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##
#W catenary-tame.gd Manuel Delgado <mdelgado@fc.up.pt>
#W Pedro A. Garcia-Sanchez <pedro@ugr.es>
#W Jose Morais <josejoao@fc.up.pt>
##
##
#Y Copyright 2005 by Manuel Delgado,
#Y Pedro Garcia-Sanchez and Jose Joao Morais
#Y We adopt the copyright regulations of GAP as detailed in the
#Y copyright notice in the GAP manual.
##
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##
#F NSGPfactorizationsNC(n,l)
##
## <n> is a nonnegative integer and <l> is a list of positive integers.
## Returns a list with the different factorizations of n as a linear
## combination with elements in l.
##
#############################################################################
DeclareGlobalFunction( "NSGPfactorizationsNC" );
#############################################################################
##
#F CatenaryDegreeOfNumericalSemigroup(s)
##
## Computes the catenary degree of the numerical semigroup <s>.
##
## The definition of catenary degree can be found in
## the book:
## -A. Geroldinger and F. Halter-Koch, Non-unique
## Factorizations: Algebraic, Combinatorial and
## Analytic Theory, Pure and AppliedMathematics,
## vol. 278, Chapman & Hall/CRC, 2006.
## The algorithm used appears in
## -S. T. Chapman, P. A. Garcia-Sanchez,
## D. Llena, V. Ponomarenko, and J. C. Rosales,
## The catenary and tame degree in finitely generated
## cancellative monoids, Manuscripta Mathematica 120 (2006) 253--264
##
#############################################################################
DeclareGlobalFunction( "CatenaryDegreeOfNumericalSemigroup" );
DeclareOperation("CatenaryDegree",[IsNumericalSemigroup]);
#############################################################################
##
#F CatenaryDegreeOfElementInNumericalSemigroup(s)
##
## This function returns the catenary cegree in a numerical semigroup S of
## a positive integer n
##
##
DeclareGlobalFunction( "CatenaryDegreeOfElementInNumericalSemigroup" );
DeclareOperation("CatenaryDegree",[IsNumericalSemigroup,IsInt]);
DeclareOperation("CatenaryDegree",[IsInt,IsNumericalSemigroup]);
#############################################################################
##
#F TameDegreeOfElementInNumericalSemigroup(n,s)
##
## Computes the tame degre of the element <n> of the numerical semigroup <s>.
## Used for the computation of the tame degree of s, but can
## be used separately.
##
## The definition of tame degree appears in
## -A. Geroldinger and F. Halter-Koch, Non-unique
## Factorizations: Algebraic, Combinatorial and
## Analytic Theory, Pure and AppliedMathematics,
## vol. 278, Chapman & Hall/CRC, 2006.
## The algorithm used appears in
## -S. T. Chapman, P. A. Garcia-Sanchez,
## D. Llena, V. Ponomarenko, and J. C. Rosales,
## The catenary and tame degree in finitely generated
## cancellative monoids, Manuscripta Mathematica 120 (2006) 253--264
##
#############################################################################
DeclareGlobalFunction( "TameDegreeOfElementInNumericalSemigroup" );
DeclareOperation("TameDegree",[IsInt,IsNumericalSemigroup]);
DeclareOperation("TameDegree",[IsNumericalSemigroup,IsInt]);
#############################################################################
##
#F TameDegreeOfNumericalSemigroup(s)
##
## Computes the tame degree of a numerical semigroup <s>.
##
## The definition of tame degree appears in
## -A. Geroldinger and F. Halter-Koch, Non-unique
## Factorizations: Algebraic, Combinatorial and
## Analytic Theory, Pure and AppliedMathematics,
## vol. 278, Chapman & Hall/CRC, 2006.
## The algorithm used appears in
## -S. T. Chapman, P. A. Garcia-Sanchez,
## D. Llena, The catenary and tame degree of numerical
## semigroups, Forum Math. 2007 1--13.
##
#############################################################################
DeclareGlobalFunction( "TameDegreeOfNumericalSemigroup" );
DeclareOperation("TameDegree",[IsNumericalSemigroup]);
#############################################################################
##
#F FactorizationsElementWRTNumericalSemigroup(n,s)
##
## Computes the set of factorizations
## of an element <n> as linear combinations
## with nonnegative coefficients of the minimal generators
## of the semigroup <s>.
##
#############################################################################
DeclareGlobalFunction( "FactorizationsElementWRTNumericalSemigroup" );
DeclareOperation("Factorizations",[IsInt,IsNumericalSemigroup]);
DeclareOperation("Factorizations",[IsNumericalSemigroup,IsInt]);
#############################################################################
##
#F RFMatrices(f,s)
##
## The integer f is a pseudo-Frobenius number of the numerical semigroup s
## For each minimal generator n of s, it computes the factorizations of
## f+n in terms of the generators of s. These factorizations yield
## combinations of f in terms of the minimal generators of s (by substracting n).
## The output is the cartesian product of these combinations for each of the
## minimal generator. This corresponds with the set of all Row Factorization
## matrices introduced by Moscariello (RF-Matrices)
##
#############################################################################
DeclareGlobalFunction( "RFMatrices" );
#############################################################################
##
#F LengthsOfFactorizationsElementWRTNumericalSemigroup(n,s)
##
## Computes the lengths of the set of
## factorizations of an element <n> as linear combinations
## with nonnegative coefficients of the minimal generators
## of the semigroup <s>.
##
#############################################################################
DeclareGlobalFunction( "LengthsOfFactorizationsElementWRTNumericalSemigroup" );
#############################################################################
##
#F ElasticityOfFactorizationsElementWRTNumericalSemigroup(n,s)
##
## Computes the quotient (maximum length)/(minimum lenght) of the
## factorizations of an element <n> as linear combinations
## with nonnegative coefficients of the minimal generators
## of the semigroup <s>.
##
#############################################################################
DeclareGlobalFunction( "ElasticityOfFactorizationsElementWRTNumericalSemigroup" );
DeclareOperation("Elasticity",[IsPosInt,IsNumericalSemigroup]);
DeclareOperation("Elasticity",[IsNumericalSemigroup,IsPosInt]);
#############################################################################
##
#F ElasticityOfNumericalSemigroup(s)
##
## Computes the supremum of the elasticities of the
## factorizations of the elements of <s>.
## From [CHM06, GHKb] this is precisely np/n1
## with n1 the multiplicity of <s> and np the greatest
## generator.
##
#############################################################################
DeclareGlobalFunction( "ElasticityOfNumericalSemigroup" );
DeclareOperation("Elasticity",[IsNumericalSemigroup]);
#############################################################################
##
#F DeltaSetOfFactorizationsElementWRTNumericalSemigroup(n,s)
##
## Computes the set of differences between
## two consecutive lengths of factorizations of
## an element <n> as linear combinations
## with nonnegative coefficients of the minimal generators
## of the semigroup <s>.
##
#############################################################################
DeclareGlobalFunction( "DeltaSetOfFactorizationsElementWRTNumericalSemigroup" );
DeclareOperation("DeltaSet",[IsInt,IsNumericalSemigroup]);
DeclareOperation("DeltaSet",[IsNumericalSemigroup,IsInt]);
#############################################################################
##
#F MaximumDegreeOfElementWRTNumericalSemigroup(n,s)
##
## Computes the maximum length of the
## factorizations of an element <n> as linear combinations
## with nonnegative coefficients of the minimal generators
## of the semigroup <s>.
##
#############################################################################
DeclareGlobalFunction( "MaximumDegreeOfElementWRTNumericalSemigroup" );
DeclareOperation("MaximumDegree",[IsInt,IsNumericalSemigroup]);
DeclareOperation("MaximumDegree",[IsNumericalSemigroup,IsInt]);
#############################################################################
##
#F OmegaPrimalityOfElementInNumericalSemigroup(n,s)
##
## Computes the omega primality of an elmenent n in S, as explained in
## V. Blanco, P. A. Garc\'{\i}a-S\'anchez, A. Geroldinger,
## Semigroup-theoretical characterizations of arithmetical invariants with
## applications to numerical monoids and Krull monoids, {arXiv}:1006.4222v1.
##
#############################################################################
DeclareGlobalFunction("OmegaPrimalityOfElementInNumericalSemigroup");
DeclareOperation("OmegaPrimality",[IsInt,IsNumericalSemigroup]);
DeclareOperation("OmegaPrimality",[IsNumericalSemigroup,IsInt]);
#############################################################################
##
#F OmegaPrimalityOfNumericalSemigroup(s)
##
## Computes the maximum of omega primality of the minimal generators of S.
##
#############################################################################
DeclareGlobalFunction("OmegaPrimalityOfNumericalSemigroup");
DeclareOperation("OmegaPrimality",[IsNumericalSemigroup]);
#############################################################################
##
#F FactorizationsIntegerWRTList(n,ls)
##
## Computes the set of factorizations
## of an integer n as linear combinations
## with nonnegative coefficients of the elements in the list ls
## Makes use of RestrictedPartitions
#############################################################################
DeclareGlobalFunction("FactorizationsIntegerWRTList");
#############################################################################
##
#F LengthsOfFactorizationsIntegerWRTList(n,ls)
##
## Computes the lengths of the set of
## factorizations of an integer <n> as linear combinations
## with nonnegative coefficients of the elements in the list <ls>
##
#############################################################################
DeclareGlobalFunction("LengthsOfFactorizationsIntegerWRTList");
#############################################################################
##
#F DeltaSetOfSetOfIntegers(n,s)
##
## Computes the set of differences between
## two consecutive lengths of factorizations of
## an integer <n> as linear combinations
## with nonnegative coefficients of the elements in the list <ls>
##
#############################################################################
DeclareGlobalFunction("DeltaSetOfSetOfIntegers");
DeclareOperation("DeltaSet",[IsHomogeneousList]);
#############################################################################
##
#F CatenaryDegreeOfSetOfFactorizations(fact)
##
## Computes the catenary degree of the set of factorizations
##
#############################################################################
DeclareGlobalFunction("CatenaryDegreeOfSetOfFactorizations");
DeclareOperation("CatenaryDegree",[IsHomogeneousList]);
#############################################################################
##
#F TameDegreeOfSetOfFactorizations(fact)
##
## Computes the tame degree of the set of factorizations
##
#############################################################################
DeclareGlobalFunction("TameDegreeOfSetOfFactorizations");
DeclareOperation("TameDegree",[IsHomogeneousList]);
#############################################################################
##
#F RClassesOfSetOfFactorizations(l)
##
## Determine the set of R-classes (Chapter 7 [RGBook] of a set of factorizations
##
#############################################################################
DeclareGlobalFunction("RClassesOfSetOfFactorizations");
########################################################
# MaximalDenumerantOfElementInNumericalSemigroup(x,s)
# returns the number of factorizations of maximal length of x in
# the numerical semigroup s
########################################################
DeclareGlobalFunction("MaximalDenumerantOfElementInNumericalSemigroup");
DeclareOperation("MaximalDenumerant",[IsInt,IsNumericalSemigroup]);
DeclareOperation("MaximalDenumerant",[IsNumericalSemigroup,IsInt]);
########################################################
# MaximalDenumerantOfSetOfFactorizations(ls)
# returns the number of factorizations of maximal length in ls
########################################################
DeclareGlobalFunction("MaximalDenumerantOfSetOfFactorizations");
########################################################
# MaximalDenumerantOfNumericalSemigroup(s)
# computes the maximal denumerant of a numerical semigroup
# by using de algorithm given by Bryant and Hamblin
# Semigroup Forum 86 (2013), 571-582
########################################################
DeclareGlobalFunction("MaximalDenumerantOfNumericalSemigroup");
DeclareOperation("MaximalDenumerant",[IsNumericalSemigroup]);
########################################################
# AdjustmentOfNumericalSemigroup(s)
# computes the adjustment a numerical semigroup
# by using de algorithm given by Bryant and Hamblin
# Semigroup Forum 86 (2013), 571-582
########################################################
DeclareGlobalFunction("AdjustmentOfNumericalSemigroup");
DeclareOperation("Adjustment",[IsNumericalSemigroup]);
##############################################################
# IsAdditiveNumericalSemigroup(s)
# Detects if s is an additive numerical semigroup, that is,
# ord(m+x)=ord(x)+1 for all x in s. For these semigroups gr_m(K[[s]]) is
# Cohen-Macaulay.
# We use Proposition 4.7 in Semigroup Forum 86 (2013), 571-582
##############################################################
DeclareGlobalFunction("IsAdditiveNumericalSemigroup");
##############################################################
# IsSuperSymmetricNumericalSemigroup(s)
# Detects if s is a numerical semigroup is supersymmetric, that is,
# it is symmetric, additive and whenever w+w'=f+m
# (with m the multiplicity and f the Frobenius number) we have
# ord(w+w')=ord(w)+ord(w')
##############################################################
DeclareGlobalFunction("IsSuperSymmetricNumericalSemigroup");
#######################################################################
# BelongsToHomogenizationOfNumericalSemigroup(n,s)
# checks if the pair n belongs to the homogenization of s
#######################################################################
DeclareGlobalFunction("BelongsToHomogenizationOfNumericalSemigroup");
#######################################################################
# FactorizationsInHomogenizationOfNumericalSemigroup(n,s)
# computes the set of factorizations of n with respect to generators of
# the homogenization of s
#######################################################################
DeclareGlobalFunction("FactorizationsInHomogenizationOfNumericalSemigroup");
#######################################################################
# HomogeneousBettiElementsOfNumericalSemigroup(s)
# Computes the Betti elements of the Homogenization of s
# uses Cox-Little-O'Shea, Chapter 8, Theorem 4 for finding
# a system of generators of the ideal of S^h
#######################################################################
DeclareGlobalFunction("HomogeneousBettiElementsOfNumericalSemigroup");
####################################################################
#F HomogeneousCatenaryDegreeOfNumericalSemigroup(s) computes the
## homogeneous catenary degree of the numerical semigroup s ([GSOSN])
####################################################################
DeclareGlobalFunction("HomogeneousCatenaryDegreeOfNumericalSemigroup");
########################################
#F DenumerantOfElementInNumericalSemigroup(n,s)
## returns the denumerant
########################################
DeclareGlobalFunction("DenumerantOfElementInNumericalSemigroup");
### as function
DeclareOperation("DenumerantFunction",[IsNumericalSemigroup]);
#################################################################
## DenumerantIdeal(s,n)
## returns the ideal of s of all elements in s with denumerant
## larger than n
#################################################################
DeclareOperation("DenumerantIdeal",[IsNumericalSemigroup,IsInt]);
DeclareOperation("DenumerantIdeal",[IsInt,IsNumericalSemigroup]);
####################################################################
#F MoebiusFunctionAssociatedToNumericalSemigroup(s,x)
## Computes the value in x of Moebius function of the poset
## associated to a numerial semigroup s
## -Chappelon and Ramirez Alfonsin, Semigroup Forum 87 (2013), 313-330
####################################################################
DeclareGlobalFunction("MoebiusFunctionAssociatedToNumericalSemigroup");
DeclareOperation("MoebiusFunction",[IsNumericalSemigroup]);
###################################################################
#F AdjacentCatenaryDegreeOfSetOfFactorizations(ls)
## computes the adjacent catenary degree of the set of factorizations ls
###################################################################
DeclareGlobalFunction("AdjacentCatenaryDegreeOfSetOfFactorizations");
###################################################################
#F EqualCatenaryDegreeOfSetOfFactorizations(ls)
## computes the equal catenary degree of of the set of factorizations
###################################################################
DeclareGlobalFunction("EqualCatenaryDegreeOfSetOfFactorizations");
###################################################################
#F MonotoneCatenaryDegreeOfSetOfFactorizations(ls)
## computes the equal catenary degree of of the set of factorizations
###################################################################
DeclareGlobalFunction("MonotoneCatenaryDegreeOfSetOfFactorizations");
############################################################
#F LShapesOfNumericalSemigroup(s)
## computes the set of LShapes associated to S (see [AG-GS])
##########################################################
DeclareGlobalFunction("LShapesOfNumericalSemigroup");
DeclareOperation("LShapes",[IsNumericalSemigroup]);
###########################################################################
#F DegreesOfMonotonePrimitiveElementsOfNumericalSemigroup(s)
##
## Computes the sets of elements in s, such that there exists a minimal
## solution to msg*x-msg*y = 0, |x|<=|y| such that x,y are factorizations of s
## Used to compute the monotone catenary degree of the semigroup s
##
#############################################################################
DeclareGlobalFunction("DegreesOfMonotonePrimitiveElementsOfNumericalSemigroup");
###########################################################################
#F DegreesOfEqualPrimitiveElementsOfNumericalSemigroup(s)
##
## Computes the sets of elements in s, such that there exists a minimal
## solution to msg*x-msg*y = 0, |x|=|y| such that x,y are factorizations of s
## Used to compute the equal catenary degree of the semigroup
##
#############################################################################
DeclareGlobalFunction("DegreesOfEqualPrimitiveElementsOfNumericalSemigroup");
####################################################################
#F EqualCatenaryDegreeOfNumericalSemigroup(s) computes the
## adjacent catenary degree of the numerical semigroup s
## the equal catenary degree is reached in the set of primitive
## elements of s (see [PH])
####################################################################
DeclareGlobalFunction("EqualCatenaryDegreeOfNumericalSemigroup");
####################################################################
#F MonotoneCatenaryDegreeOfNumericalSemigroup(s) computes the
## adjacent catenary degree of the numerical semigroup s
## the monotone catenary degree is reached in the set of primitive
## elements of s (see [PH])
####################################################################
DeclareGlobalFunction("MonotoneCatenaryDegreeOfNumericalSemigroup");
###########################################################################
#####################################################################
##
#O FengRaoDistance(NS,r,m)
##
#Computes the r-th Feng-Rao distance of the element m in the numerical semigroup NS
#function originally implemented by Benjamin Heredia
#Based on the paper...
##
#####################################################################
DeclareOperation("FengRaoDistance",[IsNumericalSemigroup,IsPosInt,IsPosInt]);
###########################################################################
###########################################################################
##
#O FengRaoNumber(NS,r)
#O FengRaoNumber(r,NS)
# returns the r-Feng Rao number of a numerical semigroup NS
########
# based on [DelgadoFarranGarcia-SanchezLlena2013MC]
#################################################
#####################################################################
DeclareOperation("FengRaoNumber",[IsNumericalSemigroup,IsPosInt]);
DeclareOperation("FengRaoNumber",[IsPosInt,IsNumericalSemigroup]);
################################################################################
##############################
##
#P IsHomogeneousNumericalSemigroup(S)
##
## Tests if S is homogeneous, that is, for every element a in the Apéry set of its multiplicity,
## all the factorizations of a have the same length
##
##############################################################################################################
DeclareProperty("IsHomogeneousNumericalSemigroup",IsNumericalSemigroup);
