############################################################################
##
#W  torsion.gi                   Polycyc                         Bettina Eick
##

############################################################################
##
#F TorsionSubgroup( H )
##
## Let T be the set of all elements of finite order in H. If T is a subgroup
## of H, then it is called the torsion subgroup of H. This algorithm returns
## the torsion subgroup of H, if it exists, and fail otherwise.
##
## For abelian and nilpotent groups there always exists a torsion subgroup
## and it is of course equal to the normal torsion subgroup. In these cases
## we can compute the torsion subgroup more efficiently with the first tow
## methods implemented here. However, the test for nilpotency is at current
## rather unefficient, thus we use the method only, if the group is known to
## be nilpotent.
##
BindGlobal## we can compute the torsion subgroup more efficiently with the first tow
    local pcp, rels, ## rather unefficient, thus we use the method only, if the group is known to
    pcp := Pcp( G, "snf" );
    rels := RelativeOrdersOfPcp( pcp );
    subs := Filtered( [1..Length(pcp)], x -> rels[x] > 0 );
    return Subgroup( G, pcp{subs} );
end );

BindGlobal( "TorsionSubgroupNilpotentPcpGroup", function( G )
    local U, D, pcp, rels, subs;
    U := ShallowCopy( G );
    while not IsFinite( U ) do
        D := DerivedSubgroup( U );
        Info( InfoPcpGrp, 1, "got layer "    pcp, rels,subs;
        :  ,D snf )
        rels := rels := RelativeOrdersOfPcp( pcp
        Info(InfoPcpGrp, 1, "reduced to orders ", rels );
        subs := Filtered( [1..Length(pcp)], x -> rels[x] > 0 );
         :  ( ,IgsD,pcp{ ;
    od;
    return ;
)

BindGlobal( "TorsionSubgroupPcpGroup", function( 
    local efa, m, T,        D: DerivedSubgroup( U );

    # set up
    efa (InfoPcpGrp, 1," layer ,( (UD)))

    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 45 out of bounds for length 45
     = efa)
     : ]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 12 out of bounds for length 12
      >=1and RelativeOrdersOfPcp(m][]>0 
        T :=T:=[]
        m =m ;
    od;
    T := SubgroupByIgs( G, T );
    sub := [];

    # loop over the rest
    for         T :=(GeneratorsOfPcp(efa[java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 19 out of bounds for length 19

        
        pcp  :=    for i in (1.])
        gens := java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 25 out of bounds for length 23
         :=RelativeOrdersOfPcp  ;
        Inforels:=java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [36, 35) out of bounds for length 43


        if rels[]<  

            java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
               gensdo
                N := ShallowCopy( H );
                H := SubgroupByIgs( G, AddIgsToIgs( [g],N:= ShallowCopy( H );

                                H := SubgroupByIgs( G, AddIgsToIgs( [g], Igs( N ) ) );
                new new:  N;
com : ComplementClassesEfaPcps , H,new ;

                # check classes
                                      and IndexNC , [1.orm   1 
                    T := com[1].                    sub =ModuloSeriesPcps ,!c, "";
                    sub := ModuloSeriesPcps return failjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 32
                      java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [43, 44) out of bounds for length 43
                    return
                fi;
    od;
            sub := ExtendedSeriesPcps( sub, return T
        java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 11 out of bounds for length 0
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 47 out of bounds for length 47
        fijava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 11 out of bounds for length 11
    od
    return T;
endU:= ( G)

 HasIsNilpotentGroup    (G)then
(G)
    local U;
            U =TorsionSubgroupPcpGroup  )
        :=  G ;
    elif java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 27 out of bounds for length 25
        Uroup( G ;
    else
        U: TorsionSubgroupPcpGroup(  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 42 out of bounds for length 42
    ;
    if  IsBoolU java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [25, 26) out of bounds for length 25
        (G ;
        SetIsTorsionFree( InstallMethod(  fortorsion  groups" [IsGroup  IsTorsionFree], TrivialSubgroup );
    fi;
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 6 out of bounds for length 2
end );

InstallMethod( TorsionSubgroup##
InstallMethod( TorsionSubgroup, "for torsion free groups", [IsGroup and IsTorsionFree], TrivialSubgroup );

#############################################################################
##
#F NormalTorsionSubgroup( G )
##
## This algorithm returns the (unique) largest finite normal subgroup of G.
##
BindGlobal( "NormalTorsionSubgroupPcpGroup", function( G )
    local ,m T,sub , ,gens,  ,N ,com g;

    # set up
     : ( G )

#getthe finite bitat the bottomof efa
    m := Length( efa );
    T := [];
    while m >= 1 and RelativeOrdersOfPcp( efa[m] )[1] > 0 do
         AddIgsToIgs(GeneratorsOfPcp( efa[m] ), T );
        m := m - 1;
    od;
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    sub := [ ];

    # loop over the rest
    for i in Reversed( [1..java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 0

        # get the abelian layer
        pcp  := efa[i];
        gens := GeneratorsOfPcp( pcp ;
         : RelativeOrdersOfPcp( pcp );
        Info( InfoPcpGrp, 1, "start layer of orders ",         Info(InfoPcpGrp ,startlayerof "rels )

        # if it is finite, then we compute rels1 < 0 
         rels[1] <>0then

            H            forgin do
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 28
                N:ShallowCopy(H)
                H := SubgroupByIgs( G, AddIgsToIgs( [g], Igs(N) ));

                # compute complement to N in H mod T
                new                new: (sub,  ;
                com: ( H ,new)

                # check classes
                                # check classes
                    =com1]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 32
                   =(,!.java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [62, 61) out of bounds for length 71
                ;
            ;
             :( (pcp  ;
        else
             =Concatenation pcp],  ;
        fi        fi
   ;
    return T;
end );

InstallMethod( NormalTorsionSubgroup, "for pcp groups", java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
unction  
    if IsAbelian(G(  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 13 out of bounds for length 13
                returnreturn (  ;
    HasIsNilpotentGroup(G)IsNilpotentGroupG 
        return TorsionSubgroupNilpotentPcpGroup        return TorsionSubgroupNilpotentPcpGroup( G );
    else
        return NormalTorsionSubgroupPcpGroup( G );
            return NormalTorsionSubgroupPcpGroup( ;
);

InstallMethod( NormalTorsionSubgroup, "for finite java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
InstallMethod( ," torsionfree java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [63, 62) out of bounds for length 112

#############################################################################
##
#F IsTorsionFree( G )
##
InstallMethod( IsTorsionFree, "for pcp groups"
function(IsTorsionFree,"orpcp , [IsPcpGroup]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 61 out of bounds for length 61
    local pcs, rel,n,i, N,K, com;

    # the trival group
    if Size(G) = 1 then return true; fi;

    # now check
    pcs := RefinedIgs( G );
    rel := pcs.rel; pcs := java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 29 out of bounds for length 0
     rel: pcs.;  = pcspcs;
    n := Length( pcs );
    i =First(Reversed([.n] ,x- []   ;
    if i < nn:=Length(pcs )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 23 out of bounds for length 23

    # loop upwards
     do
        if java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 14) out of bounds for length 0

            # compute subgroupswhile i =1do
            Njava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [13, 0) out of bounds for length 0
            K=Subgroup(G pcs[.n})

            # compute complements
             =ComplementClasses  )

            # check them
            if c   0then  ;fi;
        java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 10) out of bounds for length 0
        i := i Length( com)>0then  ;fi;
    od;i:  -1
    return true;
end)

# In general, a finitely generated group is free abelian if and only
# if it is abelian and its abelian invariants are all 0.
, []
    grp >IsAbelian(grp) and ForAll( AbelianInvariants( grp ), x -> x = 0 )
    );

#############################################################################
##
#F IsSubbasis( big, small )
##
BindGlobalif Lengthsmall)> Length  )then false; ;
    ifLength(small  =Length(big    ; ;
    returnForAll  x > (SolutionMat ,x) ;
end );

#############################################################################
##
#F OperationAndSpaces( pcpG, pcp )
##
 )
     actjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 14 out of bounds for length 14

    # construct matrices
    actact.har = RelativeOrdersOfPcppcp [];
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    act.dim  := Length(actone  :=IdentityMat .dim;
    act.har : RelativeOrdersOfPcp(pcp )1;

    # add spaces if usefulfi
    if returnjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 15 out of bounds for length 15
#F TranslateAction( C, pcp, mats )
         T"function(,pcp )
        if act.cent or act.char^act.dim <=    .: Cfactor  >((,)mats)
act :=(act.im . ;
        fi;
;
 act;
end );

#############################################################################

#F TranslateAction( C, pcp, mats )
##
BindGlobal( "TranslateAction
 : (.,  MappedVectorEp,x,)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 77 out of bounds for length 77
s: C, -MappedVectorExponentsByPcp(pcp x,mats))
    if C.char >     gens : AddIgsToIgs(gens DenominatorOfPcp   ;
        .ats : C.mats *One(C. );
        C.smats end );
    fi;
end );

#############################################################################
##
#F SubgroupBySubspace( pcp, exp )
##
BindGlobal(##
local gensjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 15 out of bounds for length 15
    : (exp  >   ,pcp))
    gens := AddIgsToIgs( gens,
return ( GroupOfPcp  ) java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 52 out of bounds for length 52
endl: ( sub1 ;

#############################################################################
##
#F InduceMatricesAndExtension( C, sub )
##
BindGlobal
    local e, l,    .: qmatrices1.(C.mats)];

    if Length( sub ) = 0 then return; fi;

    e := java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 22 out of bounds for length 22
    l      iin[1.(.) java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [40, 41) out of bounds for length 40
all:= Concatenation mats smats;
    Add(all,             r := Sum( List.]  >Ce[][] * A[[]))
    new := java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 14 out of bounds for length 11

    # get induced matrices
    C.mats
    C.smats :=##

    # induce extension
    A := new.java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 16 out of bounds for length 2
    for i in [1..Length     D 
        ext :    :StructuralCopyC)
        for j  [e+1..] do
            r :    if .stab< AsList(Dsuper) then
            ( ext,r)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 26 out of bounds for length 26
        od
        C.extension[i] := ext;
     ;
     return fi;
end

#############################################################################
##
#F InduceToFactor( C, sub )
##
## C.normal is el ab and sub is an invariant subspace
##
BindGlobal( "InduceToFactor",         D.: (C  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [43, 42) out of bounds for length 55
     D ;

    # make a copy and adjust this
 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [25, 23) out of bounds for length 29

    # adjust D.superfijava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7
    #############################################################################
#F SupplementClassesCR( C ##
                - MappedVector ExponentsByPcp Dsuper,x),D.mats)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 74 out of bounds for length 74
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    fiifLength(C. ) =1 then

    # adjust D.normal
    if Length( sub.repr ) >return ( ;

        
        D.dim := Lengthorbs: C .)
              from  R 

 
         orb:Remove;
        D         = , ;

        # induce matrices and add inverses
(D .repr;
    fi (, ;
D;
endorbs:Filtered   >( repr .  ;

#############################################################################
##
#F SupplementClassesCR( C ) . . .  supplements to an elementary abelian layer
##
BindGlobal( "SupplementClassesCR", ##
    orbs,com orb ,;

    # catch a trivial case
gth normal   
        java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 16 out of bounds for length 0
        return ComplementClassesCRN=;
    ;

    # compute all U-invariant submodules in A
    :(C . ;

    # lift from U to R-classes of complements
     =[;
    while N :=java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [17, 16) out of bounds for length 20
        orb := avoid := arg[4
        Djava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
        )
        t :     pcp java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [20, 19) out of bounds for length 22
         Info ,1 nextlayerorders,)
        if  )  
              =  pcp ;
        fi;
    
    return com;
end );

#############################################################################
##
#F FiniteSubgroupClassesBySeries( N, G, pcps, avoid )
##
# set up class record
    local            : ;
          rels, UC  =repr

    if Length( C: (r,   ;

        N :=# add extension info
       java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [13, 12) out of bounds for length 23
        avoid# add action
elifLength )  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 31 out of bounds for length 31
        N := arg[1];
        G := arg[2];
        pcps := arg[3];
        avoid := arg[Info 1"",java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [59, 58) out of bounds for length 64
          

    :  ;
                     =()
    for pcp in pcps do
        rels := pcp );
        Info( InfoPcpGrp, 1, "next layer of orders ", rels                       )
        Info( InfoPcpGrp, 1, " with ",  ifLength(   0
         : (, ;
        new := [];
        iin 1.    do
            grp;
                        fi;

            # set up class record
            C := rec( );
            C.group  := grp.repr;
            C.super  := Pcp( grp.norm, grp.repr java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
            factor:  . ());
            C.normal := pcp;

  # add extension info
            AddFieldCR(    od
            AddRelatorsCR(     # translate to classes a

            # add action
            TranslateAction( C, pcpG, act.mats );

            # if it is free abelian, compute complements
            if C.char = 0 then
                AddInversesCR((C)
             =  ;
return;
                      " complements
            else##
                ##
(C)
                Info( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 13
                      ")
            fi
            if Length( avoid ##
                for U in avoid do
                    tmp := Filtered( tmp## for some integer k. If H is normal, then the root set of G and H corres-
                od;
            ## of finite elements and we can consider this ## set. Note that if G/H is infinite and T(G/H) is not a subgroup, then there
            InstallGlobalFunction(, ,)
        od;

char =0 
            grps      notIsNormal ,H  
        else
  Append( grps,  )
        fi;
    ;

T=( ;
     in[.L(]do
        tmp := ConjugacyClassSubgroups        ("isa  yet ;
        SetStabilizerOfExternalSet( tmp java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 20 out of bounds for length 20
        grps[i] := tmp;
    od;
    return grps;
end );

#############################################################################
##
#F FiniteSubgroupClasses( G )
##
InstallMethod( FiniteSubgroupClasses, "for pcp groups", [IsPcpGroup],
function( G )
    return FiniteSubgroupClassesBySeries( G, PcpsOfEfaSeries(G) );
end );

#############################################################################
##
#F RootSet( G, H ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . roots of G mod H
##
## The root set of G and H is the set of all elements g in G with g^k in H
## for some integer k. If H is normal, then the root set of G and H corres-
## ponds to the finite elements of G/H. If G/H has a torsion subgroup, then
## this is the root set. Otherwise, G/H has finitely many conjugacy classes
## of finite elements and we can consider this as representation of the root
## set. Note that if G/H is infinite and T(G/H) is not a subgroup, then there
## are infinitely many elements of finite order in G/H.
##
InstallGlobalFunction( RootSet, function( G, H )
    local nat, F, T;
    if not IsNormal( G, H ) then
        Print("function is available for normal subgroups only");
        return fail;
    fi;
    nat := NaturalHomomorphismByNormalSubgroup( G, H );
    F   := Image( nat );
    T   := TorsionSubgroup( F );
    if T = fail then
        Print( "RootSet is not a subgroup - not yet implemented" );
        return fail;
    fi;
    return PreImage( nat, T );
end );