [OF homh]
    and hom_is_fun [simp] = hom_is_fun [OF homh]

lemma (in group_hom) one_closed [simp]:
  "h ` \ \ carrier(H)"
  by simp

lemma (in group_hom) hom_one [simp]:
  "h ` \ = \\<^bsub>H\<^esub>"
proof -
  have "h ` \ \\<^bsub>H\<^esub> \\<^bsub>H\<^esub> = (h ` \) \\<^bsub>H\<^esub> (h ` \)"
    by (simp add: hom_mult [symmetric] del: hom_mult)
  then show ?thesis by (simp del: H.r_one)
qed

lemma (in group_hom) inv_closed [simp]:
  "x \ carrier(G) \ h ` (inv x) \ carrier(H)"
  by simp

lemma (in group_hom) hom_inv [simp]:
  "x \ carrier(G) \ h ` (inv x) = inv\<^bsub>H\<^esub> (h ` x)"
proof -
  assume x: "x \ carrier(G)"
  then have "h ` x \\<^bsub>H\<^esub> h ` (inv x) = \\<^bsub>H\<^esub>"
    by (simp add: hom_mult [symmetric] G.r_inv del: hom_mult)
  also from x have "... = h ` x \\<^bsub>H\<^esub> inv\<^bsub>H\<^esub> (h ` x)"
    by (simp add: hom_mult [symmetric] H.r_inv del: hom_mult)
  finally have "h ` x \\<^bsub>H\<^esub> h ` (inv x) = h ` x \\<^bsub>H\<^esub> inv\<^bsub>H\<^esub> (h ` x)" .
  with x show ?thesis by (simp del: H.inv)
qed

subsection \<open>Commutative Structures\<close>

text \<open>
  Naming convention: multiplicative structures that are commutative
  are called \emph{commutative}, additive structures are called
  \emph{Abelian}.
\<close>

subsection \<open>Definition\<close>

locale comm_monoid = monoid +
  assumes m_comm: "\x \ carrier(G); y \ carrier(G)\ \ x \ y = y \ x"

lemma (in comm_monoid) m_lcomm:
  "\x \ carrier(G); y \ carrier(G); z \ carrier(G)\ \
   x \<cdot> (y \<cdot> z) = y \<cdot> (x \<cdot> z)"
proof -
  assume xyz: "x \ carrier(G)" "y \ carrier(G)" "z \ carrier(G)"
  from xyz have "x \ (y \ z) = (x \ y) \ z" by (simp add: m_assoc)
  also from xyz have "... = (y \ x) \ z" by (simp add: m_comm)
  also from xyz have "... = y \ (x \ z)" by (simp add: m_assoc)
  finally show ?thesis .
qed

lemmas (in comm_monoid) m_ac = m_assoc m_comm m_lcomm

locale comm_group = comm_monoid + group

lemma (in comm_group) inv_mult:
  "\x \ carrier(G); y \ carrier(G)\ \ inv (x \ y) = inv x \ inv y"
  by (simp add: m_ac inv_mult_group)


lemma (in group) subgroup_self: "subgroup (carrier(G),G)"
by (simp add: subgroup_def)

lemma (in group) subgroup_imp_group:
  "subgroup(H,G) \ group (update_carrier(G,H))"
by (simp add: subgroup.is_group)

lemma (in group) subgroupI:
  assumes subset: "H \ carrier(G)" and non_empty: "H \ 0"
    and "!!a. a \ H ==> inv a \ H"
    and "!!a b. [|a \ H; b \ H|] ==> a \ b \ H"
  shows "subgroup(H,G)"
proof (simp add: subgroup_def assms)
  show "\ \ H"
    by (rule one_in_subset) (auto simp only: assms)
qed


subsection \<open>Bijections of a Set, Permutation Groups, Automorphism Groups\<close>

definition
  BijGroup :: "i=>i" where
  "BijGroup(S) ==
    <bij(S,S),
     \<lambda><g,f> \<in> bij(S,S) \<times> bij(S,S). g O f,
     id(S), 0>"


subsection \<open>Bijections Form a Group\<close>

theorem group_BijGroup: "group(BijGroup(S))"
apply (simp add: BijGroup_def)
apply (rule groupI)
    apply (simp_all add: id_bij comp_bij comp_assoc)
 apply (simp add: id_bij bij_is_fun left_comp_id [of _ S S] fun_is_rel)
apply (blast intro: left_comp_inverse bij_is_inj bij_converse_bij)
done


subsection\<open>Automorphisms Form a Group\<close>

lemma Bij_Inv_mem: "\f \ bij(S,S); x \ S\ \ converse(f) ` x \ S"
by (blast intro: apply_funtype bij_is_fun bij_converse_bij)

lemma inv_BijGroup: "f \ bij(S,S) \ m_inv (BijGroup(S), f) = converse(f)"
apply (rule group.inv_equality)
apply (rule group_BijGroup)
apply (simp_all add: BijGroup_def bij_converse_bij
          left_comp_inverse [OF bij_is_inj])
done

lemma iso_is_bij: "h \ G \ H ==> h \ bij(carrier(G), carrier(H))"
by (simp add: iso_def)


definition
  auto :: "i=>i" where
  "auto(G) == iso(G,G)"

definition
  AutoGroup :: "i=>i" where
  "AutoGroup(G) == update_carrier(BijGroup(carrier(G)), auto(G))"


lemma (in group) id_in_auto: "id(carrier(G)) \ auto(G)"
  by (simp add: iso_refl auto_def)

lemma (in group) subgroup_auto:
      "subgroup (auto(G)) (BijGroup (carrier(G)))"
proof (rule subgroup.intro)
  show "auto(G) \ carrier (BijGroup (carrier(G)))"
    by (auto simp add: auto_def BijGroup_def iso_def)
next
  fix x y
  assume "x \ auto(G)" "y \ auto(G)"
  thus "x \\<^bsub>BijGroup (carrier(G))\<^esub> y \ auto(G)"
    by (auto simp add: BijGroup_def auto_def iso_def bij_is_fun
                       group.hom_compose comp_bij)
next
  show "\\<^bsub>BijGroup (carrier(G))\<^esub> \ auto(G)" by (simp add: BijGroup_def id_in_auto)
next
  fix x
  assume "x \ auto(G)"
  thus "inv\<^bsub>BijGroup (carrier(G))\<^esub> x \ auto(G)"
    by (simp add: auto_def inv_BijGroup iso_is_bij iso_sym)
qed

theorem (in group) AutoGroup: "group (AutoGroup(G))"
by (simp add: AutoGroup_def subgroup.is_group subgroup_auto group_BijGroup)



subsection\<open>Cosets and Quotient Groups\<close>

definition
  r_coset  :: "[i,i,i] => i"  (infixl \<open>#>\<index>\<close> 60) where
  "H #>\<^bsub>G\<^esub> a == \h\H. {h \\<^bsub>G\<^esub> a}"

definition
  l_coset  :: "[i,i,i] => i"  (infixl \<open><#\<index>\<close> 60) where
  "a <#\<^bsub>G\<^esub> H == \h\H. {a \\<^bsub>G\<^esub> h}"

definition
  RCOSETS  :: "[i,i] => i"  (\<open>rcosets\<index> _\<close> [81] 80) where
  "rcosets\<^bsub>G\<^esub> H == \a\carrier(G). {H #>\<^bsub>G\<^esub> a}"

definition
  set_mult :: "[i,i,i] => i"  (infixl \<open><#>\<index>\<close> 60) where
  "H <#>\<^bsub>G\<^esub> K == \h\H. \k\K. {h \\<^bsub>G\<^esub> k}"

definition
  SET_INV  :: "[i,i] => i"  (\<open>set'_inv\<index> _\<close> [81] 80) where
  "set_inv\<^bsub>G\<^esub> H == \h\H. {inv\<^bsub>G\<^esub> h}"


locale normal = subgroup + group +
  assumes coset_eq: "(\x \ carrier(G). H #> x = x <# H)"

notation
  normal  (infixl \<open>\<lhd>\<close> 60)


subsection \<open>Basic Properties of Cosets\<close>

lemma (in group) coset_mult_assoc:
     "\M \ carrier(G); g \ carrier(G); h \ carrier(G)\
      \<Longrightarrow> (M #> g) #> h = M #> (g \<cdot> h)"
by (force simp add: r_coset_def m_assoc)

lemma (in group) coset_mult_one [simp]: "M \ carrier(G) \ M #> \ = M"
by (force simp add: r_coset_def)

lemma (in group) solve_equation:
    "\subgroup(H,G); x \ H; y \ H\ \ \h\H. y = h \ x"
apply (rule bexI [of _ "y \ (inv x)"])
apply (auto simp add: subgroup.m_closed subgroup.m_inv_closed m_assoc
                      subgroup.subset [THEN subsetD])
done

lemma (in group) repr_independence:
     "\y \ H #> x; x \ carrier(G); subgroup(H,G)\ \ H #> x = H #> y"
by (auto simp add: r_coset_def m_assoc [symmetric]
                   subgroup.subset [THEN subsetD]
                   subgroup.m_closed solve_equation)

lemma (in group) coset_join2:
     "\x \ carrier(G); subgroup(H,G); x\H\ \ H #> x = H"
  \<comment> \<open>Alternative proof is to put \<^term>\<open>x=\<one>\<close> in \<open>repr_independence\<close>.\<close>
by (force simp add: subgroup.m_closed r_coset_def solve_equation)

lemma (in group) r_coset_subset_G:
     "\H \ carrier(G); x \ carrier(G)\ \ H #> x \ carrier(G)"
by (auto simp add: r_coset_def)

lemma (in group) rcosI:
     "\h \ H; H \ carrier(G); x \ carrier(G)\ \ h \ x \ H #> x"
by (auto simp add: r_coset_def)

lemma (in group) rcosetsI:
     "\H \ carrier(G); x \ carrier(G)\ \ H #> x \ rcosets H"
by (auto simp add: RCOSETS_def)


text\<open>Really needed?\<close>
lemma (in group) transpose_inv:
     "\x \ y = z; x \ carrier(G); y \ carrier(G); z \ carrier(G)\
      \<Longrightarrow> (inv x) \<cdot> z = y"
by (force simp add: m_assoc [symmetric])



subsection \<open>Normal subgroups\<close>

lemma normal_imp_subgroup: "H \ G ==> subgroup(H,G)"
  by (simp add: normal_def subgroup_def)

lemma (in group) normalI:
  "subgroup(H,G) \ (\x \ carrier(G). H #> x = x <# H) \ H \ G"
  by (simp add: normal_def normal_axioms_def)

lemma (in normal) inv_op_closed1:
     "\x \ carrier(G); h \ H\ \ (inv x) \ h \ x \ H"
apply (insert coset_eq)
apply (auto simp add: l_coset_def r_coset_def)
apply (drule bspec, assumption)
apply (drule equalityD1 [THEN subsetD], blast, clarify)
apply (simp add: m_assoc)
apply (simp add: m_assoc [symmetric])
done

lemma (in normal) inv_op_closed2:
     "\x \ carrier(G); h \ H\ \ x \ h \ (inv x) \ H"
apply (subgoal_tac "inv (inv x) \ h \ (inv x) \ H")
apply simp
apply (blast intro: inv_op_closed1)
done

text\<open>Alternative characterization of normal subgroups\<close>
lemma (in group) normal_inv_iff:
     "(N \ G) \
      (subgroup(N,G) & (\<forall>x \<in> carrier(G). \<forall>h \<in> N. x \<cdot> h \<cdot> (inv x) \<in> N))"
      (is "_ \ ?rhs")
proof
  assume N: "N \ G"
  show ?rhs
    by (blast intro: N normal.inv_op_closed2 normal_imp_subgroup)
next
  assume ?rhs
  hence sg: "subgroup(N,G)"
    and closed: "\x. x\carrier(G) \ \h\N. x \ h \ inv x \ N" by auto
  hence sb: "N \ carrier(G)" by (simp add: subgroup.subset)
  show "N \ G"
  proof (intro normalI [OF sg], simp add: l_coset_def r_coset_def, clarify)
    fix x
    assume x: "x \ carrier(G)"
    show "(\h\N. {h \ x}) = (\h\N. {x \ h})"
    proof
      show "(\h\N. {h \ x}) \ (\h\N. {x \ h})"
      proof clarify
        fix n
        assume n: "n \ N"
        show "n \ x \ (\h\N. {x \ h})"
        proof (rule UN_I)
          from closed [of "inv x"]
          show "inv x \ n \ x \ N" by (simp add: x n)
          show "n \ x \ {x \ (inv x \ n \ x)}"
            by (simp add: x n m_assoc [symmetric] sb [THEN subsetD])
        qed
      qed
    next
      show "(\h\N. {x \ h}) \ (\h\N. {h \ x})"
      proof clarify
        fix n
        assume n: "n \ N"
        show "x \ n \ (\h\N. {h \ x})"
        proof (rule UN_I)
          show "x \ n \ inv x \ N" by (simp add: x n closed)
          show "x \ n \ {x \ n \ inv x \ x}"
            by (simp add: x n m_assoc sb [THEN subsetD])
        qed
      qed
    qed
  qed
qed


subsection\<open>More Properties of Cosets\<close>

lemma (in group) l_coset_subset_G:
     "\H \ carrier(G); x \ carrier(G)\ \ x <# H \ carrier(G)"
by (auto simp add: l_coset_def subsetD)

lemma (in group) l_coset_swap:
     "\y \ x <# H; x \ carrier(G); subgroup(H,G)\ \ x \ y <# H"
proof (simp add: l_coset_def)
  assume "\h\H. y = x \ h"
    and x: "x \ carrier(G)"
    and sb: "subgroup(H,G)"
  then obtain h' where h': "h' \ H & x \ h' = y" by blast
  show "\h\H. x = y \ h"
  proof
    show "x = y \ inv h'" using h' x sb
      by (auto simp add: m_assoc subgroup.subset [THEN subsetD])
    show "inv h' \ H" using h' sb
      by (auto simp add: subgroup.subset [THEN subsetD] subgroup.m_inv_closed)
  qed
qed

lemma (in group) l_coset_carrier:
     "\y \ x <# H; x \ carrier(G); subgroup(H,G)\ \ y \ carrier(G)"
by (auto simp add: l_coset_def m_assoc
                   subgroup.subset [THEN subsetD] subgroup.m_closed)

lemma (in group) l_repr_imp_subset:
  assumes y: "y \ x <# H" and x: "x \ carrier(G)" and sb: "subgroup(H,G)"
  shows "y <# H \ x <# H"
proof -
  from y
  obtain h' where "h' \<in> H" "x \<cdot> h' = y" by (auto simp add: l_coset_def)
  thus ?thesis using x sb
    by (auto simp add: l_coset_def m_assoc
                       subgroup.subset [THEN subsetD] subgroup.m_closed)
qed

lemma (in group) l_repr_independence:
  assumes y: "y \ x <# H" and x: "x \ carrier(G)" and sb: "subgroup(H,G)"
  shows "x <# H = y <# H"
proof
  show "x <# H \ y <# H"
    by (rule l_repr_imp_subset,
        (blast intro: l_coset_swap l_coset_carrier y x sb)+)
  show "y <# H \ x <# H" by (rule l_repr_imp_subset [OF y x sb])
qed

lemma (in group) setmult_subset_G:
     "\H \ carrier(G); K \ carrier(G)\ \ H <#> K \ carrier(G)"
by (auto simp add: set_mult_def subsetD)

lemma (in group) subgroup_mult_id: "subgroup(H,G) \ H <#> H = H"
apply (rule equalityI)
apply (auto simp add: subgroup.m_closed set_mult_def Sigma_def image_def)
apply (rule_tac x = x in bexI)
apply (rule bexI [of _ "\"])
apply (auto simp add: subgroup.one_closed subgroup.subset [THEN subsetD])
done


subsubsection \<open>Set of inverses of an \<open>r_coset\<close>.\<close>

lemma (in normal) rcos_inv:
  assumes x:     "x \ carrier(G)"
  shows "set_inv (H #> x) = H #> (inv x)"
proof (simp add: r_coset_def SET_INV_def x inv_mult_group, safe intro!: equalityI)
  fix h
  assume h: "h \ H"
  {
    show "inv x \ inv h \ (\j\H. {j \ inv x})"
    proof (rule UN_I)
      show "inv x \ inv h \ x \ H"
        by (simp add: inv_op_closed1 h x)
      show "inv x \ inv h \ {inv x \ inv h \ x \ inv x}"
        by (simp add: h x m_assoc)
    qed
  next
    show "h \ inv x \ (\j\H. {inv x \ inv j})"
    proof (rule UN_I)
      show "x \ inv h \ inv x \ H"
        by (simp add: inv_op_closed2 h x)
      show "h \ inv x \ {inv x \ inv (x \ inv h \ inv x)}"
        by (simp add: h x m_assoc [symmetric] inv_mult_group)
    qed
  }
qed



subsubsection \<open>Theorems for \<open><#>\<close> with \<open>#>\<close> or \<open><#\<close>.\<close>

lemma (in group) setmult_rcos_assoc:
     "\H \ carrier(G); K \ carrier(G); x \ carrier(G)\
      \<Longrightarrow> H <#> (K #> x) = (H <#> K) #> x"
by (force simp add: r_coset_def set_mult_def m_assoc)

lemma (in group) rcos_assoc_lcos:
     "\H \ carrier(G); K \ carrier(G); x \ carrier(G)\
      \<Longrightarrow> (H #> x) <#> K = H <#> (x <# K)"
by (force simp add: r_coset_def l_coset_def set_mult_def m_assoc)

lemma (in normal) rcos_mult_step1:
     "\x \ carrier(G); y \ carrier(G)\
      \<Longrightarrow> (H #> x) <#> (H #> y) = (H <#> (x <# H)) #> y"
by (simp add: setmult_rcos_assoc subset
              r_coset_subset_G l_coset_subset_G rcos_assoc_lcos)

lemma (in normal) rcos_mult_step2:
     "\x \ carrier(G); y \ carrier(G)\
      \<Longrightarrow> (H <#> (x <# H)) #> y = (H <#> (H #> x)) #> y"
by (insert coset_eq, simp add: normal_def)

lemma (in normal) rcos_mult_step3:
     "\x \ carrier(G); y \ carrier(G)\
      \<Longrightarrow> (H <#> (H #> x)) #> y = H #> (x \<cdot> y)"
  by (simp add: setmult_rcos_assoc coset_mult_assoc
              subgroup_mult_id subset normal_axioms normal.axioms)

lemma (in normal) rcos_sum:
     "\x \ carrier(G); y \ carrier(G)\
      \<Longrightarrow> (H #> x) <#> (H #> y) = H #> (x \<cdot> y)"
by (simp add: rcos_mult_step1 rcos_mult_step2 rcos_mult_step3)

lemma (in normal) rcosets_mult_eq: "M \ rcosets H \ H <#> M = M"
  \<comment> \<open>generalizes \<open>subgroup_mult_id\<close>\<close>
  by (auto simp add: RCOSETS_def subset
        setmult_rcos_assoc subgroup_mult_id normal_axioms normal.axioms)


subsubsection\<open>Two distinct right cosets are disjoint\<close>

definition
  r_congruent :: "[i,i] => i" (\<open>rcong\<index> _\<close> [60] 60) where
  "rcong\<^bsub>G\<^esub> H == { \ carrier(G) * carrier(G). inv\<^bsub>G\<^esub> x \\<^bsub>G\<^esub> y \ H}"


lemma (in subgroup) equiv_rcong:
   assumes "group(G)"
   shows "equiv (carrier(G), rcong H)"
proof -
  interpret group G by fact
  show ?thesis proof (simp add: equiv_def, intro conjI)
    show "rcong H \ carrier(G) \ carrier(G)"
      by (auto simp add: r_congruent_def)
  next
    show "refl (carrier(G), rcong H)"
      by (auto simp add: r_congruent_def refl_def)
  next
    show "sym (rcong H)"
    proof (simp add: r_congruent_def sym_def, clarify)
      fix x y
      assume [simp]: "x \ carrier(G)" "y \ carrier(G)"
        and "inv x \ y \ H"
      hence "inv (inv x \ y) \ H" by simp
      thus "inv y \ x \ H" by (simp add: inv_mult_group)
    qed
  next
    show "trans (rcong H)"
    proof (simp add: r_congruent_def trans_def, clarify)
      fix x y z
      assume [simp]: "x \ carrier(G)" "y \ carrier(G)" "z \ carrier(G)"
        and "inv x \ y \ H" and "inv y \ z \ H"
      hence "(inv x \ y) \ (inv y \ z) \ H" by simp
      hence "inv x \ (y \ inv y) \ z \ H" by (simp add: m_assoc del: inv)
      thus "inv x \ z \ H" by simp
    qed
  qed
qed

text\<open>Equivalence classes of \<open>rcong\<close> correspond to left cosets.
  Was there a mistake in the definitions? I'd have expected them to
  correspond to right cosets.\<close>
lemma (in subgroup) l_coset_eq_rcong:
  assumes "group(G)"
  assumes a: "a \ carrier(G)"
  shows "a <# H = (rcong H) `` {a}"
proof -
  interpret group G by fact
  show ?thesis
    by (force simp add: r_congruent_def l_coset_def m_assoc [symmetric] a
      Collect_image_eq)
qed

lemma (in group) rcos_equation:
  assumes "subgroup(H, G)"
  shows
     "\ha \ a = h \ b; a \ carrier(G); b \ carrier(G);
        h \<in> H;  ha \<in> H;  hb \<in> H\<rbrakk>
      \<Longrightarrow> hb \<cdot> a \<in> (\<Union>h\<in>H. {h \<cdot> b})" (is "PROP ?P")
proof -
  interpret subgroup H G by fact
  show "PROP ?P"
    apply (rule UN_I [of "hb \ ((inv ha) \ h)"], simp)
    apply (simp add: m_assoc transpose_inv)
    done
qed

lemma (in group) rcos_disjoint:
  assumes "subgroup(H, G)"
  shows "\a \ rcosets H; b \ rcosets H; a\b\ \ a \ b = 0" (is "PROP ?P")
proof -
  interpret subgroup H G by fact
  show "PROP ?P"
    apply (simp add: RCOSETS_def r_coset_def)
    apply (blast intro: rcos_equation assms sym)
    done
qed


subsection \<open>Order of a Group and Lagrange's Theorem\<close>

definition
  order :: "i => i" where
  "order(S) == |carrier(S)|"

lemma (in group) rcos_self:
  assumes "subgroup(H, G)"
  shows "x \ carrier(G) \ x \ H #> x" (is "PROP ?P")
proof -
  interpret subgroup H G by fact
  show "PROP ?P"
    apply (simp add: r_coset_def)
    apply (rule_tac x="\" in bexI) apply (auto)
    done
qed

lemma (in group) rcosets_part_G:
  assumes "subgroup(H, G)"
  shows "\(rcosets H) = carrier(G)"
proof -
  interpret subgroup H G by fact
  show ?thesis
    apply (rule equalityI)
    apply (force simp add: RCOSETS_def r_coset_def)
    apply (auto simp add: RCOSETS_def intro: rcos_self assms)
    done
qed

lemma (in group) cosets_finite:
     "\c \ rcosets H; H \ carrier(G); Finite (carrier(G))\ \ Finite(c)"
apply (auto simp add: RCOSETS_def)
apply (simp add: r_coset_subset_G [THEN subset_Finite])
done

text\<open>More general than the HOL version, which also requires \<^term>\<open>G\<close> to
      be finite.\<close>
lemma (in group) card_cosets_equal:
  assumes H:   "H \ carrier(G)"
  shows "c \ rcosets H \ |c| = |H|"
proof (simp add: RCOSETS_def, clarify)
  fix a
  assume a: "a \ carrier(G)"
  show "|H #> a| = |H|"
  proof (rule eqpollI [THEN cardinal_cong])
    show "H #> a \ H"
    proof (simp add: lepoll_def, intro exI)
      show "(\y \ H#>a. y \ inv a) \ inj(H #> a, H)"
        by (auto intro: lam_type
                 simp add: inj_def r_coset_def m_assoc subsetD [OF H] a)
    qed
    show "H \ H #> a"
    proof (simp add: lepoll_def, intro exI)
      show "(\y\ H. y \ a) \ inj(H, H #> a)"
        by (auto intro: lam_type
                 simp add: inj_def r_coset_def  subsetD [OF H] a)
    qed
  qed
qed


lemma (in group) rcosets_subset_PowG:
     "subgroup(H,G) \ rcosets H \ Pow(carrier(G))"
apply (simp add: RCOSETS_def)
apply (blast dest: r_coset_subset_G subgroup.subset)
done

theorem (in group) lagrange:
     "\Finite(carrier(G)); subgroup(H,G)\
      \<Longrightarrow> |rcosets H| #* |H| = order(G)"
apply (simp (no_asm_simp) add: order_def rcosets_part_G [symmetric])
apply (subst mult_commute)
apply (rule card_partition)
   apply (simp add: rcosets_subset_PowG [THEN subset_Finite])
  apply (simp add: rcosets_part_G)
 apply (simp add: card_cosets_equal [OF subgroup.subset])
apply (simp add: rcos_disjoint)
done


subsection \<open>Quotient Groups: Factorization of a Group\<close>

definition
  FactGroup :: "[i,i] => i" (infixl \<open>Mod\<close> 65) where
    \<comment> \<open>Actually defined for groups rather than monoids\<close>
  "G Mod H ==
     <rcosets\<^bsub>G\<^esub> H, \<lambda><K1,K2> \<in> (rcosets\<^bsub>G\<^esub> H) \<times> (rcosets\<^bsub>G\<^esub> H). K1 <#>\<^bsub>G\<^esub> K2, H, 0>"

lemma (in normal) setmult_closed:
     "\K1 \ rcosets H; K2 \ rcosets H\ \ K1 <#> K2 \ rcosets H"
by (auto simp add: rcos_sum RCOSETS_def)

lemma (in normal) setinv_closed:
     "K \ rcosets H \ set_inv K \ rcosets H"
by (auto simp add: rcos_inv RCOSETS_def)

lemma (in normal) rcosets_assoc:
     "\M1 \ rcosets H; M2 \ rcosets H; M3 \ rcosets H\
      \<Longrightarrow> M1 <#> M2 <#> M3 = M1 <#> (M2 <#> M3)"
by (auto simp add: RCOSETS_def rcos_sum m_assoc)

lemma (in subgroup) subgroup_in_rcosets:
  assumes "group(G)"
  shows "H \ rcosets H"
proof -
  interpret group G by fact
  have "H #> \ = H"
    using _ subgroup_axioms by (rule coset_join2) simp_all
  then show ?thesis
    by (auto simp add: RCOSETS_def intro: sym)
qed

lemma (in normal) rcosets_inv_mult_group_eq:
     "M \ rcosets H \ set_inv M <#> M = H"
by (auto simp add: RCOSETS_def rcos_inv rcos_sum subgroup.subset normal_axioms normal.axioms)

theorem (in normal) factorgroup_is_group:
  "group (G Mod H)"
apply (simp add: FactGroup_def)
apply (rule groupI)
    apply (simp add: setmult_closed)
   apply (simp add: normal_imp_subgroup subgroup_in_rcosets)
  apply (simp add: setmult_closed rcosets_assoc)
 apply (simp add: normal_imp_subgroup
                  subgroup_in_rcosets rcosets_mult_eq)
apply (auto dest: rcosets_inv_mult_group_eq simp add: setinv_closed)
done

lemma (in normal) inv_FactGroup:
     "X \ carrier (G Mod H) \ inv\<^bsub>G Mod H\<^esub> X = set_inv X"
apply (rule group.inv_equality [OF factorgroup_is_group])
apply (simp_all add: FactGroup_def setinv_closed rcosets_inv_mult_group_eq)
done

text\<open>The coset map is a homomorphism from \<^term>\<open>G\<close> to the quotient group
  \<^term>\<open>G Mod H\<close>\<close>
lemma (in normal) r_coset_hom_Mod:
  "(\a \ carrier(G). H #> a) \ hom(G, G Mod H)"
by (auto simp add: FactGroup_def RCOSETS_def hom_def rcos_sum intro: lam_type)


subsection\<open>The First Isomorphism Theorem\<close>

text\<open>The quotient by the kernel of a homomorphism is isomorphic to the
  range of that homomorphism.\<close>

definition
  kernel :: "[i,i,i] => i" where
    \<comment> \<open>the kernel of a homomorphism\<close>
  "kernel(G,H,h) == {x \ carrier(G). h ` x = \\<^bsub>H\<^esub>}"

lemma (in group_hom) subgroup_kernel: "subgroup (kernel(G,H,h), G)"
apply (rule subgroup.intro)
apply (auto simp add: kernel_def group.intro)
done

text\<open>The kernel of a homomorphism is a normal subgroup\<close>
lemma (in group_hom) normal_kernel: "(kernel(G,H,h)) \ G"
apply (simp add: group.normal_inv_iff subgroup_kernel group.intro)
apply (simp add: kernel_def)
done

lemma (in group_hom) FactGroup_nonempty:
  assumes X: "X \ carrier (G Mod kernel(G,H,h))"
  shows "X \ 0"
proof -
  from X
  obtain g where "g \ carrier(G)"
             and "X = kernel(G,H,h) #> g"
    by (auto simp add: FactGroup_def RCOSETS_def)
  thus ?thesis
   by (auto simp add: kernel_def r_coset_def image_def intro: hom_one)
qed


lemma (in group_hom) FactGroup_contents_mem:
  assumes X: "X \ carrier (G Mod (kernel(G,H,h)))"
  shows "contents (h``X) \ carrier(H)"
proof -
  from X
  obtain g where g: "g \ carrier(G)"
             and "X = kernel(G,H,h) #> g"
    by (auto simp add: FactGroup_def RCOSETS_def)
  hence "h `` X = {h ` g}"
    by (auto simp add: kernel_def r_coset_def image_UN
                       image_eq_UN [OF hom_is_fun] g)
  thus ?thesis by (auto simp add: g)
qed

lemma mult_FactGroup:
     "[|X \ carrier(G Mod H); X' \ carrier(G Mod H)|]
      ==> X \<cdot>\<^bsub>(G Mod H)\<^esub> X' = X <#>\<^bsub>G\<^esub> X'"
by (simp add: FactGroup_def)

lemma (in normal) FactGroup_m_closed:
     "[|X \ carrier(G Mod H); X' \ carrier(G Mod H)|]
      ==> X <#>\<^bsub>G\<^esub> X' \<in> carrier(G Mod H)"
by (simp add: FactGroup_def setmult_closed)

lemma (in group_hom) FactGroup_hom:
     "(\X \ carrier(G Mod (kernel(G,H,h))). contents (h``X))
      \<in> hom (G Mod (kernel(G,H,h)), H)"
proof (simp add: hom_def FactGroup_contents_mem lam_type mult_FactGroup normal.FactGroup_m_closed [OF normal_kernel], intro ballI)
  fix X and X'
  assume X:  "X \ carrier (G Mod kernel(G,H,h))"
     and X': "X' \<in> carrier (G Mod kernel(G,H,h))"
  then
  obtain g and g'
           where "g \ carrier(G)" and "g' \ carrier(G)"
             and "X = kernel(G,H,h) #> g" and "X' = kernel(G,H,h) #> g'"
    by (auto simp add: FactGroup_def RCOSETS_def)
  hence all: "\x\X. h ` x = h ` g" "\x\X'. h ` x = h ` g'"
    and Xsub: "X \ carrier(G)" and X'sub: "X' \ carrier(G)"
    by (force simp add: kernel_def r_coset_def image_def)+
  hence "h `` (X <#> X') = {h ` g \\<^bsub>H\<^esub> h ` g'}" using X X'
    by (auto dest!: FactGroup_nonempty
             simp add: set_mult_def image_eq_UN [OF hom_is_fun] image_UN
                       subsetD [OF Xsub] subsetD [OF X'sub])
  thus "contents (h `` (X <#> X')) = contents (h `` X) \\<^bsub>H\<^esub> contents (h `` X')"
    by (simp add: all image_eq_UN [OF hom_is_fun] FactGroup_nonempty
                  X X' Xsub X'sub)
qed


text\<open>Lemma for the following injectivity result\<close>
lemma (in group_hom) FactGroup_subset:
     "\g \ carrier(G); g' \ carrier(G); h ` g = h ` g'\
      \<Longrightarrow>  kernel(G,H,h) #> g \<subseteq> kernel(G,H,h) #> g'"
apply (clarsimp simp add: kernel_def r_coset_def image_def)
apply (rename_tac y)
apply (rule_tac x="y \ g \ inv g'" in bexI)
apply (simp_all add: G.m_assoc)
done

lemma (in group_hom) FactGroup_inj:
     "(\X\carrier (G Mod kernel(G,H,h)). contents (h `` X))
      \<in> inj(carrier (G Mod kernel(G,H,h)), carrier(H))"
proof (simp add: inj_def FactGroup_contents_mem lam_type, clarify)
  fix X and X'
  assume X:  "X \ carrier (G Mod kernel(G,H,h))"
     and X': "X' \<in> carrier (G Mod kernel(G,H,h))"
  then
  obtain g and g'
           where gX: "g \ carrier(G)" "g' \ carrier(G)"
              "X = kernel(G,H,h) #> g" "X' = kernel(G,H,h) #> g'"
    by (auto simp add: FactGroup_def RCOSETS_def)
  hence all: "\x\X. h ` x = h ` g" "\x\X'. h ` x = h ` g'"
    and Xsub: "X \ carrier(G)" and X'sub: "X' \ carrier(G)"
    by (force simp add: kernel_def r_coset_def image_def)+
  assume "contents (h `` X) = contents (h `` X')"
  hence h: "h ` g = h ` g'"
    by (simp add: all image_eq_UN [OF hom_is_fun] FactGroup_nonempty
                  X X' Xsub X'sub)
  show "X=X'" by (rule equalityI) (simp_all add: FactGroup_subset h gX)
qed


lemma (in group_hom) kernel_rcoset_subset:
  assumes g: "g \ carrier(G)"
  shows "kernel(G,H,h) #> g \ carrier (G)"
    by (auto simp add: g kernel_def r_coset_def)



text\<open>If the homomorphism \<^term>\<open>h\<close> is onto \<^term>\<open>H\<close>, then so is the
homomorphism from the quotient group\<close>
lemma (in group_hom) FactGroup_surj:
  assumes h: "h \ surj(carrier(G), carrier(H))"
  shows "(\X\carrier (G Mod kernel(G,H,h)). contents (h `` X))
         \<in> surj(carrier (G Mod kernel(G,H,h)), carrier(H))"
proof (simp add: surj_def FactGroup_contents_mem lam_type, clarify)
  fix y
  assume y: "y \ carrier(H)"
  with h obtain g where g: "g \ carrier(G)" "h ` g = y"
    by (auto simp add: surj_def)
  hence "(\x\kernel(G,H,h) #> g. {h ` x}) = {y}"
    by (auto simp add: y kernel_def r_coset_def)
  with g show "\x\carrier(G Mod kernel(G, H, h)). contents(h `` x) = y"
        \<comment> \<open>The witness is \<^term>\<open>kernel(G,H,h) #> g\<close>\<close>
    by (force simp add: FactGroup_def RCOSETS_def
           image_eq_UN [OF hom_is_fun] kernel_rcoset_subset)
qed


text\<open>If \<^term>\<open>h\<close> is a homomorphism from \<^term>\<open>G\<close> onto \<^term>\<open>H\<close>, then the
 quotient group \<^term>\<open>G Mod (kernel(G,H,h))\<close> is isomorphic to \<^term>\<open>H\<close>.\<close>
theorem (in group_hom) FactGroup_iso:
  "h \ surj(carrier(G), carrier(H))
   \<Longrightarrow> (\<lambda>X\<in>carrier (G Mod kernel(G,H,h)). contents (h``X)) \<in> (G Mod (kernel(G,H,h))) \<cong> H"
by (simp add: iso_def FactGroup_hom FactGroup_inj bij_def FactGroup_surj)

end

¤ Diese beiden folgenden Angebotsgruppen bietet das Unternehmen0.57Angebot  Wie Sie bei der Firma Beratungs- und Dienstleistungen beauftragen können  ¤



Druckansicht
unsichere Verbindung
Druckansicht
Hier finden Sie eine Liste der Produkte des Unternehmens

Eigene Datei ansehen




Lebenszyklus

Die hierunter aufgelisteten Ziele sind für diese Firma wichtig


Ziele

Entwicklung einer Software für die statische Quellcodeanalyse


Bot Zugriff