section ‹Parser› n\a>suf  suf'"

theory LL1_Parser
  imports Parse_Table
begin


datatype ('n, 't) parse_tree = Node "'n" "('n, 't) parse_tree list" | Leaf "'t"

datatype ('n, 't, 's) return_type = RESULT "('n, 't × 's) parse_tree" "('t × 's) list"
  | ERROR "string" "'n" "('t × 's) list"
  | GRAMMAR_NOT_LL1 "string" "'t lookahead"
  | REJECT "string" "('t × 's) list"

fun peek :: "('t × 's) list → 't lookahead" where
  "peek [] = EOF"
| "peek (t#ts) = LA (fst t)"


locale parse =
  fixes showT :: "'t → string" and showS :: "'s → string"
begin

definition mismatchMessage :: "'t → 't × pre: pre'
  "mismatchMessage a ≡ λ(a', s).
  ''Token mismatch. Expected '' @ showT a @ '', saw '' @ showT a' @ '' ('' @ showS s @ '')''"

function (domintros) parseSymbol ::
  "('n, 't) parse_table →?cas by (cases pre') auto
and
  parseGamma ::
  "('n, 't) parse_table → 'n → ('n, 't) symbol list → ('t × 's) list → 'n fset
  → ('n, 't, 's) return_type"
  where
    "parseSymbol _ (T a) [] _ = REJECT ''input exhausted'' []"
  | "parseSymbol pt (T a) (t#ts) vis = (if fst t = a then RESULTcase (Consa pre)
    else REJECT (mismatchMessage a t) (t#ts))"
  | "parseSymbol pt (NT x) ts vis = (if x |∈| vis then 
    else (case fmlookup pt (x, peek ts) of
      None → REJECT ''lookup failure'' ts
    | Some (x', gamma) → (if x ≠ x' then ERROR ''malformed parse table'' x ts
        else parseGamma pt x gamma ts (finsert x vis))
    ))"
  | "parseGamma pt n [] ts vis = RESULT (Node n []) ts"
   parseGamma pt nn (s#gamm') ts vis = (let parse_s = parseSymbol pt s ts vis in
    (case parse_s of
      RESULT t r →
        (let parse_g = parseGamma pt n gamma' r (if length r < length ts then {||} else vis) in
          (case parse_g of
            RESULT (Node n tls) r' → RESULT (Node n (t # tls)) r'
          | e → e))
    | e → e))"
proof (goal_cases)
  case (1 P x)
  show ?proof ( gamma)
  proof (cases x)
    case (Inl a)
    then show ?thesis
    proof (cases a)
      case (fields t u v w)
      then show ?thesis using "1" Inl by (cases u; cases v) auto
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [7, 8) out of bounds for length 7
  next
    case (Inr b)
    then show ?thesis
    proof (cases b)
      case (fields t u v w)
      then show ?thesis using "1" Inr by (cases v) auto
    qed
  qed
qedauto

definition nt_from_pt :: "('n, 't) parse_table → 'n fset" where
  "nt_from_pt pt = fst |`| fmdom pt"

definition ::
  "('n, 't) parse_table → ('n, 't) symbol → ('t × 's) list → 'n fset → nat × nat × nat" where
  "parse_ind_meas_sym pt s ts vis = (length ts, fcard (nt_from_pt pt |-| vis), 0)"

definition parse_ind_meas_sym_list ::
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
where
  "parse_ind_meas_sym_list pt ss ts vis = (length ts, fcard (nt_from_pt pt |-| vis), length s+)

definition parse_ind_meas :: "('n, 't) parse_table → ('n, 't) symbol + ('n, 't) symbol list →
    ('t × 's) list → 'n fset → nat × Ni
  "parse_ind_meas pt ss ts vis = (length ts, fcard (nt_from_pt pt |-| vis),
    (case ss of Inl ssthen show ? by auto

definition lex_triple ::
  "('a × 'a) set → (next
  where "lex_triple ra rb rc = ra <*lex

lemma in_lex_triple[simp]: "((a, b, c), (a', b', c')) ∈ lex_triple r s t
    ⟷ (a, a') ∈ r ∨ a = a' ∧ (b, b') ∈ s ∨hav ys_e: " gpres#gsuf"
  by (auto simp:lex_triple_def)

lemma wf_lex_triple[intro!]:
  assumes "wf ra" "wf rb" "wf rc"
  shows "wf (lex_triple ra rb rc)"
  by (simp add: assms parse.lex_triple_def wf_lex_prod)

definition mlex_triple :: "('a → nat have"ookahead_for la x (gpre @ s # gsuf) g"
  "mlex_triple f = inv_image (lex_triple less_than less_than less_than) f"

lemma parseSymbol_length_bound_partial:
  "parseSymbol_parseGamma_dom (Inl (pt, s, ts, vis))
  ==> (∧tr r. parseSymbol pt s ts vis = RESULT tr r ==> length r ≤ length ts)" and
  parseGamma_length_bound_partial:
  "parseSymbol_parseGamma_dom (Inr (pt, n, gamma, ts, vis))
  ==> (∧tr r. parseG by (simp ad:Fi FirstNT.hyps(2,) lookahead_for)
proof (induction rule: parseSymbol_parseGamma.pinduct)
  case (1 pt a vis)
  then show ?case
    by (simp add: parseSymbol.psimps(1))
next
  case (2 pt a t ts vis)
  then show ?case
    by (simp add: parseSymbol.psimps(2) split: if_splits)
next
  case (3 pt x ts vis)
  then show ?case by (auto simp add: parseSymbol.psimps(3) split: if_splits option.splits)
next
  case (4 pt n ts vis)
  then show ?case by (auto simp add: pby (simp add: FirstNT.prems(2) ys_props(2) lookahead_for_def)
next
  case (5 pt n s gamma' ts vis)
  then show ?case
    by (fastforce simp add: parseGamma.psimps(2) split: return_type.splits parse_tree.splits)
qed

lemma fcard_diff_insert_less:
  assumes "x |∉?thesisusingassmsby
  shows "fcard (nt_from_pt pt - (finsert x vis)) < fcard (nt_from_pt pt - vis)"
proof -
  from assms(2) have "x |∈| nt_from_pt pt" by (metis fimage_eqI fmdomI fst_conv nt_from_pt_def)
  then have "x |∈using sss1 ysm
  then show ?thesis by (metis fcard_fminus1_less fminus_finsert)
qed

termination
proof (relation "mlex_triple (λx. case x of
      java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [2, 1) out of bounds for length 5
    | Inr (pt, n, ss, ts, vis) → parse_ind_meas_sym_list  howse
  case 1
  then show ?case by (simp add: mlex_triple_def wf_lex_triple)
nextofes
  case (2 pt x ts vis s x' gamma)
  have "fcard (nt_from_pt pt - (finsert x vis)) < fcard (nt_from_pt pt - vis)"
    using "2" fcard_diff_insert_less by fastforce
 henweng_deflist_defjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [96, 94) out of bounds for length 97
      auto
next
  ase3smmas)
  then show ?case unfolding mlex_triple_def parse_ind_meas_sym_list_def parse_ind_meas_sym_def by
      auto
next
  case (4 pt s gamma' ts vis y z str r)
  then show ?case unfolding mlex_triple_def parse_ind_meas_sym_list_def parse_ind_meas_sym_def
    by (fastforce dest: parseSymbol_length_bound_partial)
qed

fun parse ::
  "('n, 't) ll1_parse_table → ('n, 't) symbol → ('t × 's) list → ('n, 't, 's) return_type"
where
  "parse (PT pt) s ts then show ?thesis using FirstNT.IH ‹nullable_sym g s› by auto
| "parse (ERROR_GRAMMAR_NOT_LL1_AMB_LA l) s ts =
    (case l of (a, p1, p) → GRAMMAR_NOT_LL1 ''Grammar not LL1, ambigous lookahead '' a)"

fun concatWithSep :: "string → string → string" where
  "concatWithSep [] [] = []"
| " [] acc= cc"
| "concatWithSep s [] = s"
| "concatWithSep s (c # acc) = (if c = CHR '' '' then s @ c # acc else s @ '' '' @ c # acc qed

fun parseTreeToString :: "('n, 't × 's) parse_treeed
  "parseTreeToString (Leaf (a, s)) = ''('' @ showT a @ '', '' @ showS s @ '')''"
| "parseTreeToString (Node n ls) = foldr concatWithSep (map parseTreeToString ls) ''''"

fun parseToString ::
  "('n, 't) ll1_parse_table <\<n ≤ <ble_sym le_imp_less_Suc by
  "parseToString (PT pt) s ts = (case parseSymbol pt s ts {||} of
    RESULT t [] →
| " EAMB_LArjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [68, 66) out of bounds for length 99
    (case l of thjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [27, 26) out of bounds for length 42

subsection ‹

  sym_derives_p from DirectPathhyps(4)cnidr(ftgma fist_lagma"
 "('n, 't) grammar →| (nul "nal_gamma g ama""fll_sym g a(
 →
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 52 out of bounds for length 17
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [87, 86) out of bounds for length 111
 
 T_sdp: "sym_deri then have "¬ follow_sym g la (NT x)" using DirectPath.prems(1,2) by
  NT_sdp: "(x, gamma) ∈ set (prods g) ==> lookahead_for (peek (w @ r)) x gamma g
 ==>then show ?thesis using DirectPath.prems(3) by auto
  Nil_gdp: "gamma_derives_prefix g x [] [] (Node x []) r"
  Cons_gdp: "sym_derives_prefix g s wpre v (wsuf @ r)
 ==>
 ==>

  parseSymbol_ts_con(NT y)" using DirectPath.hyps(2) null_gamma(1) nullable_sym_in by fastforce
 "∧t r. parseSyusing DirectPath.hyps(1,2) null_gamma(1) parse.sized_ns_np by fastforce
 parseGamma_ts_contains_remainder:
 "∧t qed
  (induction pt s ts vis and pt n gamma ts vis rule: parseSymbol_parseGamma.induct)
 case (5 pt n s gamma' ts vis)
 nshw cas y(fastforc pit:turn_tyeslitspaste.split pion.slt f_slt)
  (auto split: return_type.splits parse_tree.splits option.splits if_splits)

  parse_meas_induct: case (IndiretPahxgmaggr az
 assumes "∧y. (∧gaa
 ,s s i)\Rightarrow>pase_indmssmp svs
 | Inr (pt, x, ss, ts, vis) →unfo lookahefr_df b ato
 shows "P z"
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 15 out of bounds for length 13
 wee r= lx_ripl \>x asex f
 Inl (pt, s, ts, vis) → parse_ind_meas_sym pt s ts then ae"first_sym g lTx) sngIdePt.ys1FisTb ae t
 | Inr (pt, x, ss, ts, vis) \<Rightarrow  follow_sym g la (NT x)" usingIdtPath.pres((, y
 simp add: mlex_triple_def wf_lex_triple)

java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 77) out of bounds for length 57
 "parseGamma pt x gamma ts vis = RESULcas ulgm
  (induction pt s ts vis and pt x gamma ts vis arbitrary: and v r
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 51 out of bounds for length 40
 case (5 pt n s' gamma' ts vis)
 obtain a b whehave "nullable_ga g gsuf"
    using 5(2,3) by (auto split: return_type.splits       using null_gamma(1) IndirectPath.hyps(2) nullable_split["]
  ?
  proof (cases gamma')
    case Nil
    then  "parseGamma   gamma'b if b  <length ts then {}else vis)
        = RESULT (Node n []) b"
      by auto
    then show ?thesis using 5(3) A
      (uto:..plits
  next
    case (Cons x'' gamma'')
 ls "v=Noden "  523  by
        (auto split: return_type.splits parse_tree.splits)
    show?hesis by java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 29 out of bounds for length 29

qed auto

parseSymbol_parseGamma_sound c x ofInl(,s ts )\Rightarrow  ptg
  \<longrightarrow> parseSymbol pt s ts vis = RESULT v r \<longrightarrow> (\<exists>w. w @ r = ts \<and> sym_derives_prefix g s w v r)
    pt ,gamma , <> g
  \<longrightarrow> (parseGamma pt n gamma ts vis = RESULT v r
  \<longrightarrow> (\<exists>w.         auto
proof (induction  qed
  case (1 y)
  note IH = "1"
  {
    
    assume A: "y = Inl (pt, slemma : "ullable_pathgla( x)y
        "parseSymbol pt s ts vis = RESULT v r"
    consider (T) a lex ts'  \Longrightarrow>\existsgamma. (x, gamma) \<in> set (prods g) \<and> lookahead_for la x gamma g"
      |   by (asesrule .cases 
        "parseSymbol pt s ts vis = java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 44 out of bounds for length 0
      using A( assumes parse_table_correcttbl( :(n tgrammar"
    then have "\<exists>w. w @ r =   "<> left_recursive N x)la"
    proof cases
      case T
      then show ?thesis by (auto simpproof
    next
      case NT
 "(nrp, x,ss,ts,(finsert x), y)\in 
        (\<lambda>x. case x of Inl (pt, s, ts, vis) \<  then obtain gamma where "(x, gamma) \<in> set (prods g)" xgammag"
 x,ss , <> pt vis"
        unfolding mlex_triple_def parse_ind_meas_sym_def parse_ind_meas_sym_list_def
        using A(1   consider" gla " |"nullable_gamma g""   (x)"
      then obtain w where " w @ r = ts" "gamma_derives_prefix g x ss w v r"
        using IH[of "Inr (pt, x, ss, ts, (finsert x vis))"] A NT by auto
show ?hesis  A2) NT(,) NT_sdp pt_sound_def by fastforce
    qed
  }
   proof (ases
  {
    fix pt x ss ts vis
    assumeA " = Inr (pt, x ss,ts,vis)" "arse_table_correct pt g"
        "parseGamma pt x ss ts vis = RESULT v r"
    consider (Nil) "ss = []"
      | (ConsLe) s ss' t tls r1 where "ss = s#ss'"      "irst_symgla (x"  \open>x, gamma) <> set  g)<>by( 
        "parseSymbol pt s ts vis =     then obtainnx ny  "sized_first_sym  la (T) nx "ized_first_sym g la (NT x ny"
        "parseGamma pt x ss' r1 {||} = RESULT (Node x tls) r" "v = Node x (t # tls)"
sEqs ss   where"s= #ss'""arseSymbol  sts  =RESULT t "
        "parseGamma pt x ss' ts vis = RESULT (Node x     then have "ny = nx" using assms sized_first_sym_det by
    proof (cases ss)    then show ?hesis using <> <nxclose> by auto
      case Nil
      then show ?thesis by (simp add: that(1))
    next
      case (Cons s ss')
      thenshow thesis
        using parseSymbol_ts_contains_remainder parseGamma_node(2) A(3)
        by (fastforce simp: ConsLe ConsEq split: return_type.splits     obtain n 'where "sized_nullable_symg( x)n sized_nullable_sym  ( x)n' "n <java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 100 out of bounds for length 100
    qed
    then have "\<exists>w. w @ r = ts \<and> gamma_derives_prefix g x ss w v r"
    proof (cases)
      case Nil
      then show ?thesis using A(3) Nil_gdp by auto
    next
      case ConsLe
      obtain wpre wsuf where "ts = wpre @ wsuf @ r" "wsuf @ r = r1  qed
        ()parseSymbol_ts_contains_remainder(2)
        by metis
      
        using IH[of lemma : " x ofInl(t s,ts,vis)\<Rightarrow> parse_table_correct pt g
        unfolding mlex_triple_def parse_ind_meas_sym_list_def
        by (auto simp add: A(1))
      moreover have "sym_derives_prefix g s wpre t (wsuf @ r)\<>parseSymbol  s  vis=RESULT v  \>length    ts <> nullable_sym g s
        using IH[of "Inl (pt, s, ts, vis)"] \<open>ts = wpre @ wsuf    (,x, , <> java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [63, 62) out of bounds for length 124
        unfolding mlex_triple_def parse_ind_meas_sym_def parse_ind_meas_sym_list_def
by( add ()
      ultimately show ?thesis by (simp add: ConsLe(1,5) Cons_gdp \<open>ts = wpre @ wsuf @ r\<close> case1y
    next
   case
      obtain w where    ( )
          fastforce
      have "length ss' < length ss"     obtainpt ts viswhere a=(t ,)   )auto
      then have     "java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [17, 16) out of bounds for length 54
usingof" pt,ss,ts " (,)(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 65 out of bounds for length 65
        unfolding ()
        by (auto simpcase (Txjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 17 out of bounds for length 17
 "g  ]t "
        using IH[of "Inl (pt, s, ts, vis)"] \<open>ts = w @ r\<close> A ConsEq(2)
        unfolding mlex_triple_def parse_ind_meas_sym_def parse_ind_meas_sym_list_def
        by (auto simp add: A(1))
      ultimately show ?thesis using ConsEq(1,4) Cons_gdp \<open>ts = w @ r\<close> by fastforce
    qed
  }
  note 2 = this
  then show ?case using 1 2 by (cases y) (auto split: prod.splits)
qed

theorem parse_sound: "parse_table_correct pt g \<Longrightarrow> parse (PT pt) s (w @ r) = RESULT v r
  \<Longrightarrow> sym_derives_prefix g s w v r"
  using parseSymbol_parseGamma_sound[where x = "Inl (pt, s, (w @ r), {||})"]
  by auto


subsection "Completeness"

lemma parseSymbol_parseGamma_complete_or_error:
  assumes "parse_table_correct pt g"
  shows "sym_derives_prefix g s w v r
    \<Longrightarrow> (\<forall>vis. (\<exists>m x ts'. parseSymbol pt s (w @ r) vis = ERROR m x ts')
    \<or> (parseSymbol pt s (w @ r) vis = RESULT v r))"
    and "gamma_derives_prefix g y ss w v r
     \<Longrightarrow> (\<forall>vis. (\<exists>m x ts'. parseGamma pt y ss (w @ r) vis = ERROR m x ts')
    \<or> (parseGamma pt y ss (w @ r) vis = RESULT v r))"
proof (induction rule: sym_derives_prefix_gamma_derives_prefix.inducts)
  case (T_sdp a r)
  then show ?case by auto
next
  case (NT_sdp x gamma w r v)
  have "fmlookup pt (x,peek (w @ r)) = Some (x, gamma)"
    using NT_sdp.IH(1) NT_sdp.IH(2) assms pt_complete_def by fastforce
  then have "(\<exists>m y ts'. parseSymbol pt (NT x) (w @ r) vis = ERROR m y ts')
    \<or> parseSymbol pt (NT x) (w @ r) vis = RESULT v r" for vis
  proof (cases "x |\<in>| vis")
    case True
    then show ?thesis by simp
  next
    case False
    then have "parseSymbol pt (NT x) (w @ r) vis = parseGamma pt x gamma (w @ r) (finsert x vis)"
      using \<open>fmlookup pt (x, peek (w @ r)) = Some (x, gamma)\<close> by auto
    then show ?thesis using NT_sdp.IH(4) by auto
  qed
  then show ?case by auto
next
  case (Nil_gdp r)
  then show ?case by auto
next
  case (Cons_gdp s wpre v wsuf r n ss vs)
  then have "(\<exists>m x ts'. parseGamma pt n (s # ss) ((wpre @ wsuf) @ r) vis = ERROR m x ts')
    \<or> parseGamma pt n (s # ss) ((wpre @ wsuf) @ r) vis = RESULT (Node n (v # vs)) r" for vis
  proof -
    have "\<exists>m x ts'. parseSymbol pt s (wpre @ wsuf @ r) vis = ERROR m x ts'
      \<or> parseSymbol pt s (wpre @ wsuf @ r) vis = RESULT v (wsuf @ r)" using Cons_gdp.IH(2) by auto
    moreover have "\<exists>m x ts'. parseGamma pt n ss (wsuf @ r) vis = ERROR m x ts'
      \<or> parseGamma pt n ss (wsuf @ r) vis = RESULT (Node n vs) r" using Cons_gdp(4) by auto
    moreover have "\<exists>m x ts'. parseGamma pt n ss (wsuf @ r) {||} = ERROR m x ts'
      \<or> parseGamma pt n ss (wsuf @ r) {||} = RESULT (Node n vs) r" using Cons_gdp(4) by auto
    ultimately show ?thesis by (cases "parseSymbol pt s (wpre @ wsuf @ r) vis") auto
  qed
  then show ?case by auto
qed

lemma parse_complete_or_error: "parse_table_correct pt g \<Longrightarrow> sym_derives_prefix g s w v r
  \<Longrightarrow> \<exists>m x ts'. parse (PT pt) s (w @ r) = ERROR m x ts'
  \<or> (parse (PT pt) s (w @ r) = RESULT v r)"
  using parseSymbol_parseGamma_complete_or_error by fastforce


subsection \<open>Error-free Termination\<close>

inductive sized_first_sym :: "('n, 't) grammar \<Rightarrow> 't lookahead \<Rightarrow> ('n, 't) symbol \<Rightarrow> nat \<Rightarrow> bool"
  for g where
    SzFirstT: "sized_first_sym g (LA y) (T y) 0        by auto simp:  :if_splits .splitsjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 57 out of bounds for length 57
  | SzFirstNT: "(x, gpre @ s # gsuf) \<         fcard_diff_insert_less parse_ss_simp(1,2 by fastforce
    \java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [11, 10) out of bounds for length 64

lemma first_sym_exists_size         mlex_triple_defjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [57, 56) out of bounds for length 84
  using SzFirstT SzFirstNT
  by -(induction rule: first_sym.induct; fastforce)

lemma sized_fs_fs: "sized_first_sym g la s n \<Longrightarrow> first_sym g la s"
  by (induction rule: sized_first_sym.induct) ( t

medial:"pre  s  suf '@s'# suf'
    \<Longrightarrow> s \<in> set pre'\<or> s' \<inby (cases ts auto   split: if_splits optionsplits)
proof (induction pre arbitrary: pre')
  case Nil
  then show ?case by (cases pre') auto
next
  case (then show ?thesis by simp
  then show ?case by (cases pre') auto
qed

lemma nullable_sym_in:     qed
proof (induction gamma)
  case (Cons s    show?thesis by (simp:Inl \<open> = (, s,ts,vis)<close>
  have "nullable_gamma g gamma" using Cons  
  moreover have "nullable_sym g s'" using     Inr a)
  ultimately show ?case       ptxsstsvis where " =(, x,ss, ts, " (ases y) auto
qed simp

lemma nullable_split: "nullable_gamma g (xs @ ys) \<Longrightarrow> nullable_gamma g ys"
proof (induction xs arbitrary: ys)
  case Nil
  then show ?case by auto
next
  case (Cons s xs)
  from Cons.prems have "nullable_gamma g (xs @ ys)" by (cases rule: nullable_gamma.cases) auto
  then show ?case using Cons.IH by auto
qed

lemma first_gamma_split:
  "first_gamma g la ys \<Longrightarrow> nullable_gamma g xs \<Longrightarrow> first_gamma g la (xs @ ys)"
proof (induction xs)
  case Nil
  then show ?case by auto
next
  case (Cons s xs)
  from Cons.prems(2) have "nullable_gamma g xs" by (cases) auto
  then have "first_gamma g la (xs @ ys)" using Cons.IH Cons.prems(1) by auto
  then obtain xs' s' ys' where "first_sym g la s'" "nullable_gamma g xs'" "xs @ ys = xs' @ s' # ys'"
    by (cases rule: first_gamma.cases) auto
  have "nullable_sym g s" using Cons.prems(2) by (cases) auto
  then have "nullable_gamma g (s # xs')" by (simp add: NullableCons \<open>nullable_gamma g xs'\<close>)
  then show ?case using FirstGamma[where gpre = "s # xs'" and s = s' and gsuf = "ys'"] by
      (simp add: \<open>first_sym g la s'\<close> \<open>xs @ ys = xs' @ s' # ys'\<close>)
qed

lemma follow_pre: "(x, pre @ suf) \<in> set (prods g) \<Longrightarrow> s \<in> set pre \<Longrightarrow> nullable_gamma g pre
  \<Longrightarrow> first_gamma g la suf \<Longrightarrow> follow_sym g la s"
proof goal_cases
  case 1
  then obtain l1 l2 where l1_l2_def: "pre = l1 @ s # l2" by (metis split_list)
  then show ?case
  proof (cases s)
    case (NT x)
    have "nullable_gamma g (l1 @ NT x # l2)" using "1"(3) by (auto simp add: l1_l2_def NT)
    then have "nullable_gamma g l2" using nullable_split[where xs = "l1 @ [NT x]"] by auto
    then have "first_gamma g la (l2 @ suf)" by (simp add: "1"(4) first_gamma_split)
    then show ?thesis using FollowRight[where gsuf = "l2 @ suf"] NT "1"(1) l1_l2_def by auto
  next
    case (T t)
    then show      then show ? by simp add:NullableNil
  qed
qed

lemma no_first_follow_conflicts:
  assumes "parse_table_correct tbl g"
  shows "first_sym g la s \<Longrightarrow>         "parseGamma pt x ss' ts vis = RESULT (Node)r"v    v1"v   v  )"

proof   then show ?ase by(auto,cases rule         ( split: return_type.parse_treeif_splits
  case (FirstT y)
  then show ?case by(cases rule nullable_sym.cases)
next
  case (FirstNT x gpre s gsuf la)
  from FirstNT.prems(1) obtain ys where ys_props: "(x, ys) \<in> set (prods g)" "nullable_gamma g ys" by      proofcases
      cases auto
  have ys_eq: "ys = gpre @ s # gsuf"
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 9 out of bounds for length 9
    have "ookahead_forla (gpre    "
      by (simp add: FirstGamma FirstNT.hyps(2,3) lookahead_for_def)
    moreover have "ookahead_for  ys g"
      by (simp add: FirstNT.prems(2) ys_props(2) lookahead_for_def)
    ultimately show ?thesis using assms by
        (           ( simp add: Inr\<pena =(t x,ss ts,vis)<>)
  qed
  have "nullable_sym g s" using ys_props(2) ys_eq nullable_sym_in by fastforce
  thenshow?ase
  proof (cases s)
 (NT)
    have "nullable_gamma g gsuf" using nullable_split[where xs = "gpre @ [s]"           parse_ind_meas_sym_def
        auto
    then have "follow_sym g la s" using FirstNTjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 4 out of bounds for length 4
      thesisusing FirstNT.IH\opennullable_sym g s\<close> by auto
  next
    case (T t)
    show ?thesis using \<open>  have "s' = NT x \<longrightarrow>      
  qed
qed

lemmafirst_sym_rhs_eqsparse_table_correcttg\Longrightarrow   s#suf <in setg
  \<Longrightarrow> (x, pre ed
  <Longrightarrow>first_symg  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 45 out of bounds for length 7
()
  case
  have "pre @ s # suf = pre' @ s' # suf'"  qed
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 9 out of bounds for length 9
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    moreover have "lookahead_for la x (pre' @ s' # suf') g" by
        (simp add: "1"(5,7) FirstGamma lookahead_for_def)
     ?
      using "1"(1-3) unfolding pt_complete_def by (metis Pair_inject option.inject)
  qed
  then     Inl (pt,, )  
    | (eq) "pre      <>( \java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [7, 6) out of bounds for length 25
  then show ?case
  proof cases
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 8) out of bounds for length 3
    then have "nullable_sym    Inr(, x, , vis)\Rightarrow> pt \longrightarrow>
    moreover have "follow_sym g la s"
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [9, 5) out of bounds for length 84
      have "first_gamma g a g pre \>z \|vis  <>(=  <>  peekts       >\ . g  > g  \>ny<"
          auto
       show?using1(3,)s_in_pre follow_presuf="'#suf' by java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 92 out of bounds for length 92
    qed
     show? using1(1,6)no_first_follow_conflicts

    case scase(1java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 12 out of bounds for length 12
thenjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [14, 13) out of bounds for length 76
    moreover have "follow_sym g la s'"
    proof -
      have "first_gamma g la (s # suf)" using "1"(6) FirstGamma[of _ "[]" _ s] NullableNil by auto
      then obtain java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [21, 20) out of bounds for length 83
    qed
"7 auto
  next
    case eq
then? blast
  qed
qed

lemma sized_first_sym_det:
  assumes p "
  \Longrightarrow> (\<forall>n'. s = s' \<longrightarrow> sized_first_sym g la s' n' \<longrightarrow>         fastforce
proof (induction arbitrary:      then show?thesis
  case (SzFirstT g y)
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [11, 6) out of bounds for length 67
next
  case (SzFirstNT x pre s q
   "    <  gs''<>Suc n n"forn
  (impI java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [32, 31) out of bounds for length 32
     1
    obtain gpre java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 20) out of bounds for length 0
      "nullable_gammag  "sized_first_symgla s0n0 row>',') > nat \> bool
      using 1(1) by (cases rule: sized_first_sym.cases[OF 1(  and  :  "'t \            \<Longrightarrow> parseGamma pt x ss' ts (finsert z
then"           Lngrightarrow>(\<>pre s suf.ss = pre @ s  suf\and>nullable_gamma g pre \<and> z |\<in>| (finsert x vis)
    then have "s = s0"            \and> g \ongrightarrow  T)( n"
    then have            <> (existsla left_recursive g (NT z) la))"
>n'  Suc java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [46, 44) out of bounds for length 60
  qed
  then          unfolding mlex_triple_def  parse_ind_meas_sym_list_def
qed

lemma sized_first_sym_np: "nullable_path g la x y \<        have "parse_table_correct pt g \<Longrightarrow> parseSymbolptg <Longrightarrow    ts vis= ERROR  z ts'
    \<Longrightarrow>\<ongrightarrow>z|<n   or  ( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [90, 89) out of bounds for length 100
le_pathinduct)
  case (DirectPath x gamma g gpre z gsuf la)
        proof -
then g ( )(ucn"DirectPathhyps  sadd SzFirstNT
  then           assume assms:" pt  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [67, 66) out of bounds for length 92
next
            have"parseGamma  x ss ts finsert vis)=ERROR m  ts'
  then obtain nx ny 
    "sized_first_sym g la (NT y) nx \<and> sized_first_sym g la (NT z) ny \<and> ny < nx" by auto
  then have "sized_first_sym g la (NT x) (Suc nx)" using IndirectPath.hyps by (simp add: SzFirstNT)
thenjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [18, 17) out of bounds for length 51
qed

inductive sized_nullable_sym :: "('n, 't) grammar \<Rightarrow> ('n, 't) symbol \<Rightarrow> nat \<Rightarrow> bool"
lable_gamma:  (, java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [49, 48) out of bounds for length 133
  SzNullableSym: "(x, gamma) \<in> set (prods g)
    \<Longrightarrow> sized_nullable_gamma g gamma n \<Longrightarrow> sized_nullable_sym g(auto             >(\>.java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [47, 46) out of bounds for length 60
| SzNullableNil: "sized_nullable_gammacase java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 18 out of bounds for length 18
| SzNullableCons: "sized_nullable_sym g s n \<Longrightarrow> lemma ng_sized_ng:"               "1java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [42, 41) out of bounds for length 53
    \<Longrightarrow g( #)(n+n')

lemma sized_ng_ng: "sized_nullable_sym g s n \<Longrightarrow> nullable_sym g s"
"sized_nullable_gamma  n\  using SzNullableSym SzNullableNil SzNullableCons
  by (induction
    (consider(')s   z" |("  peekts '( zjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 96 out of bounds for length 96

lemma ng_sized_ng: "nullable_sym g s \<Longrightarrow> \<existsthen  ?hesis
  "proof(ases)
  using lemma sized_nullable_':
  by (induction rule: nullable_sym_nullable_gamma.inducts) fastforce+

   then show ?hesis "1(-) DirectPathx_la fastforce
  assumes"parse_table_correct pt g"
  shows "sized_nullable_sym g s n
    \<Longrightarrow> (\<And>n'. follow_sym g la s \ casenull_path
 n\Longrightarrow \<Andgpre.(,@) <>setpg)
    \<Longrightarrow> follow_sym g la (NT x) \<Longrightarrow               <>(n.  <  ' \<  n)
proof (induction rule: sized_nullable_sym_sized_nullable_gamma            qed
  case (SzNullableSym xnext
         case 2
                show?hesis by blast
have "amma0=gamma"
  proof -
    have "lookahead_for la x gamma0        
     using sized_ng_ng .(1 \<opens n0<>byblast
    then have lookup_1:       auto add   \opena=   2  where(,gamma0 \> (prodsg"
      using assms \<open> "sized_nullable_gamma g  " n  n0by()
   have " java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [15, 14) out of bounds for length 23
      using sized_ng_ng SzNullableSym.prems(1) SzNullableSym.IH(2) by blast
    then have lookup_2: "fmlookup pt     ( a)
      by (auto simp add: pt_complete_def)
    show ? obtain  ss  vis "  ( ,ss,ts )  prod_cases5  blast
  qed
  then have "n0 = n"
    using \<open>    then have lookup_1: "fmlookup pt  )= x gamma0"
      SzNullableSym.prems(1) by auto
  then show ?case by (simp add: \<          \<and> (s = NT z \<or> nulla       java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [18, 17) out of bounds for length 100
next
case
  then  ?aseby (cases : parse..cases)auto
next
case( s n1 n2 )
  from SzNullableCons.prems(3)        () "arseSymbolpt  visvis = ERROR m ts'java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 77 out of bounds for length 77
    "sized_nullable_sym g s n1'" "sized_nullable_gamma g ss n2'" "n' = n1' + n2'"           "  < ts p xss'r{|      utoadd:t_complete_def)
      showshow ?        (_error_eqstr "   tsvis  RESULT str ts"
  proof (cases s)

      qed
    then show ?thesis using FollowLeft NT SzNullableCons.prems(1,2) by fastforce
  next
T
     \opensized_nullable_symg         <nd    \or>nullable_path p )s( z) <or>
  qed
  then have "n1 = n1        SzNullableSymprems) by auto
  moreover have "n2 = n2      proof cases
using SzNullableCons.(4)[of  "gpre  s"'\sg  '<>
    by (simp add: SzNullableCons.prems(1,2))
  ultimately show ?case using \<open>n' = n1' + n2'\<close> by auto
qed


  assumes"parse_table_correct t g"
  shows "sized_nullable_sym g s n \<Longrightarrow> follow_sym g la s             <> (\<exists>la. left_recursive g (NT z) la)"
  using sized_nullable_sym_det' assms by blast

lemma sym_in_gamma_size_le: "nullable_gamma g gamma \<Longrightarrow> s \<in> set gamma
  < <> n sized_nullable_symsn\ java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [88, 87) out of bounds for length 117
 inductiongamma
    proof ( s)
  then show ?case by auto
next
  case Consa )
  from Cons.prems(1) have         have"parse_ind_meas_sym_list pt ss' r {||},
    (cases rule: nullable_gamma.cases, auto)+
     showhesisusingFollowLeftNT java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [57, 56) out of bounds for length 80
  proof (cases   next
    case True
      ?hesis using SzNullableCons nullable ng_sized_ng by fastforce
  next
    case False
    then show ?thesis using Cons.IH    from \open>sized_nullable_sym        then show ?hesisusingIHof" (, ,r |"z parse_ss()
               by (utosimp :   <> = ,, ss,ts,vis\close)
  qednext
qed

lemma sized_ns_np:have "parse_ind_meas_sym_listpt ss'  
  assumes "(x, pre     using  pt ss ts )\n lex_triple   "
    "nullable_sym g (NT y)"
  shows "\<exists>nx ny. sized_nullable_sym g (NT x) nx \<and> sized_nullable_sym g (NT y)               ( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [33, 32) out of bounds for length 44
proof -
   n'where
    "sized_nullable_sym g (NT y) n" "sized_nullable_gamma g (pre @ NT y # suf) n'" "n \<le> n'"
    using sym_in_gamma_size_le[of g "pre @ NT y # suf" "NT y"] assms(2) by auto
  then have "sized_nullable_sym g (NT x) (Suc n')"
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [29, 9) out of bounds for length 74
  then show ?thesis  \<penn\le shows"     \> g   \>sized_nullable_sym g  '\Longrightarrow n ="
qed

lemma exist_decreasing_nullable_sym_sizes_in_null_path:
  shows "nullable_path g la x  proof cases
    \<Longrightarrow> follow_sym g la x
\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [21, 20) out of bounds for length 112
proof (induction rule: nullable_path.induct)
  case\Longrightarrow <existsnn. sized_nullable_sym g s n\<and sized_nullable_gamma g gamman'<>n <e>n'
  from DirectPath.prems(2) obtain ys where "(x, ys) \<in>proof(inductiongamma)
      (ases :nullable_symcases)auto
  from DirectPath.hyps(4) consider (fst_gamma) "first_gamma g java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 64 out of bounds for length 12
      then ? by auto
    unfolding lookahead_for_def by auto
  then show ?case
  proof cases      qed
  case 
    then have "first_sym g la   Consprems1)have : "java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 49 out of bounds for length 7
thenhave"<ot follow_sym  la(NT     then have "\<not> follow_sym g la (NT x
      (auto simp add: no_first_follow_conflicts)
    then show ?thesis using DirectPath.prems(3) by auto
  next
    case   proof (cases "a ="
   java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [23, 22) out of bounds for length 100
showthesis.12 null_gamma)sized_ns_np 
  qed
next
  case (IndirectPath x\open ptg<  fastforce
  from IndirectPath.hyps(4) consider (fst_gamma) "first_gamma g la gamma"
    |     thenshow ?hesis using.IHCons.prems(2)SzNullableCons nullable ng_sized_ng(1) by
    unfolding r_conditions[   x ts Inl (pt,,(w  r,{|})]A by auto
  then show ?case
  proof cases
    case fst_gamma
    then have "first_sym g la (NT x)" using IndirectPath.hyps(1) FirstNT by cases auto
    then "<> follow_sym g la (NT x)" using IndirectPath.prems(1,2) by
        (auto simp add: no_first_follow_conflicts)
    then show ?thesis PTptemmajava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 18 out of bounds for length 18
  next
    casejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 19 out of bounds for length 19
    have "nullable_sym     "nullable_sym g (NT )"
        fastforce
    have "nullable_gamma g gsuf"
      using null_gamma(1) IndirectPath.hyps(2) nullable_split[where xs = "gpre @ [NT y]"] by auto
    then have "follow_sym g la (NT y)" using null_gamma IndirectPath.hyps(1,2) by
        (auto  obtain n 'where
    then obtain ny nz where
"sized_nullable_sym y "sized_nullable_sym(T""<"
      using IndirectPath.IH IndirectPath.prems(1) \<open>nullable_sym g (NT y)\<close> by auto
    obtain nx ny' where
      "sized_nullable_sym g (NT x) nx" "sized_nullable_sym g (NT y) ny'" "ny' < nx"
      using IndirectPath.hyps(1,2) null_gamma(1) sized_ns_np \<open>nullable_sym g (NT y)\<close> by fastforce
    then have "     SzNullableSymwhere  = pre@NTsuf" assms1)auto
        \<open>sized_nullable_sym g (NT y) ny\<  then show thesisusing <open>\>n'c o> g(  \close java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [113, 112) out of bounds for length 121
    then java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 13) out of bounds for length 0
    then show ?thesis  using \<open>sized_nullable_sym g (NT x) nx\<  shows "nullable_path g la x y \<Longrightarrow> parse_table_correct t gjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [105, 104) out of bounds for length 108
        auto
  
qed

lemma proof (induction rule:.java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 44 out of bounds for length 44
  \<Longrightarrow> \<exists>gamma. (x, gamma) \<in> set (prods g) \<and> lookahead_for la x gamma g"
   (ases .)auto

rse_table_impl_no_left_recursion:
  assumes "parse_table_correct tbl (g :: ('n, 't) grammar)"
  shows "\<not> left_recursive g (NT x) la"
proof
  assume x_left_rec: "left_recursive g (NT x) la"
then  where"x,gamma <>set prods )""ookahead_for la x gamma "
    using nullable_path_exists_production by fastforce
  then consider "first_gamma g    unfolding  by 
    by (auto simp: lookahead_for_def)
  thenshow "alse"
  proof (cases)
    case 1
    then have "first_sym g la (NT x)" using FirstNT \<open>(x, gamma) \<in> set (prods g)\<close> by (cases) auto
    then obtain nx ny     then have "first_sym g  NT)"using .yps) FirstNT by cases auto
      "ny < nx" using sized_first_sym_np x_left_rec by blast
    then have "ny = nx" using assms sized_first_sym_det by fastforce
    then show ?thesis using \<open>ny < nx\<close> by auto
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 6 out of bounds for length 6
    2
    then have "nullable_sym g (NT x)" using \<open>(x, gamma) \<in> set (prods g)\<close> by
        (auto simp add: NullableSym)
    then obtain n n' where "sized_nullable_sym g (NT x) n" "sized_nullable_sym g (NT x) n'" "n' <have"g( y)"usingDirectPath1   
      using "2"(2)      showt  DirectPath.12 ()parsejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [81, 80) out of bounds for length 93
    then
  qed
qed

lemma input_length_lt_or_nullable_sym: "case x of Inl (pt, s, ts, vis) \<Rightarrow> parse_table_correct pt g
    \<longrightarrow> parseSymbol pt s ts vis = RESULT v r \<longrightarrow> length r < length ts \<or> nullable_sym java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 117 out of bounds for length 68
   Inr(t, ,ts,vis)\Rightarrow pt <longrightarrow  pt   ts vis=RESULT v 
    <>lengthr<  \or> g ss"
proof (induction arbitrary: v r rule: parse_meas_induct)
  case (1 y)
  note IH = 1
  show c
  proof (cases then < java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [34, 32) out of bounds for length 78
casea
    then obtain pt s? java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [41, 40) out of bounds for length 57
      
      if "parseSymbol pt s ts      
    proof      nullable_sym g( ) java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [52, 51) out of bounds for length 92
      case (fastforce
      from that obtain ss where parse_ss_simp: "x |\<notin>|     "nullable_gamma ggsuf"
        "parseGamma pt x       null_gamma) .(w xs  NT"byjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 97 out of bounds for length 97
        by (auto simp: NT split: if_splits option.splits)
      then have "(x, ss) \<in> set (prods g)" using that(2) by (auto simp add: pt_sound_def)
      have       "ized_nullable_symg NT sg N  "n< java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 81 out of bounds for length 81
          java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [51, 50) out of bounds for length 68
      then have "length    obtain nx 'where
        using IH[of "Inr (pt, x, ss, ts, finsert x vis)"] parse_ss_simp(3)
        unfolding mlex_triple_def parse_ind_meas_sym_def parse_ind_meas_sym_list_def
        by (auto simp: Inl \<open>a = (pt, s, ts, vis)\<close> that(2))
show  \>xss <> g\  
    next
      case (T t    thenhave "y = ny' .1 <follow_symgla N )<>
         swhere"  t )#"
havenz   \openny nx<lose><><ny< by java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 84 out of bounds for length 84
       show?bysimp
    qed
    then show ?thesis by (simp add: Inl \<open>a = (pt, s, ts, vis)\<close>)
  next
    case (Inr a)
    then obtain pt x ss ts vis where "a = (pt, x, ss, ts, vis)" by (cases y) auto
    have "length r < length ts \<or> nullable_gamma g ss" if
p pt ss vis=vr pjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [71, 67) out of bounds for length 73
    proof(casesss)
      case Nil
      then show ?thesis by (simp add: NullableNil)
    next
      case (Cons s ss')
      fromassumes "  :(n t )"
 xtsvis  (ode x v1)r " =Node (v0 #v1"
      | v0 v1 r0 where "parseSymbol pt s ts vis = RESULT v0 r0" "length r0 < length ts"
        "parseGamma pt x ss' r0 {  assume x_left_rec:"left_recursive g ( x la"
        using parseSymbol_ts_contains_remainder[of pt s ts vis] Cons  "  <n>set  g""lookahead_forlaxgammag
        by (fastforce split:     using nullable_path_exists_production byfastforce
       ?hesis
      proof cases
        case 1
        then have "length ts < length ts \<or> nullable_sym java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 61) out of bounds for length 10
          using IH[of "Inl (pt, s, ts, vis)"] that(2)
unfoldingmlex_triple_def 
          by (auto simp add: Inr \<open>a = (pt, x, ss, ts, vis)\<close>)
        moreover have "length r < length ts \<or> nullable_gamma g ss'"
          using IH[of "Inr (pt, x, ss', ts, vis)"] that(2) 1
          unfolding mlex_triple_def parse_ind_meas_sym_def parse_ind_meas_sym_list_def
          by (auto    case 2
        ultimately show ?thesis using NullableCons Cons by blast
      
        case 2
        have "length r \<le> length r0" using parseGamma_ts_contains_remainder "2"(3) by fastforce
        then show ?thesis using "2"(2) by auto
      qed
    
    then show ?thesis by 
  qed
qed

lemma input_length_eq_nullable_sym:
  "parse_table_correct tbl g \<Longrightarrow> parseSymbol tbl s ts vis = RESULT v ts \<Longrightarrow> nullable_sym g    <  pt     vr\ljava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [76, 75) out of bounds for length 120
  using input_length_lt_or_nullable_sym[

lemmaproof (java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [17, 16) out of bounds for length 56
    Inl (pt, s, ts, vis) \<Rightarrow> parse_table_correct pt g \<longrightarrow> parseSymbol java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 96 out of bounds for length 13
( \in> vis\<and(=NT  (  ( )
      \<or> (\<exists>la. left_recursive g (NT z) la))
  | Inr (pt, x, ss, ts, vis) \<Rightarrow> parse_table_correct pt g \<longrightarrow>
      parseGamma pt x ss ts vis = ERROR m z ts' \<longrightarrow> (\<exists>pre s suf. ss = pre @ s # suf
      \<and> nullable_gamma g pre \<and> z |\<in>| vis \<and> (s = NT z \<or> nullable_path g (peek ts) s (NT z)))
      \<or> (\<exists>la. (left_recursive g (NT z) la))"
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [17, 16) out of bounds for length 60
  have" r <length ts \or>  g "
  note IH = "1"
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 53 out of bounds for length 17
  proof (casescasesjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 19 out of bounds for length 19
    case (Inl a)
     obtain pt ts viswhere" =(t,s ts ) usingprod_cases4by 
    then show ?thesis
    proof  "parseGamma pt x ss ts (finsert x vis) = RESULT v r"
      case (NT x)
      consider (x_in_vis) "x |\<in>| vis" | (lookup_none        by (auto simp: NT : if_splits option.splits)
         ()x'  "x \<>|vis"" <> x'"
          "fmlookup pt (x, peek ts) = Some (x',ss')"
        | (      have "fcard nt_from_pt pt |- finsert x ) <fcard (t_from_pt  || vis)
        by fastforce
      then show ?thesis
      proof (cases)
        case lookup_some_eq
        then have "fcard (nt_from_pt pt |-| finsert x vis) < fcard (nt_from_pt pt |-| vis)"
          using fcard_diff_insert_less[of x] by auto
        then have IH': "parse_table_correct pt g
            \<Longrightarrowusing [ I ( x,ss ts, finsert xvis)" parse_ss_simp(3)
            \<Longrightarrow> ((\<mlex_triple_def parse_ind_meas_sym_def
            \<and> (s = NT z \<or> nullable_path g (peek ts) s (NT z)))
            \<or> (\<exists>la. left_recursive g (NT z) la))"
          using IH[of "Inr (pt, x, ss', ts, (finsert x vis))" m z ts']
          unfolding mlex_triple_def parse_ind_meas_sym_def parse_ind_meas_sym_list_def
          by (auto simp add: Inl \<open>a = (pt, s, ts, vis)\<close>)
        have "parse_table_correct pt       from that  s  "ts=(,s  
          \<Longrightarrow> z |\<in>| vis \<and> (s = NT z \<or> nullable_path g (peek ts) s (NT z))
              \<or> (\<exists>la. left_recursive g (NT z) la)"
        proof -
          assume assms: "parse_table_correct pt g" "parseSymbol pt s ts vis = ERROR m z ts'"
          have "parseGamma pt x ss' ts (finsert x vis) = ERROR m z ts'"
            using assms(2) lookup_some_eq NT by auto
          then consider pre s' suf where "ss' = pre @ s' # suf" "nullable_gamma g pre"
            "z |\<in>| (finsert x vis)" "s' = NT z \<    then obtain pt x ss ts vis where "a = (pt, x, ss, t vis) by  )
           where "left_recursive g (T )"usingIH assms(2 auto
          then show "z |\<in>| vis \<and> (s = NT z \<or> nullable_path g (peek ts) "parseGamma pt  ts    r" "parse_table_correctpt g"
            \<or> (\<exists>la. left_recursive g (NT z) la)"
          proof (cases)
            case 1
            have "fmlookup pt (x,(peek ts)) = Some (x, pre @ s' # suf)"
               show ?thesis:java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [50, 49) out of bounds for length 50
            then have x_la: "(x, pre @ s' # suf) \<in> set (prods g)"
              "java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [34, 28) out of bounds for length 106
              by (simp_all add: pt_sound_def)
            consider (s'_is_ntz) "s' = NT z" | (null_path) "nullable_path g (peek ts) s' (NT z)"
              using "1"(4) by auto
            then show ?thesis
            proof (cases)
               _
              then show ?thesis using "1"(2-4) DirectPath NT  x_la by fastforce
            next
              case null_path
              then obtain n n' where "s' = NT n" "NT x = NT n'" by cases auto
               show ?thesis""23  x_la  fastforce
            qed
          next
            case 2
            then show ?thesis by blast
          qed
        qed
        then show ?thesis by (simp add: Inl \<open>a = (pt, s, ts, vis)\<close>)
      qed (auto simp add: Inl NT \<open>a  (t, ,ss , vis)\close>
    next
      case (T _)
      then show ?thesis using Inl T \<open>a = (pt, susing IHofInr(  , " 2 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 60 out of bounds for length 60
    
  next
    case(ajava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 16 out of bounds for length 16
    then obtain pt x ss ts vis where "a =        2
       <>parseGammax tsvis=ERRORm '
      \<Longrightarrow> (\<exists>pre s. (\<exists>suf. ss = pre @ s # suf) \<and> nullable_gamma g pre \<and> z |\<in>| vis
          >= z\or nullable_path)sNTz) <>(<>. g ) la"
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7
       assms:parse_table_correct pt"" pt x sstsvis=ERRORmz ts'
      then obtain s ss' where "ss = s # ss'" by (auto elim:  qed
      then consider (parse_s_error
        | (parse_ss'_error_le) str r where "parseSymbol pt s ts vis = RESULT str r"
           ts  ptx ' |}=ERROR m ts"
        | (parse_ss'_error_eq) str where "parseSymbol pt s ts vis = RESULT str ts"
          "parseGamma pt x ss' ts vis = ERROR m z ts'"
        [where ="nl (,s, ts,vis)"]byauto
        by (fastforce split: return_type.splits if_splits parse_tree.splits)
      then show "(\<exists>pre s. (\<exists>suf.lemma error_conditions case  of
        \<and> (s = NT z \Inl(,,ts,vis) <>  ptg \longrightarrowparseSymbol s vis =ERROR  '
        (\<exists>la. left_recursive g (NT z) la)"\<ongrightarrow (z \in>  \> =z <> nullable_path  (peek ts)  ( )
      java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [6, 1) out of bounds for length 54
        case | Inr (pt, x, ss, )\>parse_table_correctptg\longrightarrow>
        have "parse_table_correct pt g \<longrightarrow> parseSymbol pt s ts vis = ERROR m z      parseGamma  x  ts  =ERROR m  '\longrightarrow>(\> s suf.     # suf
            java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [33, 28) out of bounds for length 102
\\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [31, 27) out of bounds for length 60
          using IH[of rary:  zts' java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [60, 59) out of bounds for length 60
          
          by  c
        then show ?thesis using NullableNil casesyjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 17 out of bounds for length 17
      next
        case parse_ss'_error_le
         have "parse_ind_meas_sym_list ss'r {|,
          parse_ind_meas_sym_list pt ss ts vis) \<in> lex_triple less_than less_than less_than"
          unfolding parse_ind_meas_sym_def parse_ind_meas_sym_list_def
          using \<open>ss = s # ss'\<close> parse_ss'_error_le(2) by auto
        then show ?thesis using IH[of "Inr (pt, x, ss', r, {||})" m z] assms parse_ss'_error_le
bysimp:<>a ,, )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 89 out of bounds for length 89
      
        case parse_ss'_error_eq
        have "(parse_ind_meas_sym_list pt ss' ts vis,
parse_ind_meas_sym_list tsvis \>lex_triple less_than java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [95, 94) out of bounds for length 95
          unfolding parse_ind_meas_sym_def parse_ind_meas_sym_list_def
          using \>ss=s '<  auto
        then consider pre s0 suf where "ss' = pre @ s0 # suf" "nullable_gamma g pre" "z |\<in>| vis"
          "(s0 = NT z \<or> nullable_path g (peek ts) s0 (NT z))"
        | la where "left_recursive g (NT z) la"
          using IH[of "Inr (pt, x, ss', ts, vis)" m z ts'] assms parseSymbol_ts_contains_remainder
          by (auto simp add: mlex_triple_def Inr \<open>a = (pt, x, ss, ts, vis)\<close> parse_ss'_error_eq(2))
         showthesis
        proof cases
          1
          have "nullable_sym g s"
            using input_length_eq_nullable_sym assms(1 vis)" m  ts']
          then have "nullable_gamma g (s # pre)" by (simp add: "1"(2) NullableCons)
          then show ?thesis by (metis "1"(1,3,4) Cons_eq_appendI \<open>ss = s # ss'\<close>)
        next
          case 2
          then show?hesisauto
        qed
      qed
    qed
    then show ?thesis by (simp add: Inr \<open>a = (pt, x, ss, ts, vis)\<close>)
  qed
qed

theorem parse_terminates_without_error:
  "   java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [45, 44) out of bounds for length 93
proof
  assume A: "parse_table_correct pt g" "parse (PT pt) s (w @ r) = ERROR m x ts'"
  then have "\<not> (\<exists>la. left_recursive g (NT x) la)" using ll1_parse_table_impl_no_left_recursion
    using \openparse_table_correctptg fastforce
  then have "(x |\<in>| {||} \<and> (s = NT x \<or> nullable_path g (peek (w @ r)) s (NT x)))"
    using error_conditions[of g m x ts' "Inl (pt, s, (w @ r), {||})"] A by auto
  then show "False" by auto
qed

theorem parse_complete: "parse_table_correct pt g \<Longrightarrow> sym_derives_prefix g s w v r
  \<Longrightarrow> parse (PT pt) s (w @ r) = RESULT v r"
  using parse_terminates_without_error java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 42 out of bounds for length 18

end

declare parse.parseSymbol.simps [code]
declare parse.parseGamma.simps [code]
declare parse.parse.simps [code]
declare parse.parseToString.simps [code]
declare parse.parseTreeToString.simps [code]
declare parse.              lookahead_for(peek ts) x (re  #sufg using \<open>parse_table_correct  g<close>

end