<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<script type="text/javascript"
  src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@2/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML">
</script>
<title>GAP (GBNP) - Chapter 1: Introduction</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap1"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0_mj.html">Top</a>  <a href="chap1_mj.html">1</a>  <a href="chap2_mj.html">2</a>  <a href="chap3_mj.html">3</a>  <a href="chap4_mj.html">4</a>  <a href="chap5_mj.html">5</a>  <a href="chapA_mj.html">A</a>  <a href="chapBib_mj.html">Bib</a>  <a href="chapInd_mj.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0_mj.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0_mj.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0_mj.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap2_mj.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap1.html">[MathJax off]</a></p>
<p><a id="X7DFB63A97E67C0A1" name="X7DFB63A97E67C0A1"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap1_mj.html#X7DFB63A97E67C0A1">1 <span class="Heading">Introduction</span></a>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap1_mj.html#X8360C04082558A12">1.1 <span class="Heading">Installation</span></a>
</span>
</div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap1_mj.html#X78629CD778BE8C5D">1.2 <span class="Heading">Using the package</span></a>
</span>
</div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap1_mj.html#X7DDEF24284C861D8">1.3 <span class="Heading">Further documentation</span></a>
</span>
</div>
</div>

<h3>1 <span class="Heading">Introduction</span></h3>

<p>This package, named GBNP for Gröbner Bases for Non-commutative Polynomials, is intended for computing in (associative) non-commutative algebras with a finite presentation. Starting from a free algebra <span class="SimpleMath">\(A\)</span> on a finite number of generating variables, the reader can specify a finite set <span class="SimpleMath">\(G\)</span> of polynomials in these variables, in order to study the quotient algebra of <span class="SimpleMath">\(A\)</span> by the (2-sided) ideal of <span class="SimpleMath">\(A\)</span> generated by <span class="SimpleMath">\(G\)</span>.</p>

<p>This documentation gives a short description of the mathematical content in Chapter <a href="chap2_mj.html#X7BBCB13F82ACC213"><span class="RefLink">2</span></a>, explains the functions of the package in Chapter <a href="chap3_mj.html#X86FA580F8055B274"><span class="RefLink">3</span></a>, and provides more than twenty four worked out examples in Appendix <a href="chapA_mj.html#X7A489A5D79DA9E5C"><span class="RefLink">A</span></a>. It is available as an HTML document at <span class="URL"><a href="https://gap-packages.github.io/gbnp/doc/chap0.html">https://gap-packages.github.io/gbnp/doc/chap0.html</a></span>.</p>

<p><a id="X8360C04082558A12" name="X8360C04082558A12"></a></p>

<h4>1.1 <span class="Heading">Installation</span></h4>

<p>To install GBNP, first download <code class="file">GBNP-1.1.0.tar.gz</code> from <span class="URL"><a href="https://gap-packages.github.io/gbnp/">https://gap-packages.github.io/gbnp/</a></span>, then unpack <code class="file">GBNP-1.1.0.tar.gz</code> in the <code class="code">pkg</code> subdirectory of your <strong class="pkg">GAP</strong> installation (or in the <code class="code">pkg</code> subdirectory of any other <strong class="pkg">GAP</strong> root directory, for example one added with the <code class="code">-l</code> argument) with the following command: <code class="code">tar -xvzf GBNP-1.1.0.tar.gz</code>.</p>

<p>GBNP is then loaded with the GAP command</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">LoadPackage( "GBNP" );</span>
</pre></div>

<p><a id="X78629CD778BE8C5D" name="X78629CD778BE8C5D"></a></p>

<h4>1.2 <span class="Heading">Using the package</span></h4>

<p>If you wish to compute a Gröbner basis, create a list of NPs (non-commutative polynomials in NP format), as described in Section <a href="chap2_mj.html#X7FDF3E5E7F33D3A2"><span class="RefLink">2.1</span></a>. This can be done either directly or by use of the transition functions described in Section <a href="chap3_mj.html#X81ABB91B79E00229"><span class="RefLink">3.1</span></a>. To run the standard algorithm use the functions from Section <a href="chap3_mj.html#X81381B2D83D2B9A9"><span class="RefLink">3.4</span></a>. With these functions, you can try and find a Gröbner basis. The word try is included because the algorithm for computing Gröbner bases is not guaranteed to terminate. Printing issues for polynomials in NP format are discussed in Section <a href="chap3_mj.html#X78F44B01851B1020"><span class="RefLink">3.2</span></a>. If the Gröbner basis is found and the dimension of the quotient algebra <span class="SimpleMath">\(Q\)</span> (see Section <a href="chap2_mj.html#X85A91A467FF1DE45"><span class="RefLink">2.9</span></a>) is finite, you can find a basis of monomials for <span class="SimpleMath">\(Q\)</span> with the functions in Section <a href="chap3_mj.html#X7F387F7780425B9A"><span class="RefLink">3.5</span></a>. For a more advanced analysis of <span class="SimpleMath">\(Q\)</span>, such as a proof of finite or infinite dimensionality, or for determining its growth or its partial Hilbert series, use the functions from Section <a href="chap3_mj.html#X79FE4A3983E2329F"><span class="RefLink">3.6</span></a> .</p>

<p>There are three variants of the Gröbner basis algorithm, the truncated version, the trace version, and the module version. In the (weighted) homogeneous case (described in Section <a href="chap2_mj.html#X78CF5C44879D34B6"><span class="RefLink">2.6</span></a>), the truncated version, given by the functions described in Section <a href="chap3_mj.html#X7E4E3AD07B2465F9"><span class="RefLink">3.8</span></a>, computes the part of a Gröbner basis up to an indicated weight. The trace version (described in Section <a href="chap2_mj.html#X8739B6547BC89505"><span class="RefLink">2.5</span></a>), given by the functions described in Section <a href="chap3_mj.html#X7BA5CAA07890F7AA"><span class="RefLink">3.7</span></a>, computes an expression of the polynomials of the Gröbner basis found in terms of the original generators. The module version (described in Sections <a href="chap2_mj.html#X7B27E2D1784538DE"><span class="RefLink">2.2</span></a>, <a href="chap2_mj.html#X86F1F4EE7D4D06B7"><span class="RefLink">2.7</span></a>, and <a href="chap2_mj.html#X80DAE0A97CFC95DD"><span class="RefLink">2.8</span></a>), given by the functions described in Section <a href="chap3_mj.html#X8706DD3287E82019"><span class="RefLink">3.9</span></a>, computes a Gröbner basis for a submodule of a free <span class="SimpleMath">\(Q\)</span>-module of finite rank.</p>

<p>Read the example files in Chapter <a href="chapA_mj.html#X7A489A5D79DA9E5C"><span class="RefLink">A</span></a> for inspiration. The source of the files can be perused for auxiliary functions, which are often used in the main functions but not deemed necessary for a first time user.</p>

<p><a id="X7DDEF24284C861D8" name="X7DDEF24284C861D8"></a></p>

<h4>1.3 <span class="Heading">Further documentation</span></h4>

<p>The reports <a href="chapBib_mj.html#biBCohenGijsbersEtAl2007">[Coh07]</a>, <a href="chapBib_mj.html#biBKrook2003">[Kro03]</a>, and <a href="chapBib_mj.html#biBKnopper2004">[Kno04]</a> can be downloaded from the web at these addresses:</p>

<p>The report <q>Non-commutative polynomial computations</q>, by Arjeh M. Cohen (with support of Dié Gijsbers, Jan Willem Knopper, and Chris Krook) can be downloaded from <span class="URL"><a href=" http://mathdox.org/products/gbnp/gbnp.pdf"> http://mathdox.org/products/gbnp/gbnp.pdf</a></span>.</p>

<p>The report <q>Dimensionality of quotient algebras</q>, by Chris Krook can be downloaded from <span class="URL"><a href=" http://mathdox.org/products/gbnp/dqa.pdf"> http://mathdox.org/products/gbnp/dqa.pdf</a></span>.</p>

<p>The report <q>GBNP and vector enumeration</q>, by Jan Willem Knopper can be downloaded from <span class="URL"><a href=" http://mathdox.org/products/gbnp/knopper.pdf"> http://mathdox.org/products/gbnp/knopper.pdf</a></span>.</p>


<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0_mj.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0_mj.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0_mj.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap2_mj.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0_mj.html">Top</a>  <a href="chap1_mj.html">1</a>  <a href="chap2_mj.html">2</a>  <a href="chap3_mj.html">3</a>  <a href="chap4_mj.html">4</a>  <a href="chap5_mj.html">5</a>  <a href="chapA_mj.html">A</a>  <a href="chapBib_mj.html">Bib</a>  <a href="chapInd_mj.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="https://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>