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Datei: examples.prf Sprache: PVS

Original von: PVS^©

abs_lems : THEORY
BEGIN

  x,y  : VAR real
  t,a,b: VAR real
  z    : VAR nzreal
  n    : VAR nat

  IMPORTING sq,root

  abs_eq_0         : LEMMA abs(x) = 0 IFF x = 0

  abs_0            : LEMMA abs(0) = 0

  abs_nat          : LEMMA abs(n) = n

  abs_diff         : LEMMA abs(x) - abs(y) <= abs(x - y)

  abs_neg          : LEMMA abs(-x) = abs(x)

  abs_diff_commute : LEMMA abs(x - y) = abs(y - x)

  abs_diff_0       : LEMMA x = y IFF abs(x - y) = 0

  abs_add_pos      : LEMMA
    x*y >= 0 IMPLIES
    abs(x+y) = abs(x)+abs(y)

  triangle2        : LEMMA abs(x - t) < a AND abs(x - y) < b
                                      IMPLIES abs(t - y) < a + b

  abs_sq           : LEMMA abs(sq(a)) = sq(a)

  abs_lt           : LEMMA abs(x) < a IFF x > -a AND x < a
  abs_le           : LEMMA abs(x) <= a IFF x >= -a AND x <= a

  abs_gt           : LEMMA abs(x) > a IFF x < -a OR x > a
  abs_ge           : LEMMA abs(x) >= a IFF x <= -a OR x >= a

  abs_pos          : LEMMA abs(x) > 0 IFF x /= 0

  gt_abs           : LEMMA a > abs(x) IFF x > -a AND x < a
  ge_abs           : LEMMA a >= abs(x) IFF x >= -a AND x <= a

  lt_abs           : LEMMA a < abs(x) IFF x < -a OR x > a
  le_abs           : LEMMA a <= abs(x) IFF x <= -a OR x >= a

  pos_abs          : LEMMA 0 < abs(x) IFF x /= 0

% -------- abs(f) and abs of linear function: minimum property ----

   f: VAR [real -> real]
   m: VAR real

   abs_mono_inc: LEMMA
                   m*t + b = 0 AND
                   t <= x AND x <= y
                   IMPLIES
                          abs(m*x+b) <= abs(m*y+b)

   abs_mono_dec: LEMMA
                   m*t + b = 0 AND
                   x <= y AND y <= t
                   IMPLIES
                          abs(m*x+b) >= abs(m*y+b)

  AUTO_REWRITE+  abs_0
  AUTO_REWRITE+  abs_nat

  AUTO_REWRITE-  abs_diff_commute

  abs_root: LEMMA n>0 AND (x<0 IMPLIES odd?(n))
          IMPLIES abs(root_real(x)(n)) =
          root_real(abs(x))(n)

END abs_lems

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