<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<script type="text/javascript"
  src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@2/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML">
</script>
<title>GAP (GradedModules) - Chapter 4: The Tate Resolution</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap4"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0_mj.html">Top</a>  <a href="chap1_mj.html">1</a>  <a href="chap2_mj.html">2</a>  <a href="chap3_mj.html">3</a>  <a href="chap4_mj.html">4</a>  <a href="chap5_mj.html">5</a>  <a href="chapBib_mj.html">Bib</a>  <a href="chapInd_mj.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0_mj.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0_mj.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap3_mj.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap5_mj.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap4.html">[MathJax off]</a></p>
<p><a id="X7FE838537D4DF8E7" name="X7FE838537D4DF8E7"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap4_mj.html#X7FE838537D4DF8E7">4 <span class="Heading">The Tate Resolution</span></a>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap4_mj.html#X83CE0B0785329667">4.1 <span class="Heading">The Tate Resolution: Operations and Functions</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap4_mj.html#X7A9DCED27D5F0D67">4.1-1 TateResolution</a></span>
</div></div>
</div>

<h3>4 <span class="Heading">The Tate Resolution</span></h3>

<p><a id="X83CE0B0785329667" name="X83CE0B0785329667"></a></p>

<h4>4.1 <span class="Heading">The Tate Resolution: Operations and Functions</span></h4>

<p><a id="X7A9DCED27D5F0D67" name="X7A9DCED27D5F0D67"></a></p>

<h5>4.1-1 TateResolution</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">&#an style='color: green'>8227; TateResolution</code>( <var class="Arg">M</var>, <var class="Arg">degree_lowest</var>, <var class="Arg">degree_highest</var> )</td><td class="tdright">( operation )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a <strong class="pkg">homalg</strong> cocomplex</p>

<p>Compute the Tate resolution of the sheaf <var class="Arg">M</var>.</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">R := HomalgFieldOfRationalsInDefaultCAS( ) * "x0..x3";;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">S := GradedRing( R );;</span>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">A := KoszulDualRing( S, "e0..e3" );;</span>
</pre></div>

<p>In the following we construct the different exterior powers of the cotangent bundle shifted by <span class="SimpleMath">\(1\)</span>. Observe how a single <span class="SimpleMath">\(1\)</span> travels along the diagnoal in the window <span class="SimpleMath">\([ -3 .. 0 ] x [ 0 .. 3 ]\)</span>. <br /> <br /> First we start with the structure sheaf with its Tate resolution:</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">O := S^0;</span>
<The graded free left module of rank 1 on a free generator>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">T := TateResolution( O, -5, 5 );</span>
<An acyclic cocomplex containing
10 morphisms of graded left modules at degrees [ -5 .. 5 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">betti := BettiTable( T );</span>
<A Betti diagram of <An acyclic cocomplex containing 
10 morphisms of graded left modules at degrees [ -5 .. 5 ]>>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Display( betti );</span>
total:   35  20  10   4   1   1   4  10  20  35  56   ?   ?   ?
----------|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
    3:   35  20  10   4   1   .   .   .   .   .   .   0   0   0
    2:    *   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   0   0
    1:    *   *   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   0
    0:    *   *   *   .   .   .   .   .   1   4  10  20  35  56
----------|---|---|---|---|---|---|---|---S---|---|---|---|---|
twist:   -8  -7  -6  -5  -4  -3  -2  -1   0   1   2   3   4   5
---------------------------------------------------------------
Euler:  -35 -20 -10  -4  -1   0   0   0   1   4  10  20  35  56
</pre></div>

<p>The Castelnuovo-Mumford regularity of the <em>underlying module</em> is distinguished among the list of twists by the character <code class="code">'V'</code> pointing to it. It is <em>not</em> an invariant of the sheaf (see the next diagram). <br /> <br /> The residue class field (i.e. S modulo the maximal homogeneous ideal):</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">k := HomalgMatrix( Indeterminates( S ), Length( Indeterminates( S ) ), 1, S );</span>
<A 4 x 1 matrix over a graded ring>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">k := LeftPresentationWithDegrees( k );</span>
<A graded cyclic left module presented by 4 relations for a cyclic generator>
</pre></div>

<p>Another way of constructing the structure sheaf:</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">U0 := SyzygiesObject( 1, k );</span>
<A graded torsion-free left module presented by yet unknown relations for 4 ge\
nerators>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">T0 := TateResolution( U0, -5, 5 );</span>
<An acyclic cocomplex containing
10 morphisms of graded left modules at degrees [ -5 .. 5 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">betti0 := BettiTable( T0 );</span>
<A Betti diagram of <An acyclic cocomplex containing 
10 morphisms of graded left modules at degrees [ -5 .. 5 ]>>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Display( betti0 );</span>
total:   35  20  10   4   1   1   4  10  20  35  56   ?   ?   ?
----------|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
    3:   35  20  10   4   1   .   .   .   .   .   .   0   0   0
    2:    *   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   0   0
    1:    *   *   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   0
    0:    *   *   *   .   .   .   .   .   1   4  10  20  35  56
----------|---|---|---|---|---|---|---|---S---|---|---|---|---|
twist:   -8  -7  -6  -5  -4  -3  -2  -1   0   1   2   3   4   5
---------------------------------------------------------------
Euler:  -35 -20 -10  -4  -1   0   0   0   1   4  10  20  35  56
</pre></div>

<p>The cotangent bundle:</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">cotangent := SyzygiesObject( 2, k );</span>
<A graded torsion-free left module presented by yet unknown relations for 6 ge\
nerators>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">IsFree( UnderlyingModule( cotangent ) );</span>
false
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Rank( cotangent );</span>
3
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">cotangent;</span>
<A graded reflexive non-projective rank 3 left module presented by 4 relations\
 for 6 generators>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">ProjectiveDimension( UnderlyingModule( cotangent ) );</span>
2
</pre></div>

<p>the cotangent bundle shifted by <span class="SimpleMath">\(1\)</span> with its Tate resolution:</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">U1 := cotangent * S^1;</span>
<A graded non-torsion left module presented by 4 relations for 6 generators>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">T1 := TateResolution( U1, -5, 5 );</span>
<An acyclic cocomplex containing
10 morphisms of graded left modules at degrees [ -5 .. 5 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">betti1 := BettiTable( T1 );</span>
<A Betti diagram of <An acyclic cocomplex containing 
10 morphisms of graded left modules at degrees [ -5 .. 5 ]>>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Display( betti1 );</span>
total:   120   70   36   15    4    1    6   20   45   84  140    ?    ?    ?
-----------|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
    3:   120   70   36   15    4    .    .    .    .    .    .    0    0    0
    2:     *    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    0    0
    1:     *    *    .    .    .    .    .    1    .    .    .    .    .    0
    0:     *    *    *    .    .    .    .    .    .    6   20   45   84  140
-----------|----|----|----|----|----|----|----|----|----S----|----|----|----|
twist:    -8   -7   -6   -5   -4   -3   -2   -1    0    1    2    3    4    5
-----------------------------------------------------------------------------
Euler:  -120  -70  -36  -15   -4    0    0   -1    0    6   20   45   84  140
</pre></div>

<p>The second power <span class="SimpleMath">\(U^2\)</span> of the shifted cotangent bundle <span class="SimpleMath">\(U=U^1\)</span> and its Tate resolution:</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">U2 := SyzygiesObject( 3, k ) * S^2;</span>
<A graded rank 3 left module presented by 1 relation for 4 generators>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">T2 := TateResolution( U2, -5, 5 );</span>
<An acyclic cocomplex containing
10 morphisms of graded left modules at degrees [ -5 .. 5 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">betti2 := BettiTable( T2 );</span>
<A Betti diagram of <An acyclic cocomplex containing 
10 morphisms of graded left modules at degrees [ -5 .. 5 ]>>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Display( betti2 );</span>
total:   140   84   45   20    6    1    4   15   36   70  120    ?    ?    ?
-----------|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
    3:   140   84   45   20    6    .    .    .    .    .    .    0    0    0
    2:     *    .    .    .    .    .    1    .    .    .    .    .    0    0
    1:     *    *    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    0
    0:     *    *    *    .    .    .    .    .    .    4   15   36   70  120
-----------|----|----|----|----|----|----|----|----|----S----|----|----|----|
twist:    -8   -7   -6   -5   -4   -3   -2   -1    0    1    2    3    4    5
-----------------------------------------------------------------------------
Euler:  -140  -84  -45  -20   -6    0    1    0    0    4   15   36   70  120
</pre></div>

<p>The third power <span class="SimpleMath">\(U^3\)</span> of the shifted cotangent bundle <span class="SimpleMath">\(U=U^1\)</span> and its Tate resolution:</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">U3 := SyzygiesObject( 4, k ) * S^3;</span>
<A graded free left module of rank 1 on a free generator>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Display( U3 );</span>
Q[x0,x1,x2,x3]^(1 x 1)

(graded, degree of generator: 1)
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">T3 := TateResolution( U3, -5, 5 );</span>
<An acyclic cocomplex containing
10 morphisms of graded left modules at degrees [ -5 .. 5 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">betti3 := BettiTable( T3 );</span>
<A Betti diagram of <An acyclic cocomplex containing 
10 morphisms of graded left modules at degrees [ -5 .. 5 ]>>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Display( betti3 );</span>
total:   56  35  20  10   4   1   1   4  10  20  35   ?   ?   ?
----------|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
    3:   56  35  20  10   4   1   .   .   .   .   .   0   0   0
    2:    *   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   0   0
    1:    *   *   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   0
    0:    *   *   *   .   .   .   .   .   .   1   4  10  20  35
----------|---|---|---|---|---|---|---|---|---S---|---|---|---|
twist:   -8  -7  -6  -5  -4  -3  -2  -1   0   1   2   3   4   5
---------------------------------------------------------------
Euler:  -56 -35 -20 -10  -4  -1   0   0   0   1   4  10  20  35
</pre></div>

<p>Another way to construct <span class="SimpleMath">\(U^2=U^(3-1)\)</span>:</p>


<div class="example"><pre>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">u2 := GradedHom( U1, S^(-1) );</span>
<A graded torsion-free right module on 4 generators satisfying yet unknown rel\
ations>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">t2 := TateResolution( u2, -5, 5 );</span>
<An acyclic cocomplex containing
10 morphisms of graded right modules at degrees [ -5 .. 5 ]>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">BettiTable( t2 );</span>
<A Betti diagram of <An acyclic cocomplex containing 
10 morphisms of graded right modules at degrees [ -5 .. 5 ]>>
<span class="GAPprompt">gap></span> <span class="GAPinput">Display( last );</span>
total:   140   84   45   20    6    1    4   15   36   70  120    ?    ?    ?
-----------|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
    3:   140   84   45   20    6    .    .    .    .    .    .    0    0    0
    2:     *    .    .    .    .    .    1    .    .    .    .    .    0    0
    1:     *    *    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    .    0
    0:     *    *    *    .    .    .    .    .    .    4   15   36   70  120
-----------|----|----|----|----|----|----|----|----|----S----|----|----|----|
twist:    -8   -7   -6   -5   -4   -3   -2   -1    0    1    2    3    4    5
-----------------------------------------------------------------------------
Euler:  -140  -84  -45  -20   -6    0    1    0    0    4   15   36   70  120
</pre></div>


<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0_mj.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0_mj.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap3_mj.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap5_mj.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0_mj.html">Top</a>  <a href="chap1_mj.html">1</a>  <a href="chap2_mj.html">2</a>  <a href="chap3_mj.html">3</a>  <a href="chap4_mj.html">4</a>  <a href="chap5_mj.html">5</a>  <a href="chapBib_mj.html">Bib</a>  <a href="chapInd_mj.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="https://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>