Impressum Vars.thy

java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 14 out of bounds for length 14

subsection  \ "

theoryc1;c2) = c1 \ emph{tyas}, a deie thatriginatad wwth aell:\close
begin


text‹) c1 ∪
introduce two functions, e.g.\\<o>avars›bvars›, but we overload the name \open›
via a \emph{type class}, a device that originated with Haskell:›rvarsWHILE D )= vasb\<> "
 
class vars
fixes{

textunionvars e"
function of (coincidentally) the same name. Then we define two separated
nstancese css ne for@tpaep} fort ex}›

instantiation aexp :: vars
begin

fun vars_aexp :: "aexp ==> vname set" where
"vars (N n) = {}" |
"vars (V x) = {x}" |
"vars (Plus a₁ a₂) = vars a₁ ∪ vars a₂" |
"vars (Times a₁ a₂) = vars a₁ ∪ vars a₂" |
"vars (Div a₁ a₂) = vars a₁ ∪ vars a₂"

instance ..

end

value "vars (Plus (V ''x'') (V ''y''))"

instantiation bexp :: vars
begin

fun vars_bexp :: "bexp ==> vname set" where
"vars (Bc v) = {}" |
"vars (Not b) = vars b" |
"vars (And b₁ b₂) = vars b₁ ∪ vars b₂" |
"vars (Less a₁ a₂) = vars a₁ ∪ vars a₂"

instance ..

end

value "vars (Less (Plus (V ''z'') (V ''y'')) (V ''x''))"

abbreviation
  eq_on :: "('a ==> 'b) ==> ('a ==> 'b) ==> 'a set ==> bool"
 (‹(_ =/ _/ on _)› [50,0,50] 50) where
"f = g on X == \<forall> x \<in> X. f x = g x"

lemma aval_eq_if_eq_on_vars[simp]:
  "s\<^sub>1 = s\<^sub>2 on vars a \<Longrightarrow> aval a s\<^sub>1 = aval a s\<^sub>2"
apply(induction a)
apply simp_all
done          

lemma bval_eq_if_eq_on_vars:
  "s\<^sub>1 = s\>2 on vars b \<Longrightarrow> bval b s\<^sub>1 = bval b s\<^sub>2java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 89 out of bounds for length 89

  case (Less  a2
  hence "aval a1 1 = aval a1 s\<^sub>2" and "aval a2 s\<^sub>1 = aval  \^sub>2" by simp_all
rvars
qedsimp_all

 

fun lvars :: "com \<Rightarrow> vname set" where
"lvars SKIP = {}" |
"lvars byautop:_java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 27 out of bounds for length 27
"lvars (c1;;c2) = lvars c1 \<union> lvars c2" |
"lvars (IF b THEN c1 ELSE c2) = lvars c1 \<union> lvars c2" |
"lvars (WHILE b DO c) = lvars c"

fun rvars :: "com \<Rightarrow> vname set" where
"rvars SKIP = {}" |
"rvars (x::=e) = vars e" |
"rvars (c1;;c2) = rvars c1 \<union> rvars c2" |
"rvars (IF b THEN c1 ELSE c2) = vars b \<union> rvars c1 \<union> rvars c2" |
"rvars (WHILE b DO c) = vars b \<union> rvars c"

instantiation com :: vars
begin

definition "vars_com c = lvars c \<union> rvars c"

instance ..

end

lemma vars_com_simps[simp]:
  "vars SKIP = {}"
  "vars (x::=e) = {x} \<union> vars e"
  "vars (c1;;c2) = vars c1 \<union> vars c2"
  "vars (IF b THEN c1 ELSE c2) = vars b \<union> vars c1 \<union> vars c2"
  "vars (WHILE b DO c) = vars b \<union> vars c"
by(auto simp: vars_com_def)
 
   
end