Quelle sincos.pvs Sprache: PVS

sincos: THEORY

  BEGIN

  IMPORTING sincos_def
  IMPORTING analysis_ax@deriv_domains, analysis_ax@derivatives, analysis_ax@nth_derivatives,
            analysis_ax@taylors

  x,x0:  VAR real
  px:    VAR posreal
  n:     VAR nat

%   sin_convergence: LEMMA convergence(NQ(sin,x),0,cos(x))
   sin_derivable     : AXIOM derivable?(sin,x)
   sin_derivable_fun : LEMMA derivable?(sin)
   deriv_sin_fun     : AXIOM deriv(sin) = cos

%   cos_convergence: LEMMA convergence(NQ(cos,x),0,-sin(x))
   cos_derivable     : AXIOM derivable?(cos,x)
   cos_derivable_fun : LEMMA derivable?(cos)
   deriv_cos_fun     : AXIOM deriv(cos) = -sin

   sin_continuous    : AXIOM continuous?(sin,x0)
   cos_continuous    : AXIOM continuous?(cos,x0)
   sin_continuous_fun: LEMMA continuous?(sin)
   cos_continuous_fun: LEMMA continuous?(cos)

   nderiv_sin_fun    : AXIOM derivable_n_times?(sin,n) AND
                          nderiv(n,sin) = LAMBDA (x:real): sin((n*pi/2)+x)
   nderiv_cos_fun    : AXIOM derivable_n_times?(cos,n) AND
                          nderiv(n,cos) = LAMBDA (x:real): cos((n*pi/2)+x)

   sin_taylors: LEMMA (EXISTS (c: between(0,x)):
     sin(x) = sin_series_n(x,n)+nderiv(2*n+3,sin)(c)*x^(2*n+3)/factorial(2*n+3))

   cos_taylors: LEMMA (EXISTS (c: between(0,x)):
     cos(x) = cos_series_n(x,n)+nderiv(2*n+2,cos)(c)*x^(2*n+2)/factorial(2*n+2))

  END sincos

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