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Datei: riesz_representation.prf Sprache: PVS

Original von: PVS^©

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% Extras for analysis library
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%     Author: David Lester, Manchester University
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% (Bored at Houston, after SCAN08 in El Paso)
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%     Version 1.0            26/2/10   Initial Version
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restriction_integral[T1,T2:TYPE FROM real]: THEORY

BEGIN

  ASSUMING

    connected_domain_T1 : ASSUMPTION
        FORALL (x, y : T1), (z : real) :
            x <= z AND z <= y IMPLIES T1_pred(z)

    connected_domain_T2 : ASSUMPTION
        FORALL (x, y : T2), (z : real) :
            x <= z AND z <= y IMPLIES T2_pred(z)

    not_one_element_T1 : ASSUMPTION
        FORALL (x : T1) : EXISTS (y : T1) : x /= y

    not_one_element_T2 : ASSUMPTION
        FORALL (x : T2) : EXISTS (y : T2) : x /= y

    sub_domain : ASSUMPTION
        FORALL (x : T1) : EXISTS (y : T2) : x = y

  ENDASSUMING

  IMPORTING analysis@integral_def

  a,b: VAR T1
  c:   VAR real
  f:   VAR [T2 -> real]
  g:   VAR [T1 -> real]

  restrict_Integrable: LEMMA Integrable?[T2](a,b,f) <=>
                             Integrable?[T1](a,b,restrict[T2,T1,real](f))

  restrict_Integral:   LEMMA Integrable?[T2](a,b,f) =>
              Integral[T2](a,b,f) = Integral[T1](a,b,restrict[T2,T1,real](f))

  extend_Integrable:   LEMMA Integrable?[T1](a,b,g) <=>
                             Integrable?[T2](a,b,extend[T2,T1,real,c](g))

  extend_Integral:     LEMMA Integrable?[T1](a,b,g) =>
              Integral[T1](a,b,g) = Integral[T2](a,b,extend[T2,T1,real,c](g))

END restriction_integral

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