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Datei: measure_completion.pvs Sprache: PVS

Original von: PVS^©

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% Completing a measure
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%     Author: David Lester, Manchester University, NIA, Université Perpignan
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% Note: not described in Berberian
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% Any measure can be "completed", by adding the negligible sets to the
% sigma_algebra and then extending the measure for these extra sets.
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% Details of the actual extension mechanisms are in measure_completion_aux.
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%     Version 1.0            1/5/07   Initial Version
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measure_completion[T:TYPE,          (IMPORTING subset_algebra_def[T])
                   S:sigma_algebra, (IMPORTING measure_def[T,S])
                   m:measure_type]: THEORY

BEGIN

  IMPORTING measure_completion_aux[T],
            measure_theory[T,S,m]

  X: VAR (S)
  N: VAR negligible[T,S,m]

  sigma_algebra_completion: sigma_algebra[T] = completion(S,m)

  generated_completion: LEMMA
    generated_sigma_algebra(union(S,fullset[negligible[T,S,m]]))
      = sigma_algebra_completion

  completion: complete_measure[T,completion(S,m)] = completion(S,m)

  completion_measurable: LEMMA x_eq(completion(X),m(X))

  completion_negligible: LEMMA completion(N) = (TRUE,0)

END measure_completion

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