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Datei: sqrt.pvs Sprache: PVS

Original von: PVS^©

sqrt: THEORY
%------------------------------------------------------------------------
%
%  Square root of non-negative real
%
%  Supercedes older version: sqrt_ax
%
%  Authors:  Rick Butler             NASA
%            Cesar Munoz             NIA
%------------------------------------------------------------------------
BEGIN

  IMPORTING sq,sign,                      % sq(a): nonneg_real = a*a
            sqrt_exists

   nnx, nny, nnz: VAR nonneg_real
   a,x,y,z,xx: VAR real

  sqrt(nnx): {nnz : nnreal | nnz*nnz = nnx}

  sqrt_pos            : JUDGEMENT sqrt(px: posreal) HAS_TYPE posreal

% -------------------- Special Arguments --------------------

  sqrt_0              : LEMMA  sqrt(0) = 0
  sqrt_1              : LEMMA  sqrt(1) = 1
  sqrt_eq_0           : LEMMA  sqrt(nnx) = 0 IMPLIES nnx = 0
  sqrt_eq_1           : LEMMA  sqrt(nnx) = 1 IMPLIES nnx = 1

% -------------------- Basic Properties --------------------

  sqrt_lem            : LEMMA  sqrt(nny) = nnz IFF nnz * nnz = nny

  sqrt_def            : LEMMA  sqrt(nnx) * sqrt(nnx) = nnx

  sqrt_square         : LEMMA  sqrt(nnx * nnx) = nnx

  sqrt_sq             : LEMMA  x >= 0 IMPLIES sqrt(sq(x)) = x

  sqrt_sq_neg         : LEMMA  x < 0 IMPLIES sqrt(sq(x)) = -x

  sqrt_sq_abs         : LEMMA  sqrt(sq(x)) = abs(x)

  sqrt_sq_sign        : LEMMA  sqrt(sq(x)) = sign(x)*x

  sq_sqrt             : LEMMA  x >= 0 IMPLIES sq(sqrt(x))=x

  sqrt_times          : LEMMA  sqrt(nny * nnz) = sqrt(nny) * sqrt(nnz)

  sqrt_div            : LEMMA  nnz /= 0 IMPLIES
                                   sqrt(nny / nnz) = sqrt(nny) / sqrt(nnz)

  abs_sqrt            : LEMMA abs(sqrt(nnx)) = sqrt(nnx)

  sqrt_scal           : LEMMA abs(a)*sqrt(nnx) = sqrt(sq(a)*nnx)

% --------------------- Inequalities --------------------

  sqrt_lt             : LEMMA  sqrt(nny) < sqrt(nnz) IFF nny < nnz

  sqrt_le             : LEMMA  sqrt(nny) <= sqrt(nnz) IFF nny <= nnz

  sqrt_gt             : LEMMA  sqrt(nny) > sqrt(nnz) IFF nny > nnz

  sqrt_ge             : LEMMA  sqrt(nny) >= sqrt(nnz) IFF nny >= nnz

  sqrt_eq             : LEMMA  sqrt(nny) = sqrt(nnz) IFF nny = nnz

  sqrt_less           : LEMMA  nnx > 1 IMPLIES sqrt(nnx) < nnx

  sqrt_more           : LEMMA  nnx > 0 AND nnx < 1 IMPLIES sqrt(nnx) > nnx

  sqrt_lt_0           : LEMMA  nnx < 0 IFF sqrt(nnx) < 0

  sqrt_le_0           : LEMMA  nnx <= 0 IFF sqrt(nnx) <= 0

  sqrt_gt_0           : LEMMA  nnx > 0 IFF sqrt(nnx) > 0

  sqrt_ge_0           : LEMMA  nnx >= 0 IFF sqrt(nnx) >= 0

  sqrt_lt1            : LEMMA  nnx < 1 IFF sqrt(nnx) < 1

  sqrt_le1            : LEMMA  nnx <= 1 IFF sqrt(nnx) <= 1

  sqrt_gt1            : LEMMA  nnx > 1 IFF sqrt(nnx) > 1

  sqrt_ge1            : LEMMA  nnx >= 1 IFF sqrt(nnx) >= 1

  sqrt_plus_le        : LEMMA  sqrt(nnx+nny) <= sqrt(nnx) + sqrt(nny)

  sqrt_cauchy         : LEMMA FORALL (a,b,c,d: real):
                           a*c + b*d <= sqrt(sq(a)+sq(b)) *  sqrt(sq(c)+sq(d))

  sqrt_4              : LEMMA  sqrt(4) = 2
  sqrt_9              : LEMMA  sqrt(9) = 3
  sqrt_16             : LEMMA  sqrt(16) = 4
  sqrt_25             : LEMMA  sqrt(25) = 5

  AUTO_REWRITE+   sqrt_4
  AUTO_REWRITE+   sqrt_9
  AUTO_REWRITE+   sqrt_16
  AUTO_REWRITE+   sqrt_25

  AUTO_REWRITE+ sqrt_0
  AUTO_REWRITE+ sqrt_1
  AUTO_REWRITE+ sqrt_square
  AUTO_REWRITE+ sqrt_sq
  AUTO_REWRITE+ sqrt_sq_neg
  AUTO_REWRITE+ sq_sqrt

END sqrt

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