<?xml version="1.0" encoding="UTF-8"?>

<!DOCTYPE html PUBLIC "-//W3C//DTD XHTML 1.0 Strict//EN"
         "http://www.w3.org/TR/xhtml1/DTD/xhtml1-strict.dtd">

<html xmlns="http://www.w3.org/1999/xhtml" xml:lang="en">
<head>
<title>GAP (MajoranaAlgebras) - Chapter 3: Majorana representations</title>
<meta http-equiv="content-type" content="text/html; charset=UTF-8" />
<meta name="generator" content="GAPDoc2HTML" />
<link rel="stylesheet" type="text/css" href="manual.css" />
<script src="manual.js" type="text/javascript"></script>
<script type="text/javascript">overwriteStyle();</script>
</head>
<body class="chap3"  onload="jscontent()">


<div class="chlinktop"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chap2.html">2</a>  <a href="chap3.html">3</a>  <a href="chap4.html">4</a>  <a href="chap5.html">5</a>  <a href="chap6.html">6</a>  <a href="chap7.html">7</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<div class="chlinkprevnexttop"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap2.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap4.html">[Next Chapter]</a>   </div>

<p id="mathjaxlink" class="pcenter"><a href="chap3_mj.html">[MathJax on]</a></p>
<p><a id="X7B5CADA77CC27BB0" name="X7B5CADA77CC27BB0"></a></p>
<div class="ChapSects"><a href="chap3.html#X7B5CADA77CC27BB0">3 <span class="Heading">Majorana representations</span></a>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap3.html#X80ABA2918548E108">3.1 <span class="Heading">The main function</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap3.html#X7F601CB47EBEAA6A">3.1-1 MajoranaRepresentation</a></span>
</div></div>
<div class="ContSect"><span class="tocline"><span class="nocss"> </span><a href="chap3.html#X85C2A4B97D4B47D0">3.2 <span class="Heading">The n-closed function</span></a>
</span>
<div class="ContSSBlock">
<span class="ContSS"><br /><span class="nocss">  </span><a href="chap3.html#X8155D0F98405BD1E">3.2-1 NClosedMajoranaRepresentation</a></span>
</div></div>
</div>

<h3>3 <span class="Heading">Majorana representations</span></h3>

<p><a id="X80ABA2918548E108" name="X80ABA2918548E108"></a></p>

<h4>3.1 <span class="Heading">The main function</span></h4>

<p><a id="X7F601CB47EBEAA6A" name="X7F601CB47EBEAA6A"></a></p>

<h5>3.1-1 MajoranaRepresentation</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">&#an style='color: green'>8227; MajoranaRepresentation</code>( <var class="Arg">input</var>, <var class="Arg">index</var>[, <var class="Arg">options</var>] )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Returns: a record giving a Majorana representation</p>

<p>This takes two or three arguments, the first of which must be the output of the function <code class="func">ShapesOfMajoranaRepresentation</code> (<a href="chap2.html#X7AEAA41E813BB13C"><span class="RefLink">2.1-1</span></a>) and the second of which is the index of the desired shape in list <var class="Arg">input.shapes</var>.</p>

<p>If the optional argument <var class="Arg">options</var> is given then it must be a record. The following components of <var class="Arg">options</var> are recognised:</p>


<dl>
<dt><strong class="Mark"><code class="code">axioms</code></strong></dt>
<dd><p>This component must be bound to the string <var class="Arg">"AllAxioms"</var> or <var class="Arg">"NoAxioms"</var>. If bound to <var class="Arg">"AllAxioms"</var> then the algorithm assumes the axioms 2Aa, 2Ab, 3A, 4A and 5A as in Seress (2012). If bound to <var class="Arg">"NoAxioms"</var> then the algorithm only assumes the Majorana axioms M1 - M7. The default value is <var class="Arg">"AllAxioms"</var>.</p>

</dd>
<dt><strong class="Mark"><code class="code">form</code></strong></dt>
<dd><p>If this is bound to <var class="Arg">true</var> then the algorithm assume the existence of an inner product (as in the definition of a Majorana algebra). Otherwise, if bound to <var class="Arg">false</var> then no inner product is assumed (and we are in fact constructing an axial algebra that satisfies the Majorana fusion law). The default value is <var class="Arg">true</var>.</p>

</dd>
<dt><strong class="Mark"><code class="code">embedding</code></strong></dt>
<dd><p>If this is bound to <var class="Arg">true</var> then the algorithm first attempts to construct large subalgebras of the final representation before starting the main construction. The default value is <var class="Arg">false</var>.</p>

</dd>
</dl>
<p><a id="X85C2A4B97D4B47D0" name="X85C2A4B97D4B47D0"></a></p>

<h4>3.2 <span class="Heading">The n-closed function</span></h4>

<p>A Majorana algebra <span class="Math">V</span> generated by a set of axes <span class="Math">A</span> is called <span class="Math">n</span>-closed if it is spanned as a vector space by products of elements of <span class="Math">A</span> of length at most <span class="Math">n</span>. As most known Majorana algebras are <span class="Math">2</span>-closed, the function <code class="func">MajoranaRepresentation</code> (<a href="chap3.html#X7F601CB47EBEAA6A"><span class="RefLink">3.1-1</span></a>) only attempts to construct the <span class="Math">2</span>-closed part.</p>

<p>If it is not successful then the output is a partial Majorana representation, i.e. a Majorana representation with some missing algebra products. In this case, the function <code class="func">MAJORANA_IsComplete</code> (<a href="chap4.html#X7B229A8480CD11D3"><span class="RefLink">4.2-1</span></a>) returns false.</p>

<p>If the user wishes, they may then pass this incomplete Majorana representation to the function <code class="func">NClosedMajoranaRepresentation</code> (<a href="chap3.html#X8155D0F98405BD1E"><span class="RefLink">3.2-1</span></a>) in order to attempt construction of the <span class="Math">3</span>-closed part. This process may then be repeated as many times as the user wishes.</p>

<p><a id="X8155D0F98405BD1E" name="X8155D0F98405BD1E"></a></p>

<h5>3.2-1 NClosedMajoranaRepresentation</h5>

<div class="func"><table class="func" width="100%"><tr><td class="tdleft"><code class="func">&#an style='color: green'>8227; NClosedMajoranaRepresentation</code>( <var class="Arg">rep</var> )</td><td class="tdright">( function )</td></tr></table></div>
<p>Takes as its input an incomplete Majorana representation rep that has been generated using the function <code class="func">MajoranaRepresentation</code> (<a href="chap3.html#X7F601CB47EBEAA6A"><span class="RefLink">3.1-1</span></a>). Again runs the main algorithm in order to attempt construction of the <span class="Math">3</span>-closed part of the algebra. If the function <code class="func">NClosedMajoranaRepresentation</code> is called <span class="Math">n</span> times on the same Majorana representation rep then this representation will be the <span class="Math">n + 2</span>-closed part of the algebra.</p>


<div class="chlinkprevnextbot"> <a href="chap0.html">[Top of Book]</a>   <a href="chap0.html#contents">[Contents]</a>    <a href="chap2.html">[Previous Chapter]</a>    <a href="chap4.html">[Next Chapter]</a>   </div>


<div class="chlinkbot"><span class="chlink1">Goto Chapter: </span><a href="chap0.html">Top</a>  <a href="chap1.html">1</a>  <a href="chap2.html">2</a>  <a href="chap3.html">3</a>  <a href="chap4.html">4</a>  <a href="chap5.html">5</a>  <a href="chap6.html">6</a>  <a href="chap7.html">7</a>  <a href="chapInd.html">Ind</a>  </div>

<hr />
<p class="foot">generated by <a href="https://www.math.rwth-aachen.de/~Frank.Luebeck/GAPDoc">GAPDoc2HTML</a></p>
</body>
</html>