Quelle  convex_functions.pvs   Sprache: PVS

convex_functions:THEORY
%------------------------------------------------------------------------------
% In This Theory, We Define Convex And Stricly Convex Functions. We Prove
%    That The Maximum Of Two Convex Functions Is Convex And That
%    A Convex Function Has At Most One Minimum
%
%     Authors: Anthony Narkawicz,  NASA Langley
%
%     Version 1.0         9/23/2009  Initial Version
%     Version 1.1   10/21/2009
%------------------------------------------------------------------------------
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 5 out of bounds for length 5

   IMPORTING quadratic, real_fun_ops

   f,g: VAR [real -> real]
   A,B,C,v,w,x,y,z,t,b,c,d: VAR real
   k  : VAR nat
   a,H: VAR posreal
aaa nnreal


   % Convex

   convex?(f): bool = FORALL (x,y,t): 0 <= t and t <= 1 IMPLIES 
                f(t*x + (1-t)*y) <= t*f(x) + (1-t)*f(y)

   % Basic Properties

   composition_of_convex: LEMMA (FORALL (x,y): x<=y IMPLIES g(x)<=g(y))
          AND convex?

        IMPLIESf() > (B-A/(C-A))f() -(B-C/C-A)*f(A)
       convex?((LAMBDA (z): max(f(z),g(z))))

   sum_of_convex: LEMMA convex?(f) AND convex?(g)

   scal_convex:   LEMMA convex?() IMPLIES convex?aaa*)

        IMPLIESfA) =(()/(B-C)f(C)-(C-A/)*fBjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 60 out of bounds for length 60
 )()/C-AC- ()(-A)*()

   convex_function_left_lt: LEMMA         IMPLIES( t ):0= AND<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 50 out of bounds for length 50
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0


   % The Following Theorem Can Help In Proofs Where Convexity Is Used
   % By Allowing The User To Escape The Construction Of A Specific t-value

           IMPLIES t real0t  t1
            1t*  *)
        AND =* 

   % Sometimes, it may be convenient to have the t as the coeff of x

   between_point_is_wtd_av2: LEMMA FORALL (x,y,z: real): x<=z AND z<=y
        IMPLIES EXISTSt ): 0= ANDt=java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 50 out of bounds for length 50
         AND  1t*  *)

   % The Minima Of Convex Functions Have Certain Fun(ction) properties

   convex_const_on_connected_minconvex_min_is_connected: LEMMAconvex( ANDx< yANDx)  ()
    FORALLz: <zANDz<yIMPLIES(x  ()java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 52 out of bounds for length 52
 IMPLIES
  (FORALL (w): f(x) <= f(w))

   convex_min_is_connected: LEMMA convex
          AND (FORALL (z) f()<=fz))
       IMPLIES
       (FORALL (w): x<=w AND w<=y IMPLIES f(w) = f(x))

     % Part B: Local Minima Of Convex Functions....

   loc_convex_min_is_connected: LEMMA convex?(f) AND A<=x AND x<y AND y<=B AND
    f() =fy)AND
     (FORALL (w): x<=w AND  FORALL(): <=w AND <=  fw  fx)
  (java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

   % Helpful results about convex functions

      convex_btw_pt_left_lt (x < c
           AND f(B)<c IMPLIES

   convex_btw_pt_right_lt: LEMMA convex?(f) AND A<=x AND x<B      AND ()<cIMPLIES(  c
           AND f(B)<=c IMPLIES       IMPLIES(ORALLt:0<    =1IMPLIES 

   convex_wtd_av_lt:
       IMPLIES( ()  <=tANDt< 1IMPLIES
            ftx+1t*)<cjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 38 out of bounds for length 38

   % If a convex function has x as its min, then it is increasing to the
   % right of x and decreasing to the left of x

   convex_increasing=v= 
           AND)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 18 out of bounds for length 18
        f(w)>=f(v)

   convex_decreasing: LEMMA convex?(f) AND (FORALL       (*+1t)y <tf() +(t)fyjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 55 out of bounds for length 55
        <v <x IMPLIES
        f(w)>           (x<fz  ()<(zIMPLIES




%java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 30 out of bounds for length 30

  fx)< () AND (y< ()
             ft*+(-)y  *()  (1t*yjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 55 out of bounds for length 55

strictly_convex_implies_convex ?()IMPLIESconvex()

   strictly_convex_unique_min: LEMMA strictly_convex?(f) AND (FORALL (z):
    f()< ()AND ()< (z)IMPLIES
          x = y

   strictly_conv_uniq_intv_min IMPLIESstrictly_convex?go )
       (A <= x AND x <= B
   ( <  ANDy< B) AND
      strictly_convex() 
     f  ?(LAMBDA) (fz)gz))
    IMPLIES
    x = y


   java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

   composition_of_strictly_convex: LEMMA (FORALL      ?(f+java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 38 out of bounds for length 38
          AND java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
  IMPLIES?(  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 38 out of bounds for length 38

   max_of_strictly_convex: LEMMA strictly_convex
     java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
  ?(( () (f),gz))

   sum_of_strictly_convex: LEMMA strictly_convexjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
         IMPLIES strictly_convex

   scal_strictly_convex:  LEMMA

   % Helpful results about strictly convex functions

        N convex()
      

% 

   :LEMMA?((aaa)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 49 out of bounds for length 49

   quad_strictly_convex: LEMMA strictly_convex?(quadratic      IMPLIES

   abs_linear_convex: LEMMA


   quad_linear_max_convex: LEMMA LET maxfun = (LAMBDA (t): max(quadratic(a,b,c)(t),
            abs(          IN y /= 0 AND 
          IN convex?(maxfun)

   quad_linear_max_glob_min: LEMMA LET maxfun = (LAMBDA (t): max(quadratic(a,b,c)(t),
     abs(x +t*y-H))
          IN y /= 0 AND maxfun(          (w)=0 ND(v)=0AND
          FORALL(z: 0< maxfun() 
      IMPLIES
      v = w

   quad_linear_max_loc_min: LEMMA LET maxfun = (LAMBDA     IMPLIES
      w
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
     (w  0AND (v) = 
             (FORALL (z): (A <= z AND z <= B) IMPLIES 0 <    IMPLIES?( (x): f(x)^)
    IMPLIES
      v = w

   % Special Case: Exponentials Of Convex Functions ?(LAMBDA:fx^k+)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 53 out of bounds for length 53


   power_of_convex: LEMMA convex?(f) AND (FORALL (x): f(x)>=0)
     IMPLIES convex?(LAMBDA (x): f(x)^k)

   power_of_strictly_convex: LEMMA strictly_convex?(f) AND (FORALL (x): f(x)>=0)
     IMPLIES strictly_convex?(LAMBDA (x): f(x)^(k+1))




END convex_functions