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<Chapter>
  <Heading>Computing the Mal'cev correspondence

  <Section Label="sec:mainfuncs">
   <Heading>The main functions</Heading>
   Let <M>G</M> be a <M>T</M>-group
   and <M>G^</M> its <M>\Q</M>-powered hull.
   In this chapter we describe functionality 
   for setting up the 
   Mal'cev correspondence
   between <M>G^</M> and the Lie algebra <M>L(G)</M>.
 
   The data structures needed for computations with <M>G^</M> and 
   <M>L(G)</M> are 
   stored in a so-called Mal'cev object.
   Computational representations of 
   elements of <M>G^</M>, respectively <M>L(G)</M>, 
   will be called Mal'cev group elements, respectively
   Mal'cev Lie elements.
 
 <ManSection>
  <Func Name="MalcevObjectByTGroup" Arg="N"/>
  <Description>
    If <A>N</A> is a a <A>T</A>-group 
    (i.e. a finitely generated torsion-free nilpotent group),
    given by a polycyclic presentation with respect to a Mal'cev basis,
    then this function computes the Mal'cev correspondence for N
    and stores the result in a so-called Mal'cev object.
    Otherwise this function returns `fail'.
    In the moment this function is restricted to groups <A>N</A>
    of nilpotency class at most 9.
  </Description>
 </ManSection>
 
 <ManSection>
  <Func Name="UnderlyingGroup" Arg="mo"/>
  <Description>
    For a Mal'cev object mo this function returns the
    <A>T</A>-group, which was used to build <A>mo</A>.
  </Description>
 </ManSection>
 
 <ManSection>
  <Func Name="UnderlyingLieAlgebra" Arg="mo"/>
  <Description>
    For a Mal'cev object mo this function returns the Lie algebra,
    which underlies the correspondence described by <A>mo</A>.
  </Description>
 </ManSection>
 
 <ManSection>
  <Func Name="Dimension" Arg="mo"/>
  <Description>
    Returns the dimension of the Lie algebra that underlies the
    Mal'cev object mo.
  </Description>
 </ManSection>
 
 <ManSection>
  <Func Name="MalcevGrpElementByExponents" Arg="mo, exps"/>
  <Description>
    For a Mal'cev object mo and an exponent vector exps
    with rational entries, this functions returns the Mal'cev group
    element, which has exponents <A>exps</A> with respect to the
    Mal'cev basis of the underlying group of mo.
  </Description>
 </ManSection>
 
 <ManSection>
  <Func Name="MalcevLieElementByCoefficients" Arg="mo, coeffs"/>
  <Description>
    For a Mal'cev object mo and a coefficient vector
    <A>coeffs</A> with rational 
    entries, this functions returns the Mal'cev Lie element, which
    has coefficients  <A>coeffs</A> with respect to the basis of 
    the underlying Lie algebra of <A>mo</A>.
  </Description>
 </ManSection>
 
 <ManSection>
  <Func Name="RandomGrpElm" Arg="mo, range"/>
  <Description>
    For a Mal'cev object mo this function returns the output of
    MalcevGrpElementByExponents( <A>mo</A>, <A>exps</A> ), where 
    <A>exps</A> is an exponent vector whose entries are randomly 
    chosen integers between -<A>range</A> and <A>range</A>.
  </Description>
 </ManSection>
 
 <ManSection>
  <Func Name="RandomLieElm" Arg="mo, range"/>
  <Description>
    For a Mal'cev object mo this function returns the output of
    MalcevLieElementByExponents( <A>mo</A>, <A>coeffs</A> ), where 
    <A>coeffs</A> is a coefficient vector whose entries are randomly 
    chosen integers between -<A>range</A> and <A>range</A>.
  </Description>
 </ManSection>
 
 <ManSection>
  <Func Name="Log" Arg="g"/>
  <Description>
    For Mal'cev group element g this function returns the
    corresponding Mal'cev Lie element.
  </Description>
 </ManSection>
 
 <ManSection>
  <Func Name="Exp" Arg="x"/>
  <Description>
    For Mal'cev Lie element x this function returns the
    corresponding Mal'cev group element.
  </Description>
 </ManSection>
 
 <ManSection>
  <Func Name="*" Arg="g, h"/>
  <Description>
    Returns the product of Mal'cev group elements.
  </Description>
 </ManSection>
 
 <ManSection>
  <Func Name="Comm" Arg="x, y"/>
  <Description>
    If <A>x</A>,<A>y</A> are Mal'cev group elements, then this
    function returns the group theoretic commutator of <A>x</A>
    and <A>y</A>.
    If <A>x</A>,<A>y</A> are Mal'cev Lie elements, then this function
    returns the Lie commutator of <A>x</A> and <A>y</A>.
  </Description>
 </ManSection>
 
 <ManSection>
  <Func Name="MalcevSymbolicGrpElementByExponents" Arg="mo, exps"/>
  <Description>
    For a Mal'cev object mo and an exponent vector exps
    with rational indeterminates as entries, 
    this functions returns the Mal'cev group element, which
    has exponents <A>exps</A> with respect to the Mal'cev basis of the
    underlying group of <A>mo</A>.
  </Description>
 </ManSection>
 
 <ManSection>
  <Func Name="MalcevLieElementByCoefficients" Arg="mo, coeffs"/>
  <Description>
    For a Mal'cev object mo and a coefficient vector
    <A>coeffs</A> with rational indeterminates as entries, 
    this functions returns the Mal'cev Lie element, which
    has coefficients  <A>coeffs</A> with respect to the basis of the 
    underlying Lie algebra of <A>mo</A>.
  </Description> 
 </ManSection>
  </Section>

  <Section>
 <Heading>An example application</Heading>
 <Example>
 gap> n := 2;
 2
 gap> F := FreeGroup( n );
 <free group on the generators [ f1, f2 ]>
 gap> c := 3;
 3
 gap> N := NilpotentQuotient( F, c );
 Pcp-group with orders [ 0, 0, 0, 0, 0 ]
 
 gap> mo := MalcevObjectByTGroup( N );
 <<Malcev object of dimension 5>>
 gap> dim := Dimension( mo );
 5
 gap> UnderlyingGroup( mo );
 Pcp-group with orders [ 0, 0, 0, 0, 0 ]
 gap> UnderlyingLieAlgebra( mo );
 <Lie algebra of dimension 5 over Rationals>
  
 gap> g := MalcevGrpElementByExponents( mo, [1,1,0,2,-1/2] );
 [ 1, 1, 0, 2, -1/2 ]
 gap> x := MalcevLieElementByCoefficients( mo, [1/2, 2, -1, 3, 5 ] );
 [ 1/2, 2, -1, 3, 5 ]
 
 gap> h := RandomGrpElm( mo );
 [ 5, -3, 0, -2, 8 ]
 gap> y := RandomLieElm( mo );
 [ 3, 9, 5, 5, 2 ]
 
 gap> z := Log( g );
 [ 1, 1, -1/2, 7/3, -1/3 ]
 gap> Exp( z ) = g;
 true
 gap> k := Exp( y );
 [ 3, 9, 37/2, 77/4, 395/4 ]
 gap> Log( k ) = y;
 true
 
 gap> g*h;
 [ 6, -2, 5, 10, -15/2 ]
 gap> Comm(g,h);
 [ 0, 0, 8, 10, -18 ]
 gap> Comm(x,y);
 [ 0, 0, 3/2, -25/4, -79/4 ]
 
 gap> indets := List( List( [1..dim], i->Concatenation( "a_", String(i) ) ),
 >                   x->Indeterminate( Rationals, x : new ) );
 [ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 ]
 gap> g_sym := MalcevSymbolicGrpElementByExponents( mo, indets );
 [ a_1, a_2, a_3, a_4, a_5 ]
 gap> x_sym := Log( g_sym );
 [ a_1, a_2, -1/2*a_1*a_2+a_3, 1/12*a_1^2*a_2+1/4*a_1*a_2-1/2*a_1*a_3+a_4,
 -1/12*a_1*a_2^2+1/4*a_1*a_2-1/2*a_2*a_3+a_5 ]
 gap> g_sym * g;
 [ a_1+1, a_2+1, a_2+a_3, a_3+a_4+2, 1/2*a_2^2+1/2*a_2+a_3+a_5-1/2 ]
 </Example>
 
 </Section>
</Chapter>