Quelle  Discreteness.gi   Sprache: unbekannt

#
# Ugaly: Universal Groups Acting LocallY
#
# Implementations
#
##################################################################################################################

InstallMethod( SatisfiesD, "for a local action F", [IsLocalAction],
function(F)
 local d, k, K, dir;
 
 d:=LocalActionDegree(F);
 k:=LocalActionRadius(F);

 if k=0 then
  return true;
 elif k=1 then
  return IsSemiRegular(F,[1..d]);
 else  
  K:=Kernel(RestrictedMapping(Projection(AutBall(d,k)),F));
  for dir in [1..d] do;
   if not IsTrivial(Stabilizer(K,[(dir-1)*(d-1)^(k-1)+1..dir*(d-1)^(k-1)],OnTuples)) then
    return false;
   fi;
  od;
  return true;
 fi;
end );
 

##################################################################################################################

InstallMethod( YieldsDiscreteUniversalGroup, "for a local action F", [IsLocalAction],
function(F)
 local k, CF;

 k:=LocalActionRadius(F);

 if k=0 then
  return true;
 elif k=1 then
  CF:=F;
 else  
  CF:=MaximalCompatibleSubgroup(F);
 fi;
 return SatisfiesD(CF);
end );

##################################################################################################################

InstallGlobalFunction( IsCocycleViaGeneratorData,
function(F,c,pr,rel)
 local d, r, dir;
 
 d:=LocalActionDegree(F);
 
 # suffices to check $z(r,dir)=1$ for all relations r and directions dir (?)
 for r in rel do
  for dir in [1..d] do
   if not ()=EvaluateCocycleViaWords(F,c,pr,LetterRepAssocWord(r),dir) then return false; fi;
  od;
 od;
 
 return true;
end );

##################################################################################################################

InstallGlobalFunction( IsInvolutiveViaGeneratorData,
function(F,c,pr)
 local d, a, dir;
 
 d:=LocalActionDegree(F);

 # suffices to check on generators: z(z(ab,i),i)=z(z(a,bi)z(b,i),i)=z(z(a,bi),z(b,i)*i)z(z(b,i),i)=z(z(a,bi),bi)*b=a*b
 for a in GeneratorsOfGroup(F) do
  for dir in [1..d] do
   if not EvaluateCocycleViaElements(F,c,pr,EvaluateCocycleViaElements(F,c,pr,a,dir),dir)=a then return false; fi;
  od;
 od;
 return true;
end );

##################################################################################################################

InstallGlobalFunction( EvaluateCocycleViaWords,
function(F,c,pr,w,dir)
 local d, k, gens, value, act, i;
 
 d:=LocalActionDegree(F);
 k:=LocalActionRadius(F);
 gens:=GeneratorsOfGroup(F);

 value:=();
 act:=();
 for i in [1..Length(w)] do
  if SignInt(w[i])=1 then
   value:=value*c[w[i]][dir^act];
  else
   # z(a^{-1},i)=z(a,a^{-1}i)^{-1}
   value:=value*c[-w[i]][(dir^act)^(LocalAction(1,d,k,gens[-w[i]],[])^(-1))]^(-1);
  fi;
  act:=act*LocalAction(1,d,k,gens[AbsInt(w[i])],[])^SignInt(w[i]);
 od;

 return value;

end );

##################################################################################################################

InstallGlobalFunction( EvaluateCocycleViaElements,
function(F,c,pr,a,dir)
 local d, k, gens, w, value, act, i;
 
 d:=LocalActionDegree(F);
 k:=LocalActionRadius(F);
 gens:=GeneratorsOfGroup(F);
 w:=LetterRepAssocWord(PreImagesRepresentative(pr,a));

 value:=();
 act:=();
 for i in [1..Length(w)] do
  if SignInt(w[i])=1 then
   value:=value*c[w[i]][dir^act];
  else
   # z(a^{-1},i)=z(a,a^{-1}i)^{-1}
   value:=value*c[-w[i]][(dir^act)^(LocalAction(1,d,k,gens[-w[i]],[])^(-1))]^(-1);
  fi;
  act:=act*LocalAction(1,d,k,gens[AbsInt(w[i])],[])^SignInt(w[i]);
 od;
 
 return value;
end );

##################################################################################################################

InstallGlobalFunction( CocycleMapFromGeneratorData,
function(F,c,pr)
 local d, gens_free;
 
 d:=LocalActionDegree(F);
 gens_free:=MappingGeneratorsImages(pr)[1];
 
 return MappingByFunction(Domain(Cartesian(F,Domain([1..d]))),F,
  s->EvaluateCocycleViaElements(F,c,pr,s[1],s[2]));
end );

##################################################################################################################

InstallMethod( InvolutiveCompatibilityCocycle, "for a local action F", [IsLocalAction],
function(F)
 local d, k, gens, C, a, comp_sets, dir, iter, pr, rel, c;
 
 d:=LocalActionDegree(F);
 k:=LocalActionRadius(F);
 
 if k=0 or k=1 then
  # trivial cocycle
  gens:=GeneratorsOfGroup(F);
  c:=[];
  for a in gens do Add(c,ListWithIdenticalEntries(d,a)); od;
  return MappingByFunction(Domain(Cartesian(F,Domain([1..d]))),F,s->s[1]);
 else
  # change to a small generating set of F
  gens:=SmallGeneratingSet(F);
  F:=LocalAction(d,k,GroupWithGenerators(gens));
  # initialize compatibility sets
  C:=[];
  for a in gens do
   comp_sets:=[];
   for dir in [1..d] do
    Add(comp_sets,CompatibilitySet(F,a,dir));
   od;
   Add(C,Cartesian(comp_sets));
  od;
  # for each possibility, check i.c.c.
  iter:=IteratorOfCartesianProduct(C);
  pr:=EpimorphismFromFreeGroup(F);
  rel:=SmallGeneratingSet(Kernel(pr));
  for c in iter do
   if IsCocycleViaGeneratorData(F,c,pr,rel) and IsInvolutiveViaGeneratorData(F,c,pr) then
    return CocycleMapFromGeneratorData(F,c,pr);
   fi;
  od;
  return fail;
 fi;
end );

##################################################################################################################

InstallMethod( AllInvolutiveCompatibilityCocycles, "for a local action F", [IsLocalAction],
function(F)
 local d, k, iccs, gens, C, a, comp_sets, dir, iter, pr, rel, c;
 
 d:=LocalActionDegree(F);
 k:=LocalActionRadius(F);

 if k=0 then
  return [InvolutiveCompatibilityCocycle(F)];
 else
  iccs:=[];
  # change to a small generating set of F
  gens:=SmallGeneratingSet(F);
  F:=LocalAction(d,k,GroupWithGenerators(gens));
  # initialize compatibility sets
  C:=[];
  for a in gens do
   comp_sets:=[];
   for dir in [1..d] do
    Add(comp_sets,CompatibilitySet(F,a,dir));
   od;
   Add(C,Cartesian(comp_sets));
  od;
  # for each possibility, check i.c.c.
  iter:=IteratorOfCartesianProduct(C);
  pr:=EpimorphismFromFreeGroup(F);
  rel:=SmallGeneratingSet(Kernel(pr));
  for c in iter do
   if IsCocycleViaGeneratorData(F,c,pr,rel) and IsInvolutiveViaGeneratorData(F,c,pr) then
    Add(iccs,CocycleMapFromGeneratorData(F,c,pr));
   fi;
  od;
  return iccs;
 fi;
end );