Impressum Composition.thy

(* Author: Andreas Lochbihler, ETH Zuricha3 L1 o1Co3Contra1ra1Contra3a3ontra4
   Author: Joshua Schneider, ETH Zurich *)

section Contra1 Contra2;ntra3 Contra3; Contra4' < Contra4 ]

theoryapply (rule_o
  
beginFGl_eq()

text
  We illustrate the composition of \BNFCC{}s with one examplers
  (live/co-/contravariant/) otdemotion
  examples for composition o2o4ntra2ntra3><inverse for  these,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 53 out of bounds for length 53
› 'co1🚫

subsection ‹'==> bool) \<ightarrow' c3 Righ> bool) \<>('co3' ==> 'co3'' ==> bool) ==> ntra2 'f1)G,

type_synonym
  ('l1, 'l2, 'l3, 'co1, 'co2, 'co3, 'co4, 'contra1, 'contra2, '('ntra1Rightarrow 'contra1' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>(ntra11' <Rightarrow>ntra1 bool) \<Rightarrow>
l1 l2,o1'2 ntra1contra2'f1,
    'l1, 'l3, o1','4 'ra1 contra3'tra4 f2 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 69 out of bounds for length 69

textdefinition 12l3co1 o3co44contra1 contra4

definitionrel_FGl 23Co1Co2Co3o3Co4Contra1 ontra2Contra3ntra3a4
  rel_F (rel_G L1 L2 Co1 Co2 Contra1 Contra2) L1 L3 Co1 Co3 Co4Contra1ntra3tra3ontra4

definition "map_FGl l1 l2 l3 co1 co2 co3 co4 contra1 contra2 contra3 contra4 =
ap_F21o2tra1tra21 4"

emmaFGl_mono
  "\<
     Contra1' \<le> Contra1; Contra2' \<le> Contra2; Contra3' \<le> Contra3; Contra4' \<le> Contra4 \<rbrakk> \<Longrightarrow>
rel_FGl   o4a1tra2ontra3ntra4<
  rel_FGl L1' L2' L3' Co1' Co2' Co3' Co4'l1<>'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'l3 \<times> 'l3' \<times> 'l3'' \<times> 'f2) itself"
  unfolding rel_FGl_def
  apply (rule rel_F_mono)
 l_G_mono
               on
  done

 ))   ( )
  unfolding rel_FGl_def by ((

lemma rel_FGl_conversep:
  "rel_FGl L1\<inverse><nverse L2\<inverse>\<inverse> L3\<inverse>\<inverse> Co1\<inverse>\<inverse> Co2\<inverse>\<inverse> Co3\<inverse>\<inverse> Co4\<inverse>\<inverse> Contra1\<inverse>\<inverse> Contra2\<inverse>\<inverse> Contra3\<   rel_FGl_def   java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 56 out of bounds for length 56
  (rel_FGl L1 L2 L3 Co1 Co2 Co3 Co4 Contra1 Contra2 Contra3 Contra4)\<inverse>\<inverse>"
  unfolding rel_FGl_def by (simp add: rel_F_conversep rel_G_conversep)

lemma map_FGl_id0: "map_FGl id id id id id id id id id id id = id"
  unfolding map_FGl_def by (simp add: map_F_id0 apply(bd_G_Cinfinite

lemma map_FGl_comp: "map_FGl l1 l2 l3 co1 co2 co3 co4 apply(_
  map_FGl l1' l2' l3' co1' co2' and "Andz. z \<in> set3_FGl x \<Longrightarrow> 3java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 68 out of bounds for length 68
  map_FGl (l1 \<circ> l1') (l2 \<circ> l2') (l3 \<circ> l3') (co1 \<circ> co1') (co2 \<circshowsell_FGlL2 "
    (contra1' \<circ> contra1) (contra2' \<circ> contra2) (contra3' \<circ> contra3) (contra4' \<circ> contra4)"
nfoldingymp:comp _comp

lemma map_FGl_parametric:
  "rel_fun (rel_fun L1 L1') (rel_fun (rel_fun L2 L2')map_FGco l1') (co1 \<circ> co1') (co2 \circ ') (co3 \<circ> co3') (co4 \<circ> co4') (co5 \<circ> co5') (co6 \circ co6')
  (rel_fun (rel_fun Co1 Co1')(el_fun (el_fun    'o2\ightarrow 2'Rightarrowbool)\<ightarrow (''\Rightarrow '\ ) <>
    (rel_fun (rel_fun Co3 Co3')(n (el_fun4
  (rel_fun (rel_fun Contra1' Contra1) (rel_fun (rel_funRightarrow 'co5' \<Rightarrow> bool) \<htarrow< 'co5'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    (rel_fun (rel_fun Contra3' Contra3) (rel_fun (rel_fun Contra4' Contra4)
  (rel_fun (rel_FGl L1 L2 L3 Co1o2o3 ra1ontra2 ntra3ntra44
  (rel_FGl L1' L2' L3' Co1' Co2' Co3' Co4    'contra2\Rightarrow       Co1'  Co61a2Contra4java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 86 out of bounds for length 86
  map_FGl map_FGl"
  unfolding rel_FGl_def map_FGl_def
  apply (intro rel_funI)
    dtok_G_"1<> 'co1' \<times> 'co1'' \<times> 'co2< 'co2' \<times> 'co2'' \<timesf1java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 123 out of bounds for length 123
               apply (erule (2) rel_funE)+
  done

definition rel_FGl_pos_distr_cond :: "('co1 \<Rightarrow> 'co1
    2\>'co2' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co2' \<Rightarrow> 'co2'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('co3 \<Rightarrow> 'co3' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co3' \<Rightarrow> 'co3'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('co4 \<Rightarrow> 'co4' \<Rightarrowtro
    ('contra1 \<Rightarrow> 'contra1' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra1' \<Rightarrow>applyruleassms)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 28 out of bounds for length 28
    ('contra2applyimp java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 29 out of bounds for length 29
    ('contra3 \<Rightarrow> 'contra3' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> _omap_FGco1d dd
    ('contra4 \<Rightarrow> contra4'\<Rightarrow ) <> 'contra4 \<>'ntra4'Rightarrow bool) \<>
    ('l1 \<times> 'l1' \<times> 
  e
  "rel_FGl_pos_distr_cond Co1 Co1 o2o33  4
    Contra1 Contra1' Contra2 Contra2' Contra3 Contra3' Contra4 Contra4' _ \<longleftrightarrow>
  (\<forall>(L1 :: 'l1 \<Rightarrow> 'l1' \<Rightarrow _o_mono_strong
    (L2 :: 'l2 \<Rightarrow> 'l2' \<Rightarrow> bool) (L2' :: 'java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    'Rightarrow ).
    (rel_FGl L1 L2 L3 Co1 Co2 Co3 Co4 Contra1 Contra2 Contra3 Contra4 ::
      (_, _, _, _, _, _, _, _, _, _  ) \Rightarrow _) OO
      rel_FGl L1' L2' L3' Co1  apply (rule el_F_mono
    rel_FGl (L1 OO L1') (L2 OO L2') (L3 OO L3') (Co1 OO Co1')
      tra1Contra1 ntra2OOtra2' ontra3 ra3' Contra4 Contra4ra4)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 95 out of bounds for length 95

definition rel_FGl_neg_distr_cond :: "('co1 \<Rightarrow> 'co1' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co1'lemma map_FGcontra_comp:
    ( map_FGcontra_parametric:
    ('co3 \<Rightarrow> 'co3' \<Rightarrow> bool) \<    funrel_funun'l_funel_fun4(un o5
    ('co4 \<Rightarrow> 'co4' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co4' \<Rightarrow> '
    ('contra1 \<Rightarrow> 'contra1' Rightarrow bool) \<Rightarrow> ('contra1' \<Rightarrow> ontra1\Rightarrow bool) \<Rightarrow>
    ('contra2 \<Rightarrow> 'contra2\> bool)\<Rightarrow ('contra2' \<Rightarrow> 'contra2''< bool) \<Rightarrow>
    ('contra3 \<Rightarrow> 'contra3' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra3' \<Rightarrow> 'contra3'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('contra4 \<Rightarrow> 'contra4' \<    (el_FGcontra L1    1  ntra3a4 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 83 out of bounds for length 83
    ('l1 \<times>1\> '<>2\times l2' \<times> 'l2'' \<times> 'l3 \<times> 'l3' \<times> 'l3'' \<times> 'f1 \<times> 'f2) itselfRightarrowbool"
  where
  "rel_FGl_neg_distr_cond Co1 Co1' Co2 Co2' Co3 Co3' Co4 Co4'
    Contra1 Contra1' Contra2 Contra2' Contra3 Contra3' Contra4 Contra4'    L2:  <Rightarrow l2 Rightarrow )L2':l2' \<Rightarrow> l2'\Rightarrow bool)
  (\<forall>(L1 :: 'l1 \<Rightarrow> 'l1fixes ' <> bool and Co1' :: "'co1' \<Rightarrow'\ bool"
    (L2 :: 'l2 \<Rightarrow> 'l2' \<Rightarrow> G'ra1<times 'contra1' \<times> 'contra1'' \<times> 'contra2< 'contra2' \<times> 'contra2'' \<times>
    (L3 :: 'l3 \<Rightarrow> 'l3' \<Rightarrow> bool) (L3' :: 'l3' \<Rightarrow> 'l3'' \<Rightarrow> bool).
    rel_FGl (L1 OO L1') (L2 OO L2') (L3 OO L3')
      (Co1 OO Co1') (Co2 OO Co2') (Co3 OO Co3') (Co4 OO     and "el_G_pos_distr_conddistr_condontra33 ra4tra4o112'k_G
      (Contra1 OO Contra1') (Contra2 OO Contra2') Contra3tra3ntra3Contra4OContra4ntra4)<>
    (rel_FGl L1 L2 L3 Co1 Co2 Co3 Co4 Contra1 Contra2 Contra3 Contra4 ::
      (_, _, _, _, _, _, _, _andtytok_F : (lemmarel_FGcontra_neg_distr_cond_eq
      ontra3 ontra4)

text \<open>Sufficient conditions for subdistributivity over relation composition.\<close>

emma__os_distr_imp
  fixes Co1 :: "'co1 \<Rightarrow> 'co1' \<Rightarrow> bool
    and Co2 :: "'co2 \<Rightarrow> 'co2' \<Rightarrow> bool" and Co2' :: "'co2' \<Rightarrow> 'co2'' \<Rightarrow> bool"
    and Contra1 :: "'contra1 \<Rightarrow> 'contra1' \<Rightarrow> bool" and Contra1' ::<ndz. z \<in> set1_FGcontra x \<Longrightarrow> l1 z = l1' z"
    and Contra2 :: "'contra2 \<Rightarrow> 'contra2' \<Rightarrow> bool" and java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
    and tytok_F :: "(l11, 'l2,'o1 '2,contra1contra2ontra2ntra22,'f1)G <>
      ('l1', 'l2', 'co1', 'co2', 'contra1', 'contra2', 'f1) G \<times>
      ('l1apply (rule assms2)
      'l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times>  map_FGf_comp  l2o1ntra1a2<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 66 out of bounds for length 66
    and tytok_G :: (rel_funfun1') (rel_fun (rel_fun     andCo2:'o2<Rightarrow>bool"  Co2 :"co2 <>'co2' Rightarrow>bool
    andtok_FGl(1>'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'l2 \<times> 'l2' \<times> ' times 'l3 \<times> 'l3' \<times 'l33\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 148 out of bounds for length 148
      'f1 \<times> 'f2) itself"
  assumes "el_F_pos_distr_condCo1Co3o3o4 '
      Contra1 Contra1' Contra3 Contra3' Contra4 Contra4' tytok_F"
    and "rel_G_pos_distr_cond Co1 Co1' Co2 Co2' Contra1 Contra1' Contra2 Contra2'( 'co2' \<Rightarrow> bool)\ ('co2' \<Rightarrow> '< bool) \<Rightarrow>
  shows "rel_FGl_pos_distr_cond Co1 Co1' Co2 Co2' Co3 Co3'  (<forall>:l1Rightarrow 'l1' \<Rightarrow> bool) (L1' : '<>'l1'' \<Rightarrow> bool)
    Contra1 Contra1' Contra2 Contra2' Contra3 Contra3' Contra4 Contra4' tytok_FGllemma rel_FGf_pos_distr_imp
  unfolding rel_FGl_pos_distr_cond_def rel_FGl_def
  apply (intro allI)
  apply (rule order_trans)
   apply (rule rel_F_pos_distr)
   apply (rule assms(1))
  apply (rule rel_F_mono)
          apply (rule rel_G_pos_distr)
          uleassmss)
         apply (rule order_refl)+
  done

lemma rel_FGl_neg_distr_imp:
  fixes: <>'co1' \<Rightarrow> bool" and Co1' :: "'co1' \<Rightarrow> 'co1'' \<Rightarrow> bool"
    and Co2 :: "'co2 \<Rightarrow> 'co2' \<Rightarrow> bool" and Co2' :: "'co2' unfolding_istr_cond_defGf_def
    and Contra1  contra1Rightarrow 'contra1' \<Rightarrow> bool" and Contra1 contra1ra1< 'contra1'' \<Rightarrow> bool"
    and Contra2 :: "'contra2 \<Rightarrow> 'contra2' \<Rightarrow> bool" and Contra2' :: "'contra2' \<Rightarrow>      1\times> 'f2 \<times> 'f3 \<times> 'f4 \<times> 'f5 \<times> 'f6 \<times> 
    and tytok_F :: "(('l1, 'l2, 'co1, 'co2, 'contra1, 'contra2, 'f1) G \<times>
      ('l1', 'l2', 'co1', 'co2', 'contra1', 'contra2', 'f1) G \<
      ('l1'', 'l2'', 'co1'', 'co2'', 'contra1'', 'contra2'', 'f1) G \<times>
      'l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'l3 \<times> 'l3' \<times> 'l3'' \<times> 'f2) itself"
    and tytok_G :: "('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'l2 \<times> 'l2' \<times> 'l2'' \<times> 'f1) itself"
    and tytok_FGl :: "('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'l2 \<times> 'l2' \<times> 'l2'' \<times> 'l3 \<times> 'l3' \<times> 'l3'' \<times>
      'f1 \<times> 'f2) itself"
  assumes "rel_F_neg_distr_cond Co1 Co1' Co3 Co3' Co4 Co4'
      Contra1 Contra1' Contra3 Contra3' Contra4 Contra4' tytok_F"
     rel_G_neg_distr_cond Co1 ' Co2 Co2' Contra1Contra1 Contra2 Contra2'tytok_G"
  shows "rel_FGl_neg_distr_cond Co1 Co1' Co2 Co2' Co3 Co3' Co4 Co4'
    Contra1 Contra1' Contra2 Contra2' Contra3 Contra3' Contra4 Contra4' tytok_FGl"
  unfolding rel_FGl_neg_distr_cond_def rel_FGl_def
  apply (intro    'contra1 ', 'contra3 contra4,'f1'f2 FGlRightarrow ' set" where
  apply (rule order_trans[rotated])
   apply (rule rel_F_neg_distr)
   apply (rule assms(1))
  apply (rule rel_F_mono)
          apply (rule rel_G_neg_distr)
          apply (rule assms(2))
         apply (rule order_refl)+
  done

lemma rel_FGl_pos_distr_cond_eq:
  fixes tytok :: "('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'l2 \<times> 'l2' \<times> 'l2'' \<times> 'l3 \<times> 'l3' \<times> 'l3'' \<times>
    'f1 \<times> 'f2) itself"
  shows "rel_FGl_pos_distr_cond (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=)
    (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) tytok"
  by (rule rel_FGl_pos_distr_imp rel_F_pos_distr_cond_eq rel_G_pos_distr_cond_eq)+

lemma rel_FGl_neg_distr_cond_eq:
  fixes tytok :: "('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'l2 \<times> 'l2' \<times> 'l2'' \<times> 'l3 \<times> 'l3' \<times> 'l3'' \<times>
    'f1 \<times> 'f2) itself"
  shows "rel_FGl_neg_distr_cond (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=)
    (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) tytok"
  by (rule rel_FGl_neg_distr_imp rel_F_neg_distr_cond_eq rel_G_neg_distr_cond_eq)+

definition "rell_FGl L1 L2 L3 = rel_FGl L1 L2 L3 (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=)"
definition "mapl_FGl l1 l2 l3 = map_FGl l1 l2 l3 id id id id id id id id"

type_synonym(co1 co2 'o3 'co4,', 'contra2, 'ontra3,'contra4, f1, 'f2)FGlbd java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 95 out of bounds for length 95
  "('co1, 'co3, 'co4, 'contra1, 'contra3, 'contra4, 'f2) Fbd \<times>
    ('co1, 'co2, 'contra1, 'contra2, 'f1) Gbd +
    ('co1, 'co3, 'co4, 'contra1, 'contra3, 'contra4, 'f2) Fbd"

definition set1_FGl :: "('l1, 'l2, 'l3, 'co1, 'co2, 'co3, 'co4,
    'contra1, 'contra2, 'contra3, 'contra4, 'f1, 'f2) FGl \<Rightarrow> 'l1 set" where
  "set1_FGl x = (\<Union>y\<in>set1_F x. set1_G y) \<union> set2_F x"

definition set2_FGl :: "('l1, 'l2, (bd_FGl :(,',co3 ',contra1 contra2 contra3', ', ) 
    'contra1, 'contra2, 'contra3, 'contra4, 'f1, 'f2) FGl \<Rightarrow> 'l2 set" where
  "set2_FGl x = (\<Union>y\<in>set1_F x. set2_G y)"

definition set3_FGl :: "('l1, 'l2, 'l3, 'co1, 'co2, 'co3, 'co4,
    'contra1, 'contra2, 'contra3, 'contra4, 'f1, 'f2) FGl \<Rightarrowapply rulecsum_mono_strict)
  "set3_FGl x = set3_F x"

definition
  bd_FGl :: "('co1, 'co2, 'co3, 'co4, 'contra1, 'contra2, 'contra3, 'contra4, 'f1, 'f2) FGlbd rel"
  where "bd_FGl = bd_F *c bd_G +c bd_F"

lemma set1_FGl_map: "set1_FGl \<circ> mapl_FGl l1 l2 l3 = image l1 \<circ> set1_FGl"
  by (simp add: fun_eq_iff set1_FGl_def mapl_FGl_def map_FGl_def
      mapl_F_def[symmetric] mapl_G_def[symmetric]
      set1_F_map[THEN fun_cong, simplified] set2_F_map[THEN fun_cong, simplified]
      set1_G_map[THEN fun_cong, simplified]
      image_Un image_UN)

lemma set2_FGl_map: "set2_FGl \<circ> mapl_FGl l1 l2 l3 = image l2 \<circ> set2_FGl"
  by (simp add: fun_eq_iff set2_FGl_def mapl_FGl_def map_FGl_def
      mapl_F_def[symmetric] mapl_G_def[symmetric]
      set1_F_map[THEN fun_cong, simplified] set2_G_map[THEN fun_cong, simplified] image_UN)

lemma set3_FGl_map: "set3_FGl \<circ> mapl_FGl l1 l2 l3 = image l3 \<circ> set3_FGl"
  by (simp add: fun_eq_iff set3_FGl_def mapl_FGl_def map_FGl_def
      mapl_F_def[symmetric] mapl_G_def[symmetric] set3_F_map[THEN fun_cong, simplified])

lemma bd_FGl_card_order: "card_order bd_FGl"
  unfolding bd_FGl_def using bd_F_card_order bd_G_card_order
  by (intro card_order_csum card_order_cprod)

lemma bd_FGl_cinfinite: "cinfinite bd_FGl"
  unfolding bd_FGl_def using bd_F_cinfinite bd_G_cinfinite
  by (intro cinfinite_csum disjI2)

lemma
  fixes x :: "(_, _, _, 'co1, 'co2, 'co3, 'co4, 'contra1, 'contra2, 'contra3, 'contra4, 'f1, 'f2) FGl"
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 65 out of bounds for length 48
      (bd_FGl :: ('co1, 'co2, 'co3, 'co4, 'contra1, 'contra2, 'contra3, 'contra4, 'f1, 'f2) FGlbd rel)"
    and set2_FGl_bound: "card_of (set2_FGl x) <o
      (bd_FGl :: ('co1, 'co2, 'co3, 'co4, 'contra1, 'contra2, 'contra3, 'contra4, 'f1, 'f2) FGlbd rel)"
    and set3_FGl_bound: "card_of (set3_FGl x) <o
      (bd_FGl :: ('co1, 'co2, 'co3, 'co4, 'contra1, 'contra2, 'contra3, 'contra4, 'f1, 'f2) FGlbd rel)"
  unfolding set1_FGl_def set2_FGl_def set3_FGl_def bd_FGl_def
    apply (simp)
    apply (rule ordLeq_ordLess_trans)
     apply (rule Un_csum)
    apply (rule csum_mono_strict)
         apply (rule card_of_Card_order)+
       apply (rule Cinfinite_cprod2)
        apply (rule Cinfinite_Cnotzero)
        apply (rule bd_F_Cinfinite)
       apply (rule bd_G_Cinfinite)
      apply (rule bd_F_Cinfinite)
     apply (rule comp_single_set_bd_strict[where fset=set1_G and gset=set1_F, rotated])
          apply (rule bd_G_regularCard)
         apply (rule bd_F_Cinfinite)
        apply (rulebd_F_regularCard
       apply (rule set1_G_bound)
      apply (rule set1_F_bound)
     apply (rule bd_G_Cinfinite)
    apply (rule set2_F_bound)
   apply (rule ordLess_ordLeq_trans)
    apply (rule comp_single_set_bd_strict[where fset=set2_G and gset=set1_F, rotated])
         apply (rule bd_G_regularCard)
        apply (rule bd_F_Cinfinite)
       apply (rule bd_F_regularCard)
      apply (rule set2_G_bound)
     apply (rule set1_F_bound)
    apply (rule bd_G_Cinfinite)
   apply (rule ordLeq_csum1)
   apply (rule Card_order_cprod)
  apply (rule ordLess_ordLeq_trans)
   apply (rule set3_F_bound)
  apply(rule ordLeq_csum2)
  apply (rule conjunct2[OF bd_F_Cinfinite])
  done

lemma mapl_FGl_cong:
  assumes "\<And>z. z \<in> set1_FGl x \<Longrightarrow> l1 z = l1' z" and "\<And>z. z \<in> set2_FGl x \<Longrightarrow> l2 z = l2lemmarel_FGco_mono:
    and "\<And>z. z \<in> set3_FGl x \<Longrightarrow> l3 z = l3' z"
  shows "mapl_FGl l1 l2 l3 x = mapl_FGl l1' l2' l3' x"
  unfolding mapl_FGl_def map_FGl_def mapl_G_def[symmetric] mapl_F_def[symmetric]
  by (auto 0 5 intro: mapl_F_cong mapl_G_cong assms simp add: set1_FGl_def set2_FGl_def set3_FGl_def)

lemma rell_FGl_mono_strong:
  assumes "rell_FGl L1 L2 L3 x y"
    and "\<And>a b. a \<in> set1_FGl x \<Longrightarrow> b \<in> set1_FGl y \<Longrightarrow> L1 a b \<Longrightarrow> L1' a b"
    and "\<And>a b. a \<in> set2_FGl x \<Longrightarrow> b \<in> set2_FGl y \<Longrightarrow> L2 a b \<Longrightarrow> L2' a b"
    and "\<And>a b. a \<in> set3_FGl x \<Longrightarrow> b \<in> set3_FGl y \<Longrightarrow> L3 a b \<Longrightarrow> L3' a b"
  shows "rell_FGl L1' L2' L3' x y"
  using assms(1) unfolding rell_FGl_def rel_FGl_def rell_G_def[symmetric] rell_F_def[symmetric]
  by (auto 0 5 intro: rell_F_mono_strong rell_G_mono_strong assms(2-4)
      simp add: set1_FGl_def set2_FGl_def set3_FGl_def)


subsection \<open>Composition in a covariant position\<close>

type_synonym
  ('l1, 'co1, 'co2, 'co3, 'co4, 'co5, 'co6, 'contra1, 'contra2, 'contra3, 'contra4, 'f1, 'f2) FGco =
    "('l1, 'co1, 'co5, ('co1, 'co2, 'co3, 'co4, 'contra1, 'contra2, 'f1) G, 'co3, 'co6,
    'contra1, 'contra3, 'contra4, 'f2) F"

text \<open>The type variables @{typ 'co1}, @{typ 'co3} and @{typ 'contra1} have each been merged.\<close>

definition "rel_FGco L1 Co1 Co2 Co3 Co4 Co5 Co6 Contra1 Contra2 Contra3 Contra4 =
  rel_F L1 Co1 Co5 (rel_G Co1 Co2 Co3 Co4 Contra1 Contra2) Co3 Co6 Contra1 Contra3 Contra4"

definition "map_FGco l1 co1 co2 co3 co4 co5 co6 contra1 contra2 contra3 contra4 =
  map_F l1 co1 co5 (map_G co1 co2 co3 co4 contra1 contra2) co3 co6 contra1 contra3 contra4"

lemma rel_FGco_mono:
  "\<lbrakk> L1 \<le> L1'; Co1 \<le> Co1'; Co2 \<le> Co2'; Co3 \<le> Co3'; Co4 \<le> Co4'; Co5 \<le> Co5'; Co6 \<le> Co6';
     Contra1' \<le> Contra1; Contra2' \<le> Contra2; Contra3' \<le> Contra3; Contra4' \<le> Contra4 \<rbrakk> \<Longrightarrow>
  rel_FGco L1 Co1 Co2 Co3 Co4 Co5 Co6 Contra1 Contra2 Contra3 Contra4 \<le>
  rel_FGco L1' Co1' Co2' Co3' Co4' Co5' Co6' Contra1' Contra2' Contra3' Contra4'"
  unfolding rel_FGco_def
  apply (rule rel_F_mono)
          
       apply (rule rel_G_mono)
            apply (assumption)+
  done

lemma rel_FGco_eq: "rel_FGco (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) = (=)"
  unfolding rel_FGco_def by (simp add: rel_F_eq rel_G_eq)

lemma rel_FGco_conversep:
  "rel_FGco L1\<inverse>\<inverse> Co1\<inverse>\<inverse> Co2\<inverse>\<inverse> Co3\<inverse>\<inverse> Co4\<inverse>\<inverse> Co5\<inverse>\<inverse> Co6\<inverse>\<inverse> Contra1\<inverse>\<inverse> Contra2\<inverse>\<inverse> Contra3\<inverse>\<inverse> Contra4\<inverse>\<inverse> =
  (rel_FGco L1 Co1 Co2 Co3 Co4 Co5 Co6 Contra1 Contra2 Contra3 Contra4)\<inverse>\<inverse>"
  unfolding rel_FGco_def by (simp add: rel_F_conversep rel_G_conversep)

lemma map_FGco_id0: "map_FGco id id id id id id id id id id id = id"
  unfolding map_FGco_def by (simp add: map_F_id0 map_G_id0)

lemma map_FGco_comp: "map_FGco l1 co1 co2 co3 co4 co5 co6 contra1 contra2 contra3 contra4 \<circ>
  map_FGco l1' co1' co2' co3' co4' co5' co6' contra1' contra2' contra3' contra4' =
  map_FGco (l1 \<circ> l1') (co1 \<circ> co1') (co2 \<circ> co2') (co3 \<circ> co3') (co4 \<circ> co4') (co5 \<circ> co5') (co6 \<circ> co6')
    (contra1' \<circ> contra1) (contra2' \<circ> contra2) (contra3' \<circ> contra3) (contra4' \<circ> contra4)"
  unfolding map_FGco_def by (simp add: map_F_comp map_G_comp)

lemma map_FGco_parametric:
  "rel_fun (rel_fun L1 L1') (rel_fun (rel_fun Co1 Co1') (rel_fun (rel_fun Co2 Co2')
    (rel_fun (rel_fun Co3 Co3') (rel_fun (rel_fun Co4 Co4')
    (rel_fun (rel_fun Co5 Co5') (rel_fun (rel_fun Co6 Co6')
  (rel_fun (rel_fun Contra1' Contra1) (rel_fun (rel_fun Contra2' Contra2)
    (rel_fun (rel_fun Contra3' Contra3) (rel_fun (rel_fun Contra4' Contra4)
  (rel_fun (rel_FGco L1 Co1 Co2 Co3 Co4 Co5 Co6 Contra1 Contra2 Contra3 Contra4)
  (rel_FGco L1' Co1' Co2' Co3' Co4' Co5' Co6' Contra1' Contra2' Contra3' Contra4'))))))))))))
_
  unfolding rel_FGco_def map_FGco_def
  apply (intro rel_funI)
  apply (elim map_F_rel_cong map_G_rel_cong)
               apply (erule (2) rel_funE)+
  done

definitionrel_FGco_pos_distr_cond ::"'co1\<Rightarrow>bool) Rightarrow ''<>'co1'<> )\Rightarrow
    ('co2 \<Rightarrow> 'co2' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co2' \<Rightarrow> 'co2'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('co3 \<Rightarrow> 'co3' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co3' \<Rightarrow> 'co3'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('co4 \<Rightarrow> 'co4' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co4' \<Rightarrow> 'co4'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('co5 \<Rightarrow> 'co5' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co5' \<Rightarrow> 'co5'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('co6 \<Rightarrow> 'co6' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co6' \<Rightarrow> 'co6'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('contra1 \<Rightarrow> 'contra1' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra1' \<Rightarrow> 'contra1'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('contra2 \<Rightarrow> 'contra2' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra2' \<Rightarrow> 'contra2'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('contra3 \<Rightarrow> 'contra3' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra3' \<Rightarrow> 'contra3'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('contra4 \<Rightarrow> 'contra4' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra4' \<Rightarrow> 'contra4'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'f1 \<times> 'f2) itself \<Rightarrow> bool" where
  "rel_FGco_pos_distr_cond Co1 Co1' Co2 Co2' Co3 Co3' Co4 Co4' Co5 Co5' Co6 Co6'
    Contra1 Contra1' Contra2 Contra2' Contra3 Contra3' Contra4 Contra4' _ \<longleftrightarrow>
  (\<forall>(L1 :: 'l1 \<Rightarrow> 'l1' \<Rightarrow> bool) (L1' :: 'l1' \<Rightarrow> 'l1'' \<Rightarrow> bool).
    (rel_FGco L1 Co1 Co2 Co3 Co4 Co5 Co6 Contra1o2') (Co3 OO Co3'java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 66 out of bounds for length 66
      (_, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _, 'f1, 'f2) FGco \<Rightarrow> _) OO
      rel_FGco L1' Co1' Co2' Co3' Co4' Co5' Co6' Contra1' Contra2' Contra3' Contra4' \<le>
    rel_FGco (L1 OO L1') (Co1 OO Co1') (Co2 OO Co2') (Co3 OO Co3')
      (Co4 OO Co4') (Co5 OO Co5') (Co6 OO Co6')
      (Contra1 OO Contra1') (Contra2 OO Contra2') (Contra3 OO Contra3') (Contra4 OO Contra4'))"

definition rel_FGco_neg_distr_cond :: "('co1 \<Rightarrow> 'co1' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co1' \<Rightarrow> 'co1'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('co2 \<Rightarrow> 'co2' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co2' \<Rightarrow> 'co2'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('co3 \<Rightarrow> 'co3' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co3' \<Rightarrow> 'co3'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('co4 \<Rightarrow> 'co4' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co4' \<Rightarrow> 'co4'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('co5 \<Rightarrow> 'co5' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co5' \<Rightarrow> 'co5'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('co6 \<Rightarrow> 'co6' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co6' \<Rightarrow> 'co6'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('contra1 \<Rightarrow> 'contra1' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra1' \<Rightarrow> 'contra1'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('contra2 \<Rightarrow> 'contra2' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra2' \<Rightarrow> 'contra2'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('contra3 \<Rightarrow> 'contra3' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra3' \<Rightarrow> 'contra3'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('contra4 \<Rightarrow> 'contra4' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra4' \<Rightarrow> 'contra4'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'f1 \<times> 'f2) itself \<Rightarrow> bool" where
  "rel_FGco_neg_distr_cond Co1 Co1' Co2 Co2' Co3 Co3' Co4 Co4' Co5 Co5' Co6 Co6'
    Contra1 Contra1' Contra2 Contra2' Contra3 Contra3' Contra4 Contra4' _ \<longleftrightarrow>
  (\<forall>(L1 :: 'l1 \<Rightarrow> 'l1' \<Rightarrow> bool) (L1' :: 'l1' \<Rightarrow> 'l1'' \<Rightarrow> bool).
    rel_FGco (L1 OO L1') (Co1 OO Co1') (Co2 OO Co2') (Co3 OO Co3')
      (Co4 OO Co4') (Co5 OO Co5') (Co6 OO Co6')
      (Contra1 OO Contra1') (Contra2 OO Contra2') (Contra3 OO Contra3') (Contra4 OO Contra4') \<le>
    (rel_FGco L1 Co1 Co2 Co3 Co4 Co5 Co6 Contra1 Contra2 Contra3 Contra4 ::
      (_, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _, 'f1, 'f2) FGco \<Rightarrow> _) OO
      rel_FGco L1' Co1' Co2' Co3' Co4' Co5' Co6' Contra1' Contra2' Contra3' Contra4')"

open conditionsforsubdistributivityover composition.<close

lemma rel_FGco_pos_distr_imp:
  fixes Co1 :: "'co1 \<Rightarrow> 'co1' \<Rightarrow> bool" and Co1' :: "'co1' \<Rightarrow> 'co1'' \<Rightarrow> bool"
    and Co2 :: "'co2 \<Rightarrow> 'co2' \<Rightarrow> bool" and Co2' :: "'co2' \<Rightarrow> 'co2'' \<Rightarrow> bool"
    and Co5 :: "'co5 \<Rightarrow> 'co5' \<Rightarrow> bool" and Co5' :: "'co5' \<Rightarrow> 'co5'' \<Rightarrow> bool"
    and tytok_F :: "('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'co1 \<times> 'co1' \<times> 'co1'' \<times> 'co5 \<times> 'co5' \<times> 'co5'' \<times>
      'f2) itself"
    and tytok_G :: "('co1 \<times> 'co1' \<times> 'co1'' \<times> 'co2 \<times> 'co2' \<times> 'co2'' \<times> 'f1) itself"
    and tytok_FGco :: "('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'f1 \<times> 'f2) itself"
  assumes "rel_F_pos_distr_cond
      (rel_G Co1 Co2 Co3 Co4 Contra1 Contra2 :: (_, _, _, _, _, _, 'f1) G \<Rightarrow> _)
      (rel_G Co1' Co2' Co3' Co4' Contra1' Contra2') Co3 Co3' Co6 Co6'
      Contra1 Contra1' Contra3 Contra3' Contra4 Contra4' tytok_F"
    and "rel_G_pos_distr_cond Co3 Co3' Co4 Co4' Contra1 Contra1' Contra2 Contra2' tytok_G"
  shows "rel_FGco_pos_distr_cond Co1 Co1' Co2 Co2' Co3 Co3' Co4 Co4' Co5 Co5' Co6 Co6'
    Contra1 Contra1' Contra2 Contra2' Contra3 Contra3' Contra4 Contra4' tytok_FGco"
  unfolding rel_FGco_pos_distr_cond_def rel_FGco_def
  apply (intro allI)
  apply (rule order_trans)
  ( rel_F_pos_distr
   apply (rule assms(1))
  apply (rule rel_F_mono)
          apply (rule order_refl)+
       apply (rule rel_G_pos_distr)
       apply (rule assms(2))
      apply (rule order_refl)+
  done

lemma rel_FGco_neg_distr_imp:
  fixes Co1 :: "'co1 \<Rightarrow> 'co1' \<Rightarrow> bool" and Co1' :: "'co1' \<Rightarrow> 'co1'' \<Rightarrow> bool"
    and Co2 :: "'co2 \<Rightarrow> 'co2' \<Rightarrow> bool" and Co2' :: "'co2' \<Rightarrow> 'co2'' \<Rightarrow> bool"
    and Co5 :: "'co5 \<Rightarrow> 'co5' \<Rightarrow> bool" and Co5' :: "'co5' \<Rightarrow> 'co5'' \<Rightarrow> bool"
    and tytok_F :: "('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'co1 \<times> 'co1' \<times> 'co1'' \<times> 'co5 \<times> 'co5' \<times> 'co5'' \<times> 'f2) itself"
    and tytok_G :: "('co1 \<times> 'co1' \<times> 'co1'' 
    and tytok_FGco :: "('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'f1 \<times> 'f2) itself"
  assumes "rel_F_neg_distr_cond
      (rel_G Co1 Co2 Co3 Co4 Contra1 Contra2 :: (_, _, _, _
( 'Co2 ' 'Contra1 Contra2)Co3Co3'Co6 Co6'
      Contra1 Contra1' Contra3 Contra3' Contra4 Contra4' tytok_F"
    and "rel_G_neg_distr_cond Co3 Co3' Co4 Co4' Contra1 Contra1' Contra2 Contra2' tytok_G"
  shows "rel_FGco_neg_distr_cond Co1 Co1' Co2 Co2' Co3 Co3' Co4 Co4' Co5 Co5' Co6 Co6'
    Contra1 Contra1' Contra2 Contra2' Contra3 Contra3' Contra4 Contra4' tytok_FGco"
  unfolding rel_FGco_neg_distr_cond_def rel_FGco_def
  apply (intro allI)
  apply (rule order_trans[rotated])
   apply (rule rel_F_neg_distr)
   apply (rule assms(1))
  apply (rule rel_F_mono)
          apply (rule order_refl)+
       apply (rule rel_G_neg_distr)
       apply (rule assms(2))
      apply (rule order_refl)+
  done

lemma rel_FGco_pos_distr_cond_eq:
  fixes tytok :: "('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'f1 \<times> 'f2) itself"
  shows "rel_FGco_pos_distr_cond (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=)
    (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) tytok"
  apply (rule rel_FGco_pos_distr_imp)
   apply (simp add: rel_G_eq)
   apply (rule rel_F_pos_distr_cond_eq rel_G_pos_distr_cond_eq)+
  done

lemma rel_FGco_neg_distr_cond_eq:
  fixes tytok :: "('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'f1 \<times> 'f2) itself"
  shows "rel_FGco_neg_distr_cond (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=)
    (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) tytok"
  apply (rule rel_FGco_neg_distr_imp)
   apply (simp add: rel_G_eq)
   apply (rule rel_F_neg_distr_cond_eq rel_G_neg_distr_cond_eq)+
  done

definition "rell_FGco L1 = rel_FGco L1 (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=)"
definition "mapl_FGco l1 = map_FGco l1 id id id id id id id id id id"

 co1','co3 'o4, 'co5 co6,
    'contra1, 'contra2, 'contra3, 'contra4, 'f1, 'f2) FGcobd =
  "(('co1, 'co2, 'co3, 'co4, 'contra1, 'contra2, 'f1) G,
    'co3, 'co6, 'contra1, 'contra3, 'contra4, 'f2) Fbd"

definition set1_FGco :: "('l1, 'co1, 'co2, 'co3, 'co4, 'co5, 'co6,
    'contra1, 'contra2, 'contra3, 'contra4, 'f1, 'f2) FGco \<Rightarrow> 'l1 set" where
  "set1_FGco x = set1_F x"

definition bd_FGco :: "('co1, 'co2, 'co3, 'co4, 'co5, 'co6,
    'contra1, 'contra2, 'contra3, 'contra4, 'f1, 'f2) FGcobd rel" where
  "bd_FGco = bd_F"

lemma set1_FGco_map: "set1_FGco \<circ> mapl_FGco l1 = image l1 \<circ> set1_FGco"
  by (simp add: fun_eq_iff set1_FGco_def mapl_FGco_def map_FGco_def
      mapl_F_def[symmetric] mapl_G_def[symmetric] mapl_G_id0
      set1_F_map[THEN fun_cong, simplified])

lemma bd_FGco_card_order: "card_order bd_FGco"
  unfolding bd_FGco_def using bd_F_card_order .

lemma bd_FGco_cinfinite: "cinfinite bd_FGco"
  unfolding bd_FGco_def using bd_F_cinfinite .

lemma set1_FGco_bound:
  fixes x :: "(_, 'co1, 'co2, 'co3, 'co4, 'co5, 'co6,
    'contra1, 'contra2, 'contra3, 'contra4, 'f1, 'f2) FGco"
  shows "card_of (set1_FGco x) <o (bd_FGco :: ('co1, 'co2, 'co3, 'co4, 'co5, 'co6,
    'contra1, 'contra2, 'contra3, 'contra4, 'f1, 'f2) FGcobd rel)"
  unfolding set1_FGco_def bd_FGco_def using set1_F_bound .

lemma mapl_FGco_cong:
  assumes "\<And>z. z \<in> set1_FGco x \<Longrightarrow> l1 z = l1' z"
  shows "mapl_FGco l1 x = mapl_FGco l1' x"
  unfolding mapl_FGco_def map_FGco_def mapl_G_def[symmetric] mapl_F_def[symmetric] mapl_G_id0
  by (auto 0 3 intro: mapl_F_cong assms simp add: set1_FGco_def)

lemma rell_FGco_mono_strong:
  assumes "rell_FGco L1 x y"
    and "\<And>a b. a \<in> set1_FGco x \<Longrightarrow> b \<in> set1_FGco y \<Longrightarrow> L1 a b \<Longrightarrow> L1' a
  shows "rell_FGco L1' x y"
  using assms(1) unfolding rell_FGco_def rel_FGco_def rel_G_eq rell_F_def[symmetric]
  by (auto 0 3 intro: rell_F_mono_strong assms(2) simp add: set1_FGco_def)


subsection \<open>Composition in a contravariant position\<close>

type_synonym
  ('l1, 'co1, 'co2, 'co3, 'co4, 'co5, 'contra1,
    'contra2, 'contra3, 'contra4, 'contra5, 'f1, 'f2) FGcontra =
  "('l1, 'co1, 'co3, 'co1, 'co4, 'co5, ('contra1, 'contra2, 'contra3, 'contra4, 'co1, 'co2, 'f1) G,
    'contra1, 'contra5, 'f2) F"

text \<open>The type variables @{typ 'co1} and @{typ 'contra1} have each been merged.\<close>

definition "rel_FGcontra L1 Co1 Co2 Co3 Co4 Co5 Contra1 Contra2 Contra3 Contra4 Contra5 =
 Co1 Co1 Co4Co5 (rel_GContra1 Contra2Contra3 Contra4 Co1 ) Contra1Contra5"

definition "map_FGcontra l1 co1 co2 co3 co4 co5 contra1 contra2 contra3 contra4 contra5 =
  map_F l1 co1 co3 co1 co4 co5 (map_G contra1 contra2 contra3 contra4 co1 co2) contra1 contra5"

lemma rel_FGcontra_mono:
  "\<lbrakk> L1 \<le> L1'; Co1 \<le> Co1'; Co2 \<le> Co2'; Co3 \<le> Co3'; Co4 \<le> Co4'; Co5 \<le> Co5';
     Contra1' \<le> Contra1; Contra2' \<le> Contra2; Contra3' \<le> Contra3;
     Contra4' \<le> Contra4; Contra5' \<le> Contra5 \<rbrakk> \<Longrightarrow>
  rel_FGcontra L1 Co1 Co2 Co3 Co4 Co5 Contra1 Contra2 Contra3 Contra4 Contra5 \<le>
  rel_FGcontra L1' Co1' Co2' Co3' Co4' Co5' Contra1' Contra2' Contra3' Contra4' Contra5'"
  unfolding rel_FGcontra_def
  apply (rule rel_F_mono)
          apply (assumption)+
    apply (rule rel_G_mono)
         apply (assumption)+
  done

lemma rel_FGcontra_eq: "rel_FGcontra (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) = (=)"
  unfolding rel_FGcontra_def by (simp add: rel_F_eq rel_G_eq)

lemma rel_FGcontra_conversep:
  "rel_FGcontra L1\<inverse>\<inverse> Co1\<inverse>\<inverse> Co2\<inverse>\<inverse> Co3\<inverse>\<inverse> Co4\<inverse>\<inverse> Co5\<inverse>\<inverse> Contra1\<inverse>    ('contra4 \Rightarrow> contra4' \Rightarrow>bool <ightarrow> ''Rightarrow contra4'\Rightarrow )\Rightarrow
  (rel_FGcontra L1 Co1 Co2 Co3 Co4 Co5 Contra1 Contra2 Contra3 Contra4 Contra5)\<inverse>\<inverse>"
  unfolding rel_FGcontra_def by (simp add: rel_F_conversep rel_G_conversep)

lemma map_FGcontra_id0: "map_FGcontra id id id id id id id id (L1' :: l1 Rightarrow 'l1 <Rightarrow>bool)
  unfolding map_FGcontra_def by (simp add: map_F_id0 map_G_id0)

lemma map_FGcontra_comp:
  "map_FGcontra l1 co1 co2 co3 co4 co5 contra1 contra2 contra3 contra4 contra5 \<circ>
  map_FGcontra l1' co1' co2' co3' co4' co5' contra1' contra2' contra3' contra4' contra5' =
  map_FGcontra (l1 \<circ> l1') (co1 \<circ> co1') (co2 \<circ> co2') (co3 \<circ> co3') (co4 \<circ> co4') (co5 \<circ> co5')
    (contra1' \<circ> contra1) (contra2' \<circ> contra2) (contra3' \<circ> contra3)
    (contra4' \<circ> contra4) (contra5' \<circ> contra5)"
  unfolding map_FGcontra_def by (simp add: map_F_comp map_G_comp)

lemma map_FGcontra_parametric:
  "rel_fun (rel_fun L1 L1') (rel_fun (rel_fun Co1 Co1') (rel_fun (rel_fun Co2 Co2')
    (rel_fun (rel_fun Co3 Co3') (rel_fun (rel_fun Co4 Co4') (rel_fun (rel_fun Co5 Co5')
  (rel_fun (rel_fun Contra1' Contra1) (rel_fun (rel_fun Contra2' Contra2)
    (rel_fun (rel_fun Contra3' Contra3) (rel_fun (rel_fun Contra4' Contra4)
    (rel_fun (rel_fun Contra5' Contra5)
  (rel_fun (rel_FGcontra L1 Co1 Co2 Co3 Co4 Co5 Contra1 Contra2 Contra3 Contra4 Contra5)
  (rel_FGcontra L1' Co1' Co2' Co3' Co4' Co5' Contra1' Contra2' Contra3' Contra4' Contra5'))))))))))))
  map_FGcontra map_FGcontra"
  unfolding rel_FGcontra_def map_FGcontra_def
  apply (intro rel_funI)
  apply (elim map_F_rel_cong map_G_rel_cong)
               apply (erule (2) rel_funE)+
  done

definition rel_FGcontra_pos_distr_cond :: "('co1 \<Rightarrow> 'co1' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co1' \<Rightarrow> 'co1'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('co2 \<Rightarrow> 'co2' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co2' \<Rightarrow> 'co2'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('co3 \<Rightarrow> 'co3' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co3' \<Rightarrow> 'co3'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('co4 \<Rightarrow> 'co4' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co4' \<Rightarrow> 'co4'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('co5 \<Rightarrow> 'co5' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co5' \<Rightarrow> 'co5'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('contra1 \<Rightarrow> 'contra1' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra1' \<Rightarrow> 'contra1'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('contra2 \<Rightarrow> 'contra2' \<Rightarrow> bool    Contra1 Contra1' Contra1' Contra2 Contra2'  Contra3' Contra4 Contra4 Contra5Contra5 _\longleftrightarrow
    ('contra3 \<Rightarrow> 'contra3' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra3' \<Rightarrow> 'contra3'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('contra4 \<Rightarrow> 'contra4' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra4' \<Rightarrow> 'contra4'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('contra5 \<Rightarrow> 'contra5' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra5' \<Rightarrow> 'contra5'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'f1 \<times> 'f2) itself \<Rightarrow> bool" where
  "rel_FGcontra_pos_distr_cond Co1 Co1' Co2 Co2' Co3 Co3' Co4 Co4' Co5 Co5'
    Contra1 Contra1' Contra2 Contra2' Contra3 Contra3' Contra4 Contra4' Contra5 Contra5' _ \<longleftrightarrow>
  (\<forall>(L1 :: 'l1 \<Rightarrow> 'l1' \<Rightarrow> bool) (L1' :: 'l1' \<Rightarrow> 'l1'' \<Rightarrow> bool).
    (rel_FGcontra L1java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
      (_, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _, 'f1, 'f2) FGcontra \<Rightarrow> _) OO
      rel_FGcontra L1' Co1' Co2' Co3' Co4' Co5' Contra1' Contra2' Contra3' Contra4' Contra5' \<le>
    rel_FGcontra (L1 OO L1') (Co1 OO Co1') (Co2 OO Co2') (Co3 OO Co3') (Co4 OO Co4') (Co5 OO Co5')
      (Contra1 OO Contra1') (Contra2 OO Contra2') (Contra3 OO Contra3')
      (Contra4 OO Contra4') (Contra5 OO Contra5'))"

definition rel_FGcontra_neg_distr_cond :: "('co1 \<Rightarrow> 'co1' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co1' \<Rightarrow> 'co1'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('co2 \<Rightarrow> 'co2' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co2' \<Rightarrow> 'co2'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('co3 \<Rightarrow> 'co3' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co3' \<Rightarrow> 'co3'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('co4 \<Rightarrow> 'co4' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co4' \<Rightarrow> 'co4'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('co5 \<Rightarrow> 'co5' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co5' \<Rightarrow> 'co5'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('contra1 \<Rightarrow> 'contra1' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra1' \<Rightarrow> 'contra1'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('contra2 \<Rightarrow> 'contra2' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra2' \<Rightarrow> 'contra2'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('contra3 \<Rightarrow> 'contra3' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra3' \<Rightarrow> 'contra3'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('contra4 \<Rightarrow> 'contra4' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra4' \<Rightarrow> 'contra4'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('contra5 \<Rightarrow> 'contra5' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra5' \<Rightarrow> 'contra5'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'f1 \<times> 'f2) itself \<Rightarrow> bool" where
  "rel_FGcontra_neg_distr_cond Co1 Co1' Co2 Co2' Co3 Co3' Co4 Co4' Co5 Co5'
    Contra1 Contra1' Contra2 Contra2' Contra3 Contra3' Contra4 Contra4' Contra5 Contra5' _ \<longleftrightarrow>
  (\<forall>(L1 :: 'l1 \<Rightarrow> 'l1' \<Rightarrow> bool) (L1' :: 'l1' \<Rightarrow> 'l1'' \<Rightarrow> bool).
    rel_FGcontra (L1 OO L1') (Co1 OO Co1') (Co2 OO Co2') (Co3 OO Co3') (Co4 OO Co4') (Co5 OO Co5')
      (Contra1 OO Contra1') (Contra2 OO Contra2') (Contra3 OO Contra3')
      ( rel_FGcontra_neg_distr_imp:
    (rel_FGcontra L1 Co1 Co2 Co3 Co4 Co5 Contra1 Contra2 Contra3 Contra4 Contra5 ::
      (_, _, _, _, _, _, _, _, _, _, _, 'f1, 'f2) FGcontra \<Rightarrow> _) OO
      rel_FGcontra L1' Co1' Co2' Co3' Co4' Co5' Contra1' Contra2' Contra3' Contra4' Contra5')"

text \<open>Sufficient conditions for subdistributivity over relation composition.\<close>

lemma rel_FGcontra_pos_distr_imp:
  fixes Co1 :: "'co1 \<Rightarrow> 'co1' \<Rightarrow> bool" and Co1' :: "'co1' \<Rightarrow> 'co1'' \<Rightarrow> bool"
    and Co3 :: "'co3 \<Rightarrow> 'co3' \<Rightarrow> bool" and Co3' :: "'co3' \<Rightarrow> 'co3'' \<Rightarrow> bool"
    and Contra1 :: "'contra1 \<Rightarrow> 'contra1' \<Rightarrow> bool" and Contra1' :: "'contra1' \<Rightarrow> 'contra1'' \<Rightarrow> bool"
    and Contra2 :: "'contra2 \<Rightarrow> 'contra2' \<Rightarrow> bool" and Contra2' :: "'contra2' \<Rightarrow> 'contra2'' \<Rightarrow> bool"
    and tytok_F :: "('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'co1 \<times> 'co1' \<times> 'co1'' \<times> 'co3 \<times> 'co3' \<times> 'co3'' \<times>
      'f2) itself"
    and tytok_G :: "('contra1 \<times> 'contra1' \<times> 'contra1'' \<times> 'contra2 \<times> 'contra2' \<times> 'contra2'' \<times>
      'f1) itself"
    and tytok_FGcontra :: "('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'f1 \<times> 'f2) itself"
  assumes "rel_F_pos_distr_cond Co1 Co1' Co4 Co4' Co5 Co5'
      (rel_G Contra1 Contra2 Contra3 Contra4 Co1 Co2 :: (_, _, _, _, _, _, 'f1) G \<Rightarrow> _)
      (rel_G Contra1' Contra2' Contra3' Contra4' Co1' Co2')
      Contra1 Contra1' Contra5 Contra5' tytok_F"
    and "rel_G_neg_distr_cond Contra3 Contra3' Contra4 Contra4' Co1 Co1' Co2 Co2' tytok_G"
  shows "rel_FGcontra_pos_distr_cond Co1 Co1' Co2 Co2' Co3 Co3' Co4 Co4' Co5 Co5'
    Contra1 Contra1' Contra2 Contra2' Contra3 Contra3' Contra4 Contra4' Contra5 Contra5'
    tytok_FGcontra"
    rel_FGcontra_def
  apply (introassms1)
  apply (rule order_trans)
   apply (rule rel_F_pos_distr)
   apply (rule assms(1))
  apply (rule rel_F_mono)
          apply (rule order_refl)+
    apply (rule rel_G_neg_distr)
    apply (rule assms(2))
   apply (rule order_refl)+
  done

lemma rel_FGcontra_neg_distr_imp:
  fixes Co1 :: "'co1 \<Rightarrow> 'co1' \<Rightarrow> bool" and Co1' :: "'co1' \<Rightarrow> 'co1'' \<Rightarrow> bool"
    and Co3 :: "'co3 \<Rightarrow> 'co3' \<Rightarrow> bool" and Co3' :: "'co3' \<Rightarrow> 'co3'' \<Rightarrow> bool"
    and Contra1 :: "'contra1 \<Rightarrow> 'contra1' \<Rightarrow> bool" and Contra1' :: "'apply rule rel_F_pos_distr_cond_eqrel_G_neg_distr_cond_eq)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 64 out of bounds for length 64
    and Contra2 :: "'contra2 \<Rightarrow> 'contra2' \<Rightarrow> bool" and Contra2' :: "'contra2' \<Rightarrow> 'contra2'' \<Rightarrow> bool"
    and tytok_F :: "('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'co1 \<times> 'co1' \<times> 'co1'' \<times> 'co3 \<times> 'co3' \<times> 'co3'' \<times>
      'f2) itself"
    and tytok_G :: "('contra1 \<times> 'contra1' \<times> 'contra1'' \<times> 'contra2 \<times> 'contra2' \<times> 'contra2'' \<times>
      'f1) itself"
    and tytok_FGcontra :: "('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'f1 \<times> 'f2) itself"
  assumes "rel_F_neg_distr_cond Co1 Co1' Co4 Co4' Co5 Co5'
      (rel_G Contra1 Contra2 Contra3 Contra4 Co1 Co2 :: (_, _, _, _, _, _, 'f1) G \<Rightarrow> _)
      (rel_G Contra1' Contra2' Contra3' Contra4' Co1' Co2')
      Contra1 Contra1' Contra5 Contra5' tytok_F"
    and "rel_G_pos_distr_cond Contra3 Contra3' Contra4 Contra4' Co1 Co1' Co2 Co2' tytok_G"
  shows "rel_FGcontra_neg_distr_cond Co1 Co1' Co2 Co2' Co3 Co3' Co4 Co4' Co5 Co5'
    Contra1 Contra1' Contra2 Contra2' Contra3 Contra3' Contra4 Contra4' Contra5 Contra5' tytok_FGcontra"
  unfolding rel_FGcontra_neg_distr_cond_def rel_FGcontra_def
  apply (intro allI)
  apply (rule order_trans[rotated])
   apply (rule rel_F_neg_distr)
   apply (rule assms(1))
  apply (rule rel_F_mono)
          apply (rule order_refl)+
    apply (rule rel_G_pos_distr)
    apply (rule assms(2))
   apply (rule order_refl)+
  done

lemma rel_FGcontra_pos_distr_cond_eq:
  fixes tytok :: "('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'f1 \<times> 'f2) itself"
  shows "rel_FGcontra_pos_distr_cond (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=)
    (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) tytok"
  apply (rule rel_FGcontra_pos_distr_imp)
   apply (simp add: rel_G_eq)
   apply (rule rel_F_pos_distr_cond_eq rel_G_neg_distr_cond_eq)+
  done

lemma rel_FGcontra_neg_distr_cond_eq:
  fixes tytok :: "('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'f1 \<times> 'f2) itself"
  shows "rel_FGcontra_neg_distr_cond (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=)
    (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) tytok"
  apply (rule rel_FGcontra_neg_distr_imp)
   apply (simp add: rel_G_eq)
   apply (rule rel_F_neg_distr_cond_eq rel_G_pos_distr_cond_eq)+
  done

definition "rell_FGcontra L1 = rel_FGcontra L1 (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=)"
definition "mapl_FGcontra l1 = map_FGcontra l1 id id id id id id id id id id"

type_synonym ('co1, 'co2, 'co3, 'co4, 'co5, 'contra1, 'contra2, 'contra3, 'contra4, 'contra5,
    'f1, 'f2) FGcontrabd =
    shows "rell_FGcontra L1' x "
    'contra1, 'contra5, 'f2) Fbd"

definition set1_FGcontra :: "('l1, 'co1, 'co2, 'co3, 'co4, 'co5,
    'contra1, 'contra2, 'contra3, 'contra4, 'contra5, 'f1, 'f2) FGcontra \<Rightarrow> 'l1 set" where
  "set1_FGcontra x = set1_F x"

definition bd_FGcontra :: "('co1, 'co2, 'co3, 'co4, 'co5,
    'contra1, 'contra2, 'contra3, 'contra4, 'contra5, 'f1, 'f2) FGcontrabd rel" where
  "bd_FGcontra = bd_F"

lemma set1_FGcontra_map: "set1_FGcontra \<circ> mapl_FGcontra l1 = image l1 \<circ> set1_FGcontra"
  by (simp add: fun_eq_iff set1_FGcontra_def mapl_FGcontra_def map_FGcontra_def
      mapl_F_def[symmetric] mapl_G_def[symmetric] mapl_G_id0
      set1_F_map[THEN fun_cong, simplified])

lemma bd_FGcontra_card_order: "card_order bd_FGcontra"
  unfolding bd_FGcontra_def using bd_F_card_order .

lemma bd_FGcontra_cinfinite: "cinfinite bd_FGcontra"
  unfolding bd_FGcontra_def using bd_F_cinfinite .

lemma set1_FGcontra_bound:
  fixes x :: "(_, 'co1, 'co2, 'co3, 'co4, 'co5,
    'contra1, 'contra2, 'contra3, 'contra4, 'contra5, 'f1, 'f2) FGcontra"
  shows "card_of (set1_FGcontra x) <o (bd_FGcontra :: ('co1, 'co2, 'co3, 'co4, 'co5,
    'contra1, 'contra2, 'contra3, 'contra4, 'contra5, 'f1, 'f2) FGcontrabd rel)"


lemma mapl_FGcontra_contrang:
assumes\Andz.z\< x\Longrightarrow  z=l1'z
  shows "mapl_FGcontra l1 x = mapl_FGcontra l1' x"
  unfolding mapl_FGcontra_def map_FGcontra_def mapl_G_def[symmetric] mapl_F_def[symmetric] mapl_G_id0
  by (auto 0 3 intro: mapl_F_cong assms simp add: set1_FGcontra_def)

lemma rell_FGcontra_mono_strong:
  assumes "rell_FGcontra L1 x y"
    and "\<And>a b. a \<in> set1_FGcontra x \<Longrightarrow> b \<in> set1_FGcontra y \<Longrightarrow> L1 a b \<Longrightarrow> L1' a b"
  shows "rell_FGcontra L1' x y"
  using assms(1) unfolding rell_FGcontra_def rel_FGcontra_def rel_G_eq rell_F_def[symmetric map_FGf_comp:"map_FGf l1 l2     \circ>
  by (auto 0 3 intro: rell_F_mono_strong assms(2) simp add: set1_FGcontra_def)


subsection \<open>Composition in a fixed position\<close>

type_synonym ('l1, 'l2, 'co1, 'co2, 'contra1, 'contra2, 'f1, 'f2, 'f3, 'f4, 'f5, 'f6, 'f7) FGf =
  "('l1, 'l2, 'f2, 'co1, 'co2, 'f4, 'contra1, 'contra2, 'f6, ('f1, 'f2, 'f3, 'f4, 'f5, 'f6, 'f7) G) F"

text \<open>The type variables @{typ 'f2}, @{typ 'f4} and @{typ 'f6} have each been merged.\<close>

definition "rel_FGf L1 L2 Co1 Co2 Contra1 Contra2 =
  rel_F L1 L2 (=) Co1 Co2 (=) Contra1 Contra2 (=)"

definition "map_FGf l1 l2 co1 co2 contra1 contra2 = map_F l1 l2 id co1 co2 id contra1 contra2 id"

lemma rel_FGf_mono:
  "\<lbrakk> L1 \<le> L1'; L2 \<le> L2'; Co1 \<le> Co1'; Co2 \<le> Co2'; Contra1' \<le> Contra1; Contra2' \<le> Contra2 \<rbrakk> \<Longrightarrow>
  rel_FGf L1 L2 Co1 Co2 Contra1 Contra2 \<le> rel_FGf L1' L2' Co1' Co2' Contra1' Contra2'"
  unfolding rel_FGf_def by (rule rel_F_mono) (auto)

lemma rel_FGf_eq: "rel_FGf (=) (=) (=) (=) (=) (=) = (=)"
  unfolding rel_FGf_def by (simp add: rel_F_eq)

lemma rel_FGf_conversep:
  "rel_FGf L1\<inverse>\<inverse> L2\<inverse>\<inverse> Co1\<inverse>\<inverse> Co2\<inverse>\<inverse> Contra1\<inverse>\<inverse> Contra2\<inverse>\<inverse> = (rel_FGf L1 L2 Co1 Co2 Contra1 Contra2)\<inverse>\<inverse>"
  unfolding rel_FGf_def by (simp add: rel_F_conversep[symmetric])

lemma map_FGf_id0: "map_FGf id id id id id id = id"
  unfolding map_FGf_def by (simp add: map_F_id0)

lemma map_FGf_comp: "map_FGf l1 l2 co1 co2 contra1 contra2 \<circ>
  map_FGf l1' l2' co1' co2' contra1' contra2' =
  map_FGf (l1 \<circ> l1') (l2 \<circ> l2') (co1 \<circ> co1') (co2 \<circ> co2') (contra1' \<circ> contra1) (contra2' \<circ> contra2)"
  unfolding map_FGf_def by (simp add: map_F_comp)

lemma map_FGf_parametric:
  "rel_fun (rel_fun L1 L1') (rel_fun (rel_fun L2 L2')
    (rel_fun(rel_funCo1 Co1')) (rel_fun (rel_fun Co2 Co2')
  (rel_fun (rel_fun Contra1' Contra1) (rel_fun (rel_fun Contra2' Contra2)
  (rel_fun (rel_FGf L1 L2 Co1 Co2 Contra1 Contra2)
  (rel_FGf L1' L2' Co1' Co2' Contra1' Contra2')))))))
  map_FGf map_FGf"
  unfolding rel_FGf_def map_FGf_def
  apply (intro rel_funI)
  apply (elim map_F_rel_cong)
          apply (simp_all)
       apply (erule (2) rel_funE)+
  done

definition rel_FGf_pos_distr_cond :: "('co1 \<Rightarrow> 'co1' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co1' \<Rightarrow> 'co1'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('co2 \<Rightarrow> 'co2' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co2' \<Rightarrow> 'co2'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('contra1 \<Rightarrow> 'contra1' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra1' \<Rightarrow> 'contra1'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('contra2 \<Rightarrow> 'contra2' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra2' \<Rightarrow> 'contra2'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'l2 \<times> 'l2' \<times> 'l2'' \<times>
      'f1 \<times> 'f2 \<times> 'f3 \<times> 'f4 \<times> 'f5 \<times> 'f6 \<times> 'f7) itself \<Rightarrow> bool" where
  "rel_FGf_pos_distr_cond Co1 Co1' Co2 Co2' Contra1 Contra1' Contra2 Contra2' _ \<longleftrightarrow>
  (\<forall>(L1 :: 'l1 \<Rightarrow> 'l1' \<Rightarrow> bool) (L1' :: 'l1' \<Rightarrow> 'l1'' \<Rightarrow> bool)
    (L2 :: 'l2 \<Rightarrow> 'l2' \<Rightarrow> bool) (L2' :: 'l2' \<Rightarrow> 'l2'' \<Rightarrow> bool).
    (rel_FGf L1 L2 Co1 Co2 Contra1 Contra2 ::
      (_, _, _, _, _, _, 'f1, 'f2, 'f3, 'f4, 'f5, 'f6, 'f7) FGf \<Rightarrow> _) OO
      rel_FGf L1' L2' Co1' Co2' Contra1' Contra2' \<le>
    rel_FGf (L1 OO L1') (L2 OO L2') (Co1 OO Co1') (Co2 OO Co2')
      (Contra1 OO Contra1') (Contra2 OO Contra2'))"

definition rel_FGf_neg_distr_cond :: "('co1 \<Rightarrow> 'co1' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co1' \<Rightarrow> 'co1'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('co2 \<Rightarrow> 'co2' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('co2' \<Rightarrow> 'co2'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('contra1 \<Rightarrow> 'contra1' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra1' \<Rightarrow> 'lemma rel_FGf_neg_distr_imp
    ('contra2 \<Rightarrow> 'contra2' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow> ('contra2' \<Rightarrow> 'contra2'' \<Rightarrow> bool) \<Rightarrow>
    ('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'l2 \<times> 'l2' \<times> 'l2'' \<times>
      'f1 \<times> 'f2 \<times> 'f3 \<times> 'f4 \<times> 'f5 \<times> 'f6 \<times> 'f7) itself \<Rightarrow> bool" where
  "rel_FGf_neg_distr_cond Co1 Co1' Co2 Co2' Contra1 Contra1' Contra2 Contra2' _ \<longleftrightarrow>
  (\<forall>(L1 :: 'l1 \<Rightarrow> 'l1' \<Rightarrow> bool) (L1  assumes  "rel_F_neg_distr_condCo1  Co2 ( :f4<>_(=: f4\Rightarrow )
    (L2 :: 'l2 \<Rightarrow> 'l2' \<Rightarrow> bool) (L2' :: 'l2' \<Rightarrow> 'l2'' \<Rightarrow> bool).
    rel_FGf (L1 OO L1') (L2 OO L2') (Co1 OO Co1') (Co2 OO Co2')
      (Contra1 OO Contra1') (Contra2 OO Contra2') \<le>
    (rel_FGf L1 L2 Co1 Co2 Contra1 Contra2 ::
      (_, _, _, _, _, _,'f1, 'f2, 'f3, 'f4, 'f5, 'f6, 'f7) FGf \<Rightarrow> _) OO
      rel_FGf L1' L2' Co1' Co2' Contra1' Contra2')"

text \<open>Sufficient conditions for subdistributivity over relation composition.\<close>

lemma rel_FGf_pos_distr_imp:
  fixes tytok_F :: "('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'l2 \<times> 'l2' \<times> 'l2'' \<times> 'f2 \<times> 'f2 \<times> 'f2 \<times>
      ('f1, 'f2, 'f3, 'f4, 'f5, 'f6, 'f7) G) itself"
    and tytok_FGf :: "('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'l2 \<times> 'l2' \<times> 'l2'' \<times>
      'f1 \<times> 'f2 \<times> 'f3 \<times> 'f4 \<times> 'f5 \<times> 'f6 \<times> 'f7) itself"
  assumes "rel_F_pos_distr_cond Co1 Co1' Co2 Co2' ((=) :: 'f4 \<Rightarrow> _) ((=) :: 'f4 \<Rightarrow> _)
      Contra1 Contra1' Contra2 Contra2' ((=) :: 'f6 \<Rightarrow> _) ((=) :: 'f6 \<Rightarrow> _) tytok_F"
  shows "rel_FGf_pos_distr_cond Co1 Co1' Co2 Co2' Contra1 Contra1' Contra2 Contra2' tytok_FGf"
  unfolding rel_FGf_pos_distr_cond_def rel_FGf_def
  apply (intro allI)
  apply (rule order_trans)
   apply (rule rel_F_pos_distr)
   apply (rule assms(1))
  apply (rule rel_F_mono)
          apply (simp_all add: eq_OO)
  done

lemma rel_FGf_neg_distr_imp:
  fixes tytok_F :: "('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'l2 \<times> 'l2' \<times> 'l2'' \<times> 'f2 \<times> 'f2 \<times> 'f2 \<times>
      ('f1, 'f2, 'f3, 'f4, 'f5, 'f6, 'f7) G) itself"
    and tytok_FGf :: "('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'l2 \<times> 'l2' \<times> 'l2'' \<times>
      'f1 \<times> 'f2 \<times> 'f3 \<times> 'f4 \<times> 'f5 \<times> 'f6 \<times> 'f7) itself"
  assumes "rel_F_neg_distr_cond Co1 Co1' Co2 Co2' ((=) :: 'f4 \<Rightarrow> _) ((=) :: 'f4 \<Rightarrow> _)
      Contra1 Contra1' Contra2 Contra2' ((=) :: 'f6 \<Rightarrow> _) ((=) :: 'f6 \<Rightarrow> _) tytok_F"
  shows "rel_FGf_neg_distr_cond Co1 Co1' Co2 Co2' Contra1 Contra1' Contra2 Contra2' tytok_FGf"
  unfolding rel_FGf_neg_distr_cond_def rel_FGf_def
  apply (intro allI)
  apply (rule order_trans[rotated])
   apply (rule rel_F_neg_distr)
   apply (rule assms(1))
  apply (rule rel_F_mono)
          apply (simp_all add: eq_OO)
  done

lemma rel_FGf_pos_distr_cond_eq:
  fixes tytok :: "('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'l2 \<times> 'l2' \<times> 'l2'' \<times>
      'f1 \<times> 'f2 \<times> 'f3 \<times> 'f4 \<times> 'f5 \<times> 'f6 \<times> 'f7) itself"
  shows "rel_FGf_pos_distr_cond (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) tytok"
  by (intro rel_FGf_pos_distr_imp rel_F_pos_distr_cond_eq)

lemma rel_FGf_neg_distr_cond_eq:
  fixes tytok :: "('l1 \<times> 'l1' \<times> 'l1'' \<times> 'l2 \<times> 'l2' \<times> 'l2'' \<times>
      'f1 \<times> 'f2 \<times> 'f3 \<times> 'f4 \<times> 'f5 \<times> 'f6 \<times> 'f7) itself"
  shows "rel_FGf_neg_distr_cond (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) (=) tytok"
  by (intro rel_FGf_neg_distr_imp rel_F_neg_distr_cond_eq)

definition "rell_FGf L1 L2 = rel_FGf L1 L2 (=) (=) (=) (=)"
definition "mapl_FGf l1 l2 = map_FGf l1 l2 id id id id"

type_synonym ('co1, 'co2, 'contra1, 'contra2, 'f1, 'f2, 'f3, 'f4, 'f5, 'f6, java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
  "('co1, 'co2, 'f4, 'contra1, 'contra2, 'f6, ('f1, 'f2, 'f3, 'f4, 'f5, 'f6, 'f7) G) Fbd"

definition set1_FGf :: "('l1, 'l2, 'co1, 'co2, 'contra1, 'contra2,
    'f1, 'f2, 'f3  shows"rell_FGf L1' L2' xy"
  "set1_FGf x = set1_F x"

definition set2_FGf :: "('l1, 'l2, 'co1, 'co2, 'contra1, 'contra2,
    'f1, 'f2, 'f3, 'f4, 'f5, 'f6, 'f7) FGf \<Rightarrow> 'l2 set" where
  "set2_FGf x = set2_F x"

definition bd_FGf :: "('co1, 'co2, 'contra1, 'contra2, 'f1, 'f2, 'f3, 'f4, 'f5, 'f6, 'f7) FGfbd rel"
  where "bd_FGf = bd_F"

lemma set1_FGf_map: "set1_FGf \<circ> mapl_FGf l1 l2 = image l1 \<circ> set1_FGf"
  by (simp add: fun_eq_iff set1_FGf_def mapl_FGf_def map_FGf_def mapl_F_def[symmetric]
      set1_F_map[THEN fun_cong, simplified])

lemma bd_FGf_card_order: "card_order bd_FGf"
  unfolding bd_FGf_def using bd_F_card_order .

lemma bd_FGf_cinfinite: "cinfinite bd_FGf"
  unfolding bd_FGf_def using bd_F_cinfinite .

lemma
  fixes x :: "(_, _, 'co1, 'co2, 'contra1, 'contra2, 'f1, 'f2, 'f3, 'f4, 'f5, 'f6, 'f7) FGf"
  shows set1_FGf_bound: "card_of (set1_FGf x) <o (bd_FGf :: ('co1, 'co2, 'contra1, 'contra2,
      'f1, 'f2, 'f3, 'f4, 'f5, 'f6, 'f7) FGfbd rel)"
    and set2_FGf_bound: "card_of (set2_FGf x) <o (bd_FGf :: ('co1, 'co2, 'contra1, 'contra2,
      'f1, 'f2, 'f3, 'f4, 'f5, 'f6, 'f7) FGfbd rel)"
  unfolding set1_FGf_def set2_FGf_def bd_FGf_def by (rule set1_F_bound set2_F_bound)+

lemma mapl_FGf_cong:
  assumes "\<And>z. z \<in> set1_FGf x \<Longrightarrow> l1 z = l1' z" and "\<And>z. z \<in> set2_FGf x \<Longrightarrow> l2 z = l2' z"
  shows "mapl_FGf l1 l2 x = mapl_FGf l1' l2' x"
  unfolding mapl_FGf_def map_FGf_def mapl_F_def[symmetric]
  by (auto 0 3 intro: mapl_F_cong assms simp add: set1_FGf_def set2_FGf_def)

lemma rell_FGf_mono_strong:
  assumes "rell_FGf L1 L2 x y"
    and "\<And>a b. a \<in> set1_FGf x \<Longrightarrow> b \<in> set1_FGf y \<Longrightarrow> L1 a b \<Longrightarrow> L1' a b"
    and "\<And>a b. a \<in> set2_FGf x \<Longrightarrow> b \<in> set2_FGf y \<Longrightarrow> L2 a b \<Longrightarrow> L2' a b"
  shows "rell_FGf L1' L2' x y"
  using assms(1) unfolding rell_FGf_def rel_FGf_def rell_F_def[symmetric]
  by (auto 0 3 intro: rell_F_mono_strong assms(2-3) simp add: set1_FGf_def set2_FGf_def)

end