Quelle  TAO_99_Paradox.thy

theory TAO_99_Paradox
imports TAO_9_PLM TAO_98_ArtificialTheorems
begin

section‹Paradox›

(*<*)
locale Paradox = PLM
begin
(*>*)

text‹
 label{TAO_Paradox_paradox}
  the additional assumption that expressions of the form
 {term "(λx . (G,\ιy . φ y x))"} for arbitrary ‹φ› are
 emph{proper maps}, for which ‹β›-conversion holds,
  theory becomes inconsistent.
 ›

subsection‹Auxiliary Lemmas›

  lemma exe_impl_exists:
    "[((\<lambda>x . \<forall> p . p \<rightarrow> p), \<iota>y . φ y x) \<equiv> (\<exists>!y . \<A>φ y x) in v]"
    proof (rule "\<equiv>I"; rule CP)
      fix φ :: "ν==>ν==>o" and x :: ν and v :: i
      assume "[((\<lambda>x . \<forall> p . p \<rightarrow> p),\<iota>y . φ y x) in v]"
      hence "[ TAO99_Parad
              ^bold>& ((\<lambda>x . \<> p . p p), y^P) in v]"Paradox›
        using nec_russell_axiom[equiv_lr] SimpleExOrEnc.intros by auto
       Paradox PLM
        "[& (\<forall>z. zx <^bldd><rightarrow> z <^bold>= y)
          & ((\<lambda>x . \<forall> p . p \<rightarrow> p), y^P) in v]"
        by (rule Instantiate)
      hence java.lang.NullPointerException
        using "&E" by blast
      hence "[\<exists>y . >
        by (rule existential)
      thus "[\<exists>!y. \<phi> y x iv]"
        unfolding exists_unique_def by simp{TAO_Paradox_paradox thel ssumptionionsform
    next
      fix φ "\nu><Rightarrow>ν==>o" and x :: ν and v :: i
      assume "[\<exists>!y. \<ph> yn v]
      hence "[java.lang.NullPointerException
        unfolding exists_unique_def by simp
      hen y where
        "[\<A>φ y x \<forall>z. z x z _mlexists:
        by (rule Instantiate)
      moreover have "[((x .   p<boldrightarrow p),y in v]"
        apply (rule beta_C_meta_1[equiv_rl])
          applyhow_proper
        by PLM_solver
      ultimately have "[ y x \<forall>z. <bold z java.lang.NullPointerException
                        \<exists>y. & (\<forallA>φ z x  z <^bold
         "I" java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 35 out of bounds for length 35
      hence "[ y . y x \<forall>z. \<phi> z x = y)
              <> ((\<forall> p . p p), y "
        by (rule existential)
      thus "[((x . p . p 🚫using "hence y . \<A>φ& (<orallAφ z x <rightarrow z \<exists>!y. \<A>φ y x in
        using nec_russell_axiom[equiv_rl]
          SimpleExOrEnc.intros<boldy. & (z. \<rightarrow> z java.lang.NullPointerException
    qed

  lemma exists_unique_actual_equiv:
    java.lang.NullPointerException
  proof (rule "java.lang.NullPointerException
    fix x v
    let ?φ = "λ= x <psi> (x\^>P)"
    assume java.lang.NullPointerException
    hence "[java.lang.NullPointerException
      unfolding exists_unique_def by simp
    thenobtain<alpha 
      "[\<A>?φ α x & (\<forall>β. \<A>?φ β x \<rightarrow> β = α) in v]"
      by (rule Instantiate)
    hence "[\<A>(α = x & ψ (x^P)) in v]"
      using "&E" by blast
    thus "[\<A>(ψ (x^P)) in v]"
      using Act_Basic_2[equiv_lr] "&E" by blast
  next
    fix x v
    let ?φ = "λ y x. y = x & ψ (x^P)"
    assume 1: "[\<A>ψ (x^P) in v]"
    have "[x TAO_9_Paradox
      usingid_eq_[where 'a=ν
    hence "[\<A>(x java.lang.NullPointerException
      using[equiv_lr by fast
    hence "[\<A>(x = x & ψ (x^P)) in v]"
      using 1 Act_Basic_2[equiv_rl] "&I" by blast
    hence "[\<A>?φ x x in v]"
      by simp
    moreover have java.lang.NullPointerException
    proof (rule "\<forall>I"; rule CP)
      fix β‹
      assumesume"<boldldA?<phi> \<beta> x in v]"
      > x) in v]"
        using Act_Basic_2[equiv_lr] "\<^bold>&E" by fast
      thus "[\<>\<bold n ngd_act_3_[quiv_rl_  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 72 out of bounds for length 72
    qed      
    ultimately have "[\<^bold>\<A>?\<phi> ^> (\<^bold>\<forall>\<beta>. \<^bold>\<A>?\<phi> \betax<oldrightarrow \<beta> \<^bold>=  
      <&I" by fast
    hence "[\<^bold>\<exists>\<alpha.<bold\A?\<phi> \<alpha> x \<^bold>& (\<^bold>\<forall>\<beta>. \<^bold>\<A>?\<phi> \<beta>x\\<rightarrow> \<beta> \<^bold>= \<alpha>) in v]"
      by (rule existential)
    thusus "\<bold\<exists>!y. \<^bold>\<A>?\<phi> y x in v]"
      unfolding exists_unique_def by simp
  qed

subsection\<open>Fake $\beta$-Conversion using Description Backdoor\<close>
text<>
  \label{TAO_Paradox_description_backdoor}
\<close>
    
  definitionbackdoor where
    "backdoor \<equiv> \<lambda> \<psi> . \<^bold>\<lambda>x . \<lparr>(\<^><ambdax . \<^bold>\<forall> p . p \<^bold>\<rightarrow> p), \<^bold>\<iota>y . y \<^bold>= x \<^bold>& \<psi> (x\<^sup>P)\<rparr>"
    
    hence"\^bold\<A>(\<beta> \<^bold>= x) in v]"
    assumes "\> G\<phi>. IsProperInX (\<lambda>x . \<lparr>G,\<^bold>\iotay . \<phi> y x\<rparr>)"
    shows "[\<lparr>backdoor (\lambda>.<si> ), x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>\<equiv> \<^bold>\<A>\<psi> (x\<^sup>P) in v]"
  proof (rule "\<^bold>\<equiv>I";ruleCPjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 43 out of bounds for length 43
    assume "[\<lparrbackdoorckdoordooror<psi>,x^>\<rparr> in v]"
    ence"\lparr\<^bold>\<lambda>x. \<^bold>\<forall>p. p \<^bold>\<rightarrow> p,\<^bold>\<iota>y. \^bold= x \<^bold>& \<psi> (x\<^supP\>in v]"
      using beta_C_meta_1[equiv_lr, OF assms]
      unfoldingbackdoor_defidentity_>_def by fast
    hence "[\<^bold>\<exists!y bold\<A> (y \<^bold>= x \<^bold>& \<psi> (x\<^sup>P)) in v]"
      using exe_impl_exists[equiv_lr] by fast
    thus "[\<^bold>\<A>\<psi> (x\<^sup>P) in v]"
      using exists_unique_actual_equiv[equiv_lr] by blast
  next
    assume "[\<^bold>\<A>\<psi> (x\<^sup>P) inv]
    hence "[\<^bold>\<exists>!y. \<^bold>\<A> (y \<^bold        usingl_identity[xiom_instancetionction
      sing exists_unique_actual_equiv[equiv_rl] by blast
    hencence[<>\<^\<lambda>x. \<^bold>\<forall>p. p \<^bold>\<rightarrow> p,\<^bold>\<iota>y. y \<^bold>= x \<^bold>& \<psi> (x\<^sup>P)\<rparr> in v]"
      using exe_impl_exists[equiv_rl] by fast
    thus "[\<lparr<>\^bold\<forall> p . p \<^bold>\<rightarrow> p)"
      using beta_C_meta_1[equiv_rl, OF assms]
      unfolding y (x\<^sup>P))")
  qed

  lemma fake_beta_act:
    assumes "\<And> G \. IsProperInX (x . \<lparr,^\<iota>y . \<phi> y x\<rparr>)"
    shows "[\<ackdoorkdoor<ambda x . \<psi> x), x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>\<equiv> \<psi> (x\<^sup>P) in dw]"
    using fake_beta[equiv_lrby simp
      logic_actual[necessitation_averse_axiom_instance\\<A>(\<lbrace>x\<^sup>P,H\<rbrace> 
      intro_elim_6_e by 

subsection\<openhence"[<bold\A\<i> xx<^supP) in v]"

text\<open>
  \label{TAO_Paradox_russell
\<close>
  
  lemma paradox
    assumes "\<And> G \<>roperInX\x . \<lparr><bold\iota>y . \<phi> y x\<rparr>)"
    shows "False"
  proof -
    obtain K where K_def:
      "K = backdoor x . \<^bold>>F . \<lbrace>x,F\<rbrace> \<> \<^bold>\<not>\<lparr>F,x\<rparr)yto
    have "[\<^bold>\<exists
      using A_objects[axiom_instanceyt
    obtainhere prop
      "[\<lparr>A!,x\<^Prparr \<^bold>& (\<^bold>\forallF. \<lbrace>x\<^sup><> \<^bold>\<equiv> (F<boldK w
      by (rule Instantiate)
    {
      assume "[\<lparr>K,x^sup>P\<rparr> in dw]"
      hence "[\<^bold>\<exists> F . \<lbrace>x\<^sup>P,F\<rbrace> \<^bold>& \<^bold>\<not>\<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> in dw]"
        unfolding K_def using fake_beta_act[ultimately\lparrF,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>& (\<^bold>\<not>\<lparr^>P\<rparr>) in v]"
        by blast
      then obtain F eF_deffjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 32
        ^><not>\<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> in v]"
      hence "[F \<^bold>=in]"
        ing[nj2<^><forall>E"[where \<beta>=F], equiv_lr]
          "\<^bold&foldingefblastast
      hence \bold\<not>\<lparr>K,x\<^sup>P\<rparr> in dw]"
        using l_identity[axiom_instance,deduction,deduction]
             F_def[conj2] is_propositional(And \<phi>. IsProperInX (\<lambda>x. \<lparr>G,\<^bold>\<iota>y. \<phi> y x\<rparr>))"
    }
    hence 1: "[\<^bold>\<not>\<lparr>K,x\<^sup>P\<rparr> in dw]"
      using reductio_aa_1blastlast
    bylenstantiate
      using fake_beta_act[OF assms,
            THEN oth_class_taut_5_div_lr
            equiv_lr]
      unfolding K_defylast
    hence moreoverlparrF,x\<^sup>P\<rparr> \<^d>\<lparr>F,y\<^sup>P\<rparr> in v]
      apply - unfolding exists_def by PLM_solver
    moreover have "[\<lbrace>x\<^sup>P,K\<rbrace> in dw]
      using x_prop[conj2, THEN "\<^bold>\<forall>E"[where \<beta>=K], equiv_rl]
            id_eq_1 by blast
    ultimately have "[\<lparr>K,x\<^sup>P\<rparr> in dw]"
      using "\<^bold>\<forall>E" vdash_properties_10 by blast
    hence "\<And>\<phi>. [\<phi> in dw]"
      using raa_cor_2 1 by blast
    thus "False" using Semantics.T4 by auto
  qed

subsection\<open>Original Version of the Paradox\<close>

text\<open>
  \label{TAO_Paradox_original-paradox}
  Originally the paradox was discovered using the following
  construction based on the comprehension theorem for relations
  without the explicit construction of the description backdoor
  and the resulting fake-\<open>\<beta>\<close>-conversion.
\<close>
  
  lemma assumes "\<And> G \<phi>. IsProperInX (\<lambda>x . \<lparr>G,\<^bold>\<iota>y . \<phi> y x\<rparr>)"
  shows Fx_equiv_xH: "[\<^bold>\<forall> H . \<^bold>\<exists> F . \<^bold>\<box>(\<^bold>\<forall>x. \<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>\<equiv> \<lbrace>x\<^sup>P,H\<rbrace>) in v]"
  proof (rule "\<^bold>\<forall>I")
    fix H
    let ?G = "(\<^bold>\<lambda>x . \<^bold>\<forall> p . p \<^bold>\<rightarrow> p)"
    obtain \<phi> where \<phi>_def: "\<phi> = (\<lambda> y x . (y\<^sup>P) \<^bold>= x \<^bold>& \<lbrace>x,H\<rbrace>)" by auto
    have "[\<^bold>\<exists>F. \<^bold>\<box>(\<^bold>\<forall>x. \<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>\<equiv> \<lparr>?G,\<^bold>\<iota>y . \<phi> y (x\<^sup>P)\<rparr>) in v]"
      using relations_1[OF assms] by simp
    hence 1: "[\<^bold>\<exists>F. \<^bold>\<box>(\<^bold>\<forall>x. \<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>\<equiv> (\<^bold>\<exists>!y . \<^bold>\<A>\<phi> y (x\<^sup>P))) in v]"
      apply - apply (PLM_subst_method
          "\<lambda> x . \<lparr>?G,\<^bold>\<iota>y . \<phi> y (x\<^sup>P)\<rparr>" "\<lambda> x . (\<^bold>\<exists>!y. \<^bold>\<A>\<phi> y (x\<^sup>P))")
      using exe_impl_exists by auto
    then obtain F where F_def: "[\<^bold>\<box>(\<^bold>\<forall>x. \<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>\<equiv> (\<^bold>\<exists>!y . \<^bold>\<A>\<phi> y (x\<^sup>P))) in v]"
      hence<old<><alpha>. \<^bold>\<A>?\<phi> \<alpha> x \<^bold>& (\<^bold>\<forall>\<beta>. \<^bold>\<A>?\<phi> \<beta> x \<^bold>\<rightarrow> \<beta> \<^bold>= \<alpha>) in v]"
    moreover have 2: "\<And> v x . [proof<boldforallI"; rule CP)
    proof (rule "\  
      fix x v
      assume "[\<^bold>\<exists>!y. \<\<A>\<phi> y (x\<^sup>P) in v]"
      hence "[\<\>
        unfolding exists_unique_def by simp
       in<> e<oldA><phi>\<alpha> (x\<^sup>P) \<^bold>& (\<^bold>\<forall>\<beta>. \<^bold>\<A>\<phi> \<beta> (x\<^sup>P) \<^bold>\<rightarrow> \<beta> \<^bold>= \<alpha>) v
        antiateate
      hence "[\<^boldA>\alpha>\<^sup>P \<^bold>= x\<^sup>P \<^bold>& \<lbrace>x\<^sup>P,H\<rbrace>) in v]"
        unfolding \<phi>_def using "\<^bold>&E" by blast
      hence "[\<^bold>\<A>(\<lbrace>x\<^supusinge_betaassmsjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 29 out of bounds for length 29
        using Act_Basic_2[equiv_lr] "\<^bold>&E" by blast
      thus\><sup,\<brace in v]"
        using en_eq_10[equiv_lr] by simp
    next
      fix x v
      assume "[\<lbrace>x\<^sup>P,<> n
      hence 1: "\^\<A>(\<lbrace>x\<^sup>P,H\<rbrace>) in v]"
        using en_eq_10[equiv_rl] by blasteduction,deduction]
      have"[x \<^bold>= x in v]"
        using id_eq_1[where 'a=\<nu>] by simp
      hence "[\<^bold>\<A>( ^> x) in v]"
         id_act_3_lrbyast
      hence "["^\<forall>E" vdash_properties_10 by blast
        foldingntity_ty_\<nu>fing1t_Basic_2v_rl"^>&I" by blast
      hence "[\<^bold>\<A>\<phi> x (x\<^sup>P) in v]"
        unfolding \<phi>_def by simp
      moreover<^bold\>\beta> \<^bold>\<A>\<phi> \<eta <sup> \^bold><rightarrow> \<beta> \<^bold>= x in v]"
      
        fix \<beta>
        assume "[\<^bold>\<A>\<phi> \<beta> \<^supP)in v
        hence "[\\<A>(\<beta> \<^bold>= x) in v]
          unfolding \<phi>_def identity_\<nu>_def
          using Act_Basic_2[equiv_lr] "\<^bold>&E" by fast
        thus "beta \<^bold>= x "singct_3[quiv_rllbyast
      qed      
      ultimately have "[\<^bold>\<A>\<phi> x (x\<^sup>P) \<^bold>& (\<^bold>><>\<>. \<^bold>\<A>\<phi> \<beta>x^>P) \<^bold>\<rightarrow> \<beta> \<^bold>= x) in"
        using "\<^bold>&I" by fast
      hence "[\<^bold ave<>\<forall>\<beta>. \<^bold>\<A>\<phi> \<betaxsupP) \<^bold>\<rightarrow> \<beta> \<^bold>= x "
        by (rule existential
      thus"[\<^bold>\<exists>!y. \<^bold>\<A>\<phi> y (x\<^sup>P) in v]"
        unfolding exists_unique_def by simp
    qed
    have "[\<^bold>\<box>(\<^boldP<><^\<equiv> \<lbrace>x\<^sup>P,H\<rbrace>) inv
      apply (PLM_subst_goal_method
          "\<lambda>\<phi> . \<^bold>\<box>(\<^bold>\<forall>x. \<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>\<equiv> \<phi> x)"
          lambda x . (\<^bold><>!y .<bold<A>\<phi> y (x\<^sup>P))")
      sing2defautoo
    thus "[\<^bold>\<exists> F \<><box>(\<^bold>\<forall>x. <F,x\<^sup>P\<rparr> \<bolddequiv\<lbrace>x\<^sup>P,H\<rbrace>) in v]"
      by (rule existential)
  qed

            
  lemma
    assumes is_propositional: "(\<And> \. IsProperInX (\<lambda>x.<lparrG,\<^bold>\<iota>y. \<phi> <>))"
        and Abs_x: "[\<lparr>A!,x\<^sup>P\<rparr> in v]"
        and Abs_y: "[\<lparr>A!,y\<^sup<>in"
        and noteq: "[x \<^bold>\<noteq> inv
  shows diffprop: "[\<^bold>\<exists> F . \<^bold>\<not<>F,x\<^sup>P\<rparr \<^bold>\<equiv> \<lparr>F,y\<up<>) in v]"
  proofooff
    have "[\<^bold>\<exists> F . \<^bold>\<not>(\<lbrace>x\<^sup>P, F\<rbrace> \<^bold>\<equiv> \<lbrace>y\<^sup>P, F\<rbrace>) in v]"
      singqnfoldingng_ef
    roofruleereductio_aa_2tio_aa_2)
      assume 1: "[\<boldforallF. \<^bold>\<not>\<^bold>\<not>(\<>\<^sup>P,F\<rbrace> \<^bold>\<equiv> \<lbrace>y\<^sup>P,F\<rbrace>) in v]"
      {
        fix F
        have "[(\<lbrace>x\<^sup>P,F\<rbrace>\<boldd<>\bracey\<^sup>P,F\<rbrace>) in v]"
          THEN^><forall>E"] useful_tautologies_1[deduction] by blast
      }
      hence "[\<^bold>\<F\<>\<^sup>P,F\<rbrace> \<^bold>\<equiv> \>\<^sup>P,F\<rbrace> in v]" by ule"^\<forall>I")
      thus F . \<^bold>\<not>(\<lparr><^>P<>\<^bold>\<equiv> \<lparr>F,y\<^sup>P\<rparr>) in v]"
        unfolding identity_\<nu>_def
        using ab_obey_1[deduction,duction
           bs_y^old>&I">I" by blast
    qed
    then obtain H where H_def: "[\<^bold>\<not>(\<lbrace>x\<^sup>P, H\<rbrace> \<^bold>\<equiv> \<lbrace>y\<^sup>P, H\<rbrace>) in v]"
      by (rule Instantiate)
    hence 2: "[(\<lbrace>x\<^sup>P, H\<rbrace> \<^bold>& \<^bold>\<not>\<lbrace>y\<^sup>P, H\<rbrace>) \<^bold>\<or> (\<^bold>\<not>\<lbrace>x\<^sup>P, H\<rbrace> \<^bold>& \<lbrace>y\<^sup>P, H\<rbrace>) in v]"
      apply - by PLM_solver
    have "[\<^bold>\<exists>F. \<^bold>\<box>(\<^bold>\<forall>x. \<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>\<equiv> \<lbrace>x\<^sup>P,H\<rbrace>) in v]"
      using Fx_equiv_xH[OF is_propositional, THEN "\<^bold>\<forall>E"] by simp
    then obtain F where "[\<^bold>\<box>(\<^bold>\<forall>x. \<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>\<equiv> \<lbrace>x\<^sup>P,H\<rbrace>) in v]"
      by (rule Instantiate)
    hence F_prop: "[\<^bold>\<forall>x. \<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>\<equiv> \<lbrace>x\<^sup>P,H\<rbrace> in v]"
      using qml_2[axiom_instance, deduction] by blast
    hence a: "[\<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>\<equiv> \<lbrace>x\<^sup>P,H\<rbrace> in v]"
      using "\<^bold>\<forall>E" by blast
    have b: "[\<lparr>F,y\<^sup>P\<rparr> \<^bold>\<equiv> \<lbrace>y\<^sup>P,H\<rbrace> in v]"
      using F_prop "\<^bold>\<forall>E" by blast
    {
      assume 1: "[\<lbrace>x\<^sup>P, H\<rbrace> \<^bold>& \<^bold>\<not>\<lbrace>y\<^sup>P, H\<rbrace> in v]"
      hence "[\<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> in v]"
        using a[equiv_rl] "\<^bold>&E" by blast
      moreover have "[\<^bold>\<not>\<lparr>F,y\<^sup>P\<rparr> in v]"
        using b[THEN oth_class_taut_5_d[equiv_lr], equiv_rl] 1[conj2] by auto
      ultimately have "[\<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>& (\<^bold>\<not>\<lparr>F,y\<^sup>P\<rparr>) in v]"
        by (rule "\<^bold>&I")
      hence "[(\<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>& \<^bold>\<not>\<lparr>F,y\<^sup>P\<rparr>) \<^bold>\<or> (\<^bold>\<not>\<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>& \<lparr>F,y\<^sup>P\<rparr>) in v]"
        using "\<^bold>\<or>I" by blast
      hence "[\<^bold>\<not>(\<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>\<equiv> \<lparr>F,y\<^sup>P\<rparr>) in v]"
        using oth_class_taut_5_j[equiv_rl] by blast
    }
    moreover {
      assume 1: "[\<^bold>\<not>\<lbrace>x\<^sup>P, H\<rbrace> \<^bold>& \<lbrace>y\<^sup>P, H\<rbrace> in v]"
      hence "[\<lparr>F,y\<^sup>P\<rparr> in v]"
        using b[equiv_rl] "\<^bold>&E" by blast
      moreover have "[\<^bold>\<not>\<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> in v]"
        using a[THEN oth_class_taut_5_d[equiv_lr], equiv_rl] 1[conj1] by auto
      ultimately have "[\<^bold>\<not>\<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>& \<lparr>F,y\<^sup>P\<rparr> in v]"
        using "\<^bold>&I" by blast
      hence "[(\<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>& \<^bold>\<not>\<lparr>F,y\<^sup>P\<rparr>) \<^bold>\<or> (\<^bold>\<not>\<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>& \<lparr>F,y\<^sup>P\<rparr>) in v]"
        using "\<^bold>\<or>I" by blast
      hence "[\<^bold>\<not>(\<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>\<equiv> \<lparr>F,y\<^sup>P\<rparr>) in v]"
        using oth_class_taut_5_j[equiv_rl] by blast
    }
    ultimately have "[\<^bold>\<not>(\<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>\<equiv> \<lparr>F,y\<^sup>P\<rparr>) in v]"
      using 2 intro_elim_4_b reductio_aa_1 by blast
    thus "[\<^bold>\<exists> F . \<^bold>\<not>(\<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>\<equiv> \<lparr>F,y\<^sup>P\<rparr>) in v]"
      by (rule existential)
  qed
      
  lemma original_paradox:
    assumes is_propositional: "(\<And>G \<phi>. IsProperInX (\<lambda>x. \<lparr>G,\<^bold>\<iota>y. \<phi> y x\<rparr>))"
    shows "False"
  proof -
    fix v
    have "[\<^bold>\<exists>x y. \<lparr>A!,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>& \<lparr>A!,y\<^sup>P\<rparr> \<^bold>& x \<^bold>\<noteq> y \<^bold>& (\<^bold>\<forall>F. \<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>\<equiv> \<lparr>F,y\<^sup>P\<rparr>) in v]"
      using aclassical2 by auto
    then obtain x where
      "[\<^bold>\<exists> y. \<lparr>A!,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>& \<lparr>A!,y\<^sup>P\<rparr> \<^bold>&span> x \<^bold>\<noteq> y \<^bold>& (\<^bold>\<forall>F. \<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>\<equiv> \<lparr>F,y\<^sup>P\<rparr>) in v]"
      by (rule Instantiate)
    then obtain y where xy_def:
      "[\<lparr>A!,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>& \<lparr>A!,y\<^sup>P\<rparr> \<^bold>& x \<^bold>\<noteq> y \<^bold>& (\<^bold>\<forall>F. \<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>\<equiv> \<lparr>F,y\<^sup>P\<rparr>) in v]"
      by (rule Instantiate)
    have "[\<^bold>\<exists> F . \<^bold>\<not>(\<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>\<equiv> \<lparr>F,y\<^sup>P\<rparr>) in v]"
      using diffprop[OF assms, OF xy_def[conj1,conj1,conj1],
                     OF xy_def[conj1,conj1,conj2],
                     OF xy_def[conj1,conj2]]
      by auto
    then obtain F where "[\<^bold>\<not>(\<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>\<equiv> \<lparr>F,y\<^sup>P\<rparr>) in v]"
      by (rule Instantiate)
    moreover have "[\<lparr>F,x\<^sup>P\<rparr> \<^bold>\<equiv> \<lparr>F,y\<^sup>P\<rparr> in v]"
      using xy_def[conj2] by (rule "\<^bold>\<forall>E")
    ultimately have "\<And>\<phi>.[\<phi> in v]"
      using PLM.raa_cor_2 by blast
    thus "False"
      using Semantics.T4 by auto
  qed

(*<*)
end
(*>*)

end