/* igami()
 *
 *      Inverse of complemented incomplete gamma integral
 *
 *
 *
 * SYNOPSIS:
 *
 * double a, x, p, igami();
 *
 * x = igami( a, p );
 *
 * DESCRIPTION:
 *
 * Given p, the function finds x such that
 *
 *  igamc( a, x ) = p.
 *
 * Starting with the approximate value
 *
 *         3
 *  x = a t
 *
 *  where
 *
 *  t = 1 - d - ndtri(p) sqrt(d)
 * 
 * and
 *
 *  d = 1/9a,
 *
 * the routine performs up to 10 Newton iterations to find the
 * root of igamc(a,x) - p = 0.
 *
 * ACCURACY:
 *
 * Tested at random a, p in the intervals indicated.
 *
 *                a        p                      Relative error:
 * arithmetic   domain   domain     # trials      peak         rms
 *    IEEE     0.5,100   0,0.5       100000       1.0e-14     1.7e-15
 *    IEEE     0.01,0.5  0,0.5       100000       9.0e-14     3.4e-15
 *    IEEE    0.5,10000  0,0.5        20000       2.3e-13     3.8e-14
 */

/*
Cephes Math Library Release 2.3:  March, 1995
Copyright 1984, 1987, 1995 by Stephen L. Moshier
*/

#include "mconf.h"

extern double MACHEP, MAXNUM, MAXLOG, MINLOG;
#ifndef ANSIPROT
double igamc(), ndtri(), exp(), fabs(), log(), sqrt(), lgam();
#endif

double igami( a, y0 )
double a, y0;
{
double x0, x1, x, yl, yh, y, d, lgm, dithresh;
int i, dir;

/* bound the solution */
x0 = MAXNUM;
yl = 0;
x1 = 0;
yh = 1.0;
dithresh = 5.0 * MACHEP;

/* approximation to inverse function */
d = 1.0/(9.0*a);
y = ( 1.0 - d - ndtri(y0) * sqrt(d) );
x = a * y * y * y;

lgm = lgam(a);

for( i=0; i<10; i++ )
 {
 if( x > x0 || x < x1 )
  goto ihalve;
 y = igamc(a,x);
 if( y < yl || y > yh )
  goto ihalve;
 if( y < y0 )
  {
  x0 = x;
  yl = y;
  }
 else
  {
  x1 = x;
  yh = y;
  }
/* compute the derivative of the function at this point */
 d = (a - 1.0) * log(x) - x - lgm;
 if( d < -MAXLOG )
  goto ihalve;
 d = -exp(d);
/* compute the step to the next approximation of x */
 d = (y - y0)/d;
 if( fabs(d/x) < MACHEP )
  goto done;
 x = x - d;
 }

/* Resort to interval halving if Newton iteration did not converge. */
ihalve:

d = 0.0625;
if( x0 == MAXNUM )
 {
 if( x <= 0.0 )
  x = 1.0;
 while( x0 == MAXNUM )
  {
  x = (1.0 + d) * x;
  y = igamc( a, x );
  if( y < y0 )
   {
   x0 = x;
   yl = y;
   break;
   }
  d = d + d;
  }
 }
d = 0.5;
dir = 0;

for( i=0; i<400; i++ )
 {
 x = x1  +  d * (x0 - x1);
 y = igamc( a, x );
 lgm = (x0 - x1)/(x1 + x0);
 if( fabs(lgm) < dithresh )
  break;
 lgm = (y - y0)/y0;
 if( fabs(lgm) < dithresh )
  break;
 if( x <= 0.0 )
  break;
 if( y >= y0 )
  {
  x1 = x;
  yh = y;
  if( dir < 0 )
   {
   dir = 0;
   d = 0.5;
   }
  else if( dir > 1 )
   d = 0.5 * d + 0.5; 
  else
   d = (y0 - yl)/(yh - yl);
  dir += 1;
  }
 else
  {
  x0 = x;
  yl = y;
  if( dir > 0 )
   {
   dir = 0;
   d = 0.5;
   }
  else if( dir < -1 )
   d = 0.5 * d;
  else
   d = (y0 - yl)/(yh - yl);
  dir -= 1;
  }
 }
if( x == 0.0 )
 mtherr( "igami", UNDERFLOW );

done:
return( x );
}