Quelle  Valuation2.thy

(**        Valuation2  
                            author
                            Group You Santo
                            Department of Mathematics
                            Nihon University
                            
                            June 24, 2005
                            theory java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

   chapter 1 elementarypropertiesof  valuation
     section 8. approximationcontinued
    
   **)

theory Valuation2 
imports Valuation1
begin

lemma (in Corps) OstrowskiTr8:"[valuation K v; x ∈ carrier K;
      0 < v (1_r ± - ==>
      < 0(\^sub>r ±\<^uba _K
apply (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ingisag[o "K]
apply(ulef"K""x"] assumption+,
       frule Ring.ring_one[of "K"],
       frule(case_tac "x =1_KK]
       aGroupg_p_closd[f" 1<ubsub       simpadd_r_inv1ingtimes_x_0
applycase_tacx=1       fruleofassumption
        add:aGroup.ag_r_inv1 invf_one, simp add.ring_r_one
       simp:aGroup, cut_tacval_field_1_neq_0,
       cut_tac invf_onefrule aGroup[of "1_<^sub>r ± -\^sub>a x)], assumption+,
       simp add:aGroup.ag_r_inv1, simp add:Ring.rig_times_,
apply (f aGroup.ag_pOp_closed[of K "<sub<><subr (1_plusminus -_] assumption+ 
       rule Ring.ring_tOp_closed invf_one simp add.ring_r_one
 apply(cut_tacinvf_closed java.lang.NullPointerException

 ruleirn_tOpcose, supion)
java.lang.NullPointerException
 apply (rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+,
        rule aGroup.ag_mOp_closed,
        ssumption+
        thin_tac "1<[ubstClose
        (thin_tacr ± -_\<^sub>r (1🚫 ±_\^>r ±a x))^{=
        subgoal_tac "1_r ±<s> x^Suc (Suc 0))_r ±_r ± -_\<hyphen> K}
        simp del:npow_suc,
        thin_tac 1\^>r ±a x^^{>= (1_r ±_r ±a x)"})
 apply (subst val_t2p[of v], assumption+,
        rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+,
        substvalue_of_inv[of1 \>^r (1 -_CHANGED distinct_subgoals_tac›, assumption+)

 apply (rule contrapos_pp, simp+,
        fruleing_tOp_closed^ubr ± -_a x)"], assumption+,
        simp add:aGroup.ag_pOp_commute[of K "1_]
        frule_[fv umption
        ssumption,assumption
 apply        subst\^> ± x ⋅_r ± -_CHANGED distinct_subgoals_tac›, assumption+)
        frule eq_elems_eq_val[of " <>_a x ±r)" "-_r" v],
        thin_tac "x ⋅r"],
        simpupfK <><suba x ±r)" "- ingassumption
        apply assumptiontionulep_closededon
               frule aadd_pos_poss[of "v x" java.lang.NullPointerException
               simp,
               subst value_less_eq[THEN sym, of v "thin_tac_plusminus 1_a 1java.lang.NullPointerException
               assumption+,
               rule RingOp_closedinglose
               ,
                dd_pos_possjava.lang.NullPointerException
               simp add:value_of_one,
               cut_tac,
                simp add:aadd_0_r, rule val_axiom4, assu+)
   (subRing.ring_distrib2,, assumption+, simp add:Ri
         subst Ring.ring_distri1,asupt+,sm ad:Rn.in_
         substaGroupsimp a ad:aad__r, rva_axm,assumptin+
         rule Ring.ring_tOp_closed, assu+,
         simp add:aGroup.ag_l_inv1 aGroup.g_r_zero
        subst Ring.ring_inv1_2, assumption+, simp, assumption+)

 apply simp

apply (rule contrapos_pp, simp+,
       frule Ring.ring_tOp_closed[of K x "(1       frule[ofx \cdot\^ubsubst,sumption
        dd1java.lang.NullPointerException
       uleym_a x ± 1_a 1java.lang.NullPointerException
       assumption+, rule aGroup.ag_mOp_closed,assumption
 lyaddpag_inv_inv_of<sub,
        frulefrule,  \cdot^> (-_\^r-^> x ± 1<sub<>🚫sub>r"],
        simp addalmis_eq value_ofoe
        simp add:val_mapply (smpadvaltp,
        simp add:val_t2p,
        frule aadd_pos_poss[of "v x" "v (-_a x ±r)"], assumption+,
        simp)
done

lemma ( sip adva_minus_eq value_of_one,
                  ad:a_
apply (subgoal_tac "1_substjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
apply acring_is_ag
       Groupsed ssumption
       eing
       fruleclosed
       subst up^>" "-<               value_of_one
       java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 37 out of bounds for length 37
apply simp
 apply (rule aGroupadd_0_r eal_axiom4xiom4
        Ringg_tOp_closedsumption
(* 
 pplyrulecontrapos_ppntrapos_ppsimp
        ruleegring_tOp_closedfK(\subr \plusminus> -^suba x)"], assumption+) apply (
       simp add:              roup_closed umption
       frule aGroup.ag_eq_diffzero[THEN sym, of K "x \<cdot>\<^sub>r (-\<^sub
       apply (rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+,
              (mpddGroupg_pOp_commute1<^r
       apply (simp add:aGroup.ag_inv_inv)
       lyulessumption,ruleGroupoup._Op_closedclosedosed sumption
        thin_tac "x \<cdotapply elems_eq_val"\>\r -<subax\plusminus> 1\<^sub>) ^> 1^>r" v],
simpminus_eqalue_of_one
       ddl_t2pjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 25 out of bounds for length 25
         ( add:aadd_commute[of "v x" "v<^b  <plusminus>1<subr"
       apply cut_tacaadd_pos_possof "v (-\<subax \> 1\^>r) v x", simp)
        (simp :val_minus_eq[THENsym, of java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 54 out of bounds for length 54
        substaGroupag_pOp_commute, assumption+)
               contrapos_pp,simp+,
       apply (simp add:aless_imp_le, assumption) *)
 apply (stalue_of_inv "1\^su>r \plusminus> x ⋅r ±
        rule aGroup.g_ assumpt+,
               rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+,
        frule ap (simp add:aGroup.ag_pOfruleRringt[oK x "1\^ubr < -
        mpe impd:minus_eq
         ubstless_eqeqym "1_r ± - aGroup.ag_mOp_clo, assumption+,
           assumption+, rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+,
           simp add:value_of_one, subst val_t2p, assumption+,
           subst aadd_commute,
       rule aadd_pos_poss[of "v (1_a x)" "v x"],
       simp, assumption, simp add:value_of_one,
        mp ad:va_minuss_eq value_of_one,
apply (cut_truleGopa_mOp_closd ssumpt
       frule Ring.ring_one,
       rule con, simp+,
        gri_o x(1\^> ±
        aGroup.ag_pO, assumption+,
       rule aGroupsubs aGrou.ag_pOp_commute, assumption+,
       frule aGroup.ag_mOp_closed[of x,,aa+)

java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 3 out of bounds for length 3
frule.ag_eq_diffzerTHEN sym, of K "x \dot_r)" "-java.lang.NullPointerException
       simp add:aGroup.ag_pOp_commute, 
      Group
       simpval_t2p
              _eq_val <dot\
>^a x ± 1java.lang.NullPointerException
        simp add:val_minus_eq value_of_one,
        rule_tacaGroupg_pOp_closedd[fK -       ruleing,
        simp
 ( addx \cdot^sub\^ub -_"java.lang.NullPointerException
         cut_tac        Ring_,
         substruleapos_pps_pp,simp+java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 32
         subst value_less_eq[THEN symofp,
         simp:value_of_one val_minus_eq addaGrouppOp_closedumptionion,
   
 applyjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 17 out of bounds for length 17
done

lemma ( Corps:"[ carrier K;
       ¬ 0 ≤, .ag_of "K
pplyuletrowskiTr6v x]sumption
       cut_tac invf_closed1 dddnt_0     fruleaGrouperoym x <>sub -<^>a x 🚫
uleonjE addeg_lefruleal_neg_nonzero" ",java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 73 out of bounds for length 73
       ( conjE assumption java.lang.NullPointerException
applyt_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[of "K"],
        Gou.gmO_osdo "K" ""], assumptn+
        Ring.ring_o ""],
        aGroup.ag_pOp_closed[of rotate_t -1
       subst val_t2p, assumpt)
apply (subst valueof_in[of "v"1^>r<plusminusxcdotsub^>r±a x)"],
       assumption+, subst aGroup.ag_pOp_commute[of "K" "1 0"inforl_sec sm,
       ue Ring.ring_tOp_cosed smpton+,
       substvlroupagpp_comt asump+,
                                      \^s>r (1_a x)" java.lang.NullPointerException
apply (rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+, simp add:value_of_one,
       frule one_plus_x_nonzero[of "erule bexEassumption
       simp add orps OstrowskiTr10<>valuationv; x\incarrier K; 
2p[f "v" ssumptiondd_two_negg

apply (simp         [java.lang.NullPointerException
        thin_tac "<notv_equiv  (v Sucvv)",
       simp add:value_of_one, simp add:val_minus_eq,
       simp add:val_minus_eq, simp add:aGroup.ag_pOp_commute[of "K" "- (cut_tacrulegofK]
        val_nonzero_zv"x" assumption exE
       simp add Ring[of]
       )
done

n)Ostrowski_firstjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 60 out of bounds for length 60
         java.lang.NullPointerException
 apply (simp Ringring_tOp_closedassumptionale_neq_lessassumptionjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 52 out of bounds for length 52
        cut_tac, (erule),
        simpassumption ale_neq_less+) 
 apply (rotate_tac, 
        frule_tac norall_spec        mprowski_elem_defdef
        rotate_tac -1,
        drule_tac   (ut_tac Ring "",
frulelus_x_nonzerononzerorov" "-^b>a ],ssumptionon
1,
        drule_tacassumptionneq_lession
 applytac,simp
ca Suc"in, simp
        frule_tac v    apply assumption     
,
         erule bexE) 

 apply (erule conjE
        frule_tacval_nonzero_z
        nonequiv_ex_Ostrowski_elem addzpz, simpant_0] aless_zless
        erule,
        thin_tac "¬ K (uc v
         "<> v_equiv K( 0) (vv 0)

 apply
                          lines *) 
 apply ( conjE
        frule_tac x = t and n = n and = vv restrict_vals_nonequiv2
apply         a ="compose {{h. h ≤
       frule_tacdr "       frule_tacinpecp
       assumptiondrule_tac "Suc0"" in foal_pec, ip
applyleconj, ssumption)

 apply ful x = s and y= t n Ring.rn_tOp_closed[o ""]s+,
       assumption+,rul ale_e_lss, s, assumption+)
 pply(fruetcs = vv and s= s anddd t t in OstrowskiTr5,asssumtion+)

 apply (subgoal_tac "t \(** case * * * **)
        simp only:Ostrowski_elem_def0\le (vv ) 
        frule_tac " ( n) an m = " (Suc and=vjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 72 out of bounds for length 72
       (* Here simp add:nset_m_m[of "Suc 0"] wouldn't work *)+,
 apply (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[oferulexE
        rule Ring.ring_tOp_closedssumption
        frule_tac s = s and)                ,mp
        ssumptioness+
        (t \cdot<^sub
   t_tac v ="vv0 inval_neg_nonzero, assumption+)+)
    apply assum (* in the above two lines, simpwouldn't work *)
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 4

(** subsection on inequality **)

lemma(inC) Ostl thin "vals_nonequiv(Succompose hh≤
                        \existsx<>arrier K. Ostrowski_elem K (Suc x)"
apply (induct_tac n,
 rule allI, rule impI, simp add:Ostrowski_first)
(** case (Suc n) **)
 apply (rule allI, = "Suc n) and=vv 0n
       frule_tac n = n and simp        v=v"and x = t in
       frule_tac n = n and vv = vv in restrict_vals_nonequiv2,
       frule_tac a = "compose
        assumption
       drule_tac= "compose {h. h ≤)" forall_spec
         + rule 
apply (rename_tac s ndsimpompose_def_ kip_def
       cut_tachin_tac \le ( ((uc0) s),
(**  case * * *  **)
 apply (frule_tac x =                    (ompose (Suc n)} vv (skip (Suc 0))) s,
        case_tac< vv (Suc 0) s ∧
        frule_tac vv = vvsimp (cut_tacx "s <> t i infcc, s, , bl
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 60 out of bounds for length 12


 (** case * * * **)
apply (simp,,
       case_tac "0 ≤vv 0"and x = t iin
       frule_tac n = "Suc allIruleimpIassumption
         vals_nonequiv_valuationj=j andin+,
       simp
       tac="vv ( (Suc (Suc 0))" and x = t in OstrowskiTr6
         assumption
       frule_tac n = nand vv vv in
       frule_tac x = tand1<sub t ⋅r1subr ±a t))java.lang.NullPointerException
g.ing_tOp_closedOp_closedmp
apply (subgoal_tac,(erule)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 37 out of bounds for length 37
                       (t ⋅)
       )
applyubst
       rule ( {h. h <> ption
       thin_tact
         (compose {h. h ≤
       thin_tac "vals_nonequiv K (Suc n)
         (compose {h. h ≤ . h le>S }v (sip 2)) "
       thin_tac "vals_nonequiv K (Suc n) (compose {h. h≤
       thin_tac "0 <        subgoal_tac
        n ="Suc(Suc n)" and = vvandm =0in
                      luation simp,
       rule_tac" "d =tin
          OstrowskiTr8, <cdot<^sub>r (1_a s)" i invf_closed1, simp,

applyfrule_tac x = x = t an ply ( (rrule cconjI)
        "∀Suc.
              ( {h. h ≤Sucvv
       simp add:compose_def skip_def,
       rule,
       thin_tac "0 \<       (
       thin_tac "Ostrowski_elem K (Suc n) 
                    composeh.h \le (Suc n)} vv (skip (Suc 0))) s",
       frule_tac n = "Suc Suc n) and vv = vv and m = j in 
                     vals_nonequiv_valuation,
       simp, simp" K(un)
 (** case * * * **)
 apply (c(
         x = " 0 bspecthin_tac "vals_nonequiv K (Su n)
        simp add:nset_def,
        simp add:compose_def skip_def,
        rule_tac v = "vv (Suc 0)" and x = t in
         OstrowskiTr9, assumption+,
        frule_tac j = j and =n nnseTr5,asuptin+
        drule_tac x = "j - Suc     rule_tac j" and x == s iin OstrowskiTr9,,
        simp add:compose_def skip_ruln = " (Sucn" an vv = v and m = 0 in  
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [46, 20) out of bounds for length 20
applycase_tac"c0" ) apply (
       rule_tac v = "vv (Suc (Suc 0))"erule exE,, simp, simp add:asprod_amult a_z_z,,
       assumption+) apply(
       subgoal_tac "java.lang.NullPointerException
       rule_tac "vv and x = = t in
                    OstrowskiTr9) apply (simp add:nset_def, assumption+) rule Ring.npClose, assumption+, rule Ring.ring_tOp_closed[of "K] 
applye_tacdrulemp
       thin_tac 0 (a ⋅K m (1> ± -₎ = vv 0 (a ⋅^esup)")
         (compose {h. h \<lethin_tac0 xx"assumption
       ac K ( n0 < (ompose {h. h \le (Suc}vvskip 0)jsjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 70 out of bounds for length 70
                   composeh \>(Suc n)} vv (kip
       thin_tac Ostrowski_elem 
                   (compose {h. h ≤
 apply (subgoal_taccdotsub ((1_r ±<^sub1<sub<>_K rrier
        subgoal_tac "Ostrowski_elem K (Suc (Suc n)) vv
                            s \cdot>_r \<lusminus 
 prefer2\<> vv j ((1_"v j"d  sn rowskiTr9
 apply (frule_tacfrule[of"" "x],asumpin+
        
    frule_tacv vv (Suc 0 0)"andwskiTr6assumption           le.efK"],
     rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+,
     frule_tac x = 1 ± s ⋅r (1_a s)" in invf_closed1,
    simprowski_elem_def_ef
apply (rule conjI
apply (rule_tac v = "vv 0" and x = s in (inorpsnonzero[ in vals_nonequiv_valuationn "vv",
       simp add:vals_nonequiv_valuation, assumption) 
       apply (
        "vals_nonequiv K Suc (Sc n)))) vv"
       ( conjE
       java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
             <mpose\> (Sucip)s"
       simp add:compose_def skip_def, rule ballI)
 (** case *** *** **)
  (as "  0"imp
     rule_tac v = "vvsimpOstrowski_elem_deft_def
     simp  (mprotate_tac
     rule_tac v     simpasprod_n_0
     simp add:vals_nonequiv_valuation
     \oralll>2\le>m<longrightarrow 0 plusminus - ^supplusminuscdot>r(x^<> <esup)) = 1"
     frule_tac j = j in nse<>crrie K;
     ule_tacx = "j - 0in,assumption+
 apply (simpfruleng_oneK"",
donerule⋅esup)) = vv j aa + (int m) *   )"

lemma (in Corps) val_1_nonzero:"[( Ostrowski_elem_nonzero "n" "vv""x",
                               x ≠ 0"
applyrule ecntaos_p, im+,
       simp add:value_of_zero,
       rotate_tac 3, drule sym, simp only:ant_1[THE[THEN sym],
       imp de:at_1
done

lemma (in Corps) Approximation1_5Tr1:"[ "vv ""a"],assumptionval_exp_ringmsumption+p
 
Ostrowski_elem. "" assumption
        <>m>carrier
apply (cut_tac, frule.ring_is_ag Ostrowski_elem(Suc vv;j \in> nset 0) Sucrbrakk<Longrightarrow
       frule.ring_oneK"
       rule allI, rule impI,
       vals_nonequiv_valuationo " " vv 0"java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 58 out of bounds for length 58
       ,
       simp add:Ostrowski_elem_def, frule conjunct1, fold Ostrowski_elem_def,
       frule[ofthin_tac>. vv \cdot  a+int*\^>a vv x")
apply (frule valref 2
       ulevlnoneo_onnf[f vv 0""a" ssumption
       frule[f "vv 00""x",ssumption
       frule_tac n = m in  nals_nonequiv_valuation n" ""],
        aGroup.ag_mOp_closed[of "K 
       fruleal_nonzero_z j"rule Ring.npClose, assu+,simp add: val_tpp,
apply (subgoal_tac "0 < m",
       frule_tac x = "a ⋅_add:Ostrowski_elem_def
       value_less_eq[of " drule_tac x = j in bspec, assu)
        rl igigtplsed, asupi+
       (kemfuetc =m iRgnZro_ub[f""], sim,
        value_zero_nonzero[of "v0"x",assumption
       simp a =za x   zin zmult_pos_bignumTr
apply case_tac^>
       frule_tacjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 6 out of bounds for length 6
       simpuc nset (Suc 0) (Suc n)]
apply (cut_tacexistsl. ∀ vv j ((1^subr ± -_K m a ⋅r (x^^{) = 0"
apply (otate_ -1, drule not_sym,
      frule aGroup.ag_neq_diffnonzero[of "K" simpadd:nset_de,
      simp add:Ring.ring_on[of "",asmton,smp
      simp add:val_exp_ring[THEN sym],
      cut_tac n1 = m in of_nat_0_less_iff[THEN sym])
apply (cut_tac a = "0 < m" b = "0 <int,
       assumption)
apply (thin_tac "(0 < m) = (0 < int m)",
      frule val_nonzero_z[of "vv 0" java.lang.NullPointerException
      ulel , im, im ad:spr_amult _zz,
      simp only:ant_1[THEN sym], simp r ± -_K m}_K m

apply (subst aGroup.ag_pOp_commute[of "K"], assumption+,
       rule Ring.npClose, assumption+, rule Ring.ring_tOp_closed[of "K"],
       assumption+,
       rotate_tac -1, drule sym, simp,
       thin_tac "vv\cdot<sub<bsup> ± (1 -_K m_K m
apply (simp add:val_t2paGroup
       frule value_zero_nonzero_p_closed
       simp add:val_exp_ring[THENClosemption
       mp
       cut_tac z = m inumption
done

lemma (in Corps) Approximation1_5Tr3:"<> K (Suc n) vv;
      x ∈ carrier K] \\Lo>
        <o> vv j ((1_r ± -_a x)^ ^m
apply (frule Ostrowski_elem_not_one[of "n" "vv" "x"], assumption+,
       cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[of "K"],
       frule Ring.ring_one(vv j (1<br\plusminussub>a x)^^{m in a_b,simp,}
       frule aGr(0 =(0 < m)"
applyadd simp:,
       frule_tac m = j in vals_nonequiv_valuation" "vvSuc
       ,
       frule_tac onlyant_1 frule[ "Suc 0"""""] simp
        [THEN], assumption

apply (frule_tac
       value_less_eq, assumption+,(rulemption RingK]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 74 out of bounds for length 74
 apply(simp          assumption,
       simp exE,
apply (simp add:value_of_one, rotate_tac -1 (simp:val_t2p
        add)
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 4 out of bounds for length 4

lemmaCorps>K( n) vv
     aa ∈
     Ostrowski_elem exE
     vv j (aa>  ((1\subr ±K m
applyacvv (<subplusminusa x)^<)\ a 🚫]
                                          assumption+,
       cut_tacfrule_tacals_nonequiv_valuationvaluationion  " "],
apply (frule_tac m = j inrule_tac  vvand= 1<^ubr \> <>a
apply (substval_t2p[f  j and x  1\sub"and y = "-^uba x" in
       rule Ring.ap (frule alof "Suc""vv] mpply
        d_is_idommjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 29 out of bounds for length 29
       frule_tac v1 = "vv j"       add_)
       
done

lemma (in Corps:"\lemma a nd x x in ppoxatin15[f "n" ""
     a ∈
     Ostrowski_elem K (Suc n) vv x; j \<inximation1_5Tr7
java.lang.NullPointerException
apply (frule Ostrowski_elem_nonzx.coboude1of "java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 53 out of bounds for length 53
              assumption
      simp field_is_ring Ring "K"])
      thin_tacn. vvj (a <cdotrx^^sup) = vv j a + int n *java.lang.NullPointerException
prefer
apply (rule" "x1n1in
         assumption+, simp add
apply (frule_tac j in (norps pproximation1_5Tr5\lbrakk> K (Suc)vv 
       simp:nset_def,, frule.ring_is_ag "K"]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 60 out of bounds for length 60
       fruleof" """,+, erule,
       simp add:Ostrowski_elem_def add.ag_mOp_closed Ring, assumption
        conjunct2 Ostrowski_elem_def
       drule_tac x = j in bspec, assumption
applyfrule_em_nonzero"vv"x"] assumption+,
       frule val_nonzero_z[of "vv( addZset_def) 
       frule_tac a = za and thin_tac>. vv j (a ⋅r x^java.lang.NullPointerException
       simp dd _zpz
done  

lemma (in Corps) Approximation1_5Tr6:"\ Cps)tanpsvasnnequv"lbrakkvals_nonequiv K (Suc n) vv
      a ∈<> \zero<> rrier
      Ostrowski_elem K (Suc n) vv x; j ∈simp add
        ∃
apply (fruleja",,
       simp add:nset_def,
       frule Approximation1_5Tr5[of "n" "vv" "a" "x" "j"],
               assumption+, erule exE,
       cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[of "K"],
       subgoal_tac "∀
        j(\^b <usminusa x)^ ^m)")
 apply (simp add:Approximation1_5Tr3, blast)
 apply (rule allI, rule impI,
        drule_tac a = m in forall_spec, assumption,
        frule_tac x = "(1_r ± -_a x)^ ^m₍^\^bsup>K m
           value_less_eq 
        rule Ring.npClose, assumption(ase_tac", si add:transpos_eq)
        rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+, simp add:Riapply (cut_tax = ja in transpos_id_1[of 0 "Sucassumption
        simp add:aGroup.ag_mOp_closed)
 apply (rule Ring.ring_tOp_closed(ruleempI
        rulej=0", simp ddtrnposeq
        simp add:Approximation1_5Tr3,
        frule sym, assumption)
done

lemma (in Corps) Approximation1_5Tr7:"[a ∈ carrier K; vv 0 a = 1; 
      x \in carrier\rbrakk>==>
      vals_nonequiv K (Suc n) vv  ∧ Ostrowski_elem K  apply l=ja transpos_mem ""Suc]simp
      (∃transpos_mem n" "j"], simp, assumption+,
                 j ((1 -_K m ±_K m
apply (induct_tac imp, , suptin, ul osy, supton)
       rule impI, erule conjE, simp add:nset_m_m[of "Suc 0"],
       frule vals_nonequiv_valuation[of "Suc 0" "vv" "Suc 0"], simp,
       frule Approximation1_5Tr6[of "0" "vv" "a" "x" "Sucsumption
apply (frule(‹)›
       nonzero[of"v0 "a" smpio+,sim ad:nse_de,
        (OstroK n ( <> (\tau\bj<es)
(** case n **) 
apply (rule impI, erule conjE,
       frule_tac n = n in restrict_vals_nonequiv[of _ "vv :: "[_, nat \Rightarrow 'b ==>Righ> (nat ==> 'b)" where
       frule_tac n = n in restrict_Ostrowski_elem[of "x"  _ "vv"],
          assumptionmp
       erule exE <and (∀nset (Suc 0) n. ((vv\circ><^bsub>0 j
       frule_tac n = "Suc
        of _ "vva "", assumption
       frule_tac      Ostrowski_base K  (Sucin{h. h ≤ (Suc n)} →
        "0"],simp,
       rule val_1_nonzero[of "vv 0" cut_tac
       simp
apply (erule exE,
       subgoal_tac "∀
          j ((1 -_K m a ⋅r (x^^{) = 0)"},
       blast,
      simp add:nset_Suc)
done   

lemma (in Corps) Approximation1_5P:"[vals_nonequiv K (Suc n) vv;
    n_val K (vv 0) = vv 0]frule Ostrow[of "n" "vv
    ∃x∈
apply (frule vals_nonequiv_valuation[of "vv ""] sim) apply (
       frule n_val_surj[of "vv 0"], erule bexE) apply (
       rename_tac aa) apply (
       cut_tac n = n in Ostrowski) apply (
       drule_tac a = vv in forall_spec[of "vals_nonequiv K( n)"], simp)
  apply (
       
       frule_tac Suc n] ==> _{j ≠ 0}
       assumption+,
       simp, assumption+)
apply (frule_tac a = aa and x = x in Approximation1_5Tr7[of _ "vvassumption
       simp,       cut_tacn"
       simp, erule exE,
       cut_tac b = "Suc rule, blast
       cut_tac b =Suc max[of 2],
       cut_tac n = l in lessI,       erule conjE)
       rule_tacland l" and z = " 2 (Suc
         less_le_trans, assumption+,
       thin_tac "Suc l ≤ max 2 (Suc l)", thin_tac "l < Suc l",
       drule_tac a = "max 2 (Suc l)" in forall_spec, simp
       drule_tac a = "max 2 (Suc l)" in forall_spec, assumption) 
 apply (subgoal_tac "(1 -_K (max 2 (Suc l)) aa ⋅r (x^ <sup>∈
       carrier K",
       blast,
       cut_tac, frule.ring_is_ag "K",
       rule j = ja transpos_vals_nonequiv "n""vv"
       rule
       simp strowski
       rule Ring.npClose ∘0 jaassumption+ 
done

lemma K_gamma_hom:"k ≤someI2 blast,
apply (simp add:Zset_def)
done

lemma transpos_eq:"(τjamp_qof
by (simp add:transpos_def)

lemma (in Corps) transpos_vals_nonequiv:"[
cut_tacspos_ij_2o0"Suc"], simp,simp+)
apply (simp add:vals_nonequiv_def)
 apply (frulconjunct1, fold vals_nonequiv_def))
 apply (simp add:valuations_def, rule conjI)
 apply (rule allI, rule impI)
 apply (case_tac "ja = 0", simp,
        case_tac "j = 0", simp add:transpos_eq)
 apply subst tra transpos[of "0" "Suc"j], simp, asumption++,
        rule not_sym, assumption, simp)

 apply (case_tac "ja = j", simp)
 pply (su(subst transpos_of "0" "Suc"j", simp, assumption simp,
        simp add allIrule impIjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 28 out of bounds for length 28
 apply ( "j = 0", simp:transpos_eq
 apply (cut_tac Approximation1_5P "n" "vv"], simp
        rule, assumption
 apply (simp add:vals_nonequiv_valuation (frule_tacj =k intranspos_vals_nonequiv[of "n" "vv"],
        (rule allI,rule impI)+rule)
 apply (case_tac "j = 0", simp add vv "vv ∘0 k</sup> Approxof "n"])
        simp add:vals_nonequiv_def,
         subst t transpos_ij_1[of 0 " n" k], simp+)
 apply (frulex = ja and y = l in injective[of " 0 j"
                       .j\le Su n)"simp
 apply (cut_tac l = ja in transpos_mem" "Suc n" "j", simp,, assumption+,
        simp, assumption,
       cut_tac l = l t[of "0" "Sucn" "j"], simp, as, assumption+,
        simp, assumption)
 apply (simp add:vals_nonequiv_def,
        simp, assumption, rule not_sym, assumption)
done

definition
  Ostrowski_base :: "[_  ==> ant, nat] ==> '
                             (<>(<Omega_ _ _ [90,90,91]90) where
  "Ostrowski_base K vv n = (λj∈{h. h ≤
                            (Ostrowski_elem K n (vv ∘ (τ, ipd:set_e assuptin

definition
  App_base :: "[_,        roximation1_5P ∘0 j
  "App_base K vv nn = (\lambdaj\<n{. h ≤ n}. (SOME x. x∈ (((vv ∘ _{0 x}
                      = 1) ∧
  (* Approximation base. *)

lemma (in Corps) Ostrowski_base_hom:"vals_nonequiv K (Suc n) vv ==>, simp:Kronecker_delta_def
      Ostrowski_base K vv (Suc n) ∈ {h. h ≤x∈
apply (rule Pi_I, rename_tac
       simp add:Ostrowski_base_def        erule
       ule_tacals_nonequiv
       cut_tac Ostrowskisimp2
apply (drule_tac a = "vv ∘
       rule someI2_ex, blast, simp)
done

lemma (in Corps) Ostrowski_base_mem:"vals_nonequiv K (Suc n) vv 
         ∀j ≤ja∈ 0) (Sucn) vv (τ0 j
by (rule allI, rule impI,
       frule Ostrowski_base_hom[of "n" "vv"],
       simp adddf0"uc n"j i, simp

lemma (in Corps)  Ostrowski_base_mem_1:"[vals_nonequiv K (Suc n) vv; (*
       j ≤ (Suc n)] ==> Ostrowski_base K vv (Suc n) j ∈ carrier K"
by (simp add:Ostrowski_base_mem)

lemma (in Corps) Ostrowski_base_nonzero:"[vals_nonequiv K (Suc n) vv;
       j <> S n](Su n)
apply (simp add:Ostrowski_base_def,
       frule_tac j = j in transpos_vals_nonequiv[of "n" "vv"],
                      assumption+,
       cut_tac Ostrowski[of "n"],
       drule_tac a = "vv ∘ τ _j" in forall_spec, assumption,
       rule someI2_ex, blast)
apply (thin_tac "∃x∈carrier K. Ostrowski_elem K (Suc n) (vv ∘ τ _j) x",
       eruleconjE)
apply (rul_tac vv = " ∘0 j x = x in[of "n",
       assumption+)
done

lemma (in Corps) Ostrowski_base_pos:"[m[of n vv], rule allI, simp)
      j ≤ n; ja ≤ j] ==>j)((\OmegaK vv (Suc n)) ja))"
apply (simp add:Ostrowski_base_def,
       frule_tac j = ja in transpos_vals_nonequiv[of "n" "vv"],
       assumption+,
       cut_tac Ostrowski[of "n"],
       drule_tac a = "vv ∘ τ _ja" in forall_spec, assumption+) 
apply (rule someI2_ex, blast,
       thin_tac "∃x∈carrier K. Ostrowski_elem K (Suc n) (vv ∘ τ _ja) x",
       simp add:Ostrowski_elem_def, (erule conjE)+)
apply (case_tac "ja = 0", simp, cut_tac transpos_eq[of "j"],
       simp add:nset_def, frule Suc_leI[of "0" "j"],
       frule_tac a = j in forall_spec, simp, simp)
apply (case_tac "j = 0", simp,
       frule_tac x = ja in bspec, simp add:nset_def,
       cut_tac  transpos_ij_2[of "0" "Suc n" "ja"], simp, simp+refer2
apply (frule_tac x = j in bspecmp
            _ac0" "Suc n" "ja", simp+)
done

lemma (in CorsdOtrowski_ele_de,
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 80 out of bounds for length 80
        ∀azz
apply (rule allI, rule impI,
       rename_tac k,
       subst App_base_def)
 apply (case_tac "k = 0", simp, simp add:transpos_eq,
        frule Approximation1_5P[of "n" "vv"], simp,
        rule someI2_e,simp)
 apply (frule_tac j = k in transpos_vals_nonequiv[of "n" "vv ( vals_nonequiv_valuation "Suc n" "v "j"],
                  add:ns,
cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[of ",
 apply (simp add:mp_def, subst transpos_ij_1[ofSuc+,
        subst transpos_ij_1[of 0 "Suc n" k], simpvv j((1<>ra x)^<sup>")
 apply (rule someI2_ex, blast, simp)
done

lemma (in Corps) Approzimation1_5P2:"[(Sucjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 73 out of bounds for length 73
           ∀{h. h ≤ Suc n; j ≤
          ==> vv i (App_base K vv (Suc n) j) = δ j",
apply (simp add:App_base_def)
apply(ca "j = 0", simp a:transpos_eq,
       rule someI2_ex,
       frule Approximation1_5[of "n" "vv,
       mp_,uleE+
       frule_tac x = i in bspec, simp         frule

apply (frule_tac transpos_vals_nonequiv[f"""v], simp,
       frule Approximation1_5P[of "n" "vv ∘ τ carrier K] 
       simpadd, simp:transpos_ij_1[of 0 "Suc n" j])
       
apply (simp add:cmp_def,
         case_tac "i = 0", simpvv_-sub>ax^🚫
         simptranspos_ij_1, add:Kronecker_delta_def,
          someI2_ex,
         thin_tac(frule vals_nonequiv_valuation[ "Suc 0"vvmp
            frule "vv 0" "a"], assumption+, simp add:nset_def
        (erule conjE)+
         drule_tacin, simp:nset_def
         simp:transpos_ij_2)

apply (simp, simp
       case_tac "i = j", simp add n = "Suc n and j =" (Sucnproximation1_5Tr6

apply (simp, rule someI2_ex, blast]simp
       tacx∈ .vv <sub>0) x = 11 🪙
                     (orallnset (Suc 0) (Suc n) v( j) ja) x = 0)",
       (erule conjE)+,
       drule_tac x = i in bspec, simp add:nset_def,
       cut_tac transpos_id[of 0 "Sucn"j i],simp+)
doneblast,

(*
lemma (in Corps) Approximation1_5:"[:\lbrakkvals_nonequiv
  ∀le (Suc n)}. n_val K (vv j) =vv ==>
  ∃x∈and> (∀<in ) Suc0
                              ((vv i)  (x j) = δ erulebexE apply(

lemma  Corps:"[ n) vv;;
  ∀ (Suc n). n_val K (vv j)= vv j\rbrakk \Longrightarrow>
  ∃ x = x in Appr[of "n vv
                              ((vv i)  (x j) = δ" _ "]
apply (frule App_base_hom[of n vv], rule allI, simp)
 apply (subgoal_tac "(∀
                  i) (App_ba K vv (Suc n)) j) = (δi j))",
        blast
 apply (rulecut_tacn=lin lessI,
 apply (rule Approzimation1_5P2 assumption, simp+)
done

lemma (in Corps strowski_baseTr0vals_nonequiv K (Suc n) vv; l ≤
   ==>   0 <        drule_taca=max  forall_spec,
  (∀{h. h ≤.0 (vv m (Ostrowski_base K vv (Suc n)l)))java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 92 out of bounds for length 92
apply (simp addOstrowski_base_def
       frule_tac j = l in transpos_vals_nonequiv[of "n" "vv"], assumption,
       cut_tac Ostrowski[of "n"],
       drule_tac a = "vv ∘ τ l" in forall_spec,        carrier K",
apply (erul bexE,
       unfold Ostrowski_elem_ rule aaGrou.ag_pOp_closed, assumption+,rule Ring..npClose, assumption+,
       fold Ostrowski_elem,
        conjI, simp add:Ostrowsk)
applyse_tac"l 0"impm,simp adtanso_eq
       rule s
       simp add:transpos_ij_1,
       rule someI2_ex, blast, simp)

apply (simp add:Ostrowski_elem_def
       case_tac "l applysimp:)
       rule someI2_ex simp:, rule)
       thin_tac< vv>r ± -
                      (∀ " ,
       rule ballI, simp add:nset_def)

apply (rule ballI, erule conjE,
       rule someI2_ex, blast,
       thin_tac "∀
       erule conjE+

apply (case_tac "m = 0", simp "j = 0", add) 
       drule_tac x = l in bspec, simp add:nset_def,
        addtranspos_ij_2
       drule_tac in, simp add,
d
done add,

lemma Corps:"[>(Suc n)]
     ==> 0 < ((vv l) (1r ± -"{j. j ≤
by (simp add:Ostrowski_baseTr0)

lemma (in Corps) Ostrowski_baseTr2:"[Suc imp
        l ≤ion
        0 < ((vv m) (Ostrowski_base K vv (Suc ule)
apply (frule Ostrowski_baseTr0[of
apply simp
done

lemma Nset_have_two:"j ∈{h. h ≤<ong> ∃m ∈ {h. h ≤ (Suc n)}. j ≠ m"
apply (rule contrapos_pp, simp+,
       case_tac  "Ostrowski_base K vv n = (\<ambdambda
       drule_tac a = 0 in forall_spec, simp, arith)
 apply (drule_tac a = "Suc n" in forall_spec, simp, simp)
done

lemma (in Corps) Ostrowski_base_npow_not_one:"[0 < N; j ≤ Suc n;
       vals_nonequivSuc  ==>
                            r ±a ((Ω j<K N</sub> 0"
apply (cut_tac fin.i_sag K],
       rule contrapos_pp, simp
frule[of "n""v""j"]aspo
       frule Ring.npClose[of "K" "(ΩK vv (Suc n)
       fruleapply( Pi_I rename_tac ljava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 31 out of bounds for length 31
       frule aGroup.ag_mOp_closed[of 
       frule aGroup.ag_pOp_closed[of "K" "1_a ((Ω> v (ucn)\^>) j^"
       assumptionblast
apply (frule  aGroup.ag_pOp_add_r[of
           "(ΩK vv (Suc n)K N</sup>], assumption+,
        simp add:aGroup.ag_inc, assumption+,
        thin_tac "1 ^> ((Ω_n)K N) = 0)
 apply (simp add:aGroup.ag_pOp_assoc[of "K" "1_:Pi_I'')
 apply(in Co) Ostrowski_base_mem_1"<lbrakkvals_nonequiv K (Suc n) vv; 
  apply (subgoal_tac "\<>m n). j \noteq m ⟶
java.lang.NullPointerException
 apply (cut_tac Nset_have_two[of "j" "n"],
        erule bexE, drule_tac a = m in forall_spec, simp,
        (smp ddOtowsi_as_def,
       frule_tac f = "vv m" in eq_elems_eq_val[of "1 assumption
       thin_tac "1 τ _{in forall_spec, assumption,}
 apply (frule_tac m = m in vals_nonequiv_valuat someI2_ex, blast)
        assumption+,
        frule_tac v1 = "vv m" and n1 = N in val_exp_ring[THEN sym,
         of _ _ "\Omega <sub>j"], assumption+,
        simp add:Ostrowski_base_nonzero, simp, simp add:value_of_one)
 apply (subgoal_tac "int N ≠
        frule_tac x = "v \Omega j)" in asprod_0[of "int N"],
        assumption,java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 54 out of bounds for length 54
        rule"
        rule Ostrowski_baseTr2, assumption+)
done

abbreviation
  CHOOSE :: "[nat, nati_elem_def
  "<bsu>n</sub>i

lemmainRg epnsonofsum:"\in arrier 
                (1java.lang.NullPointerException
apply (cut_tac ranspos_ij_2 n" "ja"], simp, simp+)
       simp add:npOne, subgoal_tac "\forall>:nat^> j)∈
apply (simp add:ring_l_one, rule allI, simp add:npClose
done 

lemma (in Ring) tail_of_expansion:"x ∈ (1 x)^\^>R (Suc n)
             nsumR (λ(Suc n)_×RR (Suc i))) n) ±r"
apply (cut_tac ring_is_ag)
apply (frule expansion_of_sum1[of "x" "Suc n"],
       simp:nsum_suc npow_suc
       thin_tac java.lang.NullPointerException
apply (subst aGroup.nsumTail[of R n "<ambdai. _Suc n)C<sub>×<^R\R i,
       rule allI ( "k = 0", simp add,
applycut_tac
       rule,simp
done

lemma (in Ring) tail_of_expansion1:"x ∈
  (1[of "0" "Suc
applyeil_of_expansion
  um_suc
       subgoal_tac "∀
  cut_tac ring_one, cut_t ring_is_ag)
prefer 2 appl(simp add: nsClose npClose)
apply\>vv i (App_base K vv (Suc n) j) = δi j</sub>
       earup.su_mm,asumptin+,ru ll ul ip,
       rule nsClose, rulap(case_t "= addtranspos_eqjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 46 out of bounds for length 46
apply (rule ring_tOp_closed, assumption+,
       ruleaGroup.nsum_mem+, blast add)
apply (subst x = i in, simp:nset_def) 
apply (rule aGroup.nsum_eq, assumption, rulefrule_tacin transpos_vals_nonequiv[ "n" "vv",simp
       rule npClose, assumption, rule allI, rule
       rule ring_tOp_closed, assumption+,       simpmp[  Suc
       assumption) 
apply (rule allI, rule impI)
 ulDistrL,dpClose
       frule_tac n = j in npClose[of x], simp add:ring_tOp_commute<>x
done 

lemma (in Corps) nsum_in_VrTr         drule_tac x  j in bspec add,
       (∀j ≤
       0 ≤simp:transpos_ij_1 someI2_ex, simp
apply (induct_tac n)
 apply (rule impI, erule conjE, simp add "\<>x ((\tau _{0) x = 1 ∧}
apply (rule impI, erule conjE)
apply (frule Vr_ring[of v], frule Ring.ring_is_ag[of "Vr K v"],
       frule_tac x = "f (Suc n)" and y = "nsum K f n" in
         aGroup.ag_pOp_closed[of "Vr K v"],
       subst val_pos_mem_Vr[THEN sym, of "v"], assumption+,
       simp, simp, simp)
apply (simp, subst Vr_pOp_f_pOp[of "v", THEN sym], assumption+,
       subst val_pos_mem_Vr[THEN sym, of v], assumption+,
       simp+)
apply (subst aGroup.ag_pOp_commute, assumption+, simp add:val_pos_mem_Vr,
       assumption)
done

lemma (in Corps) nsum_in_Vr:"[valuation K v; ∀j ≤ n. f j ∈ carrier K; 
       ∀j ≤<xists{ h<le >i elen). 
apply (simp add:nsum_in_VrTr)
done

lemma (in Corps) nsum_mem_in_Vr:"[valuation K v;
       ∀j ≤ n. (f j) ∈ carrier K; ∀j ≤ n. 0 ≤ (v (f j))] ==>
         
by (rule nsum_in_Vr)

lemma (in ors)val_scal_e_efT:"<aluation K v; x ∈ v x]
       Longrightarrow<>  K
apply                              (vv i  xj) δi j
applyimp
       simp subgoal_taci ≤j ≤
       frule_tac" \times x" infv" "] assumption+,
       rule Ring) 
apply (simp add:amin_def,
       frule.ring_is_ag K]],
       frule_tac n = n in
       simp add( CorpsOstrowski_baseTr0:"\lbrakk>vals_noneq K (Suc n) vv; l ≤
done

lemma (in Corps) ApproximationTr:"[,
             v x ≤v (1_r ±a ((1 x)^ⁿ⁾
apply (cut_tac ∘0 l) 
        "x = 0^bsub>K",
       simp.[of",siadd:aGroup.ag_r_ze,
       simp add:Ring.npOne, simp add:Ring.ring_l_one,simp add: rule conjI, simp add:Ostrowski_elem_de)
       subst Ring.tail_of_expansion1[of "K" "x"], assumption+,
       frule Ring.ring_one[of "K"])
apply (subgoal_ "(nsumi. <sub>×x^ <sup>n)∈)
       frule       simpranspos_ij_1,
       assumption+,
       frule_tac x = x and y = "nsum K (λ
       Ring.ring_tOp_closed[of "K"], assumption+,
       subst aGroup.ag_pOp_commute[of "K" _ "1r ± -
       subst aGroup.ag_p_inv ""1java.lang.NullPointerException
       subst aGroup.ag_pOp_assoc[THEN symeallI
       simp add:aGroup.ag_mOp_closed>∈ (Suc (Sucn. 0vv j) x",
       simp del:binomial_Suc_Suc add:a (erule conjE)+)
       assumption+,
       rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+, simp add:val_minus_eq)

apply (subst val_t2[of v], assumption+) apply (
       simp add:val_pos_mem_Vr[THEN sym, of v
                   (lambda>i.(\^<esb<^bsu>nSuc i</sup>x^ <sup>n"],
       frule aadd_le_mono[of "0" java.lang.NullPointerException
         "v x"], simp add:aadd_0_l, simp add:aadd_commute[of "v x"])

apply (rule nsum_mem_in_Vr[of v n "λi.×<bsub x^i
       rule allIrowski_baseTr0

apply (rule allI impI
apply (cut_tac i =0 and j  "v(^\sup<^eup>)"d "v (×x^"
        ale_trans
 apply (case_tac(frule[of"n" "vv" "l"], assumption
 apply (simp
        frule val_nonzero_z[ofv ],ssumption
        eruleapply(le
        cut_tac m1 = 0 and n1 = j in of_nat_less_iff[THEN sym],
        frule_tac a = "0 < j" and b = "int 0 < int j" in a_b_exchange,
        assumption, thin_tac "0 < j", thin_tac orpsstrowski_base_npow_not_one0 < N; j ≤
apply simp: of_nat_0_less_iff

apply (frule_tac w1"int j"d=0andant z in
         asprod_pos_mono[THEN symcut_taceRingK"]
        simp only:asprod_n_0)

 apply(rule_tac x = "x^ j" and n = " n Ring[ "K" (<> j" "N"], assumption+,
    scal_ge_selfTrov, asmtin+
       simp add:Ring.npClose, simp add:val_exp_ring[[THEN sym],
       frule val_nonzero_z[of "v" "x"], assumption+, erule exE, simp)
 apply (case_tac "j = 0", simp))
 apply (subst apro_ault imp, m ada__)
apply
        simp only:ant_0[THEN sym], simp only:ale_zle,
        cut_tac m1 = 0 and n1 = j in of_nat_less_iff[THEN sym])apply (simp adaGroup.ag_pOp_assoc[of "K 1<sub<suba ((Ω j^ Njava.lang.NullPointerException
apply (        frule_tac "∀ (Suc n). (j ≠
        +, thin_tac "0<j,thin_tac  (int0 < j)",
        frule_tac z = "int 0" and z' = "int j" in zless_imp_zle,
        frule_tac i = "int 0" and j = "int j" and k = z in int_mult_le,
         assumption+, simp add:mult.commute )
 apply assumption
done

lemma (in Corps) Approximatithin_tac ""<sub> (\Omega><bsu>Kv Su )\^u> j", simp)
           sub> ± -K NK N\^<> carrir "
apply (cut_tac field_is_ring m" n 1= i a_xp_in[TENym,
       rule Ring.npCl, as+,
       rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+, simp add:Rin.ring_one,
       rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+, rule Ring.npClose, assumption+)
done

lemma (in Corps) ApproximationTr1:"aa ∈ add, simp,
            1r ±+)
apply (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag
       frule ApproximationTr0[of aa N],
       frule Ring.ring_one[of "K"], rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+,
       rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+)
done

 in\valuation K v; aa ∈ \;
     0 ≤ ==>suba(v aa) ≤^> ± -r  -K N</sup>K N^)))"
apply (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[of "K
       case_tac "N = 0",
       frulenonzero_z[ofsumption
 apply(frule> i. ((Suc i)x^<sup>) n) <plusminusr"
       simp add:value_of_zero) (frexpnioo_um1 "c

apply (frule_tac n = N inf"",umption
       frule ApproximationTr[of v "-a (aa^ N)" "N - Suc 0"],
       rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+, simp add:val_minus_eq,
       subst val_exp_ring[THEN sym, of v], assumption+,
       simp add:asprod_pos_pos)
apply (simp add:val_minus_eq, simp
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 4 out of bounds for length 4

lemma (inil_of_expansion
( ∀i.  ×R^> i</sup> carrier R",
 ( ∀j ≤
 ( ∀>({h. h ≤ n} -{l}). (g j = (x )\cdotr (1>-
   = x ) \cdot>\^sub> (-a (b l))
\<longrightarrow> (nsum K (\<lambda 
                       nsum K g n"
apply ( eld_is_ring
apply (induct_tacsum_eqrulelose
 apply (simp, rule impI, (erule conjE)+, 
       simp, frule Ring.ring_one[of "K"], subst Ring (ellI
       assumptionnnpClose_utex)
       simp add:aGroup.ag_mOp_closed
       frule aGroup.ag_mOp_closed,sumption
       frule Ring.ring_tOp_closed[of x0<submption
       subst aGroup.ag_pOp_commute[of "K" "x 0"_]assumption
       subst aGroup.ag_pOp_assoc, assumption+, 
       rulelosed
       assumption)
 apply (simp add:aGroup.ag_r_inv1, subst aGroup.ag_r_zero, assumption Vr
apply (rule impI, (erule conjE)+)
 apply (subgoal_tac java.lang.NullPointerException
apply (case_tac "l = Suc n", simp)
 apply (subgoal_tac "Σe K g n ∈ carrier K",
        \ (Suc n)} - {Suc n} = {h. h ≤
        subgoal_tac "∀
        frule_tac f = "λu. if u ≤j ≤ carrier K; ∀ n. 0 ≤]
        undefined" and n = n in aGroup.by ule
 apply (rule allIorpsnscal_ge_selfTrvaluation K v; x ∈ v x]
        rule allI, simp lI,imp

 apply  (padd
       b = "x (Suc n) ⋅x" in amin_le_plus[of "v" "x"], assumption,
       c = java.lang.NullPointerException
 apply (rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+,
        rule Ring.ring_tOp_clloe,aumptin+ mp
        rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+, simp add:Ring.ring_one,
        rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption, simp,
        rule aGroup.ag_mO, assumpion, sm,
        rule ngrin_tO_coe, aumto+,sm,
        rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+, simp, assumption)

 apply (subst Ring.ring_distrib1, assumption+, simp, simp add:Ring.ring_one,
        simp add:aGroup.ag_mOp_closed,
        simp add:Ring.ring_r_one) apply (
        frule_tac x = "x ( ndcdota (b (Suc n)))" in
        aGroup.ag_pOp_commut frule_tac = xany= "  <>.<bsubSuc nSuc i><^bsub>K x^ <sup>n" in
        simp add:Ring.ring_tOp_closed aGroup.ag_mOp_closed,
        simp) apply (
        subst aGroup.ag_pOp_assoc[of "K"], assumption+,
        rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+, simp,
        (simp add:aGroup.ag_mOp_closed)+,
        subst aG aGroup.ag_r_inv1, assumption+, si imp del:binma_SuSucaddaGou.grinv ub ru._l_zr,
        subst aGroup.ag_r_zero, assumption+,
        simp add:Ring.ring_tOp_closed aGroup.ag_mOp_closed, simp,
        rotate_tac -1, drule sym, simp) apply (
        thin_tac "Σe K g n ± x (Suc n) ⋅r (-a (b (Suc n))) =
         Σe K g n ± (x (Suc n) ⋅r (1r ± -a (b (Suc n))) ± -a (x (Suc n)))")
   apply (subst aGroup.ag_pOp_assoc[THEN sym], assumption+,
          rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+, simp,
          rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+, simp add:Ring.ring_one,
          rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+, simp,
          rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+, simp, simp,
          simp, rule equalityI, rule subsetI, simp, rule subsetI, simp)
  apply (rule aGroup.nsum_mem, assumption+,
         rule allI, rule impI, simp)
defer
  apply (rule allI, rule impI)
  apply (case_tac "j = l", simp,
         rule Ring.ring_tOp_closed, assumption, simp,
         rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+, simp add:Ring.ring_one,
         rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption, simp, simp,
         rule Ring.ring_tOp_closed, assumption, simp,
         rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+, simp add:Ring.ring_one,
         rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption, simp, simp) (* end defer *)

 apply (subst aGroup.ag_pOp_assoc, assumption+,
        rule aGroup.nsum_mem, assumption+,
        rule allI, simp, rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+, simp,
        rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+, simp add:Ring.ring_one,
        rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption, simp,
        rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption, simp,
        subst aGroup.ag_pOp_commute[of K _ "-a (x l)"], assumption+,
        rule Ring.ring_tOp_closed, assumption, simp,
        rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+, simp add:Ring.ring_one)
 apply (rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+, simp,
        rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+, simp,
        subst aGroup.ag_pOp_assoc[THEN sym], assumption+,
        rule aGroup.nsum_mem, assumption+,
        rule allI, rule impI, simp,
        rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption, simp,
        rule Ring.ring_tOp_closed, assumption, simp,
         rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+, simp add:Ring.ring_one,
         rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption, simp)
  apply (subgoal_tac "Σe K (λa. if a ≤ (Suc n) then x a ⋅r (1r ± -a (b a)) 
         else undefined) n ± -a (x l) = 
         Σe K (λa. if a ≤ n then x a ⋅r (1r ± -a (b a)) else undefined) n ±
         -a (x l)", simp,
         rule aGroup.ag_pOp_add_r[of K _ _ "-a (x l)"], assumption+,
         rule aGroup.nsum_mem, assumption+,
         rule allI, rule impI, simp,
         rule aGroup.nsum_mem, assumption+,
         rule allI, rule impI, simp,
         rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption, simp,
         rule aGroup.nsum_eq, assumption+,
         rule allI, rule impI, simp, rule allI, rule impI)
   apply simp
   apply (rule allI, rule impI, simp)
done

lemma (in Corps) eSum_minus_x:"[∀j ≤ n. (x j) ∈ carrier K; 
       ∀j ≤ n. (b j) ∈ carrier K; l ≤ n; 
       ∀j∈({h. h ≤ n} -{l}). (g j = (x j) ⋅r (1r ± -a (b j))); 
       g l = (x l) ⋅java.lang.NullPointerException
       (nsum K (λx:"<for>j \\<le> n. (x j) ∈ carrier K;
                        nsum K g n"
by       j∈ n} -{l}). (g j = (x j) ⋅r (1 -java.lang.NullPointerException

lemma (innsum<><>{r (1\plusminusa (b j))) n) ± (-java.lang.NullPointerException
 (1r ± - eSum_tr "n"x" b""l ""], simp)
apply (cemma (in Ring) one_m_x_times:"x ∈
       frule aGroup.ag_mOp_closed[of "R" "x"], assumption+,
       frule aGroup.ag_pOp_closed[of "R" "1 aGroup.ag_mOp_[of "R" "x"], assumptio+,


 apply (simp add:ring_r_one ring_l_one)
 apply (simp del:npow_suc,
        frule_tac n = "Suc="uc n"in npClose "x"],
        subst ring_distrib1, assumption+)
 apply (rule aGroup.nsum_mem, assumption, rule allI, rule impI,
        simp add:npClose, rule npClose, assumption+,
        simp del:npow_suc,
        thin_tac "(1r ±, assumption, rule allI, rule impI,,
 apply (subst ring_distrib2, assumption+,
        simp del:npow_suc add:ring_l_one,
        subst aGroup.pOp_assocTr43[of R], assumption+,
        rule_tac x = "x^java.lang.NullPointerException
        ring_tOp_closedclosed
 apply (subst aGroup.ag_l_inv1, assumption+, simp del 
        add:aGroup.ag_r_zero,
        frule_tac=-<^sub  y = "x\^>R (Suc n)</sup>
        assumption+)a x" and =x<bsup" in ring_tOp_closed,
 apply (rule aGroup.ag_pOp_add_l[of R _ _ "1r"], assumption+,
        rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+,
        rule npClose, assumption+,
        subst ring_inv1_1[THEN sym, of x], assumption,
        rule npClose, assumption,
        simp,
        subst ring_tOp_commutedo
done

lemma (in Corps) x_pow_fSum_in_Vr:"[r_ring
   (nsum K (npowapply
apply (frule Vr_ring[of v])
apply (induct_tac n)
 apply simp
 apply (frule Ring.ring_one[of "Vr K v"])
 apply (simp add:Vr_1_f_1)
apply (simp del:npow_suc)
 apply (frule Ringuledf"Vr K v" sumption

 apply ( Vr_pOp_f_pOpTHEN sym v], +)
 apply (subst Vr_exp_f_exp[THEN sym, of v], assumption+)
 apply (rule.npClose "Vr K v"], assumption+)
 apply (rule aGroup.ag_pOp_closed[of "Vr K v"], assumption+)
 apply (subst Vr_exp_f_exp[THEN sym, of v], assumption+)
 apply (rule Ring.npClose[of "Vr K v"], assumption+)
done

lemma        frule Ringring_is_ag""
         0 < (v (1 - ==>  v x ="
apply (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_one[of "K"],
       frule Ring..ring_is_agof""
 apply (frule aGroup.ag_mOp_closed[of "K" "x"], assumption+)
 apply (frule aGroup.ag_pOp_closed[of "K" "1substsym
 apply (frule aGroup.ag_mOp_closed[of "K" java.lang.NullPointerException
 apply (cut_tac x = x and y = "1java.lang.NullPointerException
        eq_elems_eq_val)
apply subst.ag_p_inv+,
       subst aGroup.ag_pOp_assocassumption+)
       rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+,
       subst aGroup.ag_inv_inv, assumption+,
       subst aGroup.ag_r_inv1, assumption+,
       subst aGroup.ag_l_zero, assumption+,
       (simp add
       frule  value_less_eq[of v  java.lang.NullPointerException
        assumption+)
 apply (simp add:val_minus_eq value_of_one,
        simp add:value_of_one)
done

lemmaTHENsy],assmption+
lusminus\subax)\rbrakk>\Longrightarrow (v (1<sub>r <plusm -K (Suc n)
apply (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[of "K"])
apply (subst Ring.one_m_x_times[THEN sym, of K xaapply (subst (subst val_t2p, asumption+,+,
 apply (frule Ring.ring_one[of "K"],
        frule x_ simp add addaGro.ag_mOp_closed, simp :Vr_mem_,
        subst val_pos_mem_Vr[THEN sym], assumption+,
        frule val_1mx_[of "v" "x] ssumption
        mp

 apply (subst val_t2p, assumption+,
        rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+,
        simp add:Group, simp:Vr_mem_f_mem
        frule val_pos_mem_Vr[THEN sym of v"nsum K (npow K x) n"]
        simp add, simp
 apply(frule n)) ±a (x j))))"
       simp add:aadd_0_l, simp add:aadd_commute)
done

lemma (in Corps) ApproximationTl (subgoal_tac "<>. Σe K (λj∈{h. h ≤ (Suc n)}. (x j) ⋅r (1r ± -a (1r ± 
      ∀ (Suc n). x l ∈ (Suc n)]>
     ∃L.(∀{h. h≤ Suc(f  ≠r (1 -<sub -java.lang.NullPointerException
        (x k) ⋅<> l)^ ^NK N^> ± -r ±
        (Sucsuba ((Ω)<esub^\^>K NK N  ± -r))) (Suc n)")
apply (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[of "K"])
 apply (frule_tac vals_nonequiv_valuation[of "Suc n" "vv" j], assumption+)
apply (subgoal_ta "<orallN. Σe K (λj∈{h. h ≤ (Suc n)}. (x j) ⋅r ± -r ±
 -\<^bsubuc) j)^ ^NK N -java.lang.NullPointerException
 Σe K (λ
 ((Ωapply (simp add ply
        -a (applymp
 apply (simp del:nsum_suc)
apply (thin_tac "∀N. Σ>e K (∈ (Suc n)}. (x j) ⋅r (1r ±a (1
  ApproximationTr0)
prefer 2 apply (rule allI)
 apply (rule eSum_minus_x, assumption+)
 apply (rule allI, rule impI) apply (rule ApproximationTr0)
 apply (simp add:Ostrowski_base_mem) apply assumption
 apply (rule ballI, simp)
 apply simp
 apply (frule Ring.ring_one[of "K"])
 apply (cut_tac aa = "(Ω(bstsym
                                               pOp_closed
 apply (simp add:Ostrowski_base_mem)
 apply (subst aGroupapplysimp )
 apply (rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+)+
 apply (subst aGroup.ag_pOp_commute[of java.lang.NullPointerException
 apply (rule aGroup.ag_mOp_closed, assule\< ( (λl∈{h. h ≤ (Suc n)}. if l ≠ j then (x l) ⋅ 🚫 l)^^{^ else (x j)) 🚫 -r ± -K vv (Suc n)} l)^^NK N -r))) ja))")

 apply (subst aGroup.ag_pOp_assoc[THEN sym],elsej \cdotK +K (1K -K(ΩK vv (Suc n)K ^KN
 apply( aGroup.ag_mOp_closed+)+
 apply (simp add:aGroup.ag_r_inv1)
 apply substoupumptionmp_Op_closed
 apply simp (* subgoal 2 done **)

 apply (subgoal_tac "∃K +subK (1K+\^ub>K K vv (Suc n))^ ^K \^su>)ese x <c\<ubK
java.lang.NullPointerException

(*
 apply (subgoal_tac "∃L. ∀N. L < N ⟶ (an m) ≤ Amin (Suc n) (vv j ∘ (λl∈Nset (Suc n). if l≠j then (x l) ⋅K (1K +K -K (1K +K -K ((Ω vv (Suc n)) l)^^{K N})^^{K N})
 else (x j) ⋅K (1K +K  -K (1K +K -K ((Ω vv (Suc n)) l)^^{K N})^^{K N}
+K -K 1K)))")
 apply (erule exE)
 apply (subgoal_tac "∀N. L < N ⟶
  ((an m) ≤ ((vv j) (eΣ K (λl∈Nset (Suc n). (if l ≠ j then (x l) ⋅K
(1K +K -K (1K +K -K ((Ω vv (Suc n)) l)^^{K N})^^{K N}) else (x j) ⋅K (1K +K -K 
(1K +K -K ((Ω vv (Suc n)) l)^^{K N})^^{K N} +K -K 1K))) (Suc n))))")
apply blast
*)

apply (erule exE)
apply (rename_tac M)
 apply (subgoal_tac "∀N. M < (N::nat) ⟶
   (an m) ≤ (vv j (Σe K (λl∈{h. h ≤ (Suc n)}. (if l ≠ j then 
   (x l) ⋅r  (1r ± -a (1r ± -a ((Ω vv (Suc n)) l)^ ^N)^ ^N)
   else (x j) ⋅r (1r ± -a (1r ± -a ((Ω vv (Suc n)) l)^ ^N)^ ^N
   ± -a 1r))) (Suc n)))")
 apply blast
 apply (rule allI, rule impI)
apply (drule_tac a = N in forall_spec, assumption)
 apply (rule value_ge_add[of "vv j" "Suc n" _ "an m"], assumption+)
 
apply (rule allI, rule impI)
 apply (frule Ring.ring_one[of "K"])
 apply (case_tac "ja = j", simp)
 apply (rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+, simp)
 apply (rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+)+
 apply (rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+)
 apply (rule Ring.npClose, assumption)
 apply (rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+)
 apply (rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption)
 apply (rule Ring.npClose, assumption)
 apply (simp add:Ostrowski_base_mem)
 apply (rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+)

apply simp
 apply (rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+, simp)
 apply (rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+)+
 apply (rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption+)
 apply (rule Ring.npClose, assumption)
 apply (rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+)
 apply (rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption)
 apply (rule Ring.npClose, assumption)
 apply (simp add:Ostrowski_base_mem)

apply assumption

 apply (subgoal_tac "∀N. ∀ja ≤ (Suc n). (1r ± -a (1r ± -a 
 ((Ω vv (Suc n)) ja)^ ^N)^ ^N) ∈ carrier K")
 apply (subgoal_tac "∀N. (1r ± -a (1r ± -a ((Ω vv (Suc n)) j)^ ^N)^ ^N
                         ± -a 1r) ∈ carrier K")
 apply (simp add:val_t2p)
 apply (cut_tac multi_inequalityTr0[of "Suc n" "(vv j) ∘ x" "m"])
 apply (subgoal_tac "∀ja ≤ (Suc n). (vv j ∘ x) ja ≠ - ∞", simp)
 apply (erule exE)
 apply (subgoal_tac "∀N. L < N ⟶ (∀ja ≤ (Suc n). (ja ≠ j ⟶
an m ≤ vv j (x ja) + (vv j (1r ± -a (1r ± -a ((Ω vv (Suc n)) ja)^ ^N)^ ^N)))
 ∧ (ja = j ⟶ (an m) ≤ vv j (x j) +  (vv j (1r ± -a (1r ± 
  -a ((Ω vv (Suc n)) j)^ ^N)^ ^N ± -a (1r)))))")
 apply blast
 apply (rule allI, rule impI)+

apply (case_tac "ja = j", simp)
 apply (thin_tac "∀N. 1r ± -a (1r ± -a (Ω vv (Suc n)) j^ ^N)^ ^N ± -a 1r ∈ 
        carrier K")
 apply (thin_tac "∀l≤Suc n. x l ∈ carrier K")
 apply (drule_tac x = N in spec)
 apply (drule_tac a = j in forall_spec, assumption,
        thin_tac "∀ja≤Suc n. 1r ± -a (1r ± -a (Ω vv (Suc n)) ja^ ^N)^ ^N 
        ∈ carrier K")
apply (cut_tac N = N in ApproximationTr0 [of "(Ω vv (Suc n)) j"])
 apply (simp add:Ostrowski_base_mem)
 apply (frule Ring.ring_one[of "K"], frule aGroup.ag_mOp_closed[of "K" "1r"],
         assumption) apply (
        frule_tac x = "(1r ± -a ((Ω vv (Suc n)) j)^ ^N)^ ^N" in
        aGroup.ag_mOp_closed[of "K"], assumption+)
 apply (simp only:aGroup.ag_pOp_assoc)
 apply (simp only:aGroup.ag_pOp_commute[of "K" _ "-a 1r"])
 apply (simp only:aGroup.ag_pOp_assoc[THEN sym])
 apply (simp add:aGroup.ag_r_inv1)
 apply (simp add:aGroup.ag_l_zero) apply (simp only:val_minus_eq)
  apply (thin_tac "(1r ± -a (Ω vv (Suc n)) j^ ^N)^ ^N ∈ carrier K",
         thin_tac "-a (1r ± -a (Ω vv (Suc n)) j^ ^N)^ ^N ∈ carrier K")
 apply (subst val_exp_ring[THEN sym, of "vv j"], assumption+)
  apply (rule aGroup.ag_pOp_closed[of "K"], assumption+)
  apply (rule aGroup.ag_mOp_closed[of "K"], assumption)
  apply (rule Ring.npClose, assumption+) apply (simp add:Ostrowski_base_mem)
 apply (rule Ostrowski_base_npow_not_one) apply simp apply assumption+
 apply (drule_tac a = N in forall_spec, assumption)
 apply (drule_tac a = j in forall_spec, assumption)
 apply (frule Ostrowski_baseTr1[of "n" "vv" "j"], assumption+)
 apply (frule_tac n = "N - Suc 0" in val_1mx_pow[of "vv j" "(Ω vv (Suc n)) j"])
 apply (simp add:Ostrowski_base_mem) apply assumption
 apply (thin_tac "vv j (x j) ≠ - ∞") apply (simp only:Suc_pred)
 apply (thin_tac "0 < vv j (1r ± -a ((Ω vv (Suc n)) j))")
 apply (cut_tac b = "vv j (1r ± -a ((Ω vv (Suc n)) j)^ ^N)" and N = N in
        asprod_ge) apply assumption apply simp
 apply (cut_tac x = "an N" and y = "int N *a vv j (1r ± -a ((Ω vv (Suc n)) j)^ ^N)" in aadd_le_mono[of _ _ "vv j (x j)"], assumption)
 apply (simp add:aadd_commute)

apply simp
apply (frule_tac aa = "(Ω vv (Suc n)) ja" and N = N in
       ApproximationTr2[of "vv j"])
   apply (simp add:Ostrowski_base_mem)
   apply (rule Ostrowski_base_nonzero, assumption+)
apply (frule_tac l = ja in Ostrowski_baseTr0[of "n" "vv"], assumption+,
       erule conjE)
 apply (rotate_tac -1, frule_tac a = j in forall_spec) apply assumption
 apply (frule_tac x = j in bspec, simp)
 apply (rule aless_imp_le) apply blast
 apply (rotate_tac -5,
        drule_tac a = N in forall_spec, assumption)
 apply (rotate_tac -2,
        drule_tac a = ja in forall_spec, assumption) apply (
        drule_tac a = ja in forall_spec, assumption)
 apply (frule_tac l = ja in Ostrowski_baseTr0[of "n" "vv"], assumption+)
 apply (erule conjE, rotate_tac -1,
        frule_tac a = j in forall_spec, assumption+)
  apply (thin_tac "vv j (x ja) ≠ - ∞")
 apply (cut_tac b = "vv j ((Ω vv (Suc n)) ja)" and N = N in asprod_ge)
 apply simp apply simp
 apply (frule_tac x = "an N" and y = "int N *a vv j ((Ω vv (Suc n)) ja)" and
        z = "vv j (x ja)" in aadd_le_mono)
 apply (frule_tac x = "int N *a vv j ((Ω vv (Suc n)) ja)" and y = "(vv j)
     (1r ± -a (1r ± -a ((Ω vv (Suc n)) ja)^ ^N)^ ^N)" and z = "vv j (x ja)"
      in aadd_le_mono)
 apply (frule_tac i = "an N + vv j (x ja)" and
       j = "int N *a vv j ((Ω vv (Suc n)) ja) + vv j (x ja)" and
       k = "vv j (1r ± -a (1r ± -a ((Ω vv (Suc n)) ja)^ ^N)^ ^N) +
          vv j (x ja)" in ale_trans, assumption+)
 apply (subst aadd_commute)
 apply (frule_tac x = "an m" and y = "vv j (x ja) + an N" in aless_imp_le)
 apply (rule_tac j = "vv j (x ja) + an N" in ale_trans[of "an m"],
                  assumption)
 apply (simp add:aadd_commute)
 apply (rule allI, rule impI, subst comp_def)
 apply (frule_tac a = ja in forall_spec, assumption)
 apply (frule_tac x = "x ja" in value_in_aug_inf[of "vv j"], assumption+)
 apply (simp add:aug_inf_def)

apply (rule allI)
  apply (rule aGroup.ag_pOp_closed, assumption+) apply blast
 apply (rule aGroup.ag_mOp_closed, assumption, rule Ring.ring_one, assumption)

apply ((rule allI)+, rule impI)
apply (rule_tac aa = "(Ω vv (Suc n)) ja" in ApproximationTr1,
       simp add:Ostrowski_base_mem)
done
 
definition
  app_lb :: "[_ , nat, nat ==> 'b ==> ant, nat ==> 'b, nat] ==> 
            (nat ==> nat)" (‹(5Ψ _ _ _ _)› [98,98,98,98,99]98) where
  "Ψ n vv x m = (λj∈{h. h ≤ n}. (SOME L. (∀N. L < N ⟶
  (an m) ≤ (vv j (Σe K (λj∈{h. h ≤ n}. (x j) ⋅r (1r ± -a
  (1r ± -a ((Ω vv n) j)^ ^N)^ ^N)) n ± -a (x j))))))"
 (** Approximation lower bound **)

lemma (in Corps) app_LB:"[vals_nonequiv K (Suc n) vv; 
      ∀l≤ (Suc n). x l ∈ carrier K; j ≤ (Suc n)] ==>
        ∀N. (Ψ (Suc n) vv x m) j < N ⟶ (an m) ≤ 
  (vv j (Σe K (λj∈{h. h ≤ (Suc n)}. (x j) ⋅r (1r ± -a (1r ± 
  -a ((Ω vv (Suc n)) j)^ ^N)^ ^N)) (Suc n) ± -a (x j)))"
apply (frule ApproximationTr3[of "n" "vv" "x" "j" "m"],
                               assumption+)
apply (simp del:nsum_suc add:app_lb_def) apply (rule allI)
apply (rule someI2_ex) apply assumption+
apply (rule impI) apply blast
done

lemma (in Corps) ApplicationTr4:"[vals_nonequiv K (Suc n) vv;  
 ∀j∈{h. h ≤ (Suc n)}. x j ∈ carrier K] ==> 
 ∃l. ∀N. l < N ⟶ (∀j ≤ (Suc n).  (an m) ≤ 
  (vv j (Σe K (λj∈{h. h ≤ (Suc n)}. (x j) ⋅r (1r ± -a (1r ± 
  -a ((Ω vv (Suc n)) j)^<sup>sup)^ N)) (Suc n) ± -a (x j))))"
apply (subgoal_tac "∀N. (m_max (Suc n) (Ψ (Suc n) vv x m)) < N ⟶ 
  (∀j≤ (Suc n).  (an m) ≤ 
  (vv j (Σe K (λj∈{h. h ≤ (Suc n)}. (x j) ⋅r (1r ± -a (1r ±  
  -a ((Ω vv (Suc n)) j)^ N)^ N)) (Suc n) ± -a (x j))))")
apply blast
 apply (rule allI, rule impI)+
apply (frule_tac j = j in app_LB[of "n" "vv" "x" _ "m"],
       simp, assumption,
       subgoal_tac "(Ψ (Suc n) vv x m) j < N", blast)
apply (frule_tac l = j and n = "Suc n" and f = "Ψ (Suc n) vv x m" in m_max_gt,
       frule_tac x = "(Ψ (Suc n) vv x m) j" and
       y = "m_max (Suc n) (Ψ (Suc n) vv x m)" and z = N in le_less_trans,
       assumption+)
done

theorem (in Corps) Approximation_thm:"[vals_nonequiv K (Suc n) vv; 
∀j≤ (Suc n). (x j) ∈ carrier K]  ==>
∃y∈carrier K. ∀j≤ (Suc n). (an m) ≤ (vv j (y ± -a (x j)))"
apply (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[of "K"])
apply (subgoal_tac "∃l. (∀N. l < N ⟶ (∀j ≤ (Suc n). (an m) ≤ ((vv j) ((nsum K (λj∈{h. h ≤ (Suc n)}. (x j) ⋅r (1r ± -java.lang.NullPointerException
 applyule
 apply (rename_tac M)
 apply (subgoal_tac (subgoal_tacj ≤K (P j)</sup>
 (vv\>^>e K (λj∈ (Suc n)}. (x j) ⋅r (1a (1 < 
  -simpzero_in_ring_n_pd_zero_K
 apply (subgoal_tac "\_>mp,
java.lang.NullPointerException
 pplya
 apply (eGronu_emo K"]ption
 apply (rule allI, rule impI, simp del:nsum_suc npow_suc)
 apply (rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+, simp,
        rule ApproximationTr1, simp add:Ostrowski_base_mem)

 apply (subgoal_tac M") apply blast
 apply simp
 apply (rule ApplicationTr4apply (subg "cdot\<hyphen>KK P n</sub>
 apply simp
done

definition
  distinct_pds :: "_,at\Rightarrow ('b ==> bool" where
  java.lang.NullPointerException
          +

 (** pds --- prime divisors **)
lemma Rxin_Rxa<b> <^eu> "cdot_\<hyphen>K
       distinct_pds K n P"
apply (simp add:distinct_pds_def)
done

lemma (in Corps) ring_n_distinct_prime_divisors:"distinct_pds K n P ==>
       Ring (Sr K {x. x∈
apply (simp add:distinct_pds_def) apply (erule conjE)
apply (cut_tac field_is_ring)
apply (rule Ring.Sr_ring, assumption+)
apply (subst sr_def)
 apply (rule conjI)
 apply (ruleng_n_pd_zero_K)
 apply (rule conjI)
 apply (simp addsimp
apply (rule
 apply (cut_tac P = "P j" in representative_of_pd_valuation, simp,
        simp add:value_of_one) 
apply (rule ballI)+
 apply simp   epresentative_of_pd_valuation
 apply (frule Ring.ring_is_ag
pply nGroup)
 apply (frule_tac<carrier (O<sub>;< n.((νK (P j) y)]  
n+
 apply simp
 apply (le
 apply (rule allI, rule impI)
 apply (rotate_tac -4, frule_tac a = j in forall_spec, assumption,
        rotate_tac -3
        drule_tac a = j in forall_spec, assumption)
 apply (cut_tac
 apply (frule_tac v = java.lang.NullPointerException
        assumption+)
 apply(mp a:vlmns_q
 apply (feta " nu y" in amin_ge1[of "0"])
        simp
 apply (rule_tac j = "amin ((\definition
 applypadd
 
apply (rule allI, rule impI,
       cut_tac P = "P j" in representative_of_pd_valuation inlbrakkdistinct_pds K n P; ideal (O ;j<n]
       subst val_t2p    ==> (P j) {}"
       rule aadd_two_pos, simp+)
done

lemma (in Corps) distinct_pds_valuation:"[
       distinct_pds K (Suc n) P]
 apply (rule_tac P = "P j" in representative_of_pd_valuation) 
 apply (simptinct_pds_def
done

lemma (in Corpsapply ( ubsetI
 < applyK P n
applyrule distinct_pds_valuation[of "j" "n - Suc 0" "P"]) 
apply simp+
done

lemma (in apply(rule_tac
          valuation K (νjava.lang.NullPointerException
apply (case_tac "n = 0",
       lemmaCorpsdistinct_pds K n P; ideal (O I; 
       subgoal_tac {0::nat"
       simp add:representativef_latnP0,
       simp)
 
 apply (simp add:distinct_pds_valuation1[of "n"])
done

definition
  ring_n_pd :: "[('b, 'm) Ring_scheme, nat ==> ('b ==> ant) set,
                             nat ] ==> ('b, 'm) Ring_scheme"
                 (‹(3O _ _)› [98,98,99]98) where
  "O P n = Sr K {x. x ∈ carrier K ∧
           (∀j ≤ n. 0 ≤ ((ν (P j)) x))}"
  (** ring defined by n prime divisors **)

lemma (in Corps) ring_n_pd:"distinct_pds K n P ==> Ring (O P n)"
by (simp add:ring_n_pd_def, simp add:ring_n_distinct_prime_divisors)

lemma (in Corps) ring_n_pd_Suc:"distinct_pds K (Suc n) P ==> 
          carrier (OK P (Suc n)) ⊆ carrier (O P n)"
apply (rule subsetI)
 apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
done

lemma (in Corps) ring_n_pd_pOp_K_pOp:"[distinct_pds K n P; x∈carrier (O P n);
 y ∈ carrier (O P n)]  ==> x ±O P n) y = x ± y"
apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
done

lemma (in Corps) ring_n_pd_tOp_K_tOp:"[distinct_pds K n P; x ∈carrier (O P n);
      y ∈ carrier (O P n)] ==>  x ⋅rO P n) y = x ⋅r y"
apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
done

lemma (in Corps) ring_n_eSum_K_eSumTr:"distinct_pds K n P ==> 
  (∀j≤m. f j ∈ carrier (O P n)) ⟶ nsum (O P n) f m = nsum K f m"
apply (induct_tac m)
 apply (rule impI, simp)

 apply (rule impI, simp,
        subst ring_n_pd_pOp_K_pOp, assumption+,
        frule_tac n = n in ring_n_pd[of _ "P"],
        frule_tac Ring.ring_is_ag, drule sym, simp)
 apply (rule aGroup.nsum_mem, assumption+, simp+)
done

lemma (in Corps) ring_n_eSum_K_eSum:"[distinct_pds K n P; 
      ∀j ≤ m. f j ∈ carrier (O P n)] ==> nsum (O P n) f m = nsum K f m"
apply (simp add:ring_n_eSum_K_eSumTr)
done

lemma (in Corps) ideal_eSum_closed:"[distinct_pds K n P; ideal (O P n) I; 
      ∀j ≤ m. f j ∈ I] ==>  nsum K f m ∈ I"
apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"]) thm Ring.ideal_nsum_closed
 apply (frule_tac n = m in
       Ring.ideal_nsum_closed[of "(O P n)" "I" _ "f"], assumption+)
 apply (subst ring_n_eSum_K_eSum [THEN sym, of n P m f], assumption+,
        rule allI, simp add:Ring.ideal_subset)
 apply assumption
done

definition
  prime_n_pd :: "[_, nat ==> ('b ==> ant) set,
                             nat, nat] ==> 'b set"
                 (‹(4P _ _ _)› [98,98,98,99]98) where
  "P P n j = {x. x ∈ (carrier (O P n)) ∧ 0 < ((ν (P j)) x)}"

lemma (in Corps) zero_in_ring_n_pd_zero_K:"distinct_pds K n P ==> 
                               0O P n) = 0"
apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
done

lemma (in Corps) one_in_ring_n_pd_one_K:"distinct_pds K n P ==>
                                      1rO P n) = 1r"
apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
done

lemma (in Corps) mem_ring_n_pd_mem_K:"[distinct_pds K n P; x ∈carrier (O P n)]
 ==> x ∈ carrier K"
apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
done

lemma (in Corps) ring_n_tOp_K_tOp:"[distinct_pds K n P; x ∈ carrier (O P n); 
      y ∈ carrier (O P n)]  ==> x ⋅rO P n) y = x ⋅r y"
apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
done

lemma (in Corps) ring_n_exp_K_exp:"[distinct_pds K n P; x ∈ carrier (O P n)]
        ==> x^ ^m = x^^O P n) m"
apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
apply (induct_tac m) apply simp
 apply (simp add:one_in_ring_n_pd_one_K)

apply simp
 apply (frule_tac n = na in Ring.npClose[of "O P n" "x"], assumption+)
 apply (simp add:ring_n_tOp_K_tOp)
done

lemma (in Corps) prime_n_pd_prime:"[distinct_pds K n P; j ≤ n] ==>  
              prime_ideal (O P n) (P P n j)"
apply (subst prime_ideal_def)
 apply (rule conjI)
 apply (simp add:ideal_def)
 apply (rule conjI)
 apply (rule aGroup.asubg_test)
 apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"], simp add:Ring.ring_is_ag)
 apply (rule subsetI, simp add:prime_n_pd_def)
 apply (subgoal_tac "0O P n) ∈ P P n j")
 apply blast
 
 apply (simp add:zero_in_ring_n_pd_zero_K)
 apply (simp add:prime_n_pd_def)
 apply (simp add: ring_n_pd_def Sr_def)
 apply (cut_tac field_is_ring, simp add:Ring.ring_zero)
 apply (rule conjI) apply (rule allI, rule impI)
 apply (cut_tac P = "P ja" in representative_of_pd_valuation,
        simp add:distinct_pds_def, simp add:value_of_zero)
 apply (cut_tac P = "P j" in representative_of_pd_valuation,
        simp add:distinct_pds_def, simp add:value_of_zero)
 apply (simp add:ant_0[THEN sym])

 apply (rule ballI)+
 apply (simp add:prime_n_pd_def) apply (erule conjE)+
 apply (frule ring_n_pd [of "n" "P"], frule Ring.ring_is_ag[of "O P n"])
 apply (frule_tac x = b in aGroup.ag_mOp_closed[of "O P n"], assumption+)
 apply (simp add:aGroup.ag_pOp_closed)
  apply (thin_tac "Ring (O P n)") apply (thin_tac "aGroup (O P n)")
 apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
 apply (erule conjE)+
 apply (cut_tac v = "ν (P j)" and x = a and y = "-a b" in
        amin_le_plus)
 apply (rule_tac P = "P j" in representative_of_pd_valuation,
        simp add:distinct_pds_def)
 apply assumption+
 apply (cut_tac P = "P j" in representative_of_pd_valuation)
 apply (simp add:distinct_pds_def)
 apply (frule_tac x = "(ν (P j)) a" and y = "(ν (P j)) (-a b)" in
         amin_gt[of "0"])
 apply (simp add:val_minus_eq)

apply (frule_tac y = "amin ((ν (P j)) a) ((ν (P j)) (-a b))" and
 z = "(ν (P j)) ( a ± -a b)" in aless_le_trans[of "0"], assumption+)

apply (rule ballI)+
 apply (frule ring_n_pd [of "n" "P"])
 apply (frule_tac x = r and y = x in Ring.ring_tOp_closed[of "O P n"],
        assumption+)
 apply (simp add:prime_n_pd_def)
 apply (cut_tac P = "P j" in representative_of_pd_valuation,
        simp add:distinct_pds_def)
 apply (thin_tac "Ring (O P n)")
 apply (simp add:prime_n_pd_def ring_n_pd_def Sr_def, (erule conjE)+,
        simp add:val_t2p)
 apply (subgoal_tac "0 ≤ ((ν (P j)) r)")
 apply (simp add:aadd_pos_poss, simp)

 apply (rule conjI,
        rule contrapos_pp, simp+,
        simp add:prime_n_pd_def,
        (erule conjE)+, simp add: one_in_ring_n_pd_one_K,
        simp add:distinct_pds_def, (erule conjE)+,
        cut_tac representative_of_pd_valuation[of "P j"],
        simp add:value_of_one, simp)

apply ((rule ballI)+, rule impI)
 apply (rule contrapos_pp, simp+, erule conjE,
        simp add:prime_n_pd_def, (erule conjE)+,
        simp add:ring_n_pd_def Sr_def, (erule conjE)+,
        simp add:aneg_less,
        frule_tac x = "(ν (P j)) x" in ale_antisym[of _ "0"], simp,
        frule_tac x = "(ν (P j)) y" in ale_antisym[of _ "0"], simp)

 apply (simp add:distinct_pds_def, (erule conjE)+,
        cut_tac representative_of_pd_valuation[of "P j"],
        simp add:val_t2p aadd_0_l,
        simp)
done

lemma (in Corps) n_eq_val_eq_idealTr:
"[distinct_pds K n P; x ∈ carrier (O P n); y ∈ carrier (O P n); 
∀j ≤ n. ((ν (P j)) x) ≤ ((ν (P j)) y)] ==> Rxa (O P n) y ⊆ Rxa (O P n) x"
apply (subgoal_tac "∀j ≤ n. valuation K (ν (P j))")
 apply (case_tac "x = 0O P n)",
        simp add:zero_in_ring_n_pd_zero_K)
 apply (simp add:value_of_zero)
 apply (subgoal_tac "y = 0", simp,
        drule_tac a = n in forall_spec, simp,
        drule_tac a=n in forall_spec, simp)
 apply (cut_tac inf_ge_any[of "(ν (P n)) y"],
        frule ale_antisym[of "(ν (P n)) y" "∞"], assumption+)
 apply (rule value_inf_zero, assumption+)
 apply (simp add:mem_ring_n_pd_mem_K, assumption)
       
apply (frule ring_n_pd[of n P])
 apply (subgoal_tac "∀j≤n. 0 ≤ ((ν (P j)) (y ⋅r (x^<hyphen>K)))")
 apply (subgoal_tac "(y ⋅r (x^<hyphen>K)) ∈ carrier (O P n)")
 apply (cut_tac field_frac_mul[of "y" "x"],
        frule Ring.rxa_in_Rxa[of "O P n" "x" "y ⋅r (x^<hyphen>K)"], assumption+,
        simp add:ring_n_pd_tOp_K_tOp[THEN sym],
        frule Ring.principal_ideal[of "O P n" "x"], assumption+)
 
 apply (cut_tac Ring.ideal_cont_Rxa[of "O P n" "(O P n) ♢p x" "y"],
        assumption+,
        simp add:mem_ring_n_pd_mem_K,
        simp add:mem_ring_n_pd_mem_K,
        simp add:zero_in_ring_n_pd_zero_K)
 apply (frule Ring.rxa_in_Rxa[of "O P n" "x" "y ⋅r (x^<hyphen>K)"], assumption+,
        simp add:ring_n_pd_def Sr_def,
        (erule conjE)+,
        cut_tac field_is_ring, rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+,
        cut_tac invf_closed1[of x], simp, simp,
        simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
 apply (cut_tac Ring.ring_tOp_closed, assumption+,
        cut_tac field_is_ring, assumption+, simp+,
        cut_tac invf_closed1[of x], simp, simp)

 apply (rule allI, rule impI, drule_tac a = j in forall_spec, assumption+,
        cut_tac invf_closed1[of x], simp, erule conjE)
 apply (subst val_t2p [where v="ν P j"], simp,
        rule mem_ring_n_pd_mem_K[of "n" "P" "y"], assumption+,
        frule_tac x = j in spec, simp,
        simp add:zero_in_ring_n_pd_zero_K)
 apply (subst value_of_inv [where v="ν P j"], simp,
        simp add:ring_n_pd_def Sr_def, assumption+)
 apply (frule_tac x = "(ν (P j)) x" and y = "(ν (P j)) y" in ale_diff_pos,
        simp add:diff_ant_def,
        simp add:mem_ring_n_pd_mem_K[of "n" "P" "x"] zero_in_ring_n_pd_zero_K)

apply (rule allI, rule impI,
       simp add:distinct_pds_def, (erule conjE)+,
       rule_tac P = "P j" in representative_of_pd_valuation, simp)
done
 
lemma (in Corps) n_eq_val_eq_ideal:"[distinct_pds K n P; x ∈ carrier (O P n);
      y ∈ carrier (O P n); ∀j ≤ n.((ν (P j)) x) = ((ν (P j)) y)] ==>  
                 Rxa (O P n) x = Rxa (O P n) y"
apply (rule equalityI)
 apply (subgoal_tac "∀j≤ n. (ν (P j)) y ≤ ((ν (P j)) x)")
 apply (rule n_eq_val_eq_idealTr, assumption+)
 apply (rule allI, rule impI, simp)

 apply (subgoal_tac "∀j≤ n. (ν (P j)) x ≤ ((ν (P j)) y)")
 apply (rule n_eq_val_eq_idealTr, assumption+)
 apply (rule allI, rule impI)
 apply simp
done
 
definition
  mI_gen :: "[_ , nat ==> ('r ==> ant) set, nat, 'r set] ==> 'r" where
  "mI_gen K P n I = (SOME x. x ∈ I ∧ 
                             (∀j ≤ n. (ν (P j)) x = LI K (ν (P j)) I))"

definition
  mL :: "[_, nat ==> ('r ==> ant) set, 'r set, nat] ==> int" where
  "mL K P I j = tna (LI K (ν (P j)) I)"

lemma (in Corps) mI_vals_nonempty:"[distinct_pds K n P; ideal (O P n) I; j≤n]
    ==> (ν (P j)) ` I ≠ {}"
apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
apply (frule Ring.ideal_zero [of "O P n" "I"], assumption+)

apply (simp add:image_def)
apply blast
done

lemma (in Corps) mI_vals_LB:"[distinct_pds K n P; ideal (O P n) I; j ≤ n] ==>
       ((ν (P j)) `I) ⊆ LBset (ant 0)"
apply (rule subsetI)
apply (simp add:image_def, erule bexE)
 apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
 apply (frule_tac h = xa in Ring.ideal_subset[of "O P n" "I"], assumption+)
 apply (thin_tac "ideal (O P n) I")
 apply (thin_tac "Ring (O P n)")
 apply (simp add: ring_n_pd_def Sr_def) apply (erule conjE)+
 apply (drule_tac a = j in forall_spec, simp)
 
apply (simp add:LBset_def ant_0)
done

lemma (in Corps) mL_hom:"[distinct_pds K n P; ideal (O P n) I; 
      I ≠ {0O P n)}; I ≠ carrier (O P n)] ==> 
      ∀j ≤ n. mL K P I j ∈ Zset"
apply (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:mL_def LI_def)
 apply (simp add:Zset_def)
done

lemma (in Corps) ex_Zleast_in_mI:"[distinct_pds K n P; ideal (O P n) I; j ≤ n]
      ==> ∃x∈I. (ν (P j)) x = LI K (ν (P j)) I"
apply (frule_tac j = j in mI_vals_nonempty[of "n" "P" "I"], assumption+)
 apply (frule_tac j = j in mI_vals_LB[of "n" "P" "I"], assumption+)
 apply (frule_tac A = "(ν (P j)) ` I" and z = 0 in AMin_mem, assumption+)
 apply (simp add:LI_def)
 apply (thin_tac "(ν (P j)) ` I ⊆ LBset (ant 0)")
 apply (simp add:image_def, erule bexE)
 apply (drule sym)
 apply blast
done

lemma (in Corps) val_LI_pos:"[distinct_pds K n P; ideal (O P n) I; 
       I ≠ {0O P n)}; j ≤ n] ==> 0 ≤ LI K (ν (P j)) I"
apply (frule_tac j = j in mI_vals_nonempty[of n P I], assumption+)
 apply (frule_tac j = j in mI_vals_LB[of n P I], assumption+)
 apply (frule_tac A = "(ν (P j)) ` I" and z = 0 in AMin_mem, assumption+)
 apply (simp add:LI_def)
apply (frule subsetD[of "(ν (P j)) ` I" "LBset (ant 0)" "AMin ((ν (P j)) ` I)"], assumption+)
apply (simp add:LBset_def ant_0)
done

lemma (in Corps) val_LI_noninf:"[distinct_pds K n P; ideal (O P n) I; 
       I ≠ {0O P n)}; j ≤ n] ==> LI K (ν (P j)) I ≠ ∞"
 apply (frule_tac j = j in mI_vals_nonempty[of "n" "P" "I"], assumption+)
 apply (frule_tac j = j in mI_vals_LB[of "n" "P" "I"], assumption+)
 apply (frule_tac A = "(ν (P j)) ` I" and z = 0 in AMin, assumption+)
 apply (thin_tac "(ν (P j)) ` I ⊆ LBset (ant 0)",
        thin_tac "(ν (P j) ) ` I ≠ {}")
 apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
 apply (frule Ring.ideal_zero[of "O P n" "I"], assumption+)
 apply (erule conjE, simp add:LI_def)
 apply (frule singleton_sub[of "0 P n" "I"])
 apply (frule sets_not_eq[of "I" "{0 P n}"],
        assumption+, erule bexE)
 apply (simp add:zero_in_ring_n_pd_zero_K)
 apply (subgoal_tac "∃x∈I. AMin ((ν (P j)) ` I) = (ν (P j)) x",
        erule bexE) apply simp
 apply (drule_tac x = a in bspec, assumption)
 apply (thin_tac "AMin ((ν (P j)) ` I) = (ν (P j)) x")

 apply (frule_tac h = a in Ring.ideal_subset[of "O P n" "I"], assumption+)
 apply (frule_tac x = a in mem_ring_n_pd_mem_K[of n P], assumption+)
 apply (simp add:distinct_pds_def, (erule conjE)+)
 apply (cut_tac representative_of_pd_valuation[of "P j"])
 defer apply simp apply blast
 apply (frule_tac x = a in val_nonzero_z[of "ν (P j)"], assumption+,
        erule exE, simp)
 apply (thin_tac "∀l ≤ n. ∀m ≤ n. l ≠ m ⟶ P l ≠ P m",
        thin_tac "(ν (P j)) a = ant z")

 apply (rule contrapos_pp, simp+)
 apply (cut_tac x = "ant z" in inf_ge_any)
 apply (frule_tac x = "ant z" in ale_antisym[of _ "∞"], assumption+)
 apply simp
done

lemma (in Corps) Zleast_in_mI_pos:"[distinct_pds K n P; ideal (O P n) I; 
       I ≠ {0O P n)}; j ≤ n] ==> 0 ≤ mL K P I j"
apply (simp add:mL_def)
apply (frule ex_Zleast_in_mI[of "n" "P" "I" "j"], assumption+,
       erule bexE, frule sym, thin_tac "(ν (P j)) x = LI K (ν (P j)) I")
apply (subgoal_tac "LI K (ν (P j)) I ≠ ∞", simp)
apply (thin_tac "LI K (ν (P j)) I = (ν (P j)) x")

 apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
 apply (frule_tac h = x in Ring.ideal_subset[of "O P n" "I"], assumption+)
 apply (thin_tac "ideal (O P n) I")
 apply (thin_tac "Ring (O P n)")
 apply (simp add: ring_n_pd_def Sr_def) apply (erule conjE)
 apply (drule_tac a = j in forall_spec, assumption)
 apply (simp add:apos_tna_pos)
apply (rule val_LI_noninf, assumption+)
done

lemma (in Corps) Zleast_mL_I:"[distinct_pds K n P; ideal (O P n) I; j ≤ n;
   I ≠ {0O P n)}; x ∈ I] ==> ant (mL K P I j) ≤ ((ν (P j)) x)"
apply (frule val_LI_pos[of "n" "P" "I" "j"], assumption+)
apply (frule apos_neq_minf[of "LI K (ν (P j)) I"])
apply (frule val_LI_noninf[of "n" "P" "I" "j"], assumption+)
apply (simp add:mL_def LI_def)
apply (simp add:ant_tna)
apply (frule Zleast_in_mI_pos[of "n" "P" "I" "j"], assumption+)

apply (frule mI_vals_nonempty[of "n" "P" "I" "j"], assumption+)
apply (frule mI_vals_LB[of "n" "P" "I" "j"], assumption+)
apply (frule AMin[of "(ν (P j)) `I" "0"], assumption+)
 apply (erule conjE)
apply (frule Zleast_in_mI_pos[of "n" "P" "I" "j"], assumption+)
 apply (simp add:mL_def LI_def)
done

lemma (in Corps) Zleast_LI:"[distinct_pds K n P; ideal (O P n) I; j ≤ n;
   I ≠ {0O P n)}; x ∈ I] ==> (LI K (ν (P j)) I) ≤ ((ν (P j)) x)"
apply (frule mI_vals_nonempty[of "n" "P" "I" "j"], assumption+)
apply (frule mI_vals_LB[of "n" "P" "I" "j"], assumption+)
apply (frule AMin[of "(ν (P j)) `I" "0"], assumption+)
 apply (erule conjE)
apply (simp add:LI_def)
done

lemma (in Corps) mpdiv_vals_nonequiv:"distinct_pds K n P ==> 
             vals_nonequiv K n (λj. ν (P j)) "
apply (simp add:vals_nonequiv_def)
 apply (rule conjI)
 apply (simp add:valuations_def)
 apply (rule allI, rule impI)
 apply (rule representative_of_pd_valuation,
        simp add:distinct_pds_def)
apply ((rule allI, rule impI)+, rule impI)
 apply (simp add:distinct_pds_def, erule conjE)
 apply (rotate_tac 4) apply (
        drule_tac a = j in forall_spec, assumption)
 apply (rotate_tac -1,
        drule_tac a = l in forall_spec, assumption, simp)
 apply (simp add:distinct_p_divisors)
done

definition
  KbaseP :: "[_, nat ==> ('r ==> ant) set, nat] ==> 
                                          (nat ==> 'r) ==> bool" where
  "KbaseP K P n f ⟷ (∀j ≤ n. f j ∈ carrier K) ∧ 
     (∀j ≤ n. ∀l ≤ n. (ν (P j)) (f l) =  (δ l))"

definition
  Kbase :: "[_, nat, nat ==> ('r ==> ant) set] 
               ==> (nat ==> 'r)" (‹(3Kb _ _)› [95,95,96]95) where
  "Kb n P  = (SOME f. KbaseP K P n f)"

lemma (in Corps) KbaseTr:"distinct_pds K n P ==>  ∃f. KbaseP K P n f"
apply (simp add: KbaseP_def)
 apply (frule mpdiv_vals_nonequiv[of "n" "P"])
 apply (case_tac "n = 0")
  apply (simp add:vals_nonequiv_def valuations_def)
  apply (simp add:distinct_pds_def)
  apply (frule n_val_n_val1[of "P 0"])
  apply (frule n_val_surj[of "ν (P 0)"])
  apply (erule bexE)
  apply (subgoal_tac " ((\<lambda>j\<in>{0::nat}. x) (0::nat)) \<in> carrier K \<and> 
         (\<nu>\<^bsub>K (P 0)\<^esub>) ((\<lambda>j\<in>{0::nat}. x) (0::nat)) = (\<delta>\<^bsub>0 0\<^esub>)") 
  apply blast
  apply (rule conjI)
 apply simp apply (simp add:Kronecker_delta_def)
 apply (cut_tac Approximation1_5[of "n - Suc 0" "\<lambda>j. \<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>"])
 apply simp 
 apply simp+
 apply (rule allI, rule impI)
 apply (rule n_val_n_val1 )
 apply (simp add:distinct_pds_def)
done

lemma (in Corps) KbaseTr1:"distinct_pds K n P \<Longrightarrow>  KbaseP K P n (Kb\<^bsub>K n P \<^esub>)"
apply (subst Kbase_def)
apply (frule KbaseTr[of n P])
apply (erule exE)
apply (simp add:someI)
donejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 5 out of bounds for length 5

lemma (in Corps) Kbase_hom:"distinct_pds K)<esub)` I and  =0 AMin_mem assumption
                       \<forall>j \<le> n. (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) j \<in> carrier K"       
apply (frule KbaseTr1[of "n" "P"])
apply (simp add:KbaseP_def)
done

 in):" K nP \Longrightarrow> 
      \<forall>j \<le> n. \<forall>l \<le> n. (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ((Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) l) = \<delta apply (frule_tacj = j inmI_vals_nonemptyof apply (frule_tac j = j in mI_vals_LB[of "n" "P" "I"], assumption+)
apply (frule KbaseTr1[of n P])
apply (simp add:KbaseP_def)
done   

lemma (in Corps) Kbase_nonzero:"distinct_pds K n P \<Longrightarrow> 
                        \<forall>j \<le> n. (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) j \<noteq> \<zero>"
apply (rule allI, rule impI)
 apply (frule Kbase_Kronecker[of n P])
 apply(subgoal_tac"\<u><^>K (Pj)\^esub) (\^bsub>)  \delta>\^bsub> <^esub>")
 apply (thin_tac "\<forall>j\<le>n. (\<forall>l\<le>n. ((\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>) ((Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) l)) = \<delta>\<^bsub>j l\<^esub>)")
 apply (simp add:Kronecker_delta_def)
 apply (rule contrapos_pp, simp+)
 apply (cut_tac P = "P j" in representative_of_pd_valuation)  
 apply (simp add:distinct_pds_def)
  ( onlyvalue_of_zero,simp:[ ]
        frule sym, thin_tac " \<infinity> = ant 1", simp java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 57 out of bounds for length 30
apply simp
done

lemma (in Corps) Kbase_hom1:"distinct_pds K n P \<Longrightarrow> 
                    \<forall>j \<le> n. (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) j \<in> carrier K - {\<zero>}"
by(simp add:Kbase_nonzero Kbase_hom)

definition
  Zl_mI :: "[_, nat \<Rightarrow> ('b \<Rightarrow> ant) set, 'b set]
                         \<Rightarrow> nat \<Rightarrow> 'b" where
  "Zl_mI K P I j = (SOME x. (x \<in> I \<and> ( (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) x = LI K (\<nu>\<^ simpjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 12 out of bounds for length 12

 inCorpsvalue_Zl_mI"<>distinct_pds K  ;ideal O<bsubKP n<esub)I;j\le n\<rbrakk
\Longrightarrow  Zl_mI  I <> \<nu><bsubK Pj\<esub> Zl_mIK  Ij = K(<u\<bsubK ( )\^> "
 subgoal_tac"<xists> (\<n I\<and> (\nu\<bsubK(P )\<sub)   LI \<nu>\^bsub> (P j\<^>)I))"java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 127 out of bounds for length 127
apply (subst Zl_mI_def)+
apply (rule someI2_ex, assumption+) 
apply (frule ex_Zleast_in_mI[of "n" "P" "I" "j"], assumption+)
apply (erule bexE, blast) 
done

lemma (in Corps) Zl_mI_nonzero:"\<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; 
      I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}; j \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow>  Zl_mI K P I j \<noteq> \<zero>"
apply (case_tac "n = 0")
apply (simp add:distinct_pds_def) 
 apply (frule representative_of_pd_valuation[of "P 0"])
apply( "\<bsubK  0<esub =  K \<nu>\^bsubK( 0\<esub>")
 apply (subgoal_tac "Zl_mI K P I 0 = Ig done 
 apply simp apply (simp add:Ig_nonzero)
applysimpadd: Zl_mI_def)
 apply (simp add:ring_n_pd_def Vr_def)

 apply (simp)
 apply (frule apply ( apos_neq_minfof"  (\nu\<^bsubK ( j)<esub> I")
 apply (erule conjE)
 apply (rule contrapos_pp, simp+)
 apply (frule distinct_pds_valuation1[of n j P], assumption+)
 apply (simp add:value_of_zero)
 apply (simp add:zero_in_ring_n_pd_zero_K)
 apply (frule singleton_sub[of "\<zero>" "I"], 
        frule sets_not_eq[of "I" "{\<zero>}"], assumption,
        erule bexE, simp)
 apply (frule_tac x = a in Zleast_mL_I fruleZleast_in_mI_pos[of"""" "" "j], assumption)
 apply (frule_tac x = a in val_nonzero_z[of "\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>"])
 apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
 apply (frule_tac h = a in Ring.ideal_subset[of "O\<^bsub>K P n\<^esub>" "I"], assumption+)
applysimpadd:em_ring_n_pd_mem_K) apply assumption

apply (simp add:zero_in_ring_n_pd_zero_K) apply assumption
apply (frule val_LI_noninf[THEN not_sym, of "n" "P" "I" "j"], assumption+)
 apply (simp add:zero_in_ring_n_pd_zero_K) apply assumption
 apply simp
done
 
lemma (in Corps) Zl_mI_mem_K:"\<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
       \<Longrightarrow> (Zl_mI K P I l) \<in> carrier K"
 ( [of "n"P" I "",assumption)
apply (erule conjE) 
 apply (frule, ruleimpI
 apply (frule Ring.ideal_subset[of "O\<^bsub>K P n\<^esub>" "I" "Zl_mI K P I l"], assumption+)
 apply (simp add:mem_ring_n_pd_mem_K[of "n" "P" "Zl_mI K P I l"])
done

definition
  mprod_exp :: "[_, nat \<Rightarrow> int, nat \<Rightarrow> 'b, nat] 
              \<Rightarrow> 'b" where
  "mprod_exp K e f n = nprod K (\<lambda>j. ((f j)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(e j)\<^esup>)) n"        drule_tac a  = l in forall_spec, assumption, simp

lemma(inCorps)mprod_expR_memTr:"(\<>j\le>n fj <in carrier K  \<ongrightarrow  
                      mprod_expR K e f n \<in> carrier K"
apply (cut_tac field_is_ring)
apply (induct_tac n)
 apply (rule impI, simp) 
 apply (simp add:mprod_expR_def)
apply(cut_tac RingnpClose[of K "f 0""e 0"], assumption+)

apply (rule impI) 
 apply simp
 apply (subst Ring.mprodR_Suc, assumption+)
 apply (simp)
 apply (simp)
 apply (rule Ring.ring_tOp_closed[of K], assumption+)
 apply (rule Ring.npClose, assumption+) 
 apply simp 
done

lemma (in Corps) mprod_expR_mem:"\<forall>j \<le> n. f j \<in> carrier K \<Longrightarrow> 
           mprod_expR K e f n \<in> carrier K"
apply (cut_tac field_is_ring) 
apply (cut_tac Ring.mprod_expR_memTr[of K e n f])
apply simp
pply( f\in> {j.j \le n}\rightarrow carrierK" simp+
done 

lemma (in Corps) mprod_Suc:"\<applyblast
                \<forall>j \<le> (Suc n). f j \<in> (carrier K - {\<zero>})\<rbrakk> \<Longrightarrow> 
 mprod_exp K e f (Suc n) = (mprod_exp K e f n) \<cdot>\<^sub>r ((f (Suc n))java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 75 out of bounds for length 20
apply (simp add:mprod_exp_def)
done

 in)mprod_memTr"
 (\<forall>j \<le> n. e j \<in> Zset) \<and> (\<forall>j \<le> n. f j \<in> ((carrier K) - {\<zero>})) \<longrightarrow> 
       (mprod_exp K e f n) \<in> ((carrier K) - {\<zero>})" 
apply (induct_tac n)
 apply (simp, rule impI, (erule conjE)+,
        simp add:mprod_exp_def, simp add:npowf_mem,
        simp add:field_potent_nonzero1) 
apply (rule impI, simp, erule conjE,
       cut_tac field_is_ring, cut_tac field_is_idom,
       erule conjE, simp add:mprod_Suc)
 apply (rule conjI)
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 77 out of bounds for length 55
        simp add:npowf_mem)
 apply (rule Idomain.idom_tOp_nonzeros, assumption+,
        simp add:npowf_mem, assumption,
        simp add:field_potent_nonzero1) 
done

lemma (in Corps) mprod_mem:"\<lbrakk>\<forall>j \<le> n. e j \<in> Zset; \<forall>j \<le> n. f j \<( add:KbaseP_def
apply (cut_tac mprod_memTr[of n e f]) apply simp
done

lemma (in Corps) mprod_mprodR:"\<lbrakk>\<forall>j \<le> n. e j \<in>                        <forall>j \le> n (\<^bsubK n \<^>)j\noteq <zero"
 \<forall>j \<le> n. f j \<in> ((carrier K) - {\<zero>})\<rbrakk> \<Longrightarrow> 
              mprod_exp K e f n = mprod_expR K (nat o e) f n"
apply (cut_tac field_is_ring)
apply (simp add:mprod_exp_def mprod_expR_def) 
apply (rule Ring.nprod_eq, assumption+)
 apply ( , ruleimpI,simp:)
 apply (rule allI,ronecker_delta_def)
apply (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:npowf_def)
done

subsection "Representation of an ideal I as a product of prime ideals"

lemma (in Corps) ring_n_mprod_mprodRTr:"distinct_pds K n P \<Longrightarrow> 
       (\<forall>j \<le> m. e j \<in> Zset) \<and> (\<forall>j \<le> m. 0 \<le> (e j)) \<and> 
       (\<forall>j \<le> m. f j \<in> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>)-{\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}) \<longrightarrow> 
        mprod_exp K e f m = mprod_expR (O\<^bsub>K P n\<^esub>) (nat o e) f m"
pplyfrule ring_n_pdofn ]
apply (induct_tac m) 
 ruleimpI ( conjE+
        simp add:mprod_exp_def mprod_expR_def)
 apply (erule conjE, simp add:npowf_def, simp add:ring_n_exp_K_exp) 

apply (rule impI, (erule conjE)+, simp)  
 apply (subst mprod_Suc, assumption+,
ruleallI,rule ,
        simp add:mem_ring_n_pd_mem_K,
        simp add:zero_in_ring_n_pd_zero_K)
  apply (subst Ring.mprodR_Suc, assumption+,
          ,blast) 
         simp)
  apply (simp add:ring_n_pd, simp add:npowf_def, 
         simp add:ring_n_exp_K_exp) 
 apply ( ring_n_tOp_K_tOp, +java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 44 out of bounds for length 44
  Ring.mprod_expR_mem, addring_n_pd
        simp
simp)
 apply (rule Ring.npClose, simp add:ring_n_pd, simp, simp)
done

lemma (in Corps) ring_n_mprod_mprodR:"
 \<forall>j \<le> m. 0 \<le> (e j); \<forall>j \<le> m. f j \<in> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>)-{\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub> applyfrule value_Zl_mIn   ]+
 <Longrightarrow>  mprod_exp  e fm  mprod_expR(\^>K Pn\^esub) (at  )f m
apply (simp add:ring_n_mprod_mprodRTr)
done

lemma (in Corps) value_mprod_expTr:"valuation K v  \<Longrightarrow> 
 (\<        frulesets_not_eq[of "I" "\zero>}" assumption
 v (mprod_exp K e f n) =  ASum  (\<lambda>j. (e j) *\<^sub>a (v (f j))) n"  
apply (induct_tac n)
 apply simp
 apply (rule impI, erule conjE)
 apply(simp add:mprod_exp_def val_exp) 

apply (rule impI, erule conjE)
 apply simp
 apply (subst mprod_Suc, assumption+)
 apply( allI,rule impI simp
 apply (subst val_t2p[of v], assumption+)
 apply (cut_tac n = "n" in mprod_mem[of _ e f],
        (rule allI, rule impI, simp)+, simp)
 apply(simp addnpowf_mem simp addfield_potent_nonzero1)
 apply (simp add:val_exp[THEN sym, of "v"]) 
done 

lemma (in Corps) value_mprod_exp:"\<lbrakk>valuation K v; \<forall>j \<le> n. e j \<in> Zset; 
       apply( Ringideal_subset[of"\^bsub>K  n\^esub>""I" "Zl_mIKPI l"] assumption)
  ( add:mem_ring_n_pd_mem_K[of"" "" "Zl_mI  P Il"]
apply (simp add:value_mprod_expTr)
done

lemma (in Corps) mgenerator0_1:"\<lbrakk>distinct_pds K (Suc n) P; 
 ideal (O\<^bsub>K P (Suc n)\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P (Suc n)\<^esub>)\<^esub>}; 
 I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P (Suc n)\<^esub>); j \<le> (Suc n)\<rbrakk> \<Longrightarrow>
((\<nu>\<^mprod_expR    n\in 
                   ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^apply(cut_tac field_is_ring)
apply (frule distinct_pds_valuation[of j n P], assumption+)
 apply (frule mL_hom[of "Suc n" "P" "I"], assumption+)
 apply (frule Kbase_hom1[of "Suc n" "P"]) 
 apply (frule value_mprod_exp[of "\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>" "Suc n" "mL K P I" 
           "Kb\<^bsub>K (Suc n) P\<^esub>"], assumption+)

 apply (simp del:ASum_Suc)
 apply (thin_tac "(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (mprod_exp K (mL K P I) (Kb\<^bsub>K (Suc n) P\<^esub>) (Suc n)) =
     ASum (\<lambda>ja. (mL K P I ja) *\<^sub>a (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ((Kb\<^bsub>K (Suc n) P\<^esub>) ja)) (Suc n)")
apply (subgoal_tac "ASum (\<lambda>ja. (mL K P I ja) *\<^sub>a 
      ((\<nu> apply( RingnpClose assumptionassumption 
                ASum (\<lambda>ja. (mL K P I ja) *\<^sub>a (\<delta>\<^bsub>j ja\<^esub>)) (Suc n)")
apply (simp del:ASum_Suc)
apply (subgoal_tac "\<forall>h \<le in Corps mprod_expR_mem:\<orallj <> n f j\<> carrier K <Longrightarrow 
apply (cut_tac eSum_single[of "Suc n" "\<lambda>ja. (mL K P I ja) *\<^sub>a (\<delta>\<^bsub>j ja\<^esub>)" "j"])
  
 apply (simp add:Kronecker_delta_def asprod_n_0)
 apply ( 1  not_sym 
apply (simp add:mL_def[of "K" "P" "I" "j"])

apply( val_LI_noninf[ Sucn""P"" "I "j" assumption
 apply (rule not_sym, simp, simp)
apply (frule val_LI_pos[of "Suc n" "P" "I" "j"], assumption+,
       rotate_tac -2, frule not_sym, simp, simp)

apply (frule apos_neq_minf[of "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) lemma ( )mprod_memTr:
apply (simp add:ant_tna) 
apply (simp add:value_Zl_mI[of "Suc n" "P" "I" "j"])
apply (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:Kdelta_in_Zinf, simp)
 apply (rule ballI, simp)
 apply (simp add:Kronecker_delta_def, erule conjE)
 apply (simp add:asprod_n_0)

apply (rule        field_is_ring cut_tacfield_is_idomjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 52 out of bounds for length 52
 apply (simp add:Kdelta_in_Zinf)

apply (frule  Kbase_Kronecker[of "Suc n" "P"])
 apply (rule ASum_eq,
        rule allI, rule impI,
        simp add:delta_in_Zinf,
        ruleallI,  impI
        simp add:Kdelta_in_Zinf)
apply (rule allI, rule impI) apply simp
done

lemma (in Corps) mgenerator0_2:"\<lbrakk> 0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; 
 I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n\<rbrakk>  \<Longrightarrow>
((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (mprod_exp K (mL K P I) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)) =  ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (simpadd mprod_expR_def 
apply (cut_tac mgenerator0_1[of  "n - Suc 0" "P" "I" "j"])
 apply simp+
done

lemma (in Corps) mgenerator1:"\<lbrakk  (simp addnpowf_def)
 I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> njava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 118 out of bounds for length 0
((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (mprod_exp K (mL K P I) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)) = ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (Zl_mI K P I j))"
apply (case_tac "n = 0",
       frule value_Zl_mI[of "n" "P" "I" "j"], assumption+,
       frule
       frule val_LI_pos[of  "n" "P" "I" "j"], assumption+,
       frule apos_neq_minf[of "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I"],
       simp add:distinct_pds_def, erule conjE)  
 apply (cut_tac representative_of_pd_valuation[of "P j"], simp+,
        simp add:mprod_exp_def,
        subst val_exp[THEN sym, of "\<nu>\<^bsub>K (P 0)\<^esub>" "(Kb\<^bsub>K 0 P\<^esub>) 0"], assumption+,
        cut_tac Kbase_hom[of "0" "P"], simp,
        simp add:distinct_pds_def,
         Kbase_nonzeroof 0 P] simp,
        simp add:distinct_pds_def) 
 apply (cut_tac Kbase_nonzero[of "0" "P"], simp add:distinct_pds_def) 
 apply (cut_tac Kbase_Kronecker[of "0" "P"], simp add:distinct_pds_def) 
 apply (simp add:Kronecker_delta_def, simp add:mL_def, simp add:ant_tna)
 apply (simp add:distinct_pds_def)+
apply (cut_tac mgenerator0_2[of "n" "P" "I" "j"], simp+)
 apply (simp add:distinct_pds_def) apply simp+
done
    
lemma (in Corps) mgenerator2Tr1:"\<lbrakk>0 < n; j \<le> n; k \<le> n; distinct_pds K n P\<rbrakk> \<Longrightarrow>
      (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (mprod_exp K (\<lambda>l. \<gamma>\<^bsub>k l\<^esub> ) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n) = (\<gamma>\<^bsub>k j\<^esub>) *\<^sub>a (\<delta>\<^bsub>j j\<^esub>)"
apply (frule distinct_pds_valuation1[of "n" "j" "P"], assumption+)
apply (frule K_gamma_hom[of k n]) 
apply (subgoal_tac "\<forall>j \<le> n. (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) j \<in> carrier K - {\<zero>}")
apply (simp add:value_mprod_exp[of "\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>" n "K_gamma k" "(Kb\<^bsub>K n P\<^esub>)"])
apply (subgoal_tac "ASum (\<lambda>ja. (\<gamma>\<^bsub>k ja\<^esub>) *\<^sub>a (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ((Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) ja)) n
       = ASum (\<lambda>ja. (((\<gamma>\<^bsub>k ja\<^esub>) *\<^sub>a (\<delta>\<^bsub>j ja\<^esub>)))) n")
 apply simp
 apply (subgoal_tac "\<forall>j \<le> n. (\<lambda>ja. (\<gamma>\<^bsub>k ja\<^esub>) *\<^sub>a (\<delta>\<^bsub>j ja\<^esub>)) j \<in> Z\<^sub>\<infinity>")
 apply (cut_tac eSum_single[of n "\<lambda>ja. ((\<gamma>\<^bsub>k ja\<^esub>) *\<^sub>a (\<delta>\<^bsub>j ja\<^esub>))"  "j"], simp)
 apply (rule allI, rule impI, simp add:Kronecker_delta_def, 
        rule impI, simp add:asprod_n_0 Zero_in_aug_inf, assumption+)
 apply (java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 145 out of bounds for length 145
  apply (simp add:K_gamma_def, rule impI, simp add:Kronecker_delta_def) 
  apply (rule allI, rule impI)
  apply (simp add:Kronecker_delta_def, simp add:K_gamma_def)
 apply (simp add:ant_0 Zero_in_aug_inf)
 apply (cut_tac z_in_aug_inf[of 1], simp add:ant_1) 

 apply (rule ASum_eq)
  apply (rule allI, rule impI)
  apply (simp add:K_gamma_def, simp add:Zero_in_aug_inf) 
  apply (rule impI, rule value_in_aug_inf, assumption+, simp)
  apply (simp add:K_gamma_def Zero_in_aug_inf Kdelta_in_Zinf1)
  apply (rule allI, rule impI)
  apply (simp add:Kbase_Kronecker[of "n" "P"])
  apply (rule Kbase_hom1, assumption+)
done

lemma (in Corps) mgenerator2Tr2:"\<lbrakk>0 < n; j \<le> n; k \<le> n; distinct_pds K n P\<rbrakk> \<Longrightarrow>
     (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ((mprod_exp K (\<lambda>l. \<gamma>\<^bsub>k l\<^esub> ) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m\<^esup>)= ant (m * (\<gamma>\<^bsub>k j\<^esub>))"

apply (frule K_gamma_hom[of k n])
apply (frule Kbase_hom1[of "n" "P"])
apply (frule mprod_mem[of n "K_gamma k" "Kb\<^bsub>K n P\<^esub>"], assumption+)
apply (frule distinct_pds_valuation1[of "n" "j" "P"], assumption+)
apply (simp, erule conjE)
apply (simp add:val_exp[THEN sym])
apply (simp add:mgenerator2Tr1)
 apply (simp add:K_gamma_def Kronecker_delta_def)
 apply (rule impI)
 apply (simp add:asprod_def a_z_z)
done

lemma (in Corps) mgenerator2Tr3_1:"\<lbrakk>0 < n; j \<le> n; k \<le> n; j = k; 
      distinct_pds K n P\<rbrakk> \<Longrightarrow>
          (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ((mprod_exp K (\<lambda>l. (\<gamma>\<^bsub>k l\<^esub>)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m\<^esup>) = 0"
apply (simp add:mgenerator2Tr2) apply (simp add:K_gamma_def)
done

lemma (in Corps) mgenerator2Tr3_2:"\<lbrakk>0 < n; j \<le> n; k \<le> n; j \<noteq> k; 
      distinct_pds K n P\<rbrakk> \<Longrightarrow>
      (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ((mprod_exp K (\<lambda>l. (\<gamma>\<^bsub>k l\<^esub>)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m\<^esup>) = ant m"
apply (simp add:mgenerator2Tr2) apply (simp add:K_gamma_def)
done

lemma (in Corps) mgeneratorTr4:"\<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; 
      I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> 
       mprod_exp K (mL K P I) (Kb\<^   Kbase_Kronecker"""", add) 
apply (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (mprod_exp K (\<lambda>l. \<gamma>\<^bsub>k l\<^esub> ) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n) =java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 72 out of bounds for length 72
apply (simp add:Sr_def)
 apply (frule mL_hom[of  "n" "P" "I"], assumption+)
 apply (frule mprod_mem[of n "mL K P I" "Kb\<^bsub>K n P\<^esub>"])
 apply (rule Kbase_hom1, assumption+)

 apply (simp add:mprod_mem)

apply (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:mgenerator1)
 apply (simp add:value_Zl_mI)
 apply (simp add:val_LI_pos)
done

definition
  m_zmax_pdsI_hom :: "[_, nat \<Rightarrow> ('b \<Rightarrow> ant) set, 'b set] \<Rightarrow> nat \<Rightarrow> int" where
  "m_zmax_pdsI_hom K P I = (\<lambda>j. tna (AMin ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ` I)))"

definition
  m_zmax_pdsI :: "[_, nat, nat \<Rightarrow> ('b \<Rightarrow> ant) set, 'b set] \<Rightarrow> int" where
  "m_zmax_pdsI K n P I = (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I)) + 1"
 
lemma (in Corps) value_Zl_mI_pos:"\<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I;
     I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n; l \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow>
     0 \<le> ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (Zl_mI K P I l))"
apply (frule value_Zl_mI[of "n" "P" "I" "l"], assumption+)
apply (erule conjE) 
 apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
 apply (frule Ring.ideal_subset[of "O\<^bsub>K P n\<^esub>" "I" "Zl_mI K P I l"], assumption+)
 apply (thin_tac "ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I")
 apply (thin_tac "I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}")
 apply (thin_tac "I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>)")
 apply (thin_tac "Ring (O\<^bsub>K P n\<^esub>)")
 apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def) 
done

lemma (in Corps) value_mI_genTr1:"\<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I;
 I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow>
 (mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax_pdsI K n P I)\<^esup> \<in> carrier K"
apply (frule K_gamma_hom[of "j" "n"])
apply (frule mprod_mem[of n "K_gamma j" "Kb\<^bsub>K n P\<^esub>"])
 apply (rule Kbase_hom1, assumption+)
apply (rule npowf_mem)
 apply simp+
done

lemma (in Corps) value_mI_genTr1_0:"\<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; 
 ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n\<rbrakk>
 \<Longrightarrow> (mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n) \<in> carrier K" 
apply (frule K_gamma_hom[of "j" "n"])
apply (frule mprod_mem[of n "K_gamma j" "Kb\<^bsub>K n P\<^esub>"])
 apply (rule Kbase_hom1, assumption+)
 apply simp
done


lemma (in Corps) value_mI_genTr2:"\<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I;
 I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow>
 (mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax_pdsI K n P I)\<^esup> \<noteq> \<zero>"
 apply (frule K_gamma_hom[of "j" "n"])
 apply (frule mprod_mem[of n "K_gamma j" "Kb\<^bsub>K n P\<^esub>"])
 apply (rule Kbase_hom1, assumption+) apply simp apply (erule conjE)
 apply (simp add: field_potent_nonzero1)
done

lemma (in Corps) value_mI_genTr3:"\<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I;
 I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow>
 (Zl_mI K P I j) \<cdot>\<^sub>r ((mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax_pdsI K n P I)\<^esup>)
  \<in> carrier K"
apply (cut_tac field_is_ring)
apply (rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+)
apply (simp add:Zl_mI_mem_K)
apply (simp add:value_mI_genTr1)
done

lemma (in Corps) value_mI_gen:"\<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I;
 I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow>  
(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (nsum K (\<lambda>k. ((Zl_mI K P I k) \<cdot>\<^sub>r ((mprod_exp K (\<lambda>l. (\<gamma>\<^bsub>k l\<^esub>)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax_pdsI K n P I)\<^esup>))) n) = LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I"
apply (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[of "K"])
apply (case_tac "j = n", simp) 
 apply (cut_tac nsum_suc[of K "\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r 
        mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>" "n - Suc 0"], 
        simp,
        thin_tac "\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
               mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n =
     \<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
               mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>)
                n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (n - Suc 0) \<plusminus>
     Zl_mI K P I n \<cdot>\<^sub>r
     mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>")
 apply (cut_tac distinct_pds_valuation[of "n" "n - Suc 0" "P"])
prefer 2 apply simp 
prefer 2 apply simp 
 apply (subst value_less_eq1[THEN sym, of "\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>" 
 "(Zl_mI K P I n)\<cdot>\<^sub>r (mprod_exp K (K_gamma n) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)"
 "nsum K (\<lambda>k.(Zl_mI K P I k)\<cdot>\<^sub>r (mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)) (n - Suc 0)"], assumption+) 

 apply (simp add:value_mI_genTr3)
 apply (frule Ring.ring_is_ag[of K])
 apply (rule aGroup.nsum_mem[of _ "n - Suc 0"], assumption+)
 apply (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:value_mI_genTr3) 

 apply (subst val_t2p[of "\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>"], assumption+)
 apply (simp add:Zl_mI_mem_K)
 apply (simp add:value_mI_genTr1) 

 apply (simp add:mgenerator2Tr3_1[of "n" "n" "n" "P"])
 apply (simp add:aadd_0_r) 
apply (frule value_Zl_mI[of "n" "P" "I" "n"], assumption+, simp)
 apply (erule conjE) 
 apply (frule_tac f = "\<lambda>k. (Zl_mI K P I k) \<cdot>\<^sub>r 
       (mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)" in 
       value_ge_add[of "\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>" "n - Suc 0" _ 
      "ant (m_zmax_pdsI K n P I)"])
 apply (rule allI, rule impI) 
 apply (rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+)
 apply (simp add:Zl_mI_mem_K)
 apply (simp add:value_mI_genTr1)  

 apply (rule allI, rule impI) apply (simp add:cmp_def)
 apply (subst val_t2p [where v="\<nu>\<^bsub>K P n\<^esub>"], assumption+)
 apply (simp add:Zl_mI_mem_K)
 apply (simp add:value_mI_genTr1) 

 apply (cut_tac e = "K_gamma ja" in mprod_mem[of n  _  "Kb\<^bsub>K n P\<^esub>"])
 apply (simp add:Zset_def) apply (rule Kbase_hom1, assumption+)
 apply (subst val_exp[of "\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>", THEN sym], assumption+) 
 apply simp+ 

 apply (subst mgenerator2Tr1[of "n" "n" _ "P"], assumption+, simp, simp,
        assumption+) 
 apply (simp add:K_gamma_def Kronecker_delta_def)
 apply (frule_tac l = ja in value_Zl_mI_pos[of "n" "P" "I" "n"],
        assumption+, simp, simp)
 apply (simp add:Nset_preTr1)
 apply (frule_tac y = "(\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>) (Zl_mI K P I ja)" in 
  aadd_le_mono[of "0" _ "ant (m_zmax_pdsI K n P I)"]) apply (simp add:aadd_0_l)
 apply (subgoal_tac "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>) I < ant (m_zmax_pdsI K n P I)")
 apply simp
 apply (rule aless_le_trans[of "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>) I" 
                           "ant (m_zmax_pdsI K n P I)"])

 apply (simp add:m_zmax_pdsI_def)
 apply (cut_tac aless_zless[of "tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>) I)" 
                   "m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1"])
apply (frule val_LI_noninf[of "n" "P" "I" "n"], assumption+, simp, simp) 
apply (frule val_LI_pos[of "n" "P" "I" "n"], assumption+, simp,
       frule apos_neq_minf[of "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>) I"], simp add:ant_tna)
 apply (subst m_zmax_pdsI_hom_def)
 apply (subst LI_def)
 apply (cut_tac m_zmax_gt_each[of n "\<lambda>u.(tna (AMin ((\<nu>\<^bsub>K (P u)\<^esub>) ` I)))"])
 apply simp

 apply (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:Zset_def, simp) 

 apply (subst val_t2p[of "\<nu>\<^bsub>K (P n)\<^esub>"], assumption+)
 apply (rule Zl_mI_mem_K, assumption+, simp)
 apply (simp add:value_mI_genTr1)
 apply (simp add:mgenerator2Tr3_1[of "n" "n" "n" "P" "m_zmax_pdsI K n P I"])
 apply (simp add:aadd_0_r)
 apply (simp add:value_Zl_mI[of "n" "P" "I" "n"])

(*** case j = n done ***)
 apply (frule aGroup.addition3[of "K" "n - Suc 0" "\<lambda>k. (Zl_mI K P I k) \<cdot>\<^sub>r
((mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax_pdsI K n P I)\<^esup>)" "j"])
 
 apply simp
 apply (rule allI, rule impI) 
 apply (simp add:value_mI_genTr3) apply simp+

 apply (thin_tac "\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
     mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) n =
     \<Sigma>\<^sub>e K (cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
            mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>)) n")
 apply (cut_tac nsum_suc[of K "cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
     mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>)" "n - Suc 0"])
 apply (simp del:nsum_suc) apply (
        thin_tac "\<Sigma>\<^sub>e K (cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
         mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>)) n =
     \<Sigma>\<^sub>e K (cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
        mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>))
         (n - Suc 0) \<plusminus>  (cmp (\<lambda>k. Zl_mI K P I k \<cdot>\<^sub>r
         mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>) (\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>)) n")
 apply (cut_tac distinct_pds_valuation[of "j" "n - Suc 0" "P"])
 prefer 2 apply simp prefer 2 apply simp
 apply (simp add:cmp_def)

 apply (cut_tac n_in_Nsetn[of "n"])
 apply (simp add:transpos_ij_2)
 apply (subst value_less_eq1[THEN sym, of "\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>"
 "(Zl_mI K P I j) \<cdot>\<^sub>r (mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>)
  n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)" "\<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>x.(Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) \<cdot>\<^sub>r
 (mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)) (n - Suc 0)"], assumption+)
 apply (simp add:value_mI_genTr3)
 apply (rule aGroup.nsum_mem[of "K" "n - Suc 0"], assumption+)
 apply (rule allI, rule impI) 
 apply (frule_tac l = ja in transpos_mem[of "j" "n" "n"], simp+)
 apply (simp add:value_mI_genTr3) 

 apply (subst val_t2p[of "\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>"], assumption+)
 apply (simp add:Zl_mI_mem_K) 
 apply (simp add:value_mI_genTr1)

 apply (simp add:mgenerator2Tr3_1[of "n" "j" "j" "P"])

 apply (frule value_Zl_mI[of "n" "P" "I" "j"], assumption+)
 apply (erule conjE)
 apply (simp add:aadd_0_r)
 apply (cut_tac f = "\<lambda>x. (Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) \<cdot>\<^sub>r
       (mprod_exp K (K_gamma ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) x)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>m_zmax_pdsI K n P I\<^esup>)" in 
        value_ge_add[of "\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>"
        "n - Suc 0" _ "ant (m_zmax_pdsI K n P I)"], assumption+)
 apply (rule allI, rule impI) 
 apply (frule_tac l = ja in transpos_mem[of "j" "n" "n"], simp+)
 apply (simp add:value_mI_genTr3)
 apply (rule allI, rule impI) apply (simp add:cmp_def)

 apply (frule_tac l = ja in transpos_mem[of "j" "n" "n"], simp+)

 apply (subst val_t2p [where v="\<nu>\<^bsub>K P j\<^esub>"], assumption+) 
 apply (simp add:Zl_mI_mem_K)
 apply (simp add:value_mI_genTr1)
 apply (cut_tac k = ja in transpos_noteqTr[of "n" _ "j"], simp+) 
 apply (subst mgenerator2Tr3_2[of "n" "j" _ "P"], simp+)
 apply (cut_tac l = "(\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja" in value_Zl_mI_pos[of "n" "P" "I" "j"],
        simp+)
 apply (frule_tac y = "(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (Zl_mI K P I ((\<tau>\<^bsub>j n\<^esub>) ja))" in 
 aadd_le_mono[of "0"  _ "ant (m_zmax_pdsI K n P I)"])
 apply (simp add:aadd_0_l)
apply (subgoal_tac "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I < ant (m_zmax_pdsI K n P I)")
 apply (rule aless_le_trans[of "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I" 
                           "ant (m_zmax_pdsI K n P I)"], assumption+)

 apply (simp add:m_zmax_pdsI_def)
 apply (cut_tac aless_zless[of "tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I)" 
                   "m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1"])
apply (frule val_LI_noninf[of  "n" "P" "I" "j"], assumption+,
       frule val_LI_pos[of  "n" "P" "I" "j"], assumption+,
       frule apos_neq_minf[of "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I"], simp add:ant_tna)
 apply (subst m_zmax_pdsI_hom_def)
 apply (subst LI_def)
 apply (subgoal_tac "\<forall>h \<le> n. (\<lambda>u. (tna (AMin ((\<nu>\<^bsub>K (P u)\<^esub>) ` I)))) h \<in> Zset")
 apply (frule m_zmax_gt_each[of n "\<lambda>u.(tna (AMin ((\<nu>\<^bsub>K (P u)\<^esub>) ` I)))"])
 apply simp
 apply (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:Zset_def)
apply (subst val_t2p[of "\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>"], assumption+)
 apply (rule Zl_mI_mem_K, assumption+)
 apply (simp add:value_mI_genTr1)
  
 apply (simp add:mgenerator2Tr3_1[of  "n" "j" "j" "P" 
                                         "m_zmax_pdsI K n P I"])
 apply (simp add:aadd_0_r)
 apply (simp add:value_Zl_mI[of "n" "P" "I" "j"])
done

lemma (in Corps) mI_gen_in_I:"\<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; 
  I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow>
  (nsum K (\<lambda>k. ((Zl_mI K P I k) \<cdot>\<^sub>r 
  ((mprod_exp K (\<lambda>l. (\<gamma>\<^bsub>k l\<^esub>)) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax_pdsI K n P I)\<^esup>))) n) \<in> I"
apply (cut_tac field_is_ring, frule ring_n_pd[of n P])
apply (rule ideal_eSum_closed[of n P I n], assumption+)
apply (rule allI, rule impI)
 apply (frule_tac j = j in value_Zl_mI[of  "n" "P" "I"], assumption+) 
 apply (erule conjE)
 apply (thin_tac "(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (Zl_mI K P I j) = LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I")
 apply (subgoal_tac "(mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax_pdsI K n P I)\<^esup>
 \<in> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>)") 
 apply (frule_tac x = "Zl_mI K P I j" and 
   r = "(mprod_exp K (K_gamma j) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax_pdsI K n P I)\<^esup>"
   in Ring.ideal_ring_multiple1[of "(O\<^bsub>K P n\<^esub>)" "I"], assumption+) 
 apply (frule_tac h = "Zl_mI K P I j" in 
               Ring.ideal_subset[of "O\<^bsub>K P n\<^esub>" "I"], assumption+)
 apply (simp add:ring_n_pd_tOp_K_tOp[of "n" "P"])
 
apply (subst ring_n_pd_def) apply (simp add:Sr_def)
 apply (simp add:value_mI_genTr1)

 apply (rule allI, rule impI)
 apply (case_tac "j = ja") 
 apply (simp add:mgenerator2Tr3_1)

 apply (simp add:mgenerator2Tr3_2)
 apply (simp add:m_zmax_pdsI_def) apply (simp add:m_zmax_pdsI_hom_def)
 apply (simp only:ant_0[THEN sym])
 apply (simp add:aless_zless)
 apply (subgoal_tac "\<forall>l \<le> n. (\<lambda>j. tna (AMin ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ` I))) l \<in> Zset")
 apply (frule m_zmax_gt_each[of n "\<lambda>j. tna (AMin ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ` I))"]) 
 apply (rotate_tac -1, drule_tac a = ja in forall_spec, simp+)
 apply (frule_tac j = ja in val_LI_pos[of  "n" "P" "I"], assumption+) 
 apply (cut_tac j = "tna (LI K (\<nu>\<^bsub>K (P ja)\<^esub>) I)" in ale_zle[of "0"]) 
apply (frule_tac j = ja in val_LI_noninf[of "n" "P" "I"], assumption+,
       frule_tac j = ja in val_LI_pos[of "n" "P" "I"], assumption+,
       frule_tac a = "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P ja)\<^esub>) I" in apos_neq_minf, simp add:ant_tna,
       simp add:ant_0) apply (unfold LI_def)
 apply (frule_tac y = "tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K (P ja)\<^esub> ` I))" and z = "m_zmax n (\<lambda>j. tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub> ` I)))" in order_trans[of "0"], assumption+)
 apply (rule_tac y = "m_zmax n (\<lambda>j. tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub> ` I)))" and 
        z = "m_zmax n (\<lambda>j. tna (AMin (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub> ` I))) + 1" in order_trans[of "0"],
        assumption+) apply simp

 apply (rule allI, rule impI) apply (simp add:Zset_def)
done


text\<open>We write the element 
        \<open>e\<Sigma> K (\<lambda>k. (Zl_mI K P I k) \<cdot>\<^sub>K ((mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>)
                    n)\<^sub>K\<^sup>(m_zmax_pdsI K n P I))) n\<close>
      as \<open>mIg\<^bsub>K G a i n P I\<^esub>\<close>\<close>

definition
  mIg :: "[_, nat, nat \<Rightarrow> ('b \<Rightarrow> ant) set,
             'b set] \<Rightarrow> 'b" (\<open>(4mIg\<^bsub> _ _ _ _\<^esub>)\<close> [82,82,82,83]82) where
  "mIg\<^bsub>K n P I\<^esub> = \<Sigma>\<^sub>e K (\<lambda>k. (Zl_mI K P I k) \<cdot>\<^sub>r\<^bsub>K\<^esub>
             ((mprod_exp K (K_gamma k) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)\<^bsub>K\<^esub>\<^bsup>(m_zmax_pdsI K n P I)\<^esup>)) n"

text\<open>We can rewrite above two lemmas by using \<open>mIg\<^bsub>K G a i n P I\<^esub>\<close>\<close> 

lemma (in Corps) value_mI_gen1:"\<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I;
 I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> 
                \<forall>j \<le> n.(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (mIg\<^bsub>K n P I\<^esub>) = LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) I" 
apply (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:mIg_def value_mI_gen)
done

lemma (in Corps) mI_gen_in_I1:"\<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; 
  I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow>  (mIg\<^bsub>K n P I\<^esub>) \<in> I"
apply (simp add:mIg_def mI_gen_in_I)
done

lemma (in Corps) mI_principalTr:"\<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; 
  I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); x \<in> I\<rbrakk> \<Longrightarrow> 
 \<forall>j \<le> n. ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (mIg\<^bsub>K n P I\<^esub>)) \<le> ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) x)" 
apply (simp add:value_mI_gen1)
 apply (rule allI, rule impI)
 apply (rule Zleast_LI, assumption+)
done

lemma  (cut_tac z_in_aug_inf[ ], simp :ant_1
 I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
                                        I = Rxa (O\<^bsub>K P n\<^esub>) (mIg\<^bsub>K n P I\<^esub>)"
apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"]) 
apply (rule equalityI)
 apply (rule subsetI)
    (ruleallI,ruleimpI

 apply (frule_tac y = x in n_eq_val_eq_idealTr[of "n" "P" "mIg\<^bsub>K n P I\<^esub>"])
 apply (frule mI_gen_in_I1[of "n" "P" "I"], assumption+)
 apply (simp add:Ring.ideal_subset)+
 apply (thin_tac "\<forall>j\<le>n. (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (mIg\<^bsub> K n P I\<^esub>) \<le> (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) x")
apply frule_tac h  x in Ring.[of "O<bsubK Pn\<^esub>""", assumption
 apply (frule_tac a = x in Ring.a_in_principal[of "O\<^bsub>K P n\<^esub>"], assumption+)
 apply (simp add:subsetD)
 \^] assumption
 apply (rule mI_gen_in_I1[of  "n" "P" "I"], assumption+)
done

subsection \<open>\<open>prime_n_pd\<close>\<close>

lemma (in Corps) prime_n_pd_principal:"\<lbrakk>distinct_pds K n P; j \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow>  
       (P\<^bsub>K P n\<^esub> j) = Rxa (O\<^bsub>K P n\<^esub>) (((Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) j))"
apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
apply (frule prime_n_pd_prime[of "n" "P" "j"], assumption+)
apply (simp add:prime_ideal_def, frule conjunct1)
 apply (fold prime_ideal_def)
 apply (thin_tac "prime_ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) (P\<^bsub>K P n\<^esub> j)")
apply (rule equalityI)
 apply (rule subsetI)
 apply (frule_tac y = x in n_eq_val_eq_idealTr[of n P "(Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) j"])
 apply (thin_tac "Ring (O\<^bsub>K P n\<^esub>)", thin_tac "ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) (P\<^bsub>K P n\<^esub> j)")
 apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
 apply (frule Kbase_hom[of  "n" "P"], simp)
 apply (rule allI, rule impI)
 apply (frule Kbase_Kronecker[[of "n" "P")
 apply (simp add:Kronecker_delta_def, rule impI)
 apply (simp only:ant_0[THEN sym], simp only:ant_1[THEN sym])
 apply (simp del:ant_1)
 apply (simp add:prime_n_pd_def)


 apply (rule allI, rule impI)
 apply (frule Kbase_Kronecker[of "n" "P"])
 apply simp
 apply (thin_tac "\<forall>j\<le>n. \<forall>l\<le>n. (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ((Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) l) = \<delta>\<^bsub>j l\<^esub>")
 apply (case_tac "ja = j", simp add:Kronecker_delta_def)
 apply (thin_tac "ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) (P\<^bsub>K P n\<^esub> j)")
 apply (simp add:prime_n_pd_def, erule conjE)
 apply (frule_tac x = x in  mem_ring_n_pd_mem_K[of "n" "P"],
                                         assumption+)
 apply (case_tac "x = \<zero>\<^bsub>K\<^esub>")
 apply (frule distinct_pds_valuation2[of "j" "n" "P"], assumption+)
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0

applysimp :)
 apply (frule_tac j = ja in distinct_pds_valuation2[of  _ "n" "P"],
         assumption+)
 apply (simp add:prime_n_pd_def, erule conjE)
 apply (thin_tac "ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) {x. x \lemma( Corps) :"lbrakk0 n distinct_pdsKnP idealO<bsubK P \<> I;
 apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
 apply (cut_tac h = x in Ring.ideal_subset[of "O\<^bsub>K P n\<^esub>" "P\<^bsub>K P n\<^esub> j"])
 apply(rule_tac a=x  Ring.a_in_principalofO\bsubKP \<esub]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 76 out of bounds for length 76
 apply (simp add:Ring.ideal_subset, assumption+)


apply (rule_tac c = x and A = "(O\<^bsub>K P n\<^esub>) \<diamondsuit>\<^sub>p x" and B = "(O\<^bsub>K P n\<^esub>) \<diamondsuit>\<^sub>p (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) j"
       in subsetD, assumption+)
apply (simp add:Ring.a_in_principal)
 apply (rule Ring.ideal_cont_Rxa[of "O\<^bsub>K P n\<^esub>" "P\<^bsub>K P n\<^esub> j" "(Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) j"], assumption+)
 apply (subst prime_n_pd_def, simp)
 apply (frule Kbase_Kronecker[of "n" "P"])
 apply (simp add:Kronecker_delta_def) 
 apply (simp only:ant_1[THEN sym], simp only:ant_0[THEN sym])
 apply (simp del:ant_1 add:aless_zless)
apply (subst ring_n_pd_def, simp add:Sr_def)
 apply (frule Kbase_hom[of "n" "P"])
 apply simp
 apply (rule allI) 
 apply (simp add:ant_0)
 apply (rule impI)
  apply (simp only:ant_1[THEN sym], simp only:ant_0[THEN sym])
  apply (simp del:ant_1)
done

lemma (in Corps) ring_n_prod_primesTr:"\<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P; 
 ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow>
 \<forall>j \<le> n.(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (mprod_exp K (mL K P I) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n) = 
                   (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (mIg\<^bsub>K n P I\<^esub>)"
apply (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:mgenerator1)
 apply (simp add:value_mI_gen1)

 apply (simp add:value_Zl_mI)
done

lemma (in Corps) ring_n_prod_primesTr1:"\<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P;  
      ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<rbrakk> \<Longrightarrow> 
       I = (O\<^bsub>K P n\<^esub>) \<diamondsuit>\<^sub>p (mprod_exp K (mL K P I) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)"
apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
apply (subst n_eq_val_eq_ideal[of "n" "P" "mprod_exp K (mL K P I)
       (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n" "mIg\<^bsub>K n P I\<^esub>"], assumption+)
apply (simp add:mgeneratorTr4) 
apply (frule mI_gen_in_I1[of "n" "P" "I"], assumption+)
apply (simp add:Ring.ideal_subset)
apply (simp add:ring_n_prod_primesTr)
apply (simp add:mI_principal)
done

lemma (in Corps) ring_n_prod_primes:"\<lbrakk>0 < n; distinct_pds K n P;  
      ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>O\<^bsub>K P n\<^esub>\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); 
     \<forall>k \<le> n. J k = (P\<^bsub>K P n\<^esub> k)\<^bsup>\<diamondsuit>(O\<^bsub>K P n\<^esub>) (nat ((mL K P I) k))\<^esup>\<rbrakk> \<Longrightarrow> 
       I = i\<Pi>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>),n\<^esub> J" 
apply (simp add:prime_n_pd_principal[of "n" "P"])
apply (subst ring_n_prod_primesTr1[of "n" "P" "I"], assumption+)
apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
apply (frule Ring.prod_n_principal_ideal[of "O\<^bsub>K P n\<^esub>" "nat o (mL K P I)" "n" 
       "Kb\<^bsub>K n P\<^esub>" "J"])
 apply (frule Kbase_hom[of "n" "P"])
 apply (simp add:nat_def)
 apply (subst ring_n_pd_def) apply (simp add:Sr_def) 
 apply (rule Pi_I, simp)
 apply (simp add:Kbase_Kronecker[of  "n" "P"])
 apply (simp add:Kronecker_delta_def) 
  apply (simp only:ant_1[THEN sym], simp only:ant_0[THEN sym])
  apply (simp del:ant_1)
  apply (simp add:Kbase_hom) apply simp 

 apply simp
 apply (frule ring_n_mprod_mprodR[of "n" "P" n "mL K P I"  "Kb\<^bsub>K n P\<^esub>"])
  apply (rule allI, rule impI, simp add:Zset_def)
  apply (rule allI, rule impI) 
  apply (simp add: Zleast_in_mI_pos)

 apply (rule allI, rule impI)
 apply (subst ring_n_pd_def) apply (simp add:Sr_def)
 apply (frule Kbase_hom1[of  "n" "P"], simp)
 apply (simp add:zero_in_ring_n_pd_zero_K)
 apply (frule Kbase_Kronecker[of  "n" "P"])
 apply (simp add:Kronecker_delta_def) 
  apply (simp only:ant_1[THEN sym], simp only:ant_0[THEN sym])
  apply (simp del:ant_1)
apply simp
done

end</sub>

Messung V0.5 in Prozent

span style='color:green'>apply (rule impI) 
 apply simp
 apply (subst Ring.mprodR_Suc, assumption+)
 apply (simp)
 apply (simp)
 apply (rule Ring.ring_tOp_closed[of K], assumption+)
 apply (rule Ring.npClose, assumption+) 
 apply simp 
done

lemma (in Corps) mprod_expR_mem:"\<forall>j \<le> n. f j \<in> carrier K \<Longrightarrow> 
           mprod_expR K e f n \<in> carrier K"
apply (cut_tac field_is_ring) 
apply (cut_tac Ring.mprod_expR_memTr[of K e n f])
applysimp
apply (subgoal_tac "f \<in> {j. j \<le> n} \<rightarrow> carrier K", simp+)
done 

lemma (in Corps) mprod_Suc:"\<lbrakk> \<forall>j\<le>(Suc n). e j \<in> Zset; 
               <forall> \le>Sucn) fj\<> (carrierK-{\ero>}\rbrakk \<> 
 mprod_exp K e f (Suc n) = (mprod_exp K e f n) \<cdot>\<^sub>r ((f (Suc n))\<^bsub>K\<^esub (frulering_n_pd[of n"P")
apply (simp add:mprod_exp_def)
one

lemma (in Corps) mprod_memTr:"
 (\<forall>j \<le> n. e j \<in> Zset) \<and> (\<forall>j \<le> n. f j \<in> ((carrier K) - {\<zero>})) \<longrightarrow> 
       (mprod_exp K e f n) \<in> ((carrier K) - {\<zero>})" 
apply (induct_tac n)
 apply (simp, rule impI, (erule conjE)+,
        simp add:mprod_exp_def, simp add:npowf_mem,
        simp add:field_potent_nonzero1) 
apply (rule impI, simp, erule conjE,
       cut_tac field_is_ring, cut_tac field_is_idom,
eruleconjE,simpadd:)
 apply (rule conjI)
apply( Ring.ring_tOp_closed[of""] assumption+,
        simp add:npowf_mem)
 apply (rule Idomain.idom_tOp_nonzeros, assumption+,
simp:, assumption
simp:) 
done

 thin_tac I\noteq>\zero\^bsub\bsubPn<
apply (cut_tac mprod_memTr[of n e f]) apply simp
done

lemma (in Corps) mprod_mprodR:"\<lbrakk>\<forall>j \<le> n. e j \<in> Zset; \<forall>j \<le> n. 0 \<le> (e j); 
 
              mprod_exp K e f n = mprod_expR K (nat o e) f n"
  )
apply (simp add:mprod_exp_def mprod_expR_def) 
apply (rule Ring.nprod_eq, assumption+)
 apply (rule allI, rule impI, simp add:npowf_mem)
 apply (rule allI, rule impI, rule Ring.npClose, assumption+, simp)
apply (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:npowf_def)
done

subsection "Representation of an ideal I as a product of prime ideals"

lemma (in Corps) ring_n_mprod_mprodRTr:"distinct_pds K n P \<Longrightarrow> 
       (\<forall>j \<le> m. e j \<in> Zset) \<and> (\<forall>j \<le> m. 0 \<le> (e j)) \<and> 
       (\<forall>j \<le> m. f j \<in> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>)-{\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}) \<longrightarrow> 
        mprod_exp K e f m = mprod_expR (O\<^bsub>K P n\<^esub>) (nat o e) f m"
apply (frule ring_n_pd[of n P])
apply (induct_tac m) 
 apply (rule impI, (erule conjE)+,
        simp add:mprod_exp_def mprod_expR_def)
 apply (erule conjE, simp add:npowf_def, simp add:ring_n_exp_K_exp) 

apply (rule impI, (erule conjE)+, simp)  
 apply (subst mprod_Suc, assumption+,
        rule allI, rule impI,
        simp add:mem_ring_n_pd_mem_K,
        simp add:zero_in_ring_n_pd_zero_K)
  apply (subst Ring.mprodR_Suc, assumption+,
         simp add:cmp_def,
         simp)
  apply (simp add:ring_n_pd, simp add:npowf_def, 
         simp add:ring_n_exp_K_exp) 
 apply (subst ring_n_tOp_K_tOp, assumption+,
        rule Ring.mprod_expR_mem, simp add:ring_n_pd,
        simp,
        simp)
 apply (rule Ring.npClose, simp add:ring_n_pd, simp, simp)
done

lemma (in Corps) ring_n_mprod_mprodR:"\<lbrakk>distinct_pds K n P; \<forall>j \<le> m. e j \<in> Zset;
 \<forall>j \<le> m. 0 \<le> (e j); \<forall>j \<le> m. f j \<in> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>)-{\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}\<rbrakk> 
 \<Longrightarrow>  mprod_exp K e f m = mprod_expR (O\<^bsub>K P n\<^esub>) (nat o e) f m"
apply (simp add:ring_n_mprod_mprodRTr)
done

lemma (in Corps) value_mprod_expTr:"valuation K v  \<Longrightarrow> 
 (\<forall>j \<le> n. e j \<in> Zset) \<and> (\<forall>j \<le> n. f j \<in> (carrier K - {\<zero>})) \<longrightarrow>
 v (mprod_exp K e f n) =  ASum  (\<lambda>j. (e j) *\<^sub>a (v (f j))) n"  
apply (induct_tac n)
 apply simp
 apply (rule impI, erule conjE)
 apply(simp add:mprod_exp_def val_exp) 

apply (rule impI, erule conjE)
 apply simp
 apply (subst mprod_Suc, assumption+)
 apply (rule allI, rule impI, simp)
 apply (subst val_t2p[of v], assumption+)
 apply (cut_tac n = "n" in mprod_mem[of _ e f],
        (rule allI, rule impI, simp)+, simp)
 apply (simp add:npowf_mem, simp add:field_potent_nonzero1)
 apply (simp add:val_exp[THEN sym, of "v"]) 
done 

lemma (in Corps) value_mprod_exp:"\<lbrakk>valuation K v; \<forall>j \<le> n. e j \<in> Zset; 
       \<forall>j \<le> n. f j \<in> (carrier K - {\<zero>})\<rbrakk> \<Longrightarrow> 
     v (mprod_exp K e f n) = ASum (\<lambda>j. (e j) *\<^sub>a (v (f j))) n"  
apply (simp add:value_mprod_expTr)
done

lemma (in Corps) mgenerator0_1:"\<lbrakk>distinct_pds K (Suc n) P; 
 ideal (O\<^bsub>K P (Suc n)\<^esub>) I; I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P (Suc n)\<^esub>)\<^esub>}; 
 I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P (Suc n)\<^esub>); j \<le> (Suc n)\<rbrakk> \<Longrightarrow>
((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (mprod_exp K (mL K P I) (Kb\<^bsub>K (Suc n) P\<^esub>) (Suc n))) = 
                   ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (Zl_mI K P I j))" 
apply (frule distinct_pds_valuation[of j n P], assumption+)
 apply (frule mL_hom[of "Suc n" "P" "I"], assumption+)
 apply (frule Kbase_hom1[of "Suc n" "P"]) 
 apply (frule value_mprod_exp[of "\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>" "Suc n" "mL K P I" 
           "Kb\<^bsub>K (Suc n) P\<^esub>"], assumption+)

 apply (simp del:ASum_Suc)
 apply (thin_tac "(\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (mprod_exp K (mL K P I) (Kb\<^bsub>K (Suc n) P\<^esub>) (Suc n)) =
     ASum (\<lambda>ja. (mL K P I ja) *\<^sub>a (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ((Kb\<^bsub>K (Suc n) P\<^esub>) ja)) (Suc n)")
apply (subgoal_tac "ASum (\<lambda>ja. (mL K P I ja) *\<^sub>a 
      ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ((Kb\<^bsub>K (Suc n) P\<^esub>) ja))) (Suc n) = 
                ASum (\<lambda>ja. (mL K P I ja) *\<^sub>a (\<delta>\<^bsub>j ja\<^esub>)) (Suc n)")
apply (simp del:ASum_Suc)
apply (subgoal_tac "\<forall>h \<le> (Suc n). (\<lambda>ja. (mL K P I ja) *\<^sub>a (\<delta>\<^bsub>j ja\<^esub>)) h \<in> Z\<^sub>\<infinity>")
auto , , , . We demonstratethiswithabenchmarkcontaining 2267methodcalls
 apply simp
 apply (simp add:java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
 apply (rotate_tac -1, drule not_sym) 
apply (simp add:mL_def[of "K" "P" "I" "j"])

apply (frule val_LI_noninf[of "Suc n" "P" "I" "j"], assumption+)
 apply (rule not_sym, simp, simp)
apply (frule val_LI_pos[of "Suc n" "P" "I" "j"], assumption+,
       rotate_tac -2, frule not_sym, simp, simp)

apply (frule apos_neq_minf[of "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P jjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 56 out of bounds for length 20
(:) 
apply (simp add:value_Zl_mI[of "Suc n" "P" "I" "j"])
apply (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:Kdelta_in_Zinf, simp)
 apply (rule ballI, simp)
apply(simpadd:Kronecker_delta_def, erule conjE)
 apply (simp add:asprod_n_0)

apply (rule allI, rule impI) 
 apply (simp add:Kdelta_in_Zinf)

apply (frule  Kbase_Kronecker[of "Suc n" "P"])
 apply (rule ASum_eq,
        rule allI, rule impI,
        simp add:Kdelta_in_Zinf,
        rule allI, rule impI,
        simp add:Kdelta_in_Zinf)
ruleallI rule )  simp
done

lemma (in Corps) mgenerator0_2:"\<lbrakk> 0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I  (simp add:Zl_mI_mem_K)
  \<noteq>{\zero>\<^bsub>(\^bsub> Pn\<esub)\<^esub>} I\noteq>carrier (O\<bsubK  \^esub>);j\<>n<>  <Longrightarrow>
(<>\<^bsubK P )\^esub)(mprod_exp K(mL  P I)(\^bsub>K  P<^esub) n) =((<nu><bsubK( j)\^>) (l_mI K P  j)"
apply (cut_tac mgenerator0_1[of  "n - Suc 0" "P" "I" "j"])
 apply simp+
done

lemma (in Corps) mgenerator1:"\<lbrakk>distinct_pds K n P; ideal (O\<^bsub>K P n\<^esub>) I; 
 I \<noteq> {\<zero>\<^bsub>(O\<^bsub>K P n\<^esub>)\<^esub>}; I \<noteq> carrier (O\<^bsub>K P n\<^esub>); j \<le> n\<rbrakk> \<Longrightarrow>
((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (mprod_exp K (mL K P I) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n)) = ((\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (Zl_mI K P I j))"

       frule value_Zl_mI[of "n" "P" "I" "j"], assumption+,
       frule val_LI_noninf[of "n" "P" "I" "j"], assumption+,
       frule val_LI_pos[of  "n" "P" "I" "j"], assumption+,
       frule apos_neq_minf[of "LI K (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<apply (fruleval_LI_noninf[of "n" "P"I n],assumption, simp )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 73 out of bounds for length 73
       simp add:distinct_pds_def, erule conjE)  
 apply (cut_tac representative_of_pd_valuation[of "P j"], simp+,
        simp add:mprod_exp_def,
        subst val_exp[THEN sym, of "\<nu>\<^bsub>K (P 0)\<^esub>" "(Kb\<^bsub>K 0 P\<^esub>) 0"], assumption+,
        cut_tac Kbase_hom[of "0" "P"], simp,
        simp add:distinct_pds_def,
        cut_tac Kbase_nonzero[of "0" "P"], simp+,
        simp add:distinct_pds_def) 
 apply (cut_tac Kbase_nonzero[of "0" "P"], simp add:distinct_pds_def) 
 apply (cut_tac Kbase_Kronecker[of "0" "P"], simp add:distinct_pds_def) 
 apply (simp add:Kronecker_delta_def, simp add:mL_def, simp add:ant_tna)
 apply (simp add:distinct_pds_def)+
apply (cut_tac mgenerator0_2[of "n" "P" "I" "j"], simp+)
 apply (simp add:distinct_pds_def) apply simp+
done
    
lemma (in Corps) mgenerator2Tr1:"\<lbrakk>0 < n; j \<le> n; k \<le> n; distinct_pds K napply( "\><sub>K(lambdak Zl_mI KPIk\cdot\^subr
      (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) (mprod_exp K (\<lambda>l. \<gamma>\<^bsub>k l\<^esub> ) (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) n) = (\<gamma>\<^bsub>k j\<^esub>) *\<^sub>a (\<delta>\<^bsub>j j\<^esub>)"
apply (frule distinct_pds_valuation1[of "n" "j" "P"], assumption+)
apply (frule K_gamma_hom[of k n]) 
apply (subgoal_tac "\<forall>j \<le> n. (Kb\<^bsub>K n P\<^esub>) j \<in> carrier K - {\<zero>}")
apply (simp add:value_mprod_exp[of "\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>" n "K_gamma k" "(Kb\<^bsub>K n P\<^esub>)"])
apply (subgoal_tac "ASum (\<lambda>ja. (\<gamma>\
       = ASum (\<lambda>ja. (((\<gamma>\<^bsub>k ja\<^esub>) *\<^sub>a (\<delta>\<^bsub>j ja\<^esub>)))) n")
 apply simp
 apply (subgoal_tac "\<forall>j \<le> n. (\<lambda>ja. (\<gamma>\<^bsub>k ja\<^esub>) *\<^sub>a (\<delta>\<^bsub>j ja\<^esub>)) j \<in> Z\<^sub>\<infinity>")
 apply (cut_tac eSum_single[of n "\<lambda>ja. ((\<gamma>\<^bsub>k ja\<^esub>) *\<^sub>a (\<delta>\<^bsub>j ja\<^esub>))"  "j"], simp)
 apply (rule allI, rule impI, simp add:Kronecker_delta_def, 
        rule impI, simp add:asprod_n_0 Zero_in_aug_inf, assumption+)
 apply (rule ballI, simp)
onecker_delta_def
  apply (rule apply ( add:aadd_0_r)
  apply (simp add:Kronecker_delta_def, simp add:K_gamma_def)
 apply (simp add:ant_0 Zero_in_aug_inf)
 apply (cut_tac lemma( Corps) mI_gen_in_I"\lbrakk0 <n;distinct_pds K nP;ideal (\^bsub> P n\esub> I 

 apply (rule ASum_eq)
  apply(rule allI,rule )
  apply (simp add:K_gamma_def, simp add:Zero_in_aug_inf) 
  apply (rule impI, rule value_in_aug_inf, assumption+, simp)
  apply (simp add:K_gamma_def Zero_in_aug_inf Kdelta_in_Zinf1)
  apply (rule allI, rule impI)
  apply (simp add:Kbase_Kronecker[of "n" "P"])
  apply (rule Kbase_hom1, assumption+)
done

lemma (in Corps) mgenerator2Tr2:"\<lbrakk>0 < n; j \<le> n; k \<le> n; distinct_pds K n P\<rbrakk> \<Longrightarrow>
     (\<nu>\<^bsub>K (P j)\<^esub>) ((mprod_exp K (\<lambda>l. \<gamma>\<^bsub>k 

apply (frule K_gamma_hom[of k n])
apply (frule Kbase_hom1[of "n" "P"])
apply (frule mprod_mem[of n "K_gamma k" "Kb\<^bsub>K n P\<^esub>"], assumption+)
apply (frule distinct_pds_valuation1[of "n" "j" "P"], assumption+)
apply (simp, erule conjE)
apply (simp add:val_exp[THEN sym])
apply (simp add:mgenerator2Tr1)
 apply (simp add:K_gamma_def Kronecker_delta_def)
 apply (rule impI)
 apply (simp add:asprod_def a_z_z)
done

lemma (in Corps) mgenerator2Tr3_1:"\<lbrakk>0 < n; j \<le> n; k \<le> n; j = k; 
      distinct_pds K n P\<rbrakk> \<Longrightarrow>
          \<nu\^bsub> (Pj)\^esub>) (mprod_exp K (<>l \gamma\^> \^>))(\^bsub>KnP<esub) n)\bsubK\esub\^bsup>\^>  0"
  (simp add:mgenerator2Tr2) apply (simp add:K_gamma_def)
 

  (in Corps) mgenerator2Tr3_2:"[0 < n; j ≤ n; k ≤ n; j ≠ k;
 distinct_pds K n P] ==>
 (ν _{(P j)}) ((mprod_exp K (λl. (γ _l)) (Kb _{n P}) n)) = ant m"
  (simp add:mgenerator2Tr2) apply (simp add:K_gamma_def)
 

  (in Corps) mgeneratorTr4:"[0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O _{P n}) I;
 I ≠ {0 _{P n}}; I ≠ carrier (O _{P n})] ==>
 mprod_exp K (mL K P I) (Kb _{n P}) n ∈ carrier (O _{P n})"
  (subst ring_n_pd_def)
  (simp add:Sr_def)
 apply (frule mL_hom[of "n" "P" "I"], assumption+)
 apply (frule mprod_mem[of n "mL K P I" "Kb _{n P}"])
 apply (rule Kbase_hom1, assumption+)

 apply (simp add:mprod_mem)

  (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:mgenerator1)
 apply (simp add:value_Zl_mI)
 apply (simp add:val_LI_pos)
 

 
 m_zmax_pdsI_hom :: "[_, nat ==> ('b ==> ant) set, 'b set] ==> nat ==> int" where
 "m_zmax_pdsI_hom K P I = (λj. tna (AMin ((ν _{(P j)}) ` I)))"

 
 m_zmax_pdsI :: "[_, nat, nat ==> ('b ==> ant) set, 'b set] ==> int" where
 "m_zmax_pdsI K n P I = (m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I)) + 1"
 
  (in Corps) value_Zl_mI_pos:"[0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O _{P n}) I;
 I ≠ {0_{O P n)}}; I ≠ carrier (O _{P n}); j ≤ n; l ≤ n] ==>
 0 ≤ ((ν _{(P j)}) (Zl_mI K P I l))"
  (frule value_Zl_mI[of "n" "P" "I" "l"], assumption+)
  (erule conjE)
 apply (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
 apply (frule Ring.ideal_subset[of "O _{P n}" "I" "Zl_mI K P I l"], assumption+)
 apply (thin_tac "ideal (O _{P n}) I")
 apply (thin_tac "I ≠ {0 _{P n}}")
 apply (thin_tac "I ≠ carrier (O _{P n})")
 apply (thin_tac "Ring (O _{P n})")
 apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
 

  (in Corps) value_mI_genTr1:"[0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O _{P n}) I;
 I ≠ {0 _{P n}}; I ≠ carrier (O _{P n}); j ≤ n] ==>
 (mprod_exp K (K_gamma j) (Kb _{n P}) n)^{m_zmax_pdsI K n P I)} ∈ carrier K"
  (frule K_gamma_hom[of "j" "n"])
  (frule mprod_mem[of n "K_gamma j" "Kb _{n P}"])
 apply (rule Kbase_hom1, assumption+)
  (rule npowf_mem)
 apply simp+
 

  (in Corps) value_mI_genTr1_0:"[0 < n; distinct_pds K n P;
 ideal (O _{P n}) I; I ≠ {0 _{P n}}; I ≠ carrier (O _{P n}); j ≤ n]
 ==> (mprod_exp K (K_gamma j) (Kb _{n P}) n) ∈ carrier K"
  (frule K_gamma_hom[of "j" "n"])
  (frule mprod_mem[of n "K_gamma j" "Kb _{n P}"])
 apply (rule Kbase_hom1, assumption+)
 apply simp
 


  (in Corps) value_mI_genTr2:"[0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O _{P n}) I;
 I ≠ {0 _{P n}}; I ≠ carrier (O _{P n}); j ≤ n] ==>
 (mprod_exp K (K_gamma j) (Kb _{n P}) n)^{m_zmax_pdsI K n P I)} ≠ 0"
 apply (frule K_gamma_hom[of "j" "n"])
 apply (frule mprod_mem[of n "K_gamma j" "Kb _{n P}"])
 apply (rule Kbase_hom1, assumption+) apply simp apply (erule conjE)
 apply (simp add: field_potent_nonzero1)
 

  (in Corps) value_mI_genTr3:"[0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O _{P n}) I;
 I ≠ {0 _{P n}}; I ≠ carrier (O _{P n}); j ≤ n] ==>
 (Zl_mI K P I j) ⋅_r ((mprod_exp K (K_gamma j) (Kb _{n P}) n)^{m_zmax_pdsI K n P I)})
 ∈ carrier K"
  (cut_tac field_is_ring)
  (rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+)
  (simp add:Zl_mI_mem_K)
  (simp add:value_mI_genTr1)
 

  (in Corps) value_mI_gen:"[0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O _{P n}) I;
 I ≠ {0_{O P n)}}; I ≠ carrier (O _{P n}); j ≤ n] ==>
 ν _{(P j)}) (nsum K (λk. ((Zl_mI K P I k) ⋅_r ((mprod_exp K (λl. (γ _l)) (Kb _{n P}) n)^{m_zmax_pdsI K n P I)}))) n) = LI K (ν _{(P j)}) I"
  (cut_tac field_is_ring, frule Ring.ring_is_ag[of "K"])
  (case_tac "j = n", simp)
 apply (cut_tac nsum_suc[of K "λk. Zl_mI K P I k ⋅_r
 mprod_exp K (K_gamma k) (Kb _{n P}) n ^{K n P I}" "n - Suc 0"],
 simp,
 thin_tac "Σ_e K (λk. Zl_mI K P I k ⋅_r
 mprod_exp K (K_gamma k) (Kb _{n P}) n ^{K n P I}) n =
 Σ_e K (λk. Zl_mI K P I k ⋅_r
 mprod_exp K (K_gamma k) (Kb _{n P})
 n ^{K n P I}) (n - Suc 0) ±
 Zl_mI K P I n ⋅_r
 mprod_exp K (K_gamma n) (Kb _{n P}) n ^{K n P I}")
 apply (cut_tac distinct_pds_valuation[of "n" "n - Suc 0" "P"])
  2 apply simp
  2 apply simp
 apply (subst value_less_eq1[THEN sym, of "ν _{(P n)}"
 "(Zl_mI K P I n)⋅_r (mprod_exp K (K_gamma n) (Kb _{n P}) n ^{K n P I})"
 "nsum K (λk.(Zl_mI K P I k)⋅_r (mprod_exp K (K_gamma k) (Kb _{n P}) n ^{K n P I})) (n - Suc 0)"], assumption+)

 apply (simp add:value_mI_genTr3)
 apply (frule Ring.ring_is_ag[of K])
 apply (rule aGroup.nsum_mem[of _ "n - Suc 0"], assumption+)
 apply (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:value_mI_genTr3)

 apply (subst val_t2p[of "ν _{(P n)}"], assumption+)
 apply (simp add:Zl_mI_mem_K)
 apply (simp add:value_mI_genTr1)

 apply (simp add:mgenerator2Tr3_1[of "n" "n" "n" "P"])
 apply (simp add:aadd_0_r)
  (frule value_Zl_mI[of "n" "P" "I" "n"], assumption+, simp)
 apply (erule conjE)
 apply (frule_tac f = "λk. (Zl_mI K P I k) ⋅_r
 (mprod_exp K (K_gamma k) (Kb _{n P}) n ^{K n P I})" in
 value_ge_add[of "ν _{(P n)}" "n - Suc 0" _
 "ant (m_zmax_pdsI K n P I)"])
 apply (rule allI, rule impI)
 apply (rule Ring.ring_tOp_closed, assumption+)
 apply (simp add:Zl_mI_mem_K)
 apply (simp add:value_mI_genTr1)

 apply (rule allI, rule impI) apply (simp add:cmp_def)
 apply (subst val_t2p [where v="ν _{P n}"], assumption+)
 apply (simp add:Zl_mI_mem_K)
 apply (simp add:value_mI_genTr1)

 apply (cut_tac e = "K_gamma ja" in mprod_mem[of n _ "Kb _{n P}"])
 apply (simp add:Zset_def) apply (rule Kbase_hom1, assumption+)
 apply (subst val_exp[of "ν _{(P n)}", THEN sym], assumption+)
 apply simp+

 apply (subst mgenerator2Tr1[of "n" "n" _ "P"], assumption+, simp,  ‹
 assumption+)
 apply (simp add:K_gamma_def Kronecker_delta_def)
 apply (frule_tac l = ja in value_Zl_mI_pos[of "n" "P" "I" "n"],
 assumption+, simp, simp)
  dNe_per)
 apply (frule_tac y = "(ν _{(P n)}) (Zl_mI K P I ja
 aadd_le_mono[of "0" _ "ant (m_zmax_pdsI K n P I)"]) apply (simp add:aadd_0_l)
 apply (subgoal_tac "LI K (ν _{(P n)}
 apply simp
 apply (rule aless_le_trans[of "LI K (ν <sub>I"
 "ant (m_zmax_pdsI K n P I)"])

 _maa_d_f
java.lang.NullPointerException
 "m_zmax n (m_zmax_pdsI_hom K P I) + 1"])
  (frule val_LI_noninf[of "n" "P" "I" "n"], assumption+, simp, simp)
 frule val_LI_pos[of "n" "P" "I" "n"], assumption+, simp,
 frule apos_neq_minf[of "LI K (ν (P n)) I"], simp add:ant_tna)
 apply (subst m_zmax_pdsI_hom_def)
 applyut Ie
 apply (cut_tac m_zmax_gt_each[of n "λu.(tna (AMin ((ν(\^) ` I)))"])
 apply simp

 apply (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:Zset_def, simp)

 apply (subst val_t2p[of "νK (P n)
 apply (rule Zl_mI_mem_K, assumption+, simp)
 apply (simp add:value_mI_genTr1)
 apply (simp add:mgenerator2Tr3_1[of "n" "n" "n" "P" "m_zmax_pdsI K n P I"])
 apply (simp add:aadd_0_r)
 apply (simp add:value_Zl_mI[of "n" "P" "I" "n"])

(*** case j = n done ***)</sub>
 apply[k. (Zl_mIcdot>java.lang.NullPointerException
((mprod_exp K (K_gamma k) (Kb _n P) n)^{m_zmax_pdsI K n P I)})" "j"])
 
 apply simp
 apply (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:value_mI_genTr3) apply simp+

 apply (thin_tac "Σ_e K (λk. Zl_mI K P I k java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 42 out of bounds for length 42
     mprod_exp K (K_gamma k) (Kb _n P) nring_n_pd_mem_K "n"""
     Σ_k. Zl_mI ⋅java.lang.NullPointerException
            java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
 apply (cut_tac nsum_suc[of ,e conjE
     mprod_exp K (K_gamma k)(b<>K
 apply (simp del:nsum_suc) apply (
        thin_tac java.lang.NullPointerException
         mprod_exp K (K_gamma k) (Kb _{n P}) n _{P nK} P n> (Kb _{j"
     Σe Kga_in_principal
        mprod_exp K (K_gamma k KbK n P}Km_zmax_pdsI) (τ
         (n - Suc 0) ±  (cmp (λk. Zl_mI K P I k ⋅
         mprod_exp K (K_gamma k) (Kb _n P) njava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 24 out of bounds for length 24
 apply (cut_tac   "
 prefer 2 apply simp prefer 2 apply simp
 

 apply (cut_tac n_in_Nsetn[of "n"])
 apply (simp add:transpos_ij_2)
 apply (subst value_less_eq1[THEN sym, of "ν _(P j)"
 "(Zl_mI K P I j) ⋅_r (mprod_exp K (K_gamma j) (Kb _n P)
  n ^K n P I)" "Σ_e K (λx.(Zl_mI K P I ((τ _n) x)) ⋅_r
 (mprod_exp K (K_gamma ((τ _n) x)) (Kb _n P) n ^K n P I)) (n - Suc 0)"], assumption+)
 apply (simp add:value_mI_genTr3)
 apply (rule aGroup.nsum_mem[of "K" "n - Suc 0"], assumption+)
 apply (rule allI, rule impI)
 apply (frule_tac l = ja in transpos_mem[of "j" "n" "n"], simp+)
 apply (simp add:value_mI_genTr3)

 apply (subst val_t2p[of "ν
 apply (simp add:Zl_mI_mem_K)
 apply (simp add:value_mI_genTr1)

 apply (simp add:mgenerator2Tr3_1[of "n" "j" "j" "P"])

 apply (frule value_Zl_mI[of "n" "P" "I" "j"], assumption+)
 apply (erule conjE)
 apply (simp add:aadd_0_r)
 apply (cut_tac f = "λx. (Zl_mI K P I ((τ _n) x)) ⋅_r
       j nK)" in 
        value_ge_add[of java.lang.NullPointerException
         u0 _ " (m_zmax_pdsInP )" smto+)
 apply ( ultimaell o ma (f ++ g) x = (map_inv f +++ map_inv g) x"
 apply (frule_tac l = ja in transpos_mem[of "j" "n" "n"], simp+)
 applydd
 applyrule, impIapply ( add)

 apply(l = ja[ofj"n"+)

 applyapply simp
   metis)
 apply simp)
 apply (cut_tac k = ja in transpos_noteqTr[of "n" _ "j"], simp+) 
 apply (subst:list_induct2
 apply (cut_tac l = "(\\ggtrrow>v he \<>ome exE)
        +)
 apply (frule_tac y = "
 aadd_le_mono[of "0"  "nt (m_zmax_pdsI K n P I"
 apply (simp (casesh "
apply (subgoal_tac "LI K (java.lang.NullPointerException: Cannot invoke "String.equals(Object)" because "brackoff" is null
 apply (rulemerge  =
                           "ant (m_zmax_pdsI K n P I)"], assumption+)

 apply (simp_ ]map_of_list  .empty
 apply
                   list_of_map_emptyp list_of_map.empty ["
apply
       frule val_LI_pos[of "n" "P" "I" "j"], assumption+,mfrom Fa have "map_of_list < Map.empty"
       frule apos_neq_minf[of "LI K (νK (P j)
 apply (substjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 34 out of bounds for length 34
 apply (
 apply (subgoal_tac "\<forall  ‹
 apply (frule m_zmax_gt_each[of n " λ
 apply simp
 apply (rule allI, rule impI)
 
  (subst val -
 apply (rule Zl_mI_mem_K, assumption+)
 apply (simp add:value_mI_genTr1)
 
 apply (simp add:mgenerator2Tr3_1[of "n" "" "j"""
 "m_zmax_pdsI K n P I"])
 apply (simp add:aadd_0_r)
 apply (simp add:value_Zl_mI[of "n" "P" "I" "j"])
 

  (in Corps) mI_gen_in_I:"[0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O _{P n}) I;
 I ≠ {0_{O P n)}}; I ≠ carrier (O _{P n})] ==>
 (nsum K (λk. ((Zl_mI K P I k) ⋅_r
 ((mprod_exp K (λl. (γ _l)) (Kb _{n P}) n)^{m_zmax_pdsI K n P I)}))) n) ∈ I"
  (cut_tac field_is_ring, frule ring_n_pd[of n P])
  (rule ideal_eSum_closed[of n P I n], assumption+)
  (rule allI, rule impI)
 apply (frule_tac j = j in value_Zl_mI[of "n" "P" "I"], assumption+)
 apply (erule conjE)
 apply (thin_tac "(ν _{(P j)}) (Zl_mI K P I j) = LI K (ν _{(P j)}) I")
 apply (subgoal_tac "(mprod_exp K (K_gamma j) (Kb _{n P}) n)^{m_zmax_pdsI K n P I)}
 ∈ carrier (O _{P n})")
 apply (frule_tac x = "Zl_mI K P I j" and
 r = "(mprod_exp K (K_gamma j) (Kb _{n P}) n)^{m_zmax_pdsI K n P I)}"
 in Ring.ideal_ring_multiple1[of "(O _{P n})" "I"], assumption+)
 apply (frule_tac h = "Zl_mI K P I j" in
 Ring.ideal_subset[of "O _{P n}" "I"], assumption+)
 apply (simp add:ring_n_pd_tOp_K_tOp[of "n" "P"])
 
  (subst ring_n_pd_def) apply (simp add:Sr_def)
 apply (simp add:value_mI_genTr1)

 apply (rule allI, rule impI)
 apply (case_tac "j = ja")
 apply (simp add:mgenerator2Tr3_1)

 apply (simp add:mgenerator2Tr3_2)
 apply (simp add:m_zmax_pdsI_def) apply (simp add:m_zmax_pdsI_hom_def)
 apply (simp only:ant_0[THEN sym])
 apply (simp add:aless_zless)
 apply (subgoal_tac "∀l ≤ n. (λj. tna (AMin ((ν _{(P j)}) ` I))) l ∈ Zset")
 apply (frule m_zmax_gt_each[of n "λj. tna (AMin ((ν <sub>(P j)</sub>) ` I))"])
 apply (rotate_tac -1, drule_tac a = ja in forall_spec, simp+)
 apply (frule_tac j = ja in val_LI_pos[of "n" "P" "I"], assumption+)
 apply (cut_tac j = "tna (LI K (ν _{(P ja)}) I)" in ale_zle[of "0"])
  (frule_tac j = ja in val_LI_noninf[of "n" "P" "I"], assumption+,
 frule_tac j = ja in val_LI_pos[of "n" "P" "I"], assumption+,
 frule_tac a = "LI K (ν _{(P ja)}) I" in apos_neq_minf, simp add:ant_tna,
 simp add:ant_0) apply (unfold LI_def)
 apply (frule_tac y = "tna (AMin (ν _{(P ja)} ` I))" and z = "m_zmax n (λj. tna (AMin (ν <sub>(P j)</sub> ` I)))" in order_trans[of "0"], assumption+)
 apply (rule_tac y = "m_zmax n (λj. tna (AMin (ν _{(P j)} ` I)))" and
 z = "m_zmax n (λj. tna (AMin (ν <sub>(P j)</sub> ` I))) + 1" in order_trans[of "0"],
 assumption+) apply simp

 apply (rule allI, rule impI) apply (simp add:Zset_def)
 


 ‹We write the element
 ‹eΣ K (λk. (Zl_mI K P I k) ⋅_K ((mprod_exp K (K_gamma k) (Kb _{n P})
 n)_K⁽m_zmax_pdsI K n P I))) n›
 as ‹mIg _{G a i n P I}››

 
 mIg :: "[_, nat, nat ==> ('b ==> ant) set,
 'b set] ==> 'b" (‹(4mIg_{_ _ _ _})› [82,82,82,83]82) where
 "mIg _{n P I} = Σ_e K (λk. (Zl_mI K P I k) ⋅_r
 ((mprod_exp K (K_gamma k) (Kb _{n P}) n)^{m_zmax_pdsI K n P I)})) n"

 ‹We can rewrite above two lemmas by using ‹mIg _{G a i n P I}››

  (in Corps) value_mI_gen1:"[0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O _{P n}) I;
 I ≠ {0_{O P n)}}; I ≠ carrier (O _{P n})] ==>
 ∀j ≤ n.(ν _{(P j)}) (mIg _{n P I}) = LI K (ν _{(P j)}) I"
  (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:mIg_def value_mI_gen)
 

  (in Corps) mI_gen_in_I1:"[0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O _{P n}) I;
 I ≠ {0_{O P n)}}; I ≠ carrier (O _{P n})] ==> (mIg _{n P I}) ∈ I"
  (simp add:mIg_def mI_gen_in_I)
 

  (in Corps) mI_principalTr:"[0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O _{P n}) I;
 I ≠ {0_{O P n)}}; I ≠ carrier (O _{P n}); x ∈ I] ==>
 ∀j ≤ n. ((ν _{(P j)}) (mIg _{n P I})) ≤ ((ν _{(P j)}) x)"
  (simp add:value_mI_gen1)
 apply (rule allI, rule impI)
 apply (rule Zleast_LI, assumption+)
 

  (in Corps) mI_principal:"[0 < n; distinct_pds K n P; ideal (O _{P n}) I;
 I ≠ {0_{O P n)}}; I ≠ carrier (O _{P n})] ==>
 I = Rxa (O _{P n}) (mIg _{n P I})"
  (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
  (rule equalityI)
 apply (rule subsetI)
 apply (frule_tac x = x in mI_principalTr[of "n" "P" "I"],
 assumption+)
 apply (frule_tac y = x in n_eq_val_eq_idealTr[of "n" "P" "mIg _{n P I}"])
 apply (frule mI_gen_in_I1[of "n" "P" "I"], assumption+)
 apply (simp add:Ring.ideal_subset)+
 apply (thin_tac "∀j≤n. (ν _{(P j)}) (mIg_{K n P I}) ≤ (ν _{(P j)}) x")
 apply (frule_tac h = x in Ring.ideal_subset[of "O _{P n}" "I"], assumption+)
 apply (frule_tac a = x in Ring.a_in_principal[of "O _{P n}"], assumption+)
 apply (simp add:subsetD)
 apply (rule Ring.ideal_cont_Rxa[of "O _{P n}" "I" "mIg_{K n P I}"], assumption+)
 apply (rule mI_gen_in_I1[of "n" "P" "I"], assumption+)
 

  ‹‹prime_n_pd››

  (in Corps) prime_n_pd_principal:"[distinct_pds K n P; j ≤ n] ==>
 (P _{P n} j) = Rxa (O _{P n}) (((Kb _{n P}) j))"
  (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
  (frule prime_n_pd_prime[of "n" "P" "j"], assumption+)
  (simp add:prime_ideal_def, frule conjunct1)
 apply (fold prime_ideal_def)
 apply (thin_tac "prime_ideal (O _{P n}) (P _{P n} j)")
  (rule equalityI)
 apply (rule subsetI)
 apply (frule_tac y = x in n_eq_val_eq_idealTr[of n P "(Kb _{n P}) j"])
 apply (thin_tac "Ring (O _{P n})", thin_tac "ideal (O _{P n}) (P _{P n} j)")
 apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
 apply (frule Kbase_hom[of "n" "P"], simp)
 apply (rule allI, rule impI)
 apply (frule Kbase_Kronecker[of "n" "P"])
 apply (simp add:Kronecker_delta_def, rule impI)
 apply (simp only:ant_0[THEN sym], simp only:ant_1[THEN sym])
 apply (simp del:ant_1)
 apply (simp add:prime_n_pd_def)


 apply (rule allI, rule impI)
 apply (frule Kbase_Kronecker[of "n" "P"])
 apply simp
 apply (thin_tac "∀j≤n. ∀l≤n. (ν _{(P j)}) ((Kb _{n P}) l) = δ _l")
 apply (case_tac "ja = j", simp add:Kronecker_delta_def)
 apply (thin_tac "ideal (O _{P n}) (P _{P n} j)")
 apply (simp add:prime_n_pd_def, erule conjE)
 apply (frule_tac x = x in mem_ring_n_pd_mem_K[of "n" "P"],
 assumption+)
 apply (case_tac "x = 0")
 apply (frule distinct_pds_valuation2[of "j" "n" "P"], assumption+)
 apply (rule gt_a0_ge_1, assumption)+

 apply (simp add:Kronecker_delta_def)
 apply (frule_tac j = ja in distinct_pds_valuation2[of _ "n" "P"],
 assumption+)
 apply (simp add:prime_n_pd_def, erule conjE)
 apply (thin_tac "ideal (O _{P n}) {x. x ∈ carrier (O _{P n}) ∧ 0 < (ν _{(P j)}) x}")
 apply (simp add:ring_n_pd_def Sr_def)
 apply (cut_tac h = x in Ring.ideal_subset[of "O _{P n}" "P _{P n} j"])
 apply (frule_tac a = x in Ring.a_in_principal[of "O _{P n}"])
 apply (simp add:Ring.ideal_subset, assumption+)


  (rule_tac c = x and A = "(O _{P n}) ♢_p x" and B = "(O _{P n}) ♢_p (Kb _{n P}) j"
 in subsetD, assumption+)
  (simp add:Ring.a_in_principal)
 apply (rule Ring.ideal_cont_Rxa[of "O _{P n}" "P _{P n} j" "(Kb _{n P}) j"], assumption+)
 apply (subst prime_n_pd_def, simp)
 apply (frule Kbase_Kronecker[of "n" "P"])
 apply (simp add:Kronecker_delta_def)
 apply (simp only:ant_1[THEN sym], simp only:ant_0[THEN sym])
 apply (simp del:ant_1 add:aless_zless)
  (subst ring_n_pd_def, simp add:Sr_def)
 apply (frule Kbase_hom[of "n" "P"])
 apply simp
 apply (rule allI)
 apply (simp add:ant_0)
 apply (rule impI)
 apply (simp only:ant_1[THEN sym], simp only:ant_0[THEN sym])
 apply (simp del:ant_1)
 

  (in Corps) ring_n_prod_primesTr:"[0 < n; distinct_pds K n P;
 ideal (O _{P n}) I; I ≠ {0 _{P n}}; I ≠ carrier (O _{P n})] ==>
 ∀j ≤ n.(ν _{(P j)}) (mprod_exp K (mL K P I) (Kb _{n P}) n) =
 (ν _{(P j)}) (mIg _{n P I})"
  (rule allI, rule impI)
 apply (simp add:mgenerator1)
 apply (simp add:value_mI_gen1)

 apply (simp add:value_Zl_mI)
 

  (in Corps) ring_n_prod_primesTr1:"[0 < n; distinct_pds K n P;
 ideal (O _{P n}) I; I ≠ {0 _{P n}}; I ≠ carrier (O _{P n})] ==>
 I = (O _{P n}) ♢_p (mprod_exp K (mL K P I) (Kb _{n P}) n)"
  (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
  (subst n_eq_val_eq_ideal[of "n" "P" "mprod_exp K (mL K P I)
 (Kb _{n P}) n" "mIg _{n P I}"], assumption+)
  (simp add:mgeneratorTr4)
  (frule mI_gen_in_I1[of "n" "P" "I"], assumption+)
  (simp add:Ring.ideal_subset)
  (simp add:ring_n_prod_primesTr)
  (simp add:mI_principal)
 

  (in Corps) ring_n_prod_primes:"[0 < n; distinct_pds K n P;
 ideal (O _{P n}) I; I ≠ {0 _{P n}}; I ≠ carrier (O _{P n});
 ∀k ≤ n. J k = (P _{P n} k)^{♢(O _{P n}) (nat ((mL K P I) k))}] ==>
 I = iΠ_{O P n),n} J"
  (simp add:prime_n_pd_principal[of "n" "P"])
  (subst ring_n_prod_primesTr1[of "n" "P" "I"], assumption+)
  (frule ring_n_pd[of "n" "P"])
  (frule Ring.prod_n_principal_ideal[of "O _{P n}" "nat o (mL K P I)" "n"
 "Kb _{n P}" "J"])
 apply (frule Kbase_hom[of "n" "P"])
 apply (simp add:nat_def)
 apply (subst ring_n_pd_def) apply (simp add:Sr_def)
 apply (rule Pi_I, simp)
 apply (simp add:Kbase_Kronecker[of "n" "P"])
 apply (simp add:Kronecker_delta_def)
 apply (simp only:ant_1[THEN sym], simp only:ant_0[THEN sym])
 apply (simp del:ant_1)
 apply (simp add:Kbase_hom) apply simp

 apply simp
 apply (frule ring_n_mprod_mprodR[of "n" "P" n "mL K P I" "Kb _{n P}"])
 apply (rule allI, rule impI, simp add:Zset_def)
 apply (rule allI, rule impI)
 apply (simp add: Zleast_in_mI_pos)

 apply (rule allI, rule impI)
 apply (subst ring_n_pd_def) apply (simp add:Sr_def)
 apply (frule Kbase_hom1[of "n" "P"], simp)
 apply (simp add:zero_in_ring_n_pd_zero_K)
 apply (frule Kbase_Kronecker[of "n" "P"])
 apply (simp add:Kronecker_delta_def)
 apply (simp only:ant_1[THEN sym], simp only:ant_0[THEN sym])
 apply (simp del:ant_1)
  simp