Quelle  CLim.thy   Sprache: Isabelle

(*  Title:      HOL/Nonstandard_Analysis/CLim.thy
    Author:     Jacques D. Fleuriot
    Copyright:  2001 University of Edinburgh
    Conversion to Isar and new proofs by Lawrence C Paulson, 2004
*)

section ‹Limits, Continuity and Differentiation for Complex Functions›

theory CLim
  imports CStar
begin

(*not in simpset?*)
declare epsilon_not_zero [simp]

(*??generalize*)
lemma lemma_complex_mult_inverse_squared [simp]: "x \ 0 \ x * (inverse x)\<^sup>2 = inverse x"
  for x :: complex
  by (simp add: numeral_2_eq_2)

text ‹Changing the quantified variable. Install earlier?›
lemma all_shift: "(\x::'a::comm_ring_1. P x) \ (\x. P (x - a))"
  by (metis add_diff_cancel)

subsection ‹Limit of Complex to Complex Function›

lemma NSLIM_Re: "f \a\\<^sub>N\<^sub>S L \ (\x. Re (f x)) \a\\<^sub>N\<^sub>S Re L"
  by (simp add: NSLIM_def starfunC_approx_Re_Im_iff hRe_hcomplex_of_complex)

lemma NSLIM_Im: "f \a\\<^sub>N\<^sub>S L \ (\x. Im (f x)) \a\\<^sub>N\<^sub>S Im L"
  by (simp add: NSLIM_def starfunC_approx_Re_Im_iff hIm_hcomplex_of_complex)

lemma LIM_Re: "f \a\ L \ (\x. Re (f x)) \a\ Re L"
  for f :: "'a::real_normed_vector \ complex"
  by (simp add: LIM_NSLIM_iff NSLIM_Re)

lemma LIM_Im: "f \a\ L \ (\x. Im (f x)) \a\ Im L"
  for f :: "'a::real_normed_vector \ complex"
  by (simp add: LIM_NSLIM_iff NSLIM_Im)

lemma LIM_cnj: "f \a\ L \ (\x. cnj (f x)) \a\ cnj L"
  for f :: "'a::real_normed_vector \ complex"
  by (simp add: LIM_eq complex_cnj_diff [symmetric] del: complex_cnj_diff)

lemma LIM_cnj_iff: "((\x. cnj (f x)) \a\ cnj L) \ f \a\ L"
  for f :: "'a::real_normed_vector \ complex"
  by (simp add: LIM_eq complex_cnj_diff [symmetric] del: complex_cnj_diff)

lemma starfun_norm: "( *f* (\x. norm (f x))) = (\x. hnorm (( *f* f) x))"
  by transfer (rule refl)

lemma star_of_Re [simp]: "star_of (Re x) = hRe (star_of x)"
  by transfer (rule refl)

lemma star_of_Im [simp]: "star_of (Im x) = hIm (star_of x)"
  by transfer (rule refl)

text ‹Another equivalence result.›
lemma NSCLIM_NSCRLIM_iff: "f \x\\<^sub>N\<^sub>S L \ (\y. cmod (f y - L)) \x\\<^sub>N\<^sub>S 0"
  by (simp add: NSLIM_def starfun_norm
      approx_approx_zero_iff [symmetric] approx_minus_iff [symmetric])

text ‹Much, much easier standard proof.›
lemma CLIM_CRLIM_iff: "f \x\ L \ (\y. cmod (f y - L)) \x\ 0"
  for f :: "'a::real_normed_vector \ complex"
  by (simp add: LIM_eq)

text ‹So this is nicer nonstandard proof.›
lemma NSCLIM_NSCRLIM_iff2: "f \x\\<^sub>N\<^sub>S L \ (\y. cmod (f y - L)) \x\\<^sub>N\<^sub>S 0"
  by (simp add: LIM_NSLIM_iff [symmetric] CLIM_CRLIM_iff)

lemma NSLIM_NSCRLIM_Re_Im_iff:
  "f \a\\<^sub>N\<^sub>S L \ (\x. Re (f x)) \a\\<^sub>N\<^sub>S Re L \ (\x. Im (f x)) \a\\<^sub>N\<^sub>S Im L"
  apply (auto intro: NSLIM_Re NSLIM_Im)
  apply (auto simp add: NSLIM_def starfun_Re starfun_Im)
  apply (auto dest!: spec)
  apply (simp add: hcomplex_approx_iff)
  done

lemma LIM_CRLIM_Re_Im_iff: "f \a\ L \ (\x. Re (f x)) \a\ Re L \ (\x. Im (f x)) \a\ Im L"
  for f :: "'a::real_normed_vector \ complex"
  by (simp add: LIM_NSLIM_iff NSLIM_NSCRLIM_Re_Im_iff)


subsection ‹Continuity›

lemma NSLIM_isContc_iff: "f \a\\<^sub>N\<^sub>S f a \ (\h. f (a + h)) \0\\<^sub>N\<^sub>S f a"
  by (rule NSLIM_at0_iff)


subsection ‹Functions from Complex to Reals›

lemma isNSContCR_cmod [simp]: "isNSCont cmod a"
  by (auto intro: approx_hnorm
      simp: starfunCR_cmod hcmod_hcomplex_of_complex [symmetric] isNSCont_def)

lemma isContCR_cmod [simp]: "isCont cmod a"
  by (simp add: isNSCont_isCont_iff [symmetric])

lemma isCont_Re: "isCont f a \ isCont (\x. Re (f x)) a"
  for f :: "'a::real_normed_vector \ complex"
  by (simp add: isCont_def LIM_Re)

lemma isCont_Im: "isCont f a \ isCont (\x. Im (f x)) a"
  for f :: "'a::real_normed_vector \ complex"
  by (simp add: isCont_def LIM_Im)


subsection ‹Differentiation of Natural Number Powers›

lemma CDERIV_pow [simp]: "DERIV (\x. x ^ n) x :> complex_of_real (real n) * (x ^ (n - Suc 0))"
  apply (induct n)
   apply (drule_tac [2] DERIV_ident [THEN DERIV_mult])
   apply (auto simp add: distrib_right of_nat_Suc)
  apply (case_tac "n")
   apply (auto simp add: ac_simps)
  done

text ‹Nonstandard version.›
lemma NSCDERIV_pow: "NSDERIV (\x. x ^ n) x :> complex_of_real (real n) * (x ^ (n - 1))"
  by (metis CDERIV_pow NSDERIV_DERIV_iff One_nat_def)

text ‹Can't relax the premise \<^term>\x \ 0\: it isn't continuous at zero.›
lemma NSCDERIV_inverse: "x \ 0 \ NSDERIV (\x. inverse x) x :> - (inverse x)\<^sup>2"
  for x :: complex
  unfolding numeral_2_eq_2 by (rule NSDERIV_inverse)

lemma CDERIV_inverse: "x \ 0 \ DERIV (\x. inverse x) x :> - (inverse x)\<^sup>2"
  for x :: complex
  unfolding numeral_2_eq_2 by (rule DERIV_inverse)


subsection ‹Derivative of Reciprocals (Function 🍋‹inverse›)›

lemma CDERIV_inverse_fun:
  "DERIV f x :> d \ f x \ 0 \ DERIV (\x. inverse (f x)) x :> - (d * inverse ((f x)\<^sup>2))"
  for x :: complex
  unfolding numeral_2_eq_2 by (rule DERIV_inverse_fun)

lemma NSCDERIV_inverse_fun:
  "NSDERIV f x :> d \ f x \ 0 \ NSDERIV (\x. inverse (f x)) x :> - (d * inverse ((f x)\<^sup>2))"
  for x :: complex
  unfolding numeral_2_eq_2 by (rule NSDERIV_inverse_fun)


subsection ‹Derivative of Quotient›

lemma CDERIV_quotient:
  "DERIV f x :> d \ DERIV g x :> e \ g(x) \ 0 \
    DERIV (λy. f y / g y) x :> (d * g x - (e * f x)) / (g x)🚫2"
  for x :: complex
  unfolding numeral_2_eq_2 by (rule DERIV_quotient)

lemma NSCDERIV_quotient:
  "NSDERIV f x :> d \ NSDERIV g x :> e \ g x \ (0::complex) \
    NSDERIV (λy. f y / g y) x :> (d * g x - (e * f x)) / (g x)🚫2"
  unfolding numeral_2_eq_2 by (rule NSDERIV_quotient)


subsection ‹Caratheodory Formulation of Derivative at a Point: Standard Proof›

lemma CARAT_CDERIVD:
  "(\z. f z - f x = g z * (z - x)) \ isNSCont g x \ g x = l \ NSDERIV f x :> l"
  by clarify (rule CARAT_DERIVD)

end