Eine aufbereitete Darstellung der Quelle

 
     
 
 
Anforderungen  |   Konzepte  |   Entwurf  |   Entwicklung  |   Qualitätssicherung  |   Lebenszyklus  |   Steuerung
 
 
 
 

Benutzer

Quelle  CHAP002.htm   Sprache: HTML

 

 products/Sources/formale Sprachen/GAP/pkg/irredsol/htm/CHAP002.htm


<html><head><title>[IRREDSOL] 2 Accessing the data library</title></head>
<body text="#000000" bgcolor="#ffffff">
[<a href = "chapters.htm">Up</a>] [<a href ="CHAP001.htm">Previous</a>] [<a href ="CHAP003.htm">Next</a>] 
<h1>2 Accessing the data library</h1><p>
<P>
<H3>Sections</H3>
<oL>
<li> <A HREF="CHAP002.htm#SECT001">Design of the group library</a>
<li> <[39, 40 ]
<li> <A HREF="CHAP002.htm#SECT003">Finding matrix groups with given properties</a>
<li> <A HREF="CHAP002.htm#SECT004">Loading and unloading group data manually</a>
</ol><p>
<p>
This chapter describes the design of the <font face="Gill Sans,Helvetica,Arial">IRREDSOL</gap>List(prim,pi -> ord15 })
Section <a href="CHAP002.htm#SECT001">Design of the group library</a>) and the
 various ways of accessing groups in the data library.
It is possible to construct individual groups in the group library (see
Section <a  ,0]  ,0 2,0]  ,0]  ,0 ]]
properties (see Section <a href="CHAP002.htm#SECT003">Finding matrix groups with given properties</a>). 
Finally, there are functions for loading and unloading group data 
manually (see Section <a href="CHAP002.htm#SECT004">Loading and unloading group data java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 97 out of bounds for length 55
<>
<p>
<h2><a name="SECT001">2.1 Design of the group library</a></h2>
<p><p>
<a name = "I0"></a>

To avoid redundancy, the package <font face="Gill Sans,Helvetica,Arial">IRREDSOL</font> does not actually store 
lists of irreducible subgroups of <var>GL(<var>n</var>, <var>q</var>)</var> but
only has lists <var>cal
A<sub>n,q</sub></var> of subgroups of <var>GL(<var>n</var>, <var>q</var>)</var> such that
<p>
<ul>
<li> each group in <var>calA<sub>n,q</sub></var> is absolutely irreducible and
soluble
<p>
<li> <var>calA<sub>n,q</sub></var> contains a conjugate of each absolutely
irreducible soluble subgroup of <var>GL(n, q)</var>
<p>
<li> no two groups in <var>calA<sub>n,q</sub></var> are conjugate in  <var>GL(n, q)</P>
<p>
<li> each group in <var>calA<sub>n,q</sub></var> has trace field <var><font face="helvetica,arial">F</font><sub>q</sub></var>.
<p>
</ul>
(For <var>n = 1
<p>
We will briefly say that <var>calA<sub>n,q</sub></var> contains, up to conjugacy, all absolutely
irreducible soluble subgroups of <var>GL(n,q)</var> with trace field <var><font face="helvetica,arial">F</font><sub>q</sub></var>. 
Here, the <em>trace field</em>of a
subgroup <var>G</var> of
<var>GL(n, q)</var> is the field generated by the traces of the elements of <var>G</var>. By a 
theorem of Brauer, an irreducible subgroup of <var>GL(njava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
has a conjugate lying in <var>GL(n, q<sub>0</sub>)</var>. See also <code>TraceField</code> (<a href="CHAP004.htm#SSEC004.1">TraceField</a>)
and <code>ConjugatingMatTraceField</code> (<a href="CHAP004.htm#SSEC004.2">ConjugatingMatTraceField</a>). 
<p>
Note that by the Deuring-Noether theorem, two subgroups of <var>GL(n, q<sub>0</sub>)</var> are
conjugate
union of the <var>calA<sub>n, q_0</sub></var>, where <var><font face="helvetica,arial">F</font><sub>q_0</sub></var> runs over all subfields of <var><font face="helvetica,arial">F</font><sub>q</sub></var>.
<p>
The lists <var>calA<sub>n, q</sub></var> are also sufficientgap>CleanWorkspace(;
space, we obtain an irreducible subgroup <var>G^*</var> of <var>GL(n, q)</var> with splitting field <var><font face="helvetica,arial">F</font><sub>q^d</sub></var>. Up to conjugacy, all irreducible subgroups of <var>GL(n, q)</var> arise in that way. If two subgroups ]]/>
<var>G<sub>1</sub>^*</var> and <var>G<sub>2</sub>^*</var> of <var
<p>
Note that all of the arguments above apply to nonsoluble groups as well.
<p>
<p>
<h2><a name="SECT002">2.2 Low level access functions</a></h2>
<p><p>
<a name = <Subsection>

The access functions described in this section allow
to check for the availability of data and to construct
irreducible  groups in the <font face="Gill Sans,Helvetica,Arial">IRREDSOL</font> group library.
<p>
<a name = "SSEC002.1"></a>
<li><code>IsAvailableIrreducibleSolubleGroupData(</code><var>n</var><code>, </code><var>q</var><code>) F</code>
<a name = "SSEC002.1"></a>
<li><code>IsAvailableIrreducibleSolvableGroupData
<p>
This function tests whether the irreducible soluble subgroups of <var>GL(n,q)</var> with trace
field <var><font face="helvetica,arial">F</font><sub>q</sub></var> are part of the <font face="Gill Sans,Helvetica,Arial">IRREDSOL</font> library.
<p>
<a name = "SSEC002.2"></a>
<li><code>IndicesIrreducibleSolubleMatrixGroups(</code><var>n</var><code>, </code><var>q</var><code>, </code><var>d</var><code>) F</code>
<a name = "SSEC002.2"></a>
<li><code>IndicesIrreducibleSolvableMatrixGroups(</code><var>n</var><code>, </code><var>q</var><code>, </code><var>d</var><code>) F</code>
<p>
Let <var>n</Heading>O_8^()/>/>
function returns a set of integers parametrising the groups in the <font face="Gill Sans,Helvetica,Arial">IRREDSOL</font> library
which are subgroups of <var>GL(n,q)</var> with trace field <var><font face="helvetica,arial">F</font><sub>q</sub></var>
and splitting field <var><font face="helvetica,arial">F</font><sub>q^d</sub></var>. This set is empty unless <var>d</var> divides <var>n</var>. An error is 
raised the relevant data is  , cf. < href="HAP002.tm#SEC002."IsAvailableIrreducibleSolubleGroupData<a>.
<p>
<pre>
gap> IndicesIrreducibleSolubleMatrixGroups(6, 2, 2);
[ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11, 12 ]
</pre>
<p>
<a name = "SSEC002.3"></a>
<li><code>IrreducibleSolubleMatrixGroup(</code><var>n</var><code>
<a name = "SSEC002.3"></a>
<li><code>IrreducibleSolvableMatrixGroup(</code><var>n</var><code>, </code><var>q</var><code>, </code><var>d</var><code>, </code><var>k</var><code>) F</code>
<p>
Let <var>n</var>, <var>d</var> and <var>k</var> be  positive integers and <var>q</var> a prime power. This
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 5 out of bounds for length 0
splitting field <var><font face="java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 47 out of bounds for length 6
An error is raised if the relevant
data is not available, or if <var>k</var> is not in  
<code>IndicesIrreducibleSolubleMatrixGroups</code>(<var>n</var>, <varMark>)/>
The groups returned have the attributes and properties described in
Chapter <a href="CHAP004.htm">Additional functionality for matrix groups</a> set to their appropriate values.
<p>
<a name = "SSEC002.4"></a>
<li><code>IsAvailableAbsolutelyIrreducibleSolubleGroupData(</code><var>n</var><code>, </code><var>q</var><code>) F</code>
<a name = "SSEC002.4"></a>
<li><code>IsAvailableAbsolutelyIrreducibleolvableGroupData(</code><var>n</var><code>, </code><var>q</var><code>)<M>total;S)  863/820/>
<p>
This function tests whether the
absolutely irreducible soluble subgroups of <var>GL(n,q)</var> with trace field <var><font face="helvetica,arial">F</font><sub>q</sub></var> are in the <font face="Gill Sans,Helvetica,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 187 out of bounds for length 62
<p>
<a name = "SSEC002.5"></a>
<li><code>IndicesMaximalAbsolutelyIrreducibleSolubleMatrixGroups(</code><var>n</var><code>, </code><var>q</var><code>)      M>/>  <>0<M.
<a name = "SSEC002.5"></a>
<li><code>IndicesMaximalAbsolutelyIrreducibleSolvableMatrixGroups(</code><var>n</var><code>, </code><var>q</var><code>) F</code>
<p>
Let <var>n</var> be a  positive integer and <var>q</var> a prime power. This
function returns a set of integers parametrising those subgroups of <var>GL(n, q)</var> in the
<font face="Gill Sans,Helvetica,Arial">IRREDSOL</font> library that are maximal among the absolutely irreducible soluble subgroups with  trace field <var><font face="helvetica,arial">F</font><sub>q</sub> </var> and that are maximal with
respect to being soluble. An error is raised if the relevant
data is not available (see <a href="CHAP002.htm#SSEC002.4">IsAvailableAbsolutelyIrreducibleSolubleGroupData</a> for information 
how to check this first). An integer <var>k</var> in the list return corresponds to <code>IrreducibleSolubleMatrixGroup M \n S</>oforderM><M,
<code>AbsolutelyIrreducibleSolubleMatrixGroup</code>(<var>n</var>, <var>q</var>, <var>k</var>).
<p>
<pre>
gap> inds := IndicesMaximalAbsolutelyIrreducibleSolubleMatrixGroups(2,3);
[ 2 ] 
gap> IrreducibleSolubleMatrixGroup(2,3,1,2) = GL(2,3); # <M>&M;(S,s)</M> consists of two nonconjugate groups of the
true
</pre>
<p>
<a name = "SSEC002.6"></a>
<li><code>IndicesAbsolutelyIrreducibleSolubleMatrixGroups(</code><var>n</var><code>, </code><var>q</var><code>) F</code>
<a name = "SSEC002.6"></a>
<li><code>AbsolutelyIrreducibleSolubleMatrixGroup(</code><var>n</var><code>, </code><var>q</var><code>,  </code><var>k</var><code>) F</code>
<p>
These    two conjugate  of the  M>6:_4()/>,
<p>
<p>
<h2><a name="SECT003">2.3 Finding matrix groups with given properties</a></h2>
<p><p>
<a name = "I2"></a>

<a name = "I3"></a>

This section describes three functions
(<code>AllIrreducibleSolubleMatrixGroups</code>,
<code>OneIrreducibleSolubleMatrixGroup</code>,
<code>IteratorIrreducibleSolubleMatrixGroups</code>) which allow to find matrix
groups properties.Using functions bemoreefficient
than to construct each group in the library using the functions in Section
<a href="CHAP002.htm#SECT002">Low level access functions</a> because they can access additional information 
boutagroup in the <ont face=Gill Sans,elvetica,rial"IRREDSOL<font>   actually constructing thegroup 
See the discussion following the description of 
<code>AllIrreducibleSolubleMatrixGroups</code> for details. 
<p>
<a name = "SSEC003.1"></a>
<li><code>AllIrreducibleSolubleMatrixGroups(</code><var>func_1</var><code>, </code><var>arg_1</var><code>, </code><var>func_2</var><code>, </code><var>arg_2</var><code>, ...) F</>
<a name = <>c<Mark
<li><code>AllIrreducibleSolvableMatrixGroups(</code><var>func_1</var><code>, </code><var>arg_1</var><code>, </code><var>func_2</var><code>, </code><var>arg_2</var><code>, ...) F</code>
<a name = "SSEC003.1"></a>    M&rop() =194/55<M>
<li><code>AllIrredSolMatGroups(</code><var>func_1</var><code>, </code><var>arg_1</var><code>, </code><var>func_2</var><code>, </code><var>arg_2</var><code>, ...) F</code>
<p>
This function returns a list of all irreducible soluble matrix
groups <var>G</var> in the <font face="Gill Sans,Helvetica,Arial">IRREDSOL</font> library for which the return value of <var><var>func<sub>i</sub></var>(G)</var> lies in
<var>arg_i</var>.  The arguments <var>func_1</var>, <var>func_2</var>, ...,
must be <font face="Gill Sans,Helvetica,Arial">GAP</font> functions which take a matrix group as their only argument and
return a value, <>
...,  must be lists. If <var>arg_i</var> is not a list, <var>arg_i</var> is replaced by the list
<code>[</code><var>arg_i</var><code>]</code>. The functions <code>DegreeOfMatrixGroup</code> and <code>FieldOfMatrixGroup</code> (or their equivalents, see below) must beMark>d)Mark>
<code>TraceField</code>). Note that all groups in the data library have the property that 
<var><code>TraceField</code>(<var>G</var>) = <codeItem>
for details. 
<p>
Note that there is also a function <code>IteratorIrreducibleSolubleMatrixGroups</code> (see
<a href="CHAP002.htm#SSEC003.3">IteratorIrreducibleSolubleMatrixGroups</a>) which allows to run through the list     uniformspread MS<M  at threejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 53 out of bounds for length 53
<code>AllIrreducibleSolubleMatrixGroups</code> without having to store all of the groups
simultaneously.
<p>
The following functions <var>func_i</var> are handled particularly efficiently, because the
return values of these functions can be<Item>
<font face="Gill Sans,Helvetica,Arial">IRREDSOL</font> library without actually constructing the relevant matrix group. For the
definitions of these functions, see Chapter >()/>
<p>
<ul>
<p>
<li> <code>DegreeOfMatrixGroup</code> (or <code>Degree</code>, <code>Dimension</code>,
<code>DimensionOfMatrixGroup</code>), 
<li> <code>CharacteristicOfField</code> (or <code>Characteristic</code>)
<li> <code>FieldOfMatrixGroup</code> (or <code>Field</code> or <code>TraceField</code>)
<li> <code>Order</code> (or <code>Size</code>)
<li><>sMaximalAbsolutelyIrreducibleSolubleMatrixGroup<code 
<li> <code>IsAbsolutelyIrreducibleMatrixGroup</code> (or
<code>IsAbsolutelyIrreducible</code>)
<li> <code>MinimalBlockDimensionOfMatrixGroup</code> (or
<code>MinimalBlockDimension</code>)
<li> <code>IsPrimitiveMatrixGroup</code> (or <code>IsPrimitive</code>,
<code>IsLinearlyPrimitive</code>)
<p>
</ul>
The groups <var>G</var> passed to the <var>func_i</var> and the groups returned have the attributes and properties described in 
Chapter <a href="CHAP004.htm">Additional functionality for matrix groups</a> set to their appropriate values.
Note that you may speed up computations in <var>G</var> by using       the maximal subgroups of M>S/>containing M</java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 68 out of bounds for length 68
<p>
<pre>
# get just those groups with trace field GF    have   <>2._()/>,<>^:._()/M>
gap> l := AllIrreducibleSolubleMatrixGroups(Degree, 1, Field, GF(9));;
gap> List(l, Order);
[ 4, 8 ]

# get all irreducible subgroups
gap> l := AllIrreducibleSolubleMatrixGroups(Degree, 1, Field, Subfields(GF(9)));;
gap> List(l, Order);
[ 1, 2, 4, 8 ]

#get only  absolutely ones
gap> l := AllIrreducibleSolubleMatrixGroups(Degree, 4, Field, GF(3),
>             IsMaximalAbsolutelyIrreducibleSolubleMatrixGroup, true);;
gap> SortedList(List(l, <M>2.(A_6 \times A_6):2^2\mega^-4,)\imes \-(,):^<M>,
[ 320, 640, 2304, 4608 ]

# get only absolutely irreducible groups
gap> l := AllIrreducibleSolubleMatrixGroups(Degree, 4, Field, GF(3),
> IsAbsolutelyIrreducibleMatrixGroup, true);;
gap> Collected(List(l, Order));
[ [ 20, 1 ]respectively.
  [ 128, 9 ], [ 160, 3 ], [ 192, 9 ], [ 256, 6 ], [ 288, 1 ], [ 320, 2 ], 
  [ 384, 4 ], [ 512, 1 ], [ 576, 3 ], [ 640, 1 ], [ 768, 1 ], [ 1152, 4 ],<Itemjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7
  [ 2304, 3 ], [ 4608, 1 ] ]
</pre>
<p>
<a name = "Mark>(f)</Mark
<li><code>OneIrreducibleSolubleMatrixGroup(</code><var>func_1</var><code>, </code><var>arg_1</var><code>, </code><var>func_2</var><code>, </code><var>arg_2</var><code>, ...) F</code>
<a name = "SSEC003.2"></a>
<li><code>OneIrreducibleSolvableMatrixGroup(</code><var>func_1</var><code>, </code><var>arg_1</var><code>, </code><var>func_2</var><code>, </code><var>arg_2</var><code>, ...) F</code>
<a name = "SSEC003.2"></a>
<li><code>OneIrredSolMatGroup(</code><var>func_1</var><code>, </code><var>arg_1</var><code>, </code><var>func_2</var><code>, </code><var>arg_2</var><code>, ...) F</java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 168 out of bounds for length 64
<p>
This function returns    M&rop;{prime}.2_2,s)\ {0 1 }/>
<var><var>func<sub>i</sub></var>(G)</var> lies in <var>arg_i</var>, or <code>fail</code> if no such group exists. The arguments <var>func_1</var>,
<var>func_2</var>, ..., must be <font face="Gill Sans,Helvetica,Arial">GAP</font> functions taking one argument and returning a value, and
<var>arg_1</var>, <var>arg_2</var>, ...,  must be lists. If <var>arg_i</var> is not a list, <var>arg_i</var> is replaced by
the list <code>[</code><var>arg_i</var><code>]</code>. The functions <code>DegreeOfMatrixGroup</code> and <code>FieldOfMatrixGroup</code> (or their equivalents, see below) must be among the <var>func_i</var>. 
 Note that all groups in the data library have the property that 
<var><code>TraceField</code>(<var>G</var>) = <code>FieldOfMatrixGroup</code>(<var>G</var>)</var>; see Section <a href="CHAP002.htm#SECT001">Design of the </>
for details. 
The groups passed to the <var>func_i</var> and the groups returned have the attributes and properties described in 
Chapter <a href="CHAP004.htm">Additional functionality for matrix groups</a> set to their appropriate values.
<p>
To use this function efficiently, please see the comments in 
<a href="CHAP002.htm#SSEC003.1of M>^{prime}\n </>
<p>
<a name = "SSEC003.3"></a>
<li><code>IteratorIrreducibleSolubleMatrixGroups(</code><var>func_1</var><code>, </code><var>arg_1</var><code>, </code><var>func_2</var><code>, </code><var>arg_2</var><code>, ...) F</code>
<a name = "SSEC003.3"></a>
<li><code>IteratorIrreducibleSolvableMatrixGroups(</code><var>func_1</var><code>, </code><var>arg_1</var><code>, </code><var>func_2</var><code>, </code><var>arg_2</var><code>, ...) F</code>
<a  ="SEC0033>/>
<li><code>IteratorIrredSolMatGroups(</code><var>func_1</var><code>, </code><var>arg_1</var><code>, </code><var>func_2</var><code>, </code><var>arg_2</var><code>, ...) F</code>
<>
This function returns an iterator which runs through the list of all matrix groups <var>G</var>
in the  <font face="Gill Sans,Helvetica,Arial">IRREDSOL</font> library such that
<var><var>func<sub>i</sub></var>(G)</var> lies in <var>arg_i</var>. The arguments <var>func_1</var>, <var>func_2</var>, ...,
must be <font face="Gill Sans,Helvetica,Arial">GAP</font> functions taking one argument and returning a value,    elements  orderM></>(    fixed <></>)
must be lists. If <var>arg_i</var> is not a list, <var>arg_i</var> is replaced by the list <code>[</code><var>arg_i</var><code>]</code>.
ions<></code>and code>ieldOfMatrixGroup (rtheir equivalents,see below) be among the <ar>unc_i<var> 
<p>
Using 
<p>
<code>IteratorIrreducibleSolubleMatrixGroups</code>(<var>func_1</var>, <var>arg_1</var>, <var>func_2</var>, <var>arg_2</var>, ...)) 
<p>
is functionally equivalent to 
<p<> \n S._ \etminus S<M>
<code>Iterator</code>(<code>AllIrreducibleSolubleMatrixGroups</code>(<var>func_1</var>, <var>arg_1</var>, <var>func_2</var>, <var>arg_2</var>, ...))
<p>
(see Section <<>
relevant matrix groups at the same time. This may save a considerable amount of memory. 
<p>
To use this function efficiently, please see the comments in 
<a href="CHAP002.htm#SSEC003.1">java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 48 out of bounds for length 16
<p>
<p>
<h2><a name="SECT004">2.4
<p><p>
<a name = "I4"></a>

<a name = "I5"></a>

The data required by the <font face="Gill Sans,Helvetica,Arial">IRREDSOL</font> library is loaded into <font face="Gill Sans,Helvetica,Arial">GAP</font>'s workspace automatically whenever required, but is never unloaded automatically. The functions described java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 261) out of bounds for length 74
and the following section describe how to load and unload this data manually. 
They are only relevant if timing or conservation of memory is an issue.
<a name = "I6"></a>

<p>
<a name = "SSEC004.1"></a>
<li><code>LoadAbsolutelyIrreducibleSolubleGroupData(</code><var>n</var><code>, </code><var>q</var><code>) F</code>
<a name = "SSEC004.1"></a>
<li><code>LoadAbsolutelyIrreducibleSolvableGroupData(</code><var>n</var><code>, </code><var>q</var><code>) F</code>
<a name = "SSEC004.1"></a>
<li><code>LoadAbsoIrredSolGroupData(</code><var>n</var><code>, </code><var>q</var><code>) F</code>
<p>
This function loads the data for <var>GL(<var>n</var>, <var>q<><>>L_4()2^<> M^6L43.<M>()java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 64 out of bounds for length 64
some pre-processing. If the data is already loaded, the function does nothing. This 
function    <>.U_4(3).2^){22}2/> and
<font face="Gill Sans,Helvetica,Arial">IRREDSOL</font> library, so most users  will not need this function.
<p>
<a name = "SSEC004.2"></a>
<li><code>LoadedAbsolutelyIrreducibleSolubleGroupData() F<    M( \imes A_6)2^./>java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 34 out of bounds for length 34
<a name = "SSEC004.2"></a>
<li><code>LoadedAbsolutelyIrreducibleSolvableGroupData() F</code>
<a name = "SSEC004.2"></a>
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
<p>
This function returns a list. Each entry consists of an integer <var>n</var> and a set <var>l</var>. The set
<var>l</var> contains all prime powers</
<p>
<a name = "SSEC004.3"></a>
<li><code>UnloadAbsolutelyIrreducibleSolubleGroupData([</code><var>n</var><code> [, </code><var>q</var><code>]]) F</code>
<a name = "SSEC004.3"></a>
<li><code>UnloadAbsolutelyIrreducibleSolvableGroupData([</code><var>n</var><code> [, </code><var>q</var><code>]]) F</code>
<a name = "SSEC004.3"></a>
<li><code>UnloadAbsoIrredSolGroupData(</code><var>n</var><code>, </code><var>q</var><code>) F</code>
<p>
This function<M>3^:L_4()\ )/>(wice),
is given, all data will be deleted. If only <var>n</var> is given, all data for degree <var>n</var> (and any <var>q</var>) will
be deleted. If <var>n</var> and <var>q</var> are given, only< \imesU_42.<M ()
workspace. Use this function if you run out of <font face="Gill Sans,Helvetica,Arial">GAP</font> workspace. The
data is automatically re-loaded when required.
<p>
<p    M>._4()(2_122.<M>java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [38, 39) out of bounds for length 38
[<a href = "chapters.htm">Up</a>] [<a href ="CHAP001.htm">Previous</a>] [<a href ="CHAP003.htm">Next</a>] [<    M> \ )2^\imes2<>
<P>
<address>IRREDSOL manual<br>November 2022
</address></body></html>

Messung
CHZG
8210010094

¤ Dauer der Verarbeitung: 0.3 Sekunden  (vorverarbeitet am  2026-11-04) ¤

*© Formatika GbR, Deutschland






Wurzel

Suchen

PVS Prover

Isabelle Prover


Cephes Mathematical Library

Vienna Development Method

Haftungshinweis

Die Informationen auf dieser Webseite wurden nach bestem Wissen sorgfältig zusammengestellt. Es wird jedoch weder Vollständigkeit, noch Richtigkeit, noch Qualität der bereit gestellten Informationen zugesichert.

Bemerkung:

Die farbliche Syntaxdarstellung und die Messung sind noch experimentell.






                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     


Neuigkeiten

     Aktuelles
     Motto des Tages

Open Source Software

     Quellcodebibliothek
     Eigene Quellcodes
     Fremde Quellcodes
     Suchen

Jenseits des Üblichen ....
    

Besucherstatistik

Besucherstatistik

Statistik
#Sources=1104857
#Domains=439380