<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<script type="text/javascript"
  src="https://cdnjs.cloudflare.com/ajax/libs/mathjax/2.7.0/MathJax.js?config=TeX-AMS-MML_HTMLorMML">
</script>
<title>GAP (homalg) - Chapter 1: Introduction</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap1"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0_mj.html">Top</a>  <a href="chap1_mj.html">1</a>  <a href="chap2_mj.html">2</a>  <a href="chap3_mj.html">3</a>  <a href="chap4_mj.html">4</a>  <a href="chap5_mj.html">5</a>  <a href="chap6_mj.html">6</a>  <a href="chap7_mj.html">7</a>  <a href="chap8_mj.html">8</a>  <a href="chap9_mj.html">9</a>  <a href="chap10_mj.html">10</a>  <a href="chap11_mj.html">11</a>  <a href="chap12_mj.html">12</a>  <a href="chapA_mj.html">A</a>  <a href="chapB_mj.html">B</a>  <a href="chapC_mj.html">C</a>  <a href="chapD_mj.html">D</a>  <a href="chapE_mj.html">E</a>  <a href="chapF_mj.html">F</a>  <a href="chapBib_mj.html">Bib</a>  <a href="chapInd_mj.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0_mj.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0_mj.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0_mj.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap2_mj.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap1.html">[MathJax off]</a></p>
<p><a id="X7DFB63A97E67C0A1" name="X7DFB63A97E67C0A1"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap1_mj.html#X7DFB63A97E67C0A1">1 <span class="Heading">Introduction</span></a>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap1_mj.html#X7F1B40DB7C1395DD">1.1 <span class="Heading">What is the role of the <strong class="pkg">homalg</strong> package in the <strong class="pkg">homalg</strong> project?</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1_mj.html#X873C99678745ABAF">1.1-1 <span class="Heading">Philosophy</span></a>
</span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1_mj.html#X82A79A2A78AED00B">1.1-2 <span class="Heading"><strong class="pkg">homalg</strong> provides ...</span></a>
</span>
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap1_mj.html#X78E6DF7E878D754D">1.1-3 <span class="Heading">Building upon the <strong class="pkg">homalg</strong> package</span></a>
</span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap1_mj.html#X78DD800B83ABC621">1.2 <span class="Heading">This manual</span></a>
</span>
</div>
</div>

<h3>1 <span class="Heading">Introduction</span></h3>

<p><a id="X7F1B40DB7C1395DD" name="X7F1B40DB7C1395DD"></a></p>

<h4>1.1 <span class="Heading">What is the role of the <strong class="pkg">homalg</strong> package in the <strong class="pkg">homalg</strong> project?</span></h4>

<p><a id="X873C99678745ABAF" name="X873C99678745ABAF"></a></p>

<h5>1.1-1 <span class="Heading">Philosophy</span></h5>

<p>The package <strong class="pkg">homalg</strong> is meant to be the first part of a continuously growing <span class="URL"><a href="http://www.opensource.org/">open source</a></span> multi volume book about <span class="URL"><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Homological_algebra">homological</a></span> and <span class="URL"><a href="http://en.wikipedia.org/wiki/Homotopical_algebra">homotopical algebra</a></span>. <strong class="pkg">homalg</strong> is an attempt to translate as much as possible of homological algebra, as can be found in books like <a href="chapBib_mj.html#biBce">[CE99]</a>, <a href="chapBib_mj.html#biBML">[ML63]</a>, <a href="chapBib_mj.html#biBHS">[HS97]</a>, <a href="chapBib_mj.html#biBrot">[Rot79]</a>, <a href="chapBib_mj.html#biBweihom">[Wei94]</a>, and <a href="chapBib_mj.html#biBGM">[GM03]</a>, into a language that a computer can directly understand. But just like the aforementioned books, <strong class="pkg">homalg</strong> should, to a great extent, be readable by a mathematician, even without deep programming knowledge. For the reasons mentioned in (--> Appendix <a href="chapB_mj.html#X7D2A5B127A68AB58"><span class="RefLink">Why GAP4?</span></a>) <strong class="pkg">GAP4</strong> was chosen as the language of <strong class="pkg">homalg</strong>.</p>

<p><a id="X82A79A2A78AED00B" name="X82A79A2A78AED00B"></a></p>

<h5>1.1-2 <span class="Heading"><strong class="pkg">homalg</strong> provides ...</span></h5>

<p>The package <strong class="pkg">homalg</strong> is the foundational part of the project. It provides procedures to construct basic objects in homological algebra:</p>


<ul>
<li><p>filtrations of objects</p>

</li>
<li><p>complexes (of objects and of complexes)</p>

</li>
<li><p>chain morphisms</p>

</li>
<li><p>bicomplexes</p>

</li>
<li><p>bigraded (differential) objects</p>

</li>
<li><p>spectral sequences</p>

</li>
<li><p>functors</p>

</li>
</ul>
<p>Beside these so-called constructors <strong class="pkg">homalg</strong> provides <a href="../../../doc/tut/chap8_mj.html#X7DF5DBF9868B02C0"><span class="RefLink">operations</span></a> to perform computations with these objects. The list of operations includes:</p>


<ul>
<li><p>computation of subfactor objects</p>

</li>
<li><p>applying functors (like <code class="code">Ext</code>, <code class="code">Tor</code>, ...) to objects, morphisms, complexes and chain morphisms</p>

</li>
<li><p>derivation and composition of functors</p>

</li>
<li><p>horse shoe resolution of short exact sequences of objects</p>

</li>
<li><p>connecting homomorphisms and long exact sequences</p>

</li>
<li><p>Cartan-Eilenberg resolution of complexes</p>

</li>
<li><p>hyper (co)homology</p>

</li>
<li><p>spectral sequences of bicomplexes</p>

</li>
<li><p>the Grothendieck spectral sequences associated to two composable functors</p>

</li>
<li><p>test if an object is torsion-free, reflexive, projective, stably free, pure</p>

</li>
<li><p>determine the rank, grade, projective dimension, degree of torsion-freeness, and codegree of purity of an object</p>

</li>
</ul>
<p>Using the philosophy of <strong class="pkg">GAP4</strong>, one or more <a href="../../../doc/tut/chap8_mj.html#X7AEED9AB824CD4DA"><span class="RefLink">methods</span></a> are <a href="../../../doc/ref/chap78_mj.html#X795EE8257848B438"><span class="RefLink">installed</span></a> for each operation, depending on <a href="../../../doc/tut/chap8_mj.html#X81C430C37B2F16D8"><span class="RefLink">properties</span></a> and <a href="../../../doc/tut/chap8_mj.html#X7C701DBF7BAE649A"><span class="RefLink">attributes</span></a> of these objects. These properties and attributes can themselves be computed by methods installed for this purpose.</p>

<p><a id="X78E6DF7E878D754D" name="X78E6DF7E878D754D"></a></p>

<h5>1.1-3 <span class="Heading">Building upon the <strong class="pkg">homalg</strong> package</span></h5>

<p>As mentioned above, the package <strong class="pkg">homalg</strong> should only be the first and foundational part of the <strong class="pkg">homalg</strong> project. On the one hand it is designed independently of the details of the different matrix operations, which other packages are meant to provide. Typically, these packages (like <strong class="pkg">RingsForHomalg</strong>) heavily rely on existing, well tested, and optimized systems like <strong class="pkg">Singular</strong>, <strong class="pkg">Macaulay2</strong>, or <strong class="pkg">MAGMA</strong>. On the other hand other packages can be built upon or extend the <strong class="pkg">homalg</strong> package in different ways:</p>


<ul>
<li><p>add constructors (sheaves, schemes, simplicial sets, ...)</p>

</li>
<li><p>add methods for basic operation (Yoneda products, Massey products, Steenrod operations, ...)</p>

</li>
<li><p>add methods to compute sheaf cohomology, local cohomology, Hochschild (co)homology, cyclic (co)homology...</p>

</li>
<li><p>provide algorithms for holonomic <span class="SimpleMath">\(D\)</span>-modules based on the restriction algorithm: localization, computing tensor products, <code class="code">Hom</code>, <code class="code">Ext</code>, de Rham cohomology, ...</p>

</li>
<li><p>support change of rings, Lyndon/Hochschild-Serre spectral sequence, base change spectral sequences, ...</p>

</li>
<li><p>support perturbation techniques, Serre and Eilenberg-Moore spectral sequence of simplicial spaces of infinite type, ...</p>

</li>
<li><p>...</p>

</li>
</ul>
<p>The project will remain open and contributions are highly welcome. The different packages will be attributed to their respective authors. The whole project will be attributed to the "<strong class="pkg">homalg</strong> team", i.e. the authors and contributers of all packages in the project.</p>

<p><a id="X78DD800B83ABC621" name="X78DD800B83ABC621"></a></p>

<h4>1.2 <span class="Heading">This manual</span></h4>

<p>Chapter <a href="chap2_mj.html#X855C716578E12A0B"><span class="RefLink">2</span></a> describes the installation of this package. The remaining chapters are each devoted to one of the <strong class="pkg">homalg</strong> objects (--> <a href="chap1_mj.html#X82A79A2A78AED00B"><span class="RefLink">1.1-2</span></a>) with its constructors, properties, attributes, and operations.</p>


<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0_mj.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0_mj.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap0_mj.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap2_mj.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0_mj.html">Top</a>  <a href="chap1_mj.html">1</a>  <a href="chap2_mj.html">2</a>  <a href="chap3_mj.html">3</a>  <a href="chap4_mj.html">4</a>  <a href="chap5_mj.html">5</a>  <a href="chap6_mj.html">6</a>  <a href="chap7_mj.html">7</a>  <a href="chap8_mj.html">8</a>  <a href="chap9_mj.html">9</a>  <a href="chap10_mj.html">10</a>  <a href="chap11_mj.html">11</a>  <a href="chap12_mj.html">12</a>  <a href="chapA_mj.html">A</a>  <a href="chapB_mj.html">B</a>  <a href="chapC_mj.html">C</a>  <a href="chapD_mj.html">D</a>  <a href="chapE_mj.html">E</a>  <a href="chapF_mj.html">F</a>  <a href="chapBib_mj.html">Bib</a>  <a href="chapInd_mj.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="http://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>