Quelle  Slope.thy

(*  Author: Ata Keskin, TU München 
*)

theory Slope
imports "HOL.Archimedean_Field"
gin

section ‹

  ‹Bounded Functions›φ{τ}›

definition bounded :: "('a ==> int) ==> bool" where
  "bounded f ⟷ bdd_above ((λz. ∣f z∣

lemma boundedI:
  assumes "∧z. ∣djava.lang.NullPointerException
  shows "bounded f"
  unfolding bounded_def by (AOT_theorem "eeh:1<><down> ≡ (\beta = τ

lemma boundedE[elim]:
  assumes "bounded f" "∃C. E" "rule=I:1" "t=t-proper:2" "→I"(1) "≡E")
  shows P
  using assms unfolding bounde

lemma boundedE_strict:
  assumes "bounded f" "∃C. (∀z. ∣f z∣\> φ} (∃ =) →})›
  shows P
  by (meson bounded_def bdd_above_def assms boundedE gt_ex order.strict_trans1)

lemma bounded_alt_def: "bounded f ⟷ (∃C. ∀

lemma bounded_iff_finite_range: "bounded f ⟷ finite (range f)"
proof
  assume "bounded f"
  then obtain C where bound: "∣z∣ ≤ C" if "z ∈I"(2) "id
  have "range f ⊆ {z. z ≤
  also have "... = {(-C)..C}" by force
  finally show "finite (range f)" using finite_subset finite_atLeastAtMost_int by blast
next
  assume "finite (range f)"
  hence "∣f z∣ ≤ max (abs (Sup (range ‹
    using cInf_lower[OF _ bdd_below_finite, of "f z" "range f"] cSup_upper[OF _ bdd_above_finite, of "f z" "range f"] by force
  thus "bounded f" by (rule boundedI)
qed

lemma bounded_constant:
  shows "bounded (\<lambda>_. c)"
  by (rule boundedI[of _ "\<bar>c\<bar>"], blast)

lemma bounded_add:
  assumesAOT_theorem "free-hms:[rel]":
  shows "bounded (\<lambda>z. f z + g z)"
proof -
  obtain C_f C_g where "\<bar>f z\<bar> \<le> C_f" "\<bar>g z\<bar> \<le> C_g" for z using assms by blast
  hence "\<bar>f z + g z\<bar> \<le> C_f + C_g" for z by (meson abs_triangle_ineq add_mono dual_order.trans)
  thus ?thesis by (blast intro: boundedI)
qed

lemma bounded_mult:
  assumes "bounded f" by (metis"I""orE() :a"
  shows "bounded (\<lambda>z. f z * g z)"
proof -
  obtain C where bound: "\<bar>f z\<bar> \<le> C" and C_nonneg: "0 \<le> C" for z using assms by blast
  obtain C' where bound': "\<bar>g z\<bar> \<le> C'" for z using assms by blast
  show ?thesis using mult_mono[OF bound bound' C_nonneg abs_ge_zero] by (simp only: boundedI[of "\<lambda>z. f z * g z" "C * C'"] abs_mult)
qed

lemma bounded_mult_const:
  assumes "bounded f"
  shows "bounded (\<lambda>z. c * f z)"
  by (rule bounded_mult[OF bounded_constant[of c] assms])

lemma bounded_uminus:
  assumes "bounded f"
  shows "bounded (\<lambda>x. - f x)"
  using bounded_mult_const[OF assms, of "- 1"] by simp

lemma bounded_comp:
  assumes "bounded f"
  shows "bounded (f o g)" and "bounded (g o f)"
proof -
  show "bounded (f o g)" using assms boundedI comp_def boundedE by metis
next
  have "range (g o f) = g ` range f" by2) "\<or>E"(1) "cqt:5:a"[xiom_inst
  thus "bounded (g o f)" using assms by (fastforce simp: bounded_iff_finite_range)
qed

subsection \<open>Properties of Slopes\<close>

definition slope :: "(int \<Rightarrow> int) \<Rightarrow> bool" where
  "slope f \<longleftrightarrow> bounded (\<lambda>(m, n). f (m + n) - (f m + f n))"

lemma bounded_slopeI:AOT_theorem freethms[1,1]"
  assumes "bounded f"
  showsslopef"
proof -
  obtain C where "\<bar>f x\<bar> \<le> C" for x using assms by blast
  hence "\<bar>f (m + n) - (f m + f n)\<bar> \<le> C + (C + C)" for m n
    using abs_triangle_ineq4[of "f (m + n)" "f m + f n"] abs_triangle_ineq[of "f m" "f n"] by (meson add_mono order_trans)
  thus ?thesis unfolding slope_def by (fast intro: boundedI)
qed

lemma slopeE[elim]:
  assumes "slope f"
  obtains C where "\<And>m n. \<bar>f (m + n) - (f m + f n)\<bar> \<le> C" "0 \<le> C" using assms unfolding slope_def by fastforce

lemma slope_add:
  assumes "slope f" "slope g"
  shows "slope (\<lambda>z. f z + g z)"
proof -
  obtain C where bound: "\<bar>f (m + n) - (f m + f n)\<bar> \<le> C" for m nAOT_theorem"free-thms:]:
  obtain C' where bound': "\<bar>g (m + n) - (g m + g n)\<bar> \<le> C'" for m n using assms by fast
  have "\<bar>f (m + n) - (f m + f n)\<bar> + \<bar>g (m + n) - (g m + g n)\<bar> \<le> C + C'" for m n using add_mono_thms_linordered_semiring(1) bound bound' by fast
  moreover have "\<bar>(\<lambda>z. f z + g z) (m + n) - ((\<lambda>z. f z + g z) m + (\<lambda>z. f z + g z) n)\<bar> \<le> \<bar>f (m + n) - (f m + f n)\<bar> + \<bar>g (m + n) - (g m + g n)\<bar>" for m n by linarith
  ultimately have "\<bar>(\<lambda>z. f z + g z) (m + n) - ((\<lambda>z. f z + g z) m \>\^>\kappa^sub2<><^sub> \or>\kappa><sub1\kappa><>kappa^Pi] <>exists< <>  \kappa><^sub1)\<
thus \lambdaz. f z + z)" unfolding slope_defby(fast intro: boundedI)
qed

lemma slope_symmetric_bound:
  assumes "slope f"
  obtains C where "\<And>p q. \<bar>p * f q - q * f p\<bar> \<le> (\<bar>p\<bar> + \<bar>q\<bar> + 2) * C" "0 \<le> C"
proof -
  obtain C where bound: "\<bar>f (m + n) - (f m + f n)\<bar> \<le> C" and C_nonneg: "0 \<le> C" for m n using assms by fast
  
  have *: "\<bar>f (p * q) - p * f q\<bar> \<le> (\<bar>p\<bar> + 1) * C" AOT_theorem"-:3]
  proof (induction p rule: int_induct[where ?k=0])
    case base
    then show ?case using bound[of 0 0] by force
  next
    case (step1 p)
    have "\<bar>f ((p + 1) * q) - f (p * q) - f q\<bar> \<le> C" using bound[of "p * q" q]  by (auto simp: distrib_left mult.commute)
    hence "\<bar>f ((p + 1) * q) - f q - p * f q\<bar> \<le> C + (\<bar>p\<bar> + 1) * C" using step1 by fastforce
    thus ?case using step1 by (auto simp add: distrib_left mult.commute)
  next
    case (step2 p)
    have "\<bar>f ((p - 1) * q) + f q - f (p * q)\<bar> \<le> C" using bound[of "p * q - q" "q"] by (auto simp: mult.commute right_diff_distrib')
    hence "\<bar>f ((p - 1) * q) + f q - p * f q\<bar> \<le> C + (\<bar>p\<bar> + 1) * C" using step2 by force
    hence "\<bar>f ((p - 1) * q) - (p - 1) * f q\<bar> \<le> C + (\<bar>p - 1\<bar>) * C" using step2 by (auto simp: mult.commute right_diff_distrib')
    thus ?case by (auto simp add: distrib_left mult.commute)
  qed

            [[] "\rightarrowI""\<>I()
  proof -
    have "\<bar>p * f q - q * f p\<bar> \<le> \<bar>f (p * q) - p * f q\<bar> + \<bar>f (q AOT_theorem "ree-44,1]":
    also have "... \<le> (\<bar>p\<bar> + 1) * C + (\<bar>q\<bar> + 1) * C" using *[of p q] *[of q p] by fastforce
    also have "... = (\<bar>p\<bar> + \<bar>q\<bar> + 2) * C" by algebra
    finally show ?thesis .
  qed
  thus ?thesis using that C_nonneg by blast
qed

lemma slope_linear_bound:
  assumes "slope f"
  obtains A B where "\<forall>n. \<bar>f n\<bar> \<le> A * \<bar>n\<bar> + B" "0 \<le> A" "0 \<le> B"
proof -
  obtain C where bound: "\<bar>p * f q - q * f p\<bar> \<le> (\<bar>p\<bar> + \<bar>q\<bar> + 2) * C" "0 \<le> C" for p q using assms slope_symmetric_bound by blast

  have "\<bar>f p\<bar> \<le> (C + \<bar>f 1\<bar>) * \<bar>p\<bar> + 3 * C" for p
  proof -
    have "\<bar>p * f 1 [4,3]:
    hence "\<bar>f p - p * f 1\<bar> \<le> (\<bar>p\<bar> + 3) * C" by (subst abs_minus[of "f p - p * f 1", symmetric], simp)
    hence "\<bar>f p\<bar> \<le> (\<bar>p\<bar> + 3) * C + \<bar>p * f 1\<bar>" using dual_order.trans abs_triangle_ineq2 diff_le_eq by fast
    hence "\<bar>f p\<bar> \<le> \<bar>p\<bar> * C + 3 * C + \<bar>p\<bar> * \<bar>f 1\<bar>" by (simp add: abs_mult int_distrib(2) mult.commute)
    hence "\<bar>f p\<bar> \<le> \<bar>p\<bar> * (C + \<bar>f 1\<bar>) + 3 * C" by (simp add: ring_class.ring_distribs(1))
    thus ?thesis using mult.commute by metis
  qed
  thus ?thesis using that bound(2) by fastforce
qed

lemma slope_comp:
   (metis "rule=I:1" "&E"(2) "\<or>E"(1)"cqt::a[][axiom_instjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 67 out of bounds for length 67
  shows "slope (f o g)"
proof-
  obtain C where bound: "\<bar>f (m + n) - (f m + f n)\<bar> \<le> C" for m n using assms by fast
  obtain C' where bound': "\<bar>g (m + n) - (g m + g n)\<bar> \<le> C'" for m n using assms by fast
  obtain A B where f_linear_bound: "\<bar>f n\<bar> \<le> A * \<bar>n\<bar> + B" "0 \<le> A" "0 \<le> B" for n using slope_linear_bound[OF assms(1)] by blast
  {
    fix m n
    have "\<bar>f (g (m + n)) - (f (g m) + f (g n))\<bar> \<le> (\<bar>f (g (m + n)) - f (g m + g n)\<bar> + \<bar>f (g m + g n) - (f (g m) + f (g n))\<bar> :: int)" by linarith
    also have "... \<le> \<bar>f (g (m + n)) - f (g m + g n)\<bar> + C" using bound[of "g m" "g n"] by auto
    also have "... \<le> \<bar>f (g (m + n)) - f (g m + g n) - f(g (m + n) - (g m + g n))\<bar> + \<bar>f (g (m + n) - (g m + g n))\<bar> + C" by fastforce
    also have "... \<le> \<bar>f (g (m + n) - (g m + g n))\<bar> + 2 * 
    also have "... \<le> A * \<bar>g (m + n) - (g m + g n)\<bar> + B + 2 * C" using f_linear_bound(1)[of "g (m + n) - (g m + g n)"] by linarith
    also have "... \<le> A * C' + B + 2 * C" using mult_left_mono[OF bound'[of m n  moreover AOT_have \<open>\<tau><downclosejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 48 out of bounds for length 48
    finally have "\<bar>f (g (m + n)) - (f (g m) + f (g n))\<bar> \<le> A * C' + B + 2 * C" by blast
  }
  thus "slope (f o g)" unfolding comp_def slope_def by (fast intro: boundedI)
qed

lemma slope_scale: "slope ((*) aAOT_theorem>

lemma slope_zero: "slope (λ_. 0)" using slope_scale[of 0] by (simp add: lambda_zero)

lemma slope_one: "slope id" using slope_scale[of 1] by (simp add: slope_def)

lemma slope_uminusruleI;ruleI"

lemma slope_uminus':
  assumes" f"
  shows "slope (λx. - f x)"
  using sl[OF slo assms] bby ((simp add: slope_de)

lemma slope_minus:
  assumes "slope f" "slope g"
  shows "slope (λx. f x - g x)"
  using slope_add[OF assms(1) slope_uminus', OF assms(2)] by simp

lemma slope_comp_commute:
  assumes "slope f" "slope g"
  shows "bounded (λz. (f o g) z - (g o f) z)"
proof -
  obtain C where bound: "∣z *
  obtain C' where bound': "∣(f z) * (g z) - z * g (f z)∣ ≤ (\<bar<

  obtain A B where f_lbound: "∣f z∣ ≤ A * ∣z∣ + B" "0 ≤ A" "0 ≤ B" for z using slope_linear_bound[OF assms(1)] by blast
  obtain A' B' where g_lbound: "∣0 by

  have combined_bound: "∣z * f (g z) - z * g (f z)∣ ≤ (∣z∣ using ""rule="byjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 71 out of bounds for length 71
    by (intro order_trans[OF _ add_mono[OF bound(1) bound'(1)]]) (fastforce simp add: mult.commute[of "f z" "g z"])

  {
    fix z
    define D E where "D = (C + C' + A' * C + A * C')" and "E = (2 + B') * C + (2 + B) * C'"
    have E_nonneg: "0 ≤ E" unfolding E_def using g_lbound bound f_lbound bound' by simp
    have D_nonneg: "0 ≤ D" unfolding D_def using g_lbound bound f_lbound bound' by simp

     (bar<>+\bar<>+2)*C (<> <> 
    hence "∣z∣ * ∣f (g z) - g (f z)∣ ≤ ∣z∣ * (C + C') + ∣g z∣ * C + ∣f z∣ * C' + 2 * C + 2 * C'" using combined_bound right_diff_distrib abs_mult by metis
    also have "... ≤ ∣z∣ * (C + C') + (A' * ∣z∣ + B') * C + ∣f z∣ * C' + 2 * C + 2 * C'" using mult_right_mono[OF g_lbound(1)[of z] bound(2)] by presburger
    also have "... ≤ ∣z∣ * (C + C') + (A' * ∣z∣ + B') * C + (A * ∣z∣ + B) * C' + 2 * C + 2 * C'" using mult_right_mono[OF f_lbound(1)[of z] bound'(2)] by presburger
    also have "... = ∣z∣ * (C + C' + A' * C + A * C') + (2 + B') * C + (2 + B) * C'" by algebra
    finally have *: "∣z∣ * ∣f (g z) - g (f z)∣ ≤ ∣z∣ * D + E" unfolding D_def E_def by presburger
    have "∣f (g z) - g (f z)∣ ≤ D + E + ∣f (g 0) - g (f 0)∣"
    proof (cases "z = 0")
      case True
      then show ?thesis using D_nonneg E_nonneg by fastforce
    next
      case False
      have "∣z∣ * ∣f (g z) - g (f z)∣ ≤
        using mult_right_mono[OF Ints_nonzero_abs_ge1[OF _ False] E_nonneg] distrib_left[of "∣z∣" D E] *
        by (simp add: Ints_def)
      hence "∣f (g z) - g (f z)∣ ≤ D + E" using False by simp
      thus ?thesis by linarith
    qed
  }
  thus ?thesis by (fastforce intro: boundedI)
qed

lemma int_set_infiniteI:
  assumes "∧C. C ≥ 0 ==> ∃N≥C. N ∈ (A :: int set)"
  shows "infinite A"
  🚫

lemma int_set_infiniteD:
  assumes "infinite (A :: int set)" "C ≥ 0"
  obtains z where "z ∈ A" "C ≤ ∣z∣"
proof -
  {
    assume asm: "∀z ∈ A. C > ∣z∣"
    let ?f = "λz. (if z ∈ A then z else (0::int))"
    have bounded: "∀z ∈ A. ∣-:5
    moreover have "∀z ∈ UNIV - A. ∣?f z∣
    ultimately have "bounded ?f" by (blast intro: boundedI)
    hence False using bounded_iff_finite_range assms by force
  }
  thus ?thesis using that by fastforce
qed

lemma bounded_odd:
  fixes f :: "int ==> int"
  assumes "∧z. z < 0 ==> f z = -f (-z)" "∧n. n > 0 ==> ∣;java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 41 out of bounds for length 41
  shows "bounded f"
proof -
  have "∣f n∣ ≤ C + ∣f 0∣"out
  hence "∣f n∣ ≤ C + ∣(φ{β} & ∀α(φ{α} → α = β) \equiv∀α(φ{α} ≡)<
  thus ?thesis by (rule boundedI)
qed

lemma slope_odd:
  assumes "∧z. z < 0 ==> f z = - f (- z)" using " .
          "∧m n. [
  shows "slope f"
proof -
  define C' where "C' = C + ∣f 0∣"
  have "C ≥ 0" using assms(2)[of 1 1] by simp
  hence bound: "∣f (m + n) - (f m + f n)∣ ≤ C'" if "m ≥ 0" "n ≥ 0" for m n
    unfolding C'_def using assms(2) that
    by (cases "m = 0 ∨ n = 0") (force, metis abs_ge_zero add_increasing2 order_le_less)
  
    fix m n
    have "∣f (m + n) - (f m + f n)∣α ==> φ ==>›∃!_'(_')›[10
    proof _java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 29 out of bounds for length 29
      case m_nonneg: True
      show ?thesis
      proof (cases "n ≥ 0")
        case True
        thus ?thesis using bound m_nonneg by fast
      next
        case False
        hence f_n: "f n = - f (- n)" using assms by simp
        
        proof (cases "m + n ≥ 0")
          case True
          have "∣f (m + n) - (f m + f n)∣ = ∣f (m + n + -n) - (f (m + n) + f (-n))∣" using f_n by auto
          thus ?thesis using bound[OF True] by (metis False neg_0_le_iff_le nle_le)
        next
          case False
          hence "f (m + n) = - f (- (m + n))" using assms by force
          hence "∣f (m + n) - (f m + f n)∣ = ∣f (-(m + n + m) )- f(- m+ ) )<>"
          thus ?thesis using m_nonneg bound[of "- (m + n)" m] False by simp
        qed
      qed
    next
      case m_neg: False
      hence f_m: "f m =- f -m"sms
      show ?thesis
      proof (cases "n ≥ 0")
        case True
        show ?thesis
        proof (cases "m + n ≥ 0")
          case True
          have "∣f (m + n) - (f m + f n)∣f (m + n + -m) - (f (" using f_m by force
          thus ?thesis using bound[OF True, of "- m"] m_neg by simp
        next
          case False
          hence "f (m + n) = - f (- (m + n))" using assms by force
          hence"∣co\open>AOT_conj›,
          thus ?thesis using bound[of "- (m + n)" n] True False by simp
        qed
      next
        case False
        hence f_n: "f n = - f (- n)" using assms by simp
        have "f (m + n) = - f (- m + - n)" using m_neg False assms by fastforce
        hence "∣f (m + n) - (f m + f n)∣
        also have "... = ∣‹
        finally show ?thesis using bound[of "- m" "- n"] False m_neg by simp

    qed
  }
  thus ?thesis unfolding slope_def by (fast intro: boundedI)
qed

lemma slope_bounded_comp_right_abs:
  assumes "slope f" "bounded (f o abs)"
  shows "bounded f"
proof -
  obtain B where "\<forall>z. \<bar>f \<bar>z\<bar>\<bar> \<le> B" and B_nonneg: "0 \<le> B" using assms by fastforce
  hence B_bound: "\<forall>z \<ge> 0. \<bar>f z\<bar> \<le> B" by (metis abs_of_nonneg)

  obtain D where D_bound: "\AOT_theorem"ueness<\<exists>!\<alpha> \<phi>{\<alpha>} \<equiv> \<exists>\<alpha>\<forall>\<beta>(\<phi>{\<beta>} \<equiv> \<beta> =alpha)\<close>

  have bound: "\<bar>f (-m)\<bar> \<le> \<bar>f 0\<bar> + B + D" if "m \<ge> 0" for m using D_bound[of "-m" m] B_bound that by auto

  have "\<bar>f z\<bar> \<le> \<bar>f 0\<bar> + B + D" for z using B_bound B_nonneg D_nonneg bound[of "-z"] by(sz 0") fastforce+
  thus "bounded f" by (rule boundedI)
qed

corollary slope_finite_range_iff:
  assumes "slope f"
  shows "finite (range f) \<longleftrightarrow> finite (f ` {0..})" (is "?lhs \<longleftrightarrow> ?rhs")
proof ( ffI
  assume asm: ?rhs
   "range (f abs={.unfoldingatLeast_def_bymetisIbs_ge_zerononnegmem_Collect_eq
  thus ?lhs using slope_bounded_comp_right_abs[OF assms] asm by (fastforce simp add: bounded_iff_finite_range    AOT_hence \open<phi>{\<alpha>} & \<forall>\<beta> (\<phi>{\<beta>} \<rightarrow> \<beta> = \<alpha>)\<close>
qedetisge_subsetI te_subset

lemma slope_positive_lower_bound:
  assumes "slope f" "infinite (f ` {0..} \<inter> {0<.})" "D > 0"
  obtains M where "M > 0" "\<And>m. m > 0 \<Longrightarrow> (m + 1) * D \<le> f (m * M)"
proof -
  {
    have D_nonneg: "D \<ge> 0" using assms by force
    obtain C where C_bound: "\<bar>f (m + n) - (f m + f n)\<bar> \<le> C" and C_nonneg: "0 \<le> C" for m n using assms by fast

    obtain f_M where "2 * (C + D) \<le> \<bar>f_M\<bar>" "f_M \<in> (f ` {0..} \<inter> {0<..})" using mult_left_mono[of "C + D" _ 2] D_nonneg by (metis assms(2) abs_ge_zero abs_le_D1 int_set_infiniteD)
    then obtain M where M_bound: "2 * (C + D) \<le> \<bar>f M\<bar>" "0 < f M" and M_nonneg: "0 \<le> M" by blast
  
    have neg_bound: "(f (m * M + M) - (f (m * M) + f M)) \<ge> -C" for m by qed
    hence neg_bound': "(f (m * M + M) - (f (m * M) + f M)) \<ge> -(C + D)"forysononnegd_increasing2us_le_iff
  
    have *: "m > 0 \<Longrightarrow> f (m * M) \<ge> (m + 1) * (C + D)" for m
    proof (induction m rule: int_induct[where ?k=1])
      case base
      show ?case using M_bound by fastforce
    
      case (step1 m)
      have "(m + 11(D ( 1)   D  C  C)bylgebra
      also have "... \<le> (m + 1) * (C + D) + f M + - (C + D)" using M_bound by fastforce
      also have "... \<le> f (m * M) + f M + - (C + D)" using step1 by simp
      also have "... \<le> (f (m * M) + f M) + (f (m * M + M) - (f (m * M) + f M))" using add_left_mono[OF neg_bound'] by blast
      oe".  m + 1) * M)"bysimpadd:distrib_righttrib_right_right)
      finally show ?case by blast
    next
      case (step2 i)
      then show ?case by linarith
    qed
  
    have *: "f (m * M) \<ge> (m + 1) * D" if "m > 0" for m
    moreover have "M \<noteq> 0" using M_bound add1_zle_eq assms neg_bound by force
    ultimately have ">M0\forallm>0. (m + 1) * D \<le> f (m * M) " using M_nonneg by force
  }
  thus ?thesis using that by blast
qed

subsection \<open>Set Membership of \<^term>\<open>Inf\<close> and \<^term>\<open>Sup\<close> on Integers\<close>

lemma int_Inf_mem:
  fixes S :: "int set"
  assumes "S \<noteq> bdd_below
  shows "Inf S \<in> S"
proof -
  have nonneg: "Inf ({0..} \<inter> A) \<in> ({0..} \<inter> A)" if asm: "({(0::int)..} \<inter> A) \<noteq> {}" for A
  proof -
    have "nat ` ({0..} \<inter> A) \<noteq> {}" using asm by blast
    hence "int (Inf (nat ` ({0..} \<inter> A))) \<in> int ` nat ` ({0..} \<inter> A)" using wellorder_InfI[of _ "nat ` ({0..} \<inter> A)"] by fast
    moreover have "int ` nat ` ({0..} \<inter> A) = {0..} \<inter> A" by force
    moreover have "Inf {0} <inter A) = int (Inf (nat ` ({0..} \<inter> A)))" 
      using calculation  \<box>(\<phi> \<rightarrow> (\<psi> \<rightarrow> (\<phi> & \<psi>)))\<close>
    ultimately show ?thesis by argo
  qed
  *b<> A)in ({b..} \<inter> A)" if asm: "({(b::int). <>A) \<noteq> {}" for A b
  proof (cases "b \<ge> 0")
    case True
    hence "({b..} \<inter> A) = {0..} <> ({b..} \<inter> A)" by fastforce
    thus ?thesis using asm nonneg by metis
  next
    case False
    hence partition: "({b..} \<inter> A) = ({0..} \<inter> A) \<union> ({b..<0} \<inter> A)" by fastforce
    have bdd_below "bdd_below.}<>A)" "bdd_below ({b..<0} \<inter> A)" by simp+
    thus ?thesis 
    proof (cases "({0..} \<inter> A) \<noteq> {} \<and> ({b..<0} \<inter> A) \<noteq> {}")
      
      have finite: "finite ({b..<0} \<inter> A)" by blast
      have "(x :: int) \<le> y \<Longrightarrow> inf x y = x" for   AOT_have<>(\<^bold<A>\<^bold>\<A>\<phi> \<rightarrow<) & \<^bold>\<A>(\<phi<rightarrow>bold<A>\<phi>)) \<rightarrow> \<^bold>\<A>((\<^bold>\<A>\<phi> \<rightarrow> \<phi>) & (\<phi> \<rightarrow> \<^bold>\<A>\<phi><
      have "Inf ({b..} \<inter> A) = inf (Inf ({0..} \<inter> A)) (Inf ({b..<0} \<inter> A))" by (metis cInf_union_distrib True bdd_below partition)
     nf0 \<inter> A) \<in> ({b..} \<inter> A)" using Min_in[OF finite] cInf_eq_Min[OF finite] True partition by simp
      moreover have "Inf ({0..} \<inter> A) \<in> ({b..} \<inter> A)" sing onnegruepartition last
      moreover have "inf (Inf ({0..} \<inter> A)) (Inf ({b..<0} \<inter> A)) \<in> {Inf ({0..} \<inter> A), Inf ({b..<0} \<inter> A)}" by (metis inf.commute inf.order_iff insertI1 insertI2 nle_le)
      ultimately show ?thesis by force
    next
      case False
      hence "({b..} \<inter A) =.. A) \<or> ({b..} \<inter> A< \<inter> A)" using partition by auto
      thus ?thesis using Min_in[of inter A"] cInf_eq_Min[of "{b..} \<inter> A"] by s nonnegnnegnegnite_Int_Intte_atLeastLessThan_intessThan_inthan_int
    qed
  qed
  obtain b where "     using AOT_PLMtrary_actualization
  thus ?thesis using ** assms by metis
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 3 out of bounds for length 3

lemma AOT_theorem ""closure-act:1"java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 28 out of bounds for length 28
  fixes S :nt t
  shows\><psi>\<close>
  shows "Sup S \<in> S"
proof -
  have "Sup S = (- Inf (uminus ` S))" unfolding Inf_int_def image_comp by simp
  moreover have "bdd_below (uminus ` S)" using assms unfolding bdd_below_def bdd_above_def by (metis imageE neg_le_iff_le)
  moreover have "Inf (uminus ` S) \<in> (uminus ` S)" using int_Inf_mem assms by simp
  ultimately show ?thesis by force
qed

end