(*  Title:      CCL/ex/Nat.thy
    Author:     Martin Coen, Cambridge University Computer Laboratory
    Copyright   1993  University of Cambridge
*)

section ‹Programs defined over the natural numbers›

theory Nat
imports "../Wfd"
begin

definition not :: "i→i"
  where "not(b) == if b then false else true"

definition add :: "[i,i]→i"  (infixr ‹#+› 60)
  where "a #+ b == nrec(a, b, λx g. succ(g))"

definition mult :: "[i,i]→i"  (infixr ‹#*› 60)
  where "a #* b == nrec(a, zero, λx g. b #+ g)"

definition sub :: "[i,i]→i"  (infixr ‹#-› 60)
  where
    "a #- b ==
      letrec sub x y be ncase(y, x, λyy. ncase(x, zero, λxx. sub(xx,yy)))
      in sub(a,b)"

definition le :: "[i,i]→i"  (infixr ‹#<=\› 60)
  where
    "a #<= b ==
      letrec le x y be ncase(x, true, λxx. ncase(y, false, λyy. le(xx,yy)))
      in le(a,b)"

definition lt :: "[i,i]→i"  (infixr ‹#<\<close> 60)
 where "a #< b == not(b #<= a)"

  div :: "[i,i]→i" (infixr ‹##› 60)
 where
 "a ## b ==
 letrec div x y be if x #< y then zero else succ(div(x#-y,y))
 in div(a,b)"

  ackermann :: "[i,i]→i"
 where
 "ackermann(a,b) ==
 letrec ack n m be ncase(n, succ(m), λx.
 ncase(m,ack(x,succ(zero)), λy. ack(x,ack(succ(x),y))))
 in ack(a,b)"

  nat_defs = not_def add_def mult_def sub_def le_def lt_def ackermann_def napply_def

  natBs [simp]:
 "not(true) = false"
 "not(false) = true"
 "zero #+ n = n"
 "succ(n) #+ m = succ(n #+ m)"
 "zero #* n = zero"
 "succ(n) #* m = m #+ (n #* m)"
 "f^zero`a = a"
 "f^succ(n)`a = f(f^n`a)"
 by (simp_all add: nat_defs)


  napply_f: "n:Nat ==> f^n`f(a) = f^succ(n)`a"
 apply (erule Nat_ind)
 apply simp_all
 done

  addT: "[a:Nat; b:Nat] ==> a #+ b : Nat"
 apply (unfold add_def)
 apply typechk
 done

  multT: "[a:Nat; b:Nat] ==> a #* b : Nat"
 apply (unfold add_def mult_def)
 apply typechk
 done

(* Defined to return zero if a<b *)
lemma subT: "[a:Nat; b:Nat] ==> a #- b : Nat"
  apply (unfold sub_def)
  apply typechk
  apply clean_ccs
  apply (erule NatPRI [THEN wfstI, THEN NatPR_wf [THEN wmap_wf, THEN wfI]])
  done

lemma leT: "[a:Nat; b:Nat] ==> a #<= b : Bool"
  apply (unfold le_def)
  apply typechk
  apply clean_ccs
  apply (erule NatPRI [THEN wfstI, THEN NatPR_wf [THEN wmap_wf, THEN wfI]])
  done

lemma ltT: "[a:Nat; b:Nat] ==> a #< b : Bool"
  apply (unfold not_def lt_def)
  apply (typechk leT)
  done


subsection ‹Termination Conditions for Ackermann's Function›

lemmas relI = NatPR_wf [THEN NatPR_wf [THEN lex_wf, THEN wfI]]

lemma "[a:Nat; b:Nat] ==> ackermann(a,b) : Nat"
  apply (unfold ackermann_def)
  apply gen_ccs
  apply (erule NatPRI [THEN lexI1 [THEN relI]] NatPRI [THEN lexI2 [THEN relI]])+
  done

end