Quelle real_fun_props.pvs Sprache: PVS

real_fun_props [T : TYPE FROM real] : THEORY
%----------------------------------------------------------------------%
%  Defines several properties of functions [T -> real]                 %
%  -> increasing/decreasing functions                                  %
%  -> upper/lower bound                                                %
%  -> maximum/minimum of a function                                    %
%----------------------------------------------------------------------%
BEGIN

  IMPORTING real_fun_ops, real_fun_preds

  f    : VAR [T -> real]
  x, y : VAR T
  a, z : VAR real

  %-------------------
  %  Easy properties
  %-------------------

  strict_incr_to_incr : LEMMA  strict_increasing?(f) IMPLIES increasing?(f)
  strict_decr_to_decr : LEMMA  strict_decreasing?(f) IMPLIES decreasing?(f)

  incr_neg       : LEMMA increasing?(- f) IFF decreasing?(f)
  decr_neg       : LEMMA decreasing?(- f) IFF increasing?(f)

  strict_incr_neg: LEMMA strict_increasing?(- f) IFF strict_decreasing?(f)
  strict_decr_neg: LEMMA strict_decreasing?(- f) IFF strict_increasing?(f)

  %-----------------------
  %  Constant functions
  %-----------------------

  constant_to_incr    : LEMMA  constant?(f) IMPLIES increasing?(f)
  constant_to_decr    : LEMMA  constant?(f) IMPLIES decreasing?(f)
  constant_neg        : LEMMA  constant?(- f) IFF constant?(f)

  %------------------------
  %  Relation to negative function
  %------------------------

  bounded_above_neg : LEMMA bounded_above?(- f) IFF bounded_below?(f)
  bounded_below_neg : LEMMA bounded_below?(- f) IFF bounded_above?(f)

  %------------------------
  %  Relation with bounds
  %------------------------

  max_bounded : LEMMA is_maximum?(x, f) IMPLIES bounded_above?(f)
  min_bounded : LEMMA is_minimum?(x, f) IMPLIES bounded_below?(f)

  %----------------------------------
  %  Relation with negative functions
  %----------------------------------

  max_neg : LEMMA  is_maximum?(x, - f) IFF is_minimum?(x, f)
  min_neg : LEMMA  is_minimum?(x, - f) IFF is_maximum?(x, f)

  %--------------------------------------------------------
  %  Image of a function
  %   redefined from function_image to avoid conversions
  %--------------------------------------------------------

  E: VAR setof[real]

  Im(f)    : setof[real] = { z | EXISTS x : z = f(x) }
  Im(f, E) : setof[real] = { z | EXISTS x : E(x) AND z = f(x) }

END real_fun_props

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