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Datei: majority_array.pvs Sprache: PVS

Original von: PVS^©

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%  majority_array (basic definitions and properties)
%  -------------------------------------------
%
%    This theory defines the majority function over an array of
%    values.
%
%  Defines:
%
%           is_majority(mv,A) -- predicate that is true IFF mv is
%                                the majority value of the array A.
%
%           maj_exists(A)     -- predicate that is true IFF a majority
%                                of A exists.
%
%           maj(A)            -- function that returns the majority value
%                                of A if a majority exists.  If a majority
%                                does not exist, the function returns an
%                                unspecified value from the type T.
%                                This value may not be in the array.
%
%           inseq(x,A)        -- predicate that is true IFF x is in
%                                the array A.
%
%------------------------------------------------------------------------
majority_array[N: posnat, T: NONEMPTY_TYPE]: THEORY

BEGIN

  IMPORTING finite_sets@finite_sets_below[N], below_arrays[N,T]

  A: VAR ARRAY[below[N] -> T]
  mv, mv1, mv2, x, c: VAR T
  ii: VAR below[N]

  is_majority(mv, A): bool = 2*card({ii | A(ii) = mv}) > N

  maj_exists(A): bool = (EXISTS (mv: T): is_majority(mv,A))

  maj(A): {mv | maj_exists(A) => is_majority(mv,A)}

  is_majority_unique: LEMMA is_majority(mv1,A) AND is_majority(mv2,A)
                            IMPLIES mv1 = mv2

  maj_lem:            LEMMA is_majority(mv,A) IFF
                            maj_exists(A) AND maj(A) = mv

  maj_subset:         LEMMA   (EXISTS (IDS: finite_set[below(N)]):
                                   2*card(IDS) > N
                               AND (FORALL ii: IDS(ii) IMPLIES A(ii) = mv))
                            IMPLIES is_majority(mv,A)

  maj_in_array:       LEMMA is_majority(mv,A) IMPLIES
                               (EXISTS ii: A(ii) = mv)

% ===================== Some Special Arrays ===================

  constant_array(c): below_array = (LAMBDA ii: c)

  is_majority_const: LEMMA is_majority(c, constant_array(c))

  maj_const:         LEMMA maj_exists(constant_array(c)) AND
                           maj(constant_array(c)) = c

END majority_array

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