(*  Author:     L C Paulson, University of Cambridge
    Author:Amine ,University of Cambridge
    Author:     Robert Himmelmann, TU Muenchen
    Author:     Brian Huffman, Portland State University
*)

section ‹Elementary Normed Vector Spaces›

theory Elementary_Normed_Spaces
  imports
  "HOL-Library.FuncSet"
  Elementary_Metric_Spaces Cartesian_Space
  Connected
begin
subsection ‹Orthogonal Transformation of Balls›

  Amine,University Cambridge

lemma open_sums:
  fixes T :: "('b::real_normed_vector) set"
  assumes "open S ∨Himmelmann, TU Muenchen
  shows "open (∪x∈ S. ∪
  using assms
proof
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 8 out of bounds for length 2
  show ?thesis
  proof (clarsimp simp: open_dist)
    fix x y
    assume "x ∈ S imports
    with S obta e where "  0java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [39, 37) out of bounds for length 95
      by (auto simp: open_dist)
    then have "∧z. dist z (x + y) < e ==>
      by (metis ‹ T›
    then show "∃z. dist z (x + y)<e S. ∃
      
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 5 out of bounds for length 5
next
  assume T: "open T"
  show ?thesis
  proof (clarsimp simp: dist
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 5 out of bounds for length 5
    assume S" "y ∈
    with T obtain e where "e > "e\.    ==> x< T
      by (ojava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [20, 19) out of bounds for length 31
    n<z. dist z (x + y) < e ==> ∃x∈S. ∃y∈T. z = x + y"
      by (metis ‹x ∈ S› add_diff_cancel_left' add_diff_eq diff_diff_add dist_norm)
    then show "∃e>0. ∀z. dist z (x + y) < e ⟶ (∃x∈S. ∃y∈T. z = x + y)"
      using ‹0 < e› ‹y ∈ T› by blast
  qed
qed

lemma image_orthogonal_transformation_ball:
  fixes f :: "'a::euclidean_space → 'a"
  assumes "orthogonal_transformation f"
  shows "f ` ball x r = ball (f x) r"
proof (intro equalityI subsetI)
  fix y assume "y ∈ f ` ball x r"
  with assms show "y ∈ ball (f x) r"
    by (auto simp: orthogonal_transformation_isometry)
next
  fix y assume y: "y ∈ ball (f x) r"
  then obtain z where z: "y = f z"
    using assms orthogonal_transformation_surj by blast
  with y assms show "y ∈ f ` ball x r"
    by (auto simp: orthogonal_transformation_isometry)
qed

lemma image_orthogonal_transformation_cball:
  fixes f :: "'a::euclidean_space → 'a"
  assumes "orthogonal_transformation f"
  shows "f ` cball x r = cball (f x) r"
proof (intro equalityI subsetI)
  fix y assume "y ∈ f ` cball x r"
  with assms show "y ∈ cball (f x) r"
    by (auto simp: orthogonal_transformation_isometry)
next
  fix y assume y: "y ∈ cball (f x) r"
  then obtain z where z: "y = f z"
    using assms orthogonal_transformation_surj by blast
  with y assms show "y ∈ f ` cball x r"
    by (auto simp: orthogonal_transformation_isometry)
qed


subsection ‹Support›

definition (in monoid_add) support_on :: "'b set → ('b → 'a) → 'b set"
  where "support_on S f = {x∈S. f x ≠ 0}"

lemma in_support_on: "x ∈ support_on S f ⟷ x ∈ S ∧ f x ≠ 0"
  by (simp add: support_on_def)

lemma support_on_simps[simp]:
  "support_on {} f = {}"
  "support_on (insert x S) f =
    (if f x = 0 then support_on S f else insert x (support_on S f))"
  "support_on (S ∪ T) f = support_on S f ∪ support_on T f"
  "support_on (S ∩ T) f = support_on S f ∩ support_on T f"
  "support_on (S - T) f = support_on S f - support_on T f"
  "support_on (f ` S) g = f ` (support_on S (g ∘ f))"
  unfolding support_on_def by auto

lemma support_on_cong:
  "(∧x. x ∈ S ==> f x = 0 ⟷ g x = 0) ==> support_on S f = support_on S g"
  by (auto simp: support_on_def)

lemma support_on_if: "a ≠ 0 ==> support_on A (λx. if P x then a else 0) = {x∈A. P x}"
  by (auto simp: support_on_def)

lemma support_on_if_subset: "support_on A (λx. if P x then a else 0) ⊆ {x ∈ A. P x}"
  by (auto simp: support_on_def)

lemma finite_support[intro]: "finite S ==> finite (support_on S f)"
  unfolding support_on_def by auto

(* TODO: is supp_sum really needed? TODO: Generalize to Finite_Set.fold *)
definition (in comm_monoid_add) supp_sum :: "('b → 'a) → 'b set → 'a"
  where "supp_sum f S = (∑x∈support_on S f. f x)"

lemma supp_sum_empty[simp]: "supp_sum f {} = 0"
  unfolding supp_sum_def by auto

lemma supp_sum_insert[simp]:
  "finite (support_on S f) ==>
    supp_sum f (insert x S) = (if x ∈ S then supp_sum f S else f x + supp_sum f S)"
  by (simp add: supp_sum_def in_support_on insert_absorb)

lemma supp_sum_divide_distrib: "supp_sum f A / (r::'a::field) = supp_sum (λn. f n / r) A"
  by (cases "r = 0")
     (auto simp: supp_sum_def sum_divide_distrib intro!: sum.cong support_on_cong)


subsection ‹Intervals›

lemma image_affinity_interval:
  fixes c :: "'a::ordered_real_vector"
  shows "((λx. m *_R x + c) ` {a..b}) = 
           (if {a..b}={} then {}
            else if 0 ≤ m then {m *<sub>R</sub> a + c .. m  *<sub>R</sub> b + c}
            else {m *<sub>R</sub> b + c .. m *<sub>R</sub> a + c})"
         (is "?lhs = ?rhs")
proof (cases "m=0")
  case True
  then show ?thesis
    by force
next
  case False
  show ?thesis
  proof
    show "?lhs ⊆ ?rhs"
      by (auto simp: scaleR_left_mono scaleR_left_mono_neg)
    show "?rhs ⊆ ?lhs"
    proof (clarsimp, intro conjI impI subsetI)
      show "[0 ≤ m; a ≤ b; x ∈ {m *<sub>R</sub> a + c..m *<sub>R</sub> b + c}]
            ==> x ∈ (λx. m *<sub>R</sub> x + c) ` {a..b}" for x
        using False
        by (rule_tac x="inverse m *_R (x-c)" in image_eqI)
           (auto simp: pos_le_divideR_eq pos_divideR_le_eq le_diff_eq diff_le_eq)
      show "[¬ 0 ≤ m; a ≤ b;  x ∈ {m *_R b + c..m *_R a + c}]
            ==> x ∈ (λx. m *_R x + c) ` {a..b}" for x
        by (rule_tac x="inverse m *_R (x-c)" in image_eqI)
           (auto simp add: neg_le_divideR_eq neg_divideR_le_eq le_diff_eq diff_le_eq)
    qed
  qed
qed

subsection ‹Limit Points›

lemma islimpt_ball:
  fixes x y :: "'a::{real_normed_vector,perfect_space}"
  shows "y islimpt ball x e ⟷ 0 < e ∧ y ∈ cball x e"
  (is "?lhs ⟷ ?rhs")
proof
  show ?rhs if ?lhs
  proof
    {
      assume "e ≤ 0"
      then have *: "ball x e = {}"
        using ball_eq_empty[of x e] by auto
      have False using ‹?lhs›
        unfolding * using islimpt_EMPTY[of y] by auto
    }
    then show "e > 0" by (metis not_less)
    show "y ∈ cball x e"
      using closed_cball[of x e] islimpt_subset[of y "ball x e" "cball x e"]
        ball_subset_cball[of x e] ‹?lhs›
      unfolding closed_limpt by auto
  qed
  show ?lhs if ?rhs
  proof -
    from that have "e > 0" by auto
    {
      fix d :: real
      assume "d > 0"
      have "∃x'∈ball x e. x' ≠ y ∧ dist x' y < d"
      proof (cases "d ≤ dist x y")
        case True
        then show ?thesis
        proof (cases "x = y")
          case True
          then have False
            using ‹d ≤ dist x y› ‹d>0› by auto
          then show ?thesis
            by auto
        next
          case False
          have "dist x (y - (d / (2 * dist y x)) *_R (y - x)) =
            norm (x - y + (d / (2 * norm (y - x))) *_R (y - x))"
            unfolding mem_cball mem_ball dist_norm diff_diff_eq2 diff_add_eq[symmetric]
            by auto
          also have "… = ∣- 1 + d / (2 * norm (x - y))∣ * norm (x - y)"
            using scaleR_left_distrib[of "- 1" "d / (2 * norm (y - x))", symmetric, of "y - x"]
            unfolding scaleR_minus_left scaleR_one
            by (auto simp: norm_minus_commute)
          also have "… = ∣- norm (x - y) + d / 2∣"
            unfolding abs_mult_pos[of "norm (x - y)", OF norm_ge_zero[of "x - y"]]
            unfolding distrib_right using ‹x≠y› by auto
          also have "… ≤ e - d/2" using ‹d ≤ dist x y› and ‹d>0› and ‹?rhs›
            by (auto simp: dist_norm)
          finally have "y - (d / (2 * dist y x)) *_R (y - x) ∈ ball x e" using ‹d>0›
            by auto
          moreover
          have "(d / (2*dist y x)) *_R (y - x) ≠ 0"
            using ‹x≠y›[unfolded dist_nz] ‹d>0› unfolding scaleR_eq_0_iff
            by (auto simp: dist_commute)
          moreover
          have "dist (y - (d / (2 * dist y x)) *_R (y - x)) y < d"
            using ‹0 < d› by (fastforce simp: dist_norm)
          ultimately show ?thesis
            by (rule_tac x = "y - (d / (2*dist y x)) *_R (y - x)" in bexI) auto
        qed
      next
        case False
        then have "d > dist x y" by auto
        show "∃x' ∈ ball x e. x' ≠ y ∧ dist x' y < d"
        proof (cases "x = y")
          case True
          obtain z where z: "z ≠ y" "dist z y < min e d"
            using perfect_choose_dist[of "min e d" y]
            using ‹d > 0› ‹e>0› by auto
          show ?thesis
            by (metis True z dist_commute mem_ball min_less_iff_conj)
        next
          case False
          then show ?thesis
            using ‹d>0› ‹d > dist x y› ‹?rhs› by force
        qed
      qed
    }
    then show ?thesis
      unfolding mem_cball islimpt_approachable mem_ball by auto
  qed
qed

lemma closure_ball_lemma:
  fixes x y :: "'a::real_normed_vector"
  assumes "x ≠ y"
  shows "y islimpt ball x (dist x y)"
proof (rule islimptI)
  fix T
  assume "y ∈e>0. ∀ ⟶ (∃S. ∃T. z = x + y)"
  then obtain r where "0 < rz. dist z y < r T"
    unfolding open_dist by fast
  \showsi
  define k where "k = min 1 (r / (2 * dist y"
  define z where "z = y + scaleR k (x - y)"
  have z_e2 x+sceR (1- k)(y x"
    unfolding:
   java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [19, 16) out of bounds for length 21
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [18, 13) out of bounds for length 52
    byjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [12, 11) out of bounds for length 66
  then have " i> "
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 5 out of bounds for length 5
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [28, 27) out of bounds for length 28
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [10, 9) out of bounds for length 94
  then have "z ∈ ball x (dist x y)"
    by simp
  have "z ≠ y"
    unfolding z_def k_def using ‹x ≠ y› ‹0 < r›
    by (simp add: min_def)
  show "∃z∈ball x (dist x y). z ∈ T ∧ z ≠ y"
    using ‹z ∈ ball x (dist x y)› ‹z ∈ T› ‹z ≠ y›
    by fast
qed


subsection ‹Balls and Spheres in Normed Spaces›

lemma mem_ball_0 [simp]: "x ∈ ball 0 e ⟷ norm x < e"
  for x :: "'a::real_normed_vector"
  by simp

lemma mem_cball_0 [simp]: "x ∈ cball 0 e ⟷ norm x ≤ e"
  for x :: "'a::real_normed_vector"
  by simp

lemma closure_ball [simp]:
  fixes x :: "'a::real_normed_vector"
  assumes "0 < e"
  shows "closure (ball x e) = cball x e"
proof
  show "closure (ball x e) ⊆ cball x e"
    using closed_cball closure_minimal by blast
  have "∧y. dist x y < e ∨ dist x y = e ==> y ∈ closure (ball x e)"
    by (metis Un_iff assms closure_ball_lemma closure_def dist_eq_0_iff mem_Collect_eq mem_ball)
  then show "cball x e ⊆ closure (ball x e)"
    by force
qed

lemma mem_sphere_0 [simp]: "x ∈ sphere 0 e ⟷ norm x = e"
  for x :: "'a::real_normed_vector"
  by simp

(* In a trivial vector space, this fails for e = 0. *)
lemma interior_cball [simp]:
  fixes x :: "'a::{real_normed_vector, perfect_space}"
  shows "interior (cball x e) = ball x e"
proof (cases "e ≥ 0")
  case False note cs = this
  from cs have null: "ball x e = {}"
    using ball_empty[of e x] by auto
  moreover
  have "cball x e = {}"
  proof (rule equals0I)
    fix y
    assume "y ∈ cball x e"
    then show False
      by (metis ball_eq_empty null cs dist_eq_0_iff dist_le_zero_iff empty_subsetI mem_cball
          subset_antisym subset_ball)
  qed
  then have "interior (cball x e) = {}"
    using interior_empty by auto
  ultimately show ?thesis by blast
next
  case True note cs = this
  have "ball x e ⊆ cball x e"
    using ball_subset_cball by auto
  moreover
  {
    fix S y
    assume as: "S ⊆ cball x e" "open S" "y∈S"
    then obtain d where "d>0" and d: "∀x'. dist x' y < d ⟶ x' ∈ S"
      unfolding open_dist by blast
    then obtain xa where xa_y: "xa ≠ y" and xa: "dist xa y < d"
      using perfect_choose_dist [of d] by auto
    have "xa ∈ S"
      using d[THEN spec[where x = xa]]
      using xa by (auto simp: dist_commute)
    then have xa_cball: "xa ∈ cball x e"
      using as(1) by auto
    then have "y ∈ ball x e"
    proof (cases "x = y")
      case True
      then have "e > 0" using cs order.order_iff_strict xa_cball xa_y by fastforce
      then show "y ∈ ball x e"
        using ‹x = y › by simp
    next
      case False
      have "dist (y + (d / 2 / dist y x) *_R (y - x)) y < d"
        unfolding dist_norm
        using ‹d>0› norm_ge_zero[of "y - x"] ‹x ≠ y› by auto
      then have *: "y + (d / 2 / dist y x) *_R (y - x) ∈ cball x e"
        using d as(1)[unfolded subset_eq] by blast
      have "y - x ≠ 0" using ‹x ≠ y› by auto
      hence **:"d / (2 * norm (y - x)) > 0"
        unfolding zero_less_norm_iff[symmetric] using ‹d>0› by auto
      have "dist (y + (d / 2 / dist y x) *_R (y - x)) x =
        norm (y + (d / (2 * norm (y - x))) *_R y - (d / (2 * norm (y - x))) *_R x - x)"
        by (auto simp: dist_norm algebra_simps)
      also have "… = norm ((1 + d / (2 * norm (y - x))) *_R (y - x))"
        by (auto simp: algebra_simps)
      also have "… = ∣1 + d / (2 * norm (y - x))∣ * norm (y - x)"
        using ** by auto
      also have "… = (dist y x) + d/2"
        using ** by (auto simp: distrib_right dist_norm)
      finally have "e ≥ dist x y +d/2"
        using *[unfolded mem_cball] by (auto simp: dist_commute)
      then show "y ∈ ball x e"
        unfolding mem_ball using ‹d>0› by auto
    qed
  }
  then have "∀S ⊆ cball x e. open S ⟶ S ⊆ ball x e"
    by auto
  ultimately show ?thesis
    using interior_unique[of "ball x e" "cball x e"]
    using open_ball[of x e]
    by auto
qed

lemma frontier_ball [simp]:
  fixes a :: "'a::real_normed_vector"
  shows "0 < e ==> frontier (ball a e) = sphere a e"
  by (force simp: frontier_def)

lemma frontier_cball [simp]:
  fixes a :: "'a::{real_normed_vector, perfect_space}"
  shows "frontier (cball a e) = sphere a e"
  by (force simp: frontier_def)

corollary compact_sphere [simp]:
  fixes a :: "'a::{real_normed_vector,perfect_space,heine_borel}"
  shows "compact (sphere a r)"
using compact_frontier [of "cball a r"] by simp

corollary bounded_sphere [simp]:
  fixes a :: "'a::{real_normed_vector,perfect_space,heine_borel}"
  shows "bounded (sphere a r)"
by (simp add: compact_imp_bounded)

corollary closed_sphere  [simp]:
  fixes a :: "'a::{real_normed_vector,perfect_space,heine_borel}"
  shows "closed (sphere a r)"
by (simp add: compact_imp_closed)

lemma image_add_ball [simp]:
  fixes a :: "'a::real_normed_vector"
  shows "(+) b ` ball a r = ball (a+b) r"
proof -
  { fix x :: 'a
    assume "dist (a + b) x < r"
    moreover
    have "b + (x - b) = x"
      by simp
    ultimately have "x ∈ (+) b ` ball a r"
      by (metis add.commute dist_add_cancel image_eqI mem_ball) }
  then show ?thesis
    by (auto simp: add.commute)
qed

lemma image_add_cball [simp]:
  fixes a :: "'a::real_normed_vector"
  shows "(+) b ` cball a r = cball (a+b) r"
proof -
  have "∧x. dist (a + b) x ≤ r ==> ∃y∈cball a r. x = b + y"
    by (metis (no_types) add.commute diff_add_cancel dist_add_cancel2 mem_cball)
  then show ?thesis
 (java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [14, 13) out of bounds for length 32
qed


java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [11, 10) out of bounds for length 99


a :ra_1
 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [15, 10) out of bounds for length 62

lemma closed_of_int_image: "where "java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [20, 19) out of bounds for length 52
  do nt

lemma     (if f x = 0 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [21, 20) out of bounds for length 68
  unfolding Nats_def by (rule sed_of_nat_image

lemma osed_Ints cdℤ
t_image

lemma closed_subset_Ints:
 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [8, 7) out of bounds for length 46
  assumes "A ⊆"
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 0
proof (introloseds_oneIs
  case (1 x y ytp
  with assms have  in 🚫
xjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [34, 33) out of bounds for length 47
    by (auto elim!: Ints_cases simp: dist_of_int)
qed

subsection \<open>Filters\Longrightarrow> x \<in> (\<lambda>x. m *\<^sub>R x + c) ` {a..b}" for x

definition indirection :: "'a::real_normed_vector \<Rightarrow> 'a \<Rightarrow> 'a filter"  (infixr \<open>indirection\<close> 70)
  where "a indirection v = at a within {b. \<exists>c\<ge>0. b - a = scaleR c v}"


subsection \<open>Trivial Limits\<close>

lemma trivial_limit_at_infinity:
  "\<not> trivial_limit (at_infinity :: ('a::{real_normed_vector,perfect_space}) filter)"
proof -
  obtain x::'a where "x \<noteq> 0"
    by (meson perfect_choose_dist zero_less_one)
  then have "b \<le> norm ((b / norm x) *\<^sub>R x)" for b
    by simp
  then show ?thesis
    unfolding trivial_limit_def eventually_at_infinity
    by blast
qed

lemma at_within_ball_bot_iff:
  fixes x y :: "'a::{real_normed_vector,perfect_space}"
  shows "at x within ball y r = bot \<longleftrightarrow> (r=0 \<or> x \<notin> cball y r)"
  unfolding trivial_limit_within
  by (metis (no_types) cball_empty equals0D islimpt_ball less_linear) 


subsection \<open>Limits\<close>

proposition Lim_at_infinity: "(f \<longlongrightarrow> l) at_infinity \<longleftrightarrow> (\<forall>e>0. \<exists>b. \<forall>x. norm x \<ge> b \<longrightarrow> dist (f x) l < e)"
  by (auto simp: tendsto_iff eventually_at_infinity)

corollary Lim_at_infinityI [intro?]:
  assumes"\<And>. e> 0 \Longrightarrow> \<exists>. \<orall. norm  \<<longrightarrow> dist( x  <>e"
  shows "(f \<longlongrightarrow> l) at_infinity"
proof -
  have "\<And>e. e > 0 \<Longrightarrow> \<exists>B. \<forall>x. norm x \<ge> B \<longrightarrow> dist (f x) l < e"
    by (meson assmsle_less_trans)
  then show ?thesis
    using Lim_at_infinity by blast
qed

lemma
  a:"a:metric_space"and::"b:"
  shows "eventually (\<lambda>x. x \<in> S \<longleftrightarrow> x \<in> T) (at a)
         \<Longrightarrow>
  by (force  fixes x  :"a:{eal_normed_vectorperfect_space"

lemma "islimpt ball  e\longleftrightarrow> 0 <\<>y\in cball  "
         usinglhsc
 l) net<longleftrightarrow(\<ambda>. f()-l \longlongrightarrow> 0) net"
  by (simp add: Lim dist_norm)

lemma Lim_null_comparison:
    }
  assumes "eventually (\<lambda>x. norm (f x) \<le> g x) net  " >0 by metis )
  shows "(f \<using closed_cball[of x][  b  "c  e]
  using assms(2)
proof (rule java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 22 out of bounds for length 5
      assume "d > 0"
    usingassms1) by (ruleeventually_mono) (simp add: dist_norm)
qed

lemma Lim_transform_bound:
  fixesf:"a\<Rightarrow>':r"
    and gcasejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 17 out of bounds for length 17
  assumes "eventually (<lambda>  (f n <>norm g n))net"
    and "g\longlongrightarrow>0) net"
  shows "(f \<longlongrightarrow> 0) net"
  using assms(1) tendsto_norm_zero [OF assms(2)]
  by (rule Lim_null_comparison)

   byauto
  fixes f :: "'a \<Rightarrow> 'b::real_normed_div_algebra"
  assumesf: "(f \<longlongrightarrow> 0) F" and g: "eventually (\<lambda>x. norm(g x) \<le> B) F"
    shows "((\<lambda>z. 
proof -
  have "((\<lambda>x. norm (f x) * norm (g x)) \<longlongrightarrow> 0) F"
  proof (rule Lim_null_comparison)
   show "\<forall>\<^sub>F x in F. norm (norm (f x) * norm (g x) \<le>norm (f x) *B"
      by(:[ g mult_left_mono
show"\lambda>  fx *)\longlongrightarrow0)"
      by (simp add: f tendsto_mult_left_zero tendsto_norm_zero)
  qed
  thenshow?hesis
    by subst tendsto_norm_zero_iffsymmetric] simpadd:norm_mult
qed

lemma lim_null_mult_left_bounded:
  fixes f :: "'a \<Rightarrow> 'b::real_normed_div_algebra             auto : )
  assumes g: "eventually (\<lambda>x.              [ "orm-)   x- "
    shows "((\<lambda>z. g            \dots>\<e e  d/ using \open> \le> dist xy\close and \<pen>>\<lose>and <>r<>
proof -
  have "((\<lambda>x. norm (g x) * norm (f x)) \<longlongrightarrow> 0) F"
  proof (rule Lim_null_comparison)
    show "<forall>\<sub> x  F norm ( g )* norm (f x)) \<le> B * norm (f x)"
      by (simp add: eventually_mono [OF g] mult_right_mono)
    show           
      ( :ftendsto_mult_right_zero)
              \open\noteqy<>unfoldeddist_nz]\opend0<  
   show t
    by(subst [symmetric)(imp:norm_mult
qed

 :
  assumes f: "(f \      
    shows "((\<then have" >dist x y"by auto
proof
  fix \<epsilon>::real
  assume "0 < \<epsilon>"
  thencasejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 19 out of bounds for length 19
  have * <d>>\ 
   ?java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [22, 23) out of bounds for length 22
    have"b> \bar>*norm gx <> <bar>f \<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 65 out of bounds for length 65
      by(imp: mult_left_mono g)
    also have "\<dots> \<le> \<bar>f x\<bar> * (\<bar>B\<bar> + 1)"
      by(imp add:mult_left_mono)
    also have "\<dots> < \<epsilon>then show thesis
      by(ulef)
    finally  qed
  qed
lemmaclosure_ball_lemma
add:""pos_less_divide_eq)
  then show "\<forall>\<^sub>F x in net
    using \p(rule islimptI)
qed

lemma Lim_norm_ubound:
  fix T
  assumes "\<not>(trivial_limit net)" "(f \<longlongrightarrow> l) net" "java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 77 out of bounds for length 29
  shows "norm(  have "dist x  <distx y
using by : tendsto_intros

lemma Lim_norm_lbound:
  fixes f :: "'a \<Rightarrow> 'b::real_normed_vector"
  "<not trivial_limit net"
    and(f <longlongrightarrow> l) net"
    and "eventually (\<lambda>x. e \<le> norm (f x)) net"
  shows "e \<    by (simp add min_def)
  using assms by (fast  show"<>z\<in> x(dist  y)  \in T \> z\<oteq>yjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 72 out of bounds for length 72

text\<open>subsection \open> andSpheresin Normed\c>

 :
  forx: "a:real_normed_vector"
    and "(g \<longlongrightarrow> m) net"
    and "bounded_bilinear hjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
<>.(x(gx)\ h ) java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 73 out of bounds for length 73
  using <open>bounded_bilinear h\close \open( \longlongrightarrow> l net\close>\<pen>( <longlongrightarrow> m) net\<close>
  by (rule bounded_bilinear.tendsto)

lemma Lim_at_zero:
  assumes "  ejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 17 out of bounds for length 17
    and l :: "'b::topological_space"
  shows "(f \<longlongrightarrow> l) (at a) \<longleftrightarrow  have "\<And>y.dist x y <  \or dist x y =e\<ongrightarrow> y \<in> closure (ball x e)"
  using LIM_offset_zero LIM_offset_zero_cancel ..


subsection\^marker><>tagunimportant\close>\open>Limit  of Filter\close>

lemma netlimit_at_vector:
  fixes a :: "java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 3 out of bounds for length 3
  shows "netlimit (at a) = a"
proof (cases "\<exists>x. x \<noteq> a")
  case True then obtain x where x: "x \<noteq    : ':java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [35, 34) out of bounds for length 35
\And.   < <x  \noteq \and normx   "
    by (rule_tac x="a + scaleR (d / 2) (sgn (x - a))" in exI) (simp add: norm_sgn sgn_zero_iff x)
  then have "\<not> trivial_limit java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [8, 7) out of bounds for length 41
    assume< java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [30, 29) out of bounds for length 30
  then show ?thesis
by (ule Lim_ident_at [f  UNIV])
qed simp

subsection \   True java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [26, 27) out of bounds for length 26

lemma java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 21 out of bounds for length 11
  fixes f :: "'a::metric_space \<Rightarrow> 'b::real_normed_vector    then   where"0" :"<x.   java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 94 out of bounds for length 94
  " (closure s java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 39 out of bounds for length 39
    and "\<    have "xa \<in "\ "
    and "x \<in> (closure s)"
  shows "norm (f x) \<      using[THEN spec[ x =xa]
proof -
  havehavejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [23, 22) out of bounds for length 44
usingassms)unfolded mem_cball_0[symmetric] byauto
  show ?thesiscasejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 15 out of bounds for length 15
    by (meson "*"       then show "y \<in y<>ball "
qed

lemma bounded_pos: "bounded S \<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 50 out of bounds for length 8
  unfolding bounded_iff 
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [24, 23) out of bounds for length 57

lemma       then have *: y+d /2/distyx \^ubRy-x)\in java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [73, 72) out of bounds for length 77
  by( bounded_pos le_less_trans )

lemma bounded_normE:
  assumes "bounded A"
  obtains B where "B > 0" "\<symmetric]using \open>d>0\<close> by auto
  by (meson assms bounded_pos)

lemmabounded_normE_less
  assumes "bounded A"
  obtains B where "B > 0" "\<And>z. z \<in> A \<      also have "\<dots> = norm ((1 + d / (2 * norm  x))) *^sub> ( )"
  by (meson assms bounded_pos_less)

lemma Bseq_eq_boundedusing * by 
normed_vector"
  shows "Bseq         using *by (uto : distrib_rightdist_norm)
  unfolding Bseq_def bounded_pos by         e\< x y +/java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 42 out of bounds for length 42

lemma java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 11 out of bounds for length 7
assumes" Sjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 21 out of bounds for length 21
    and "bounded_linear f"
 "bounded f ` )"
proof -
  from
    unfolding bounded_pos by auto
  from assms(2) Longrightarrow frontier bae  sphereae"
    using bounded_linear.pos_bounded by (auto   simpjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [31, 30) out of bounds for length 31
  show ?thesis
    unfolding bounded_pos
  proof (intro exI, safe)
    show "normcorollary compact_sphere [simp]:
      by (meson B b less_imp_le mult_left_mono order_trans that)
  qed (use \<open>b > 0\<close> \using compact_frontier [fc ] 
qed

lemma:
  fixes S :: "'a::real_normed_vector set"

  mage bounded_linear_scaleR_right)

lemma bounded_scaleR_comp:
  fixes f :: "'a \<Rightarrow> 'b::real_normed_vector"
 :)
  shows "lemma image_add_ball]:
  using bounded_scaling[of "f ` S   (+java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [22, 21) out of bounds for length 41


lemma     ultimately have "x in + b `ball  "
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [36, 7) out of bounds for length 41
    by ( simp add.ommute)
  shows "bounded ((\<lambda>x. a + x) ` S)"
proof -
  from assms obtain b where b: "b > 0" "\<forall>x\<in>S. norm x \<le> b"
    unfolding bounded_pos by auto
  {
     fixx
    assume "x \<in> S"
    then have "norm (a + x) \<le> b + norm a"
      using norm_triangle_ineq[of a x] b by auto
  }
  then show ?thesis
    unfolding bounded_pos
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [4, 9) out of bounds for length 7
    by (auto intro!: exI[of _ "b +  by(metis (no_types commute   )
qed

:
  fixesjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
  shows "lemma closed_of_ java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [35, 34) out of bounds for length 81
bounded_translation of -]by java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 45 out of bounds for length 45

lemma bounded_uminus [simp]:
  fixes X :: "'a::real_normed_vector set"
  shows "bounded (uminus ` Xjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [21, 20) out of bounds for length 50
by (auto simp: bounded_def dist_norm  assumes "A \<subseteq> \<int>"

lemma uminus_bounded_comp [simp]:
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [53, 7) out of bounds for length 54
  with assms" <in>\int"andy\in\int> byauto
  using bounded_uminus[ " `S]
  by (by (auto!  simpjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [49, 48) out of bounds for length 49

lemma bounded_plus_comp:
     av  within{ <0    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [76, 75) out of bounds for length 81
  lemmatrivial_limit_at_infinity
  assumes " g`S"
  shows "by (meson)
roof-
  {
    fix  thenshow ?hesis
assume\<ndx x\inS \<Longrightarrow> norm (fx) \<e>B" \<nd>.x\in> \<ongrightarrow> norm (g x) \<le> C"
    then have "\<And>x. x \<in> S \<Longrightarrow> norm (f x + g x) \<le>    by blast
   by (uto !:norm_triangle_le add_mono)
  } then show ?thesis
    using assms by (fastforce simp: bounded_iff)
qed

lemma bounded_plus:
  fixes S ::"'a::real_normed_vector  by metis (no_types) cball_empty equals0D islimpt_ball less_linear)
  assumes java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
  shows bounded ((<>(,y) x +y)`( <times> ))java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 60 out of bounds for length 60
  using bounded_plus_comp [of fst "S \<times> T" snd] java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 59) out of bounds for length 0
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [5, 4) out of bounds for length 47

lemma bounded_minus_comp:
  "bounded (f ` S)s dense le_less_trans)
  for f g::"'a \<then ?hesis
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 3 out of bounds for length 3
  by auto

lemma bounded_minus:
fixesS:'::eal_normed_vector set"
  assumes "bounded S" "bounded T"
shows"bounded ((\<lambda>(x,y). x - y) ` (S \<times> T))"
  using bounded_minus_compjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
  shows" <longlongrightarrow>l net<longleftrightarrow> (\<ambda>x.fx)- l)\<onglongrightarrow> 0) net"

lemma
  fixes S :: "'a::real_normed_vector set"
  assumes "bounded S" and "bounded T"
  shows "bounded (\<Union>x\<in> S. \<Union>y \<in> T. {x + y})"
  using assms by (simp add: bounded_iff) (meson norm_triangle_mono)

lemma bounded_differences:
  fixes S :: "'a::real_normed_vector set"
  assumes "bounded S" and "bounded T"
  shows"bounded (<Union>x\<in>S. \\Union>y \<in> T. x - })
  using assms by (simp add: bounded_iff) (meson add_mono norm_triangle_le_diff)

lemma not_bounded_UNIV  assms(2)
  \not U: a:real_normed_vector perfect_space}set)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 72 out of bounds for length 72
proof (auto simp: bounded_pos not_le)
  obtain x :: 'a where "x \<noteq> 0"
    using perfect_choose_dist [OF zero_less_one] by fast
  fix b :: real
  assume b: "b >0"
  have b1: "b +1 \<ge> 0"
    using b by simp
  with \<open>x \<noteq> 0\<close> have "b < norm (scaleR (b + 1) (sgn x))"
    by (simp add: norm_sgn)
  then show "\<exists>x::java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
qed

corollary cobounded_imp_unbounded:
    fixes S :: "'a::{real_normed_vector, perfect_space} set"
    shows "bounded (- S) \<Longrightarrow> \<not> bounded S"
  using bounded_Un [of  [of S "S" by (simp)

subsection\<^marker>\<open>tag unimportant\<close>\<open>Relations among convergence and absolute java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 100 out of bounds for length 41

emmasummable_imp_bounded:
  fixes f :: "nat \<Rightarrow> 'a::real_normed_vector"
  shows "summable f \<Longrightarrow> bounded (range f)"
by(frule summable_LIMSEQ_zero) (impadd convergent_imp_bounded)

lemma summable_imp_sums_bounded
   " fixes f :: "'a \<Rightarrow> 'b::real_normed_div_algebra"
by (auto simp: summable_defassumes f: "(f \<longlongrightarrow> 0) F" and g: "eventually (\<lambda>x. norm(g x) \<le> B) F"

lemma power_series_conv_imp_absconv_weak:
  fixes a:: "proof -
  assumes proof (rule
    "summable(<>n (norm(a n)) * w ^ n)"
proof -
  obtain M where M: "\<And>x. norm (a x * z ^ x) \<le>ono)
    using summable_imp_bounded [OF sum] by (force "(\<lambda>.norm (f x) * B) \<longlongrightarrow> 0) F"
  show ?thesis
  proof (rule series_comparison_complex)
    have "\<And>n. norm (a n) * norm z ^ n \<le> M"
      by (metisby (ubst tendsto_norm_zero_iff [symmetric]) (simp add: norm_mult)
    then show "summable (\<lambda>n. complex_of_real (norm (a n) * norm w ^ n))"
lim_null_mult_left_bounded
  qed (auto simp: norm_mult norm_power)



subsection \<open>Normed have "((\<lambda>x. norm (g xnorm (f x) <longlongrightarrow>0)F

lemma not_compact_UNIV[simp]:
  fixes s :: "'a::{real_normed_vector,perfect_space,heine_borel} set"
  shows "\<not> compact (UNIV::'a set)"
    osed)

java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [43, 5) out of bounds for length 82
  by (simp add: compact_space_def)

text\<open>Representing sets as the union of a chain of compact sets.\<close>
lemma closed_Union_compact_subsets lim_null_scaleR_bounded
  fixes S  a:heine_borelreal_normed_vector} 
  shows "\lambda>.fn*<sub> g n)\<onglongrightarrow>0 java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 73 out of bounds for length 73
.compactn" \And>.F n < S" \Andn  n< (uc"
                  "(\<Union>n. F n) = S" "\<And>K. \<lbrakk>compact Khave :"<fx<>*norm g)<\epsilon>"iff:"<> \java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [78, 75) out of bounds for length 146
proof
  show "compact (S \<inter> cball 0( )  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [54, 55) out of bounds for length 54
    using assms compact_eq_bounded_closed by auto
next
  show "(\<Union>n. S \<inter> cball 0 (real n)) = S"
    by (auto simp: java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 29 out of bounds for length 17
next
  fix K :: "'a set"
  assume "compact K" "K \<subseteq> S"
  then obtain N where "K \<subseteq> cballthen  "\forall>\^ubFx net.dist (x*<sub>Rg x 0< \<psilon>java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 81 out of bounds for length 81
    by (meson bounded_pos mem_cball_0 compact_imp_bounded subsetI)
  then show "\<exists>N. \<forall>n\<ge>N. K \<subseteq> S \qed
    by (metis of_nat_le_iff   fixes f :: "'a \<Rightarrow> 'b::real_no:"' \<Rightarrow>':"
qedauto

subsection \open> of compact andtheBaire property\<close

proposition bounded_closed_chain:
  fixes \<F> :: "'lemma Lim_norm_lbound:
  assumes "B \<in> \<F>" "bounded B  assumes "\<not> trivial_limit net"
      and chain: "\<And>S T. S \<in> and  "(f \longlongrightarrow> l) net"
    shows "\<Inter>\<F> \<noteq> {}"
proof -
  have "B \<inter> \<Inter>\<F> \<noteq> {}"
  proof (rule compact_imp_fip)
    show "compact B" "\<And>T. T \<in> \java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
      by (simp_all add: assms compact_eq_bounded_closed)
    show "\<lbrakk>finite \<G>; \<G> \<subseteq> \<F>\<rbrakk> \<Longrightarrow> B \<inter> \<Inter>\<G> \<noteq> {}" for \<G>
    proof (induction \<G> rule: java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 37 out of bounds for length 0
      case empty
      with assms show ?case by force
    next
      case (insert U \<G>)
      then have "U \<in> \<F>" and ne: "B \<shows "(<lambda>.h (f ) (g ))\longlongrightarrow>( ll m) net"
      then consider "B \<subseteq> U" | "U \<subseteq> B"
          using \<open>B \<in> \<F>\<close> chain by blast
        then show ?case
        proof cases
          case 1
          then show ? "(f \<longlongright>l (ata) <ongleftrightarrow>(\>x   x)>) ( "
            using Int_left_commute ne by auto
        next
          case 2
          havejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
            using \<open>U \<in> \<F>\<close> \<open>{} \  " ( ) = "
          moreover
           "And>.x <> U\Longrightarrow> <>\<><>. x \notin>Y"
          proof -
            have "\And>x. x <in>U \Longrightarrow> \<exists>Y\<in>\<G>. Y \<subseteq> U"
              by (metis chain     by (rule_tac x="a + scaleR (d /sgn x-a)"in exI) simp add:norm_sgnsgn_zero_iff x)
            then obtain Y where "Y \<int have "<not trivial_limit(ta)"
              by (metis all_not_in_conv \<open>U \<noteq> {}\<close>)
moreover where"\in> \<Inter>\<G>"
              by (metis Int_emptyI ne)
            thesis
              by (metis Inf_lower subset_eq that)
          qed
          with 2 show ?thesis
            by blast
        qed
      qed
  qed
 then show ?thesis by blast
qed

llary compact_chain:
      and" \<in>> closure s)"
  assumes "\<And>S. S \<in> \<F> \<Longrightarrow> compact S" "{} \<notin> \<F>"
          "\<And>S T. S \<in> \<F> \<and> T \<inproof -
    shows "\<Inter> \<F> \<noteq> {}"
proof (cases "\<F> = {}")
  case Trueusing assms(2)[unfolded mem_cball_0[symmetric]] by auto
  then show ?thesis by auto

  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 0
  show ?thesis
    byunfolding bounded_iff 
qed

lemma compact_nest:
  fixes F :: "'a::linorder \<Rightarrow> 'b::heine_borel set"
  assumes F: "\<And>n. compact(F n)" "\<And>n. F n \<noteq> {}" and mono: "\<And>m n. m \<le> n \<Longrightarrow> F n \<subseteq> F m"
  shows "\<Inter>(range F) \<noteq> {}"
proof -
  have *: "\<And>S T. S \<in> range F \<and> T \<in> range F \<Longrightarrow> S \<subseteq> T \<or> T \<subseteq> S"
    by (metis mono image_iff le_cases)
  show ?thesis
    using F by (intro compact_chain [OF _ _ *]; blast dest: *)
qed

text\<open>The Baire property of dense sets\<close>
theorem Baire:
  fixes S::"'a::{real_normed_vector,heine_borel} set"
  order_zero_less_one)
      andjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
 shows "Sby (metis bounded_pos le_less_trans less_imp_le linordered_field_no_ub)
proof (cases "\<G> = {}")
  case True
w?
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [32, 9) out of bounds for length 32
next
  let ?g = "from_nat_into \<G>"
  case False
  then have gin: "?g n \<in> \<G>" for n
    by (simp add: from_nat_into)
  show ?thesis
  proof (clarsimp simp: closure_approachable)
    fix x and e::real
    assume " \in>S" "0<e"
    obtain TF where opeF: "\<And>n. openin (top_of_set S) (TF n)"
                  "Bseq f \longleftrightarrow> bounded (range f)"
               and subg: "\<And>n. S \<inter> closure(TF n) \<subseteq> ?g n"
               and subball: "\<And>n. closure(TF java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
               and decr: "\<And>n. TF(Suc n)and "bounded_linear f"
    proof -
      have *: "\<exists>Y  shows "ounded f`S"
                   S \<from assms(1) obtain b where  "and b:"<x<n> x \<le> b"
        if opeU: "openin (top_of_set S) U" and "U \<noteq> {}" and cloU: "closure U \<subseteq>unfolding bounded_pos by auto  from assms(2) obtain B where B: "B > 0" "\<forall>x. norm (f x) \<le> B * norm x"
            proof bounded_pos
        obtain T where T: openT "U= T \<inter> S"
          using \<open>openin (top_of_set S) U\<close> by (auto simp: openin_subtopology)
        with \<open>U \<noteq> {}\<close> have "T \<inter> closure (?g n) \<noteq> {}"
          using gin ope by fastforce
        then have "T \<inter> ?g n \<      by (meson B b less_imp_le mult_left_ order_trans that)
         using\open>open T\close open_Int_closure_eq_empty by blast
        then obtain y
          using T ope [of "?g n", OF gin] by (blast dest:  openin_imp_subset)
        moreover have "openin (top_of_set S) (U \<inter> ?g n)"
          using gin ope opeU by blast
        ultimately obtain d where U: "U \<inter> ?g n \<subseteq> S" and "d > 0" and d: "ball y d \<inter> S \<subseteq> U \<inter> ?g n"
          by (force simp: openin_contains_ball)
        show ?thesis
        proof (intro exI conjI)
          show "openin (top_of_set S) (S \<inter> ball y (d/2))"
            by (simp add: openin_open_Int)
          show "S \<inter> ball y (d/2) \<noteq> {}"
            using \<open>0 < d\<close> \<open>y \<in> U\<close> opeU openin_imp_subset by fastforce
          have "S \<inter> closure (S \<inter> ball y (d/2)) \<subseteq> S \<inter> closure (ball y (d/2))"
            using closure_mono by blast
          also have "... \<subseteq> ?g n"
            using \<open>d > 0\<close> d by force
          finally show "S \<inter> closure (S \<inter> ball y (d/2)) \<subseteq> ?g n" .
          have "closure (S \<inter> ball y (d/2)) \<subseteq> S \<inter> ball y d"
          proof -
            have "closure (ball y (d/2)) \<subseteq> ball y d"
              using \<open>d > 0\<close> by auto
            then have "closure (S \<inter> ball y (d/2)) \<subseteq> ball y d"
lemma bounded_scaling:
            then show ?thesis
bysimpadd open S<close> java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [68, 67) out of bounds for length 68
          qed
alsohave".  <subseteq>ballxejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 47 out of bounds for length 47
cloU  byjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 48 out of bounds for length 48
          finally show java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
         " <>bally(/ < "
            using ball_divide_subset_numeral d by blast
        java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 11 out of bounds for length 11
   java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [9, 10) out of bounds for length 9
       ?<>="<> X  (S X\and> < { \>
                      S \<inter> closure X \     of) of  norm a]
      have "closure (S \fixes S :"'a:real_normed_vectorset"
        by (simp add: closure_mono)
      also have "...  \<subseteq> ball x e"
        using \<open>e > 0\<close> by auto
       have"closure (S\inter ball (/2) <subseteq>balle java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 77 out of bounds for length 77
      moreover have"openin (top_of_set java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
        <>  e<close <open>x \in> \<lose byauto
      ultimately obtain Y where Y: "?\<Phi> 0 Y \<and> Y \<subseteq> S \<inter bounded_uminusof" `S]
            using * [of "S l :
      show fixes  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7
ruleexEOFdependent_nat_choice)
        show "\<exists>x. ?\<Phi> 0     have \And>.  <>S\Longrightarrow  fx+gx <>B+Cjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 81 out of bounds for length 81
          using  }thenshow?thesis
show"<exists>Y.?\<> (Suc) Y\<and  \subseteq "if"\<Phi n java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
          using that by (blast intro: *)
      qed (use that in metis)
    qed
    have "(\<Inter>n. S \<inter> closure (TF n)) \<noteq> {}"
    proof (rule compact_nest)
      show "\<And>n. compact (S \<inter> closure (TF n))"
by ( closed_closure subball bounded_subset_ballI compact_eq_bounded_closed closed_Int_compact [ <>closedS<>)
      show "\<And>n. S \<inter> closure (TF n) \<noteq> {}"
        by metisInt_absorb1 opeF <open> )
      show "\<And>m n. m \<le> n \<Longrightarrow> S \<inter> closure (TF n) \<subseteq> S \" f`S <Longrightarrow bounded g`S \Longrightarrow bounded (>.fx-gx `java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 109 out of bounds for length 109
        by (meson closure_mono decr dual_order  using bounded_plus_comp[of "f"S"<lambda.-gx"java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 55 out of bounds for length 55
    qed
    moreover have "  fixes S :"a:real_normed_vector setjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 40 out of bounds for length 40
    proofconjI
      fix y
      " <in>S andy: "<>. y\in>closure( n"
      then show "\<  by(auto simp:split_def:
        by (metis Int_iff from_nat_into_surj [OF \<open>countable \<G>\<close>] subsetD subg)
      show "dist y x < e"
        by (metis y dist_commute mem_ball subball subsetCE)
    qed
    ultimately show "\<exists>y \<in> \<Inter>\<G>. dist y x < e"
      by auto
  qed
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [6, 3) out of bounds for length 3


subsection \<open>Continuity\<close>

subsubsection\<   autosimp norm_power)

lemma (in bounded_linear) uniformly_continuous_on[continuous_intros]:
  fixes g :: "_::metric_space \<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 37 out of bounds for length 0
  assumes uniformly_continuous_onsgjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 39 out of bounds for length 39
  shows "uniformly_continuous_on s (\<lemma not_compact_UNIV[imp]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 29 out of bounds for length 29
  using assmsunfoldinguniformly_continuous_on_sequentially
  unfolding dist_norm tendsto_norm_zero_iff diff[java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 54 out of bounds for length 39
  by (auto intro: tendsto_zero)

lemma uniformly_continuous_on_dist[continuous_intros]:
  fixes f g :: "'a::metric_space \<Rightarrow> 'b::metric_space"
"java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [35, 34) out of bounds for length 39
    text\<open the  chainof compact sets\close
  showslemma closed_Union_compact_subsetsjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 35 out of bounds for length 35
proof -
   assumes closedS
    fixabcd: b
    have "\<bar>dist a b - dist c d\<bar> \<le> dist a c + dist b d"
      using dist_triangle2 ofa  ]dist_triangle2 [of b c d]
      using dist_triangle3 [of c d a] dist_triangle [of a d b]
      by arithproof
notele  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [18, 19) out of bounds for length 18
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 4 out of bounds for length 4
     xy
    assume f: "(\<lambda>n. dist (f (x n)) (f (y n))) \<longlonglongrightarrow by( simp:real_arch_simple)
    assume g: "(\<lambda>   K :"aset
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [37, 8) out of bounds for length 116
      by (rule Lim_transform_bound [OF _ tendsto_add_zero [OFthenobtain   "K\subseteq>cball0N"
        simp     (meson  mem_cball_0 compact_imp_bounded )
  }
  then show ?thesis
uniformly_continuous_on_sequentially
    unfolding dist_real_def by simp
qed

lemma uniformly_continuous_on_cmul_right [continuous_intros]:
fixesf: "a:\Rightarrow b:real_normed_algebra"
  shows "uniformly_continuous_on s f \<Longrightarrow> uniformly_continuous_on s (\<lambda>x. f x * c)"
  bounded_linear.uniformly_continuous_onO bounded_linear_mult_left].

ntinuous_on_cmul_left[continuous_intros]:
  fixes f :: "'a::real_normed_vector \<Rightarrowproof-
  assumeshave B\ <\F><>{"
    shows "uniformly_continuous_on s (\<lambda>x.   (compact_imp_fip)
by     " ""<>T  \in <>\Longrightarrow>closed "

uniformly_continuous_on_norm[continuous_intros]:
      (induction \G rule:finite_induct)
  assumes "uniformly_continuous_on s      case empty
  shows "uniformly_continuous_on s    next
  unfolding norm_conv_dist using assms
   intro uniformly_continuous_on_distuniformly_continuous_on_const)

lemma       then consider "B \<subseteq"|" <subseteq "
  fixes f :: "'a::metric_space \<Rightarrow> 'busing\open>B <in <><>chain  
  assumes "uniformly_continuous_on s f"
   uniformly_continuous_on  \> c*<subRf()"
  using bounded_linear_scaleR_right assms
  by (rule bounded_linear.uniformly_continuous_on)

lemma dist_minus:
  fixes x y :: "'a::real_normed_vector"
  shows "dist (- x) (- y) = dist x y"
   minus_diff_minusjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [57, 56) out of bounds for length 59

lemma uniformly_continuous_on_minus    \in Inter<>java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 58 out of bounds for length 58
  fixes f :: "'a::metric_space \<Rightarrow> 'b::real_normed_vector"
  shows "uniformly_continuous_on s f \<Longrightarrow> uniformly_continuous_on s (\<lambda>x. -byblast
  unfolding uniformly_continuous_on_def dist_minus .

lemma java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 28 out of bounds for length 3
   g: ':metric_space <>':real_normed_vector"
  assumes "uniformly_continuous_on s f"
    "uniformly_continuous_on sgjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 37 out of bounds for length 37
   " s(<>.fx+gx"
  using assms
      shows"<Inter>\<F <noteq }java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 37 out of bounds for length 37
  unfolding dist_norm tendsto_norm_zero_iff add_diff_add
  by (auto intro: tendsto_add_zero)

lemma uniformly_continuous_on_diff[continuous_introscasejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 12 out of bounds for length 12
fixesf: 'a:metric_space <Rightarrow>':real_normed_vector"
  assumes "uniformly_continuous_on s f"
    and "uniformly_continuous_on s g"
  shows"uniformly_continuous_on s(<lambda>x.fx-gx"
  using assms uniformly_continuous_on_add [of s f "- g"]
    by (simp add: fun_Compl_def uniformly_continuous_on_minus)

lemma uniformly_continuous_on_sum  where U: "U \<inter> ?g n \<subseteq> S" and "d > 0" and d: "ball y d \<inter> S \<subseteq> U \<inter> ?g n"
  fixes f :: "'a \<Rightarrow> 'b::metric_space \<Rightarrow> 'c::real_normed_vector"
  shows "(\<And>i. i \<in> I \<Longrightarrow> uniformly_continuous_on S (f i)) \<Longrightarrow> uniformly_continuous_on S (\<lambda>x. \<Sum>i\<in>I. f i x)"
  by (induction I rule: infinite_finite_induct)
     (auto simp: uniformly_continuous_on_add uniformly_continuous_on_const)


subsection\<^marker>\<open>tag unimportant\<close> \<open>Arithmetic Preserves Topological Properties\<close>

lemma open_scaling[intro]:
  fixes S :: "'a::real_normed_vector set"
  assumes "c \<noteq> 0"
    and "open S"
  shows "open((\<lambda>x. c *\<^sub>R x) ` S)"
proof -
  {
    fix x
    assume "x \<in> S"
    then obtain \<epsilon> where "\<epsilon>>0"
      and \<epsilon>: "\<forall>x'. dist x' x < \<epsilon> \<longrightarrow> x' \<in> S" using assms(2)[unfolded open_dist, THEN bspec[where x=x]]
      by auto
    have "\<epsilon> * \<bar>c\<bar> > 0"
      using assms(1)[unfolded zero_less_abs_iff[symmetric]] \<open>\<epsilon>>0\<close> by auto
    moreover
    {
      fix y
      assume "dist y (c *\<^sub>R x) < \<epsilon> * \<bar>c\<bar>"
      then have "norm (c *\<^sub>R ((1 / c) *\<^sub>R y - x)) < \<epsilon> * norm c"
        by (simp add: \<open>c \<noteq> 0\<close> dist_norm scale_right_diff_distrib)
      then have "norm ((1 / c) *\<^sub>R y - x) < \<epsilon>"
        by (simp add: \<open>c \<noteq> 0\<close>)
      then have "y \<in> (*\<^sub>R) c ` S"
        using rev_image_eqI[of "(1 / c) *\<^sub>R y" S y "(*\<^sub>R) c"]
        by (simp add: \<open>c \<noteq> 0\<close> dist_norm \<epsilon>)
    }
    ultimately have "\<exists>e>0. \<forall>x'. dist x' (c *\<^sub>R x) < e \<longrightarrow> x' \<in> (*\<^sub>R) c ` S"
      by (rule_tac x="\<epsilon> * \<bar>cby (forcesimp: openin_contains_ball
  }
  openin()( interball )"
qed

lemma open_times_image:
  fixes S::"'a::real_normed_field set"
  assumes "c\<noteq>0" "open S"
  shows "open (((*) c) ` S)" 
proof -
  let ?f = "\<lambda>x. x/c" and ?g="((*) c)"
  have "continuous_on UNIV ?f" using \<open>c\<noteq>0\<close> by (auto intro:continuous_intros)
  then have "open (?f -` S)" using \<open>open S\<close> by (auto elim:open_vimage)
  moreover have "?g ` S = ?f -` S" using \<open>c\<noteq>0\<close>
    using image_iff by fastforce
  ultimately show ?thesis by auto
qed   

lemma minus_image_eq_vimage:
  fixes A :: "'a::ab_group_add set"
  shows "(\<lambda>x. - x) ` A = (\<lambda>x. - x) -` A"
  by (auto intro!: image_eqI [where f="\<lambda            by (simp add: openin_open_Int)

lemma open_negations:
  fixes S :: "'a::real_normed_vector set"
  shows "open S \<Longrightarrow> open ((\<lambda>x. - x) ` S)"
  using open_scaling [of "- 1" S] by simp

lemma open_translation:
  fixes S :: "'a::real_normed_vector set"
  assumes "open S"
  shows "open((\<lambda>x. a + x) ` S)"
proof -
  {
    fix x
    have "continuous (at x) (\<lambda>x. x - a)"
      by (intro continuous_diff continuous_ident continuous_const)
  }
  moreover have "{x. x - a \<in> S} = (+) a             using\<open0< d<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [50, 37) out of bounds for length 99
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 12 out of bounds for length 12
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [18, 12) out of bounds for length 25
    by (metis assms continuous_open_vimage vimage_def)
qed

lemma open_translation_subtract:
  fixes S :: "'a::real_normed_vector set"
  assumes "open S"
  (\<lambda.x-a)`S)"java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 41 out of bounds for length 41
  using assms open_translation [of S "- a"] by (simp cong: image_cong_simpby(simp  \openclosedS<>closure_minimal)

lemma open_neg_translation:
  fixes S :: "'a::real_normed_vector set"
  assumes "open S"
  shows "open((\<lambda>x. a - x) ` S)"
   open_negationsOF] a
 by autosimpimage_image)

java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [19, 5) out of bounds for length 20
    :"ajava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [41, 36) out of bounds for length 41
  assumes "open S"  "c \<noteq>       S\inter>ballx(/) <>closureball (/)"
  shows "open ((\<lambda>x. a + c *\<^sub>R x) ` S)"
proof-
  have *: "(\<lambda>x. a + c *\<^sub>R x) = (\<lambda>x. a + x) \<circ> (\<lambda>x. c *\<^sub>R x)"
    unfolding o_def ..
  have "(+) a ` (*\<^sub>R) c ` S = ((+) a \<circ> (*\<^sub>R) c) ` S"
     autojava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 11 out of bounds for length 11
  then show ?thesis
usingassms [ (\^R   "a
    unfolding *
    by auto
qed

lemma interior_translation:
  interior(+  ` )=() a`(interior S)"forS::"'a:real_normed_vector "
proof (rule set_eqI, rule)
  fix x
  assume "x \<in> interior ((+) a ` S)"
      proof ( exE[ dependent_nat_choice])
    unfolding mem_interior by auto
  then have"ball (-a)e\<ubseteq> "
    unfolding subset_eq Ball_def mem_ball dist_norm
     autosimp:diff_diff_eq)
  then show "x \<in> (+) a ` interior S"
    unfolding image_iff
    by (metis \<open>0 < e\<close> add.commute java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 62) out of bounds for length 40
next
  fix java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7
  assume "xshow \Andn  S<> TFn)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 57 out of bounds for length 57
  then obtain y e where java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 59 out of bounds for length 59
    unfoldingshow \Andmn m\len\Longrightarrow  <>closure(Fn)\subseteq  <>closure TF m"
  {
    fix z
    have *: "a + y - z = y + a - z" by auto
    " \<in>ball e"
    then have "z - a \<in> S"
      using e      fixy
      unfolding mem_ball dist_norm y group_add_class.diff_diff_eq2 *
      byauto
    then have "z \<in> (+) a ` S"
      unfolding image_iff by (auto intro!thenshow"\<forallT<in>\<G>.y\<in T"
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 3 out of bounds for length 3
  then have "ball x e \<subseteq> (+) a `     java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7
    unfolding subset_eqjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [9, 8) out of bounds for length 13
  then show "x \<in> interior ((+) a ` S)"
    unfolding mem_interior using \<open>e > 0\<close> by
qed

lemma interior_translation_subtract:
" (\lambdax   )`S  \lambdax. interior "forS: ':real_normed_vector set"
  using interior_translation [of "- a"] by (simp  uniformly_continuous_on[continuous_intros]java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 69 out of bounds for length 69


lemma compact_scaling:
  fixes s :: "'a::real_normed_vector set"
  assumes "compact s"
  shows "compact ((\<lambda>x. c *\<^sub>R x) ` s)"
proof -
  let ?f = "\<lambda>x. scaleR c x"
  have *: "bounded_linear ?f" by (rule bounded_linear_scaleR_right)
  show ?thesis
    using compact_continuous_image[of s ?f] continuous_at_imp_continuous_on
    using linear_continuous_at[OF *lemma java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [35, 34) out of bounds for length 54
    assumes uniformly_continuous_on "
qed

lemma compact_negations:
  fixes s :: "'a::real_normed_vector set"
  assumes "compact s"
  shows" (<x.-x)` )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 41 out of bounds for length 41
  using compact_scaling [OF assms, of} le=this

lemma compact_sums:
  fixes s t :: "'a::real_normed_vector set"
  assumes "compact s"
     compact t"
  shows " :lejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 21 out of bounds for length 21
proof -
  haveunfolding dist_real_defby java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 35 out of bounds for length 35
    by (fastforce lemma continuous_intros
  have" (\times t (<>uniformly_continuous_on s (\<lambda>x. f x * c)"
    unfolding continuous_on  usingbounded_linear.O ].
  then show ?thesis
unfolding*usingcompact_Times OF assms  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 79 out of bounds for length 79
qed


  fixes s t :: "'a::real_normed_vector set"
   assumes"s"
    and "compact t"
     introuniformly_continuous_on_const
lemma continuous_intros:
  have "{x - y | x y. x\<in>s \<and> y \<in> t} = {x + y | java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [2, 1) out of bounds for length 39
    using diff_conv_add_uminus )
  
   compact_sumsOF1 OFassms(]  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 74 out of bounds for length 74
qed

lemma compact_sums':
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [34, 33) out of bounds for length 53
  assumes "compact S" and "compact T"
  shows "compact (\<Union>x\<in> S. \<Union>y \<in> T.   java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [13, 14) out of bounds for length 13
proof -
  have "(\<Union>xlemmauniformly_continuous_on_diffcontinuous_intros:
    by blast
  then show ?thesis
    using compact_sums [ assmssimp
qed

lemma compact_differences':
 "a:real_normed_vector set"
  assumescompactSand" T"
  shows "compact (\<Union>x\<in> S. \<Union>y \<in> T. {x - y})"
proof -
nx\in>S \<Union>\in>T x-y}  { - |xy.x\in S \<and y\in T}"
    byblast
  then show ?thesis
    using
qed

lemma compact_translation:
  "compact ((+) a ` s)" if "compact s" for s :: "'a::real_normed_vector set"
proof -
  have "{x + y |x y. x  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 3 out of bounds for length 3
         \epsilon  \epsilon>0
  then show ?thesis
    using compact_sums [OF that compact_sing [of a]] by auto
qed

lemma compact_translation_subtract:
  "compact ((\<lambda>x. x - a) ` s)" assume  c\ x  <>*<>\bar"
  using that compact_translation [of s "- a"] by (simp cong: image_cong_simp)

lemma compact_affinity:
fixes s: ':real_normed_vector "
  assumes "compact s"
  " (<>x  + \^>Rx)`s)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 55 out of bounds for length 55
proof -
  have "(+) a ` (*\<^sub>by(simp add \open>c <noteq 0<close>)
    by auto
  then show ?thesis
using OFOFassms]   ]by auto
qed

lemma closed_scaling:
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 59 out of bounds for length 41
   "closed "
  shows "closed ((\<lambda>x. c *\<^sub>R x) ` S)"
proof (cases "c = 0")
  case True then show ?thesis
    by (auto simp: image_constant_conv)
next
  case False
  from assms have "closed ((\<lambda>x. inverse c *\<^sub>R x) -`   shows open (((* c)` S"java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 29 out of bounds for length 29
    by (simp add: continuous_closed_vimage)
  also have "(\<lambda>x. inverse c *\<^sub>R x) -` S = (\<lambda>x. c *\<^sub>R x) ` S"
    using \<open>c \<noteq> 0\<close> by (auto elim: image_eqI [rotated])
  finally show ?thesis .
qed

lemma closed_negations:
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 6 out of bounds for length 0
  assumes "closed S"
  shows "closed ((\<lambda>x by (autointro! [ f"<>x  ")
  using closed_scaling[OF assms, of "- 1"] by simp

lemma compact_closed_sums:
  fixes S :: "'a::real_normed_vector set"
  assumes "compact S" and "closed T"
  shows "closed
proof -
  let ?S = "{x + y |x y. x \<in> S \<and> y \<in> T}"
  {
    fix x l
    assume as: "\<forall>n. x n \<in> ?Sjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 3 out of bounds for length 3
    fromas1  wheref"<n     (n)+snd f )  \forall>.fst f )\in>S""<>  (f )\in>T"
      using choice[of "\<lambda>n y. x n = (fst y) + (snd y) \<and> fst y \<in> S \<and> snd y \<in> T"] by auto
    obtain l' r where "l'\<in>S" and r: "strict_mono r" and lr: "(((\<lambda>n. java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 80 out of bounds for length 3
      using assms(1)[unfolded compact_def, THEN spec[where x="\<lambda> n. fst (f n)"]] using f(2) by auto
    have "((\<lambda>n. sndby(assmscontinuous_open_vimage java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 54 out of bounds for length 54
open_translation_subtract
      unfolding o_def
      by auto
    then have "l - l' \<in> T"
      using assms(2)[unfolded closed_sequential_limits,
        THEN spec[where x="\<lambda> n. snd (f (r n))"],
        spec[x"  ']java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 36 out of bounds for length 36
      using f(3)
        java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 29 out of bounds for length 29
    then have "l \<in> ?S"
      using \<open>l' \<in> S\<close> by force
  }
  moreover have "?S = (\<Union>x\<in> S. \<Union>y \<in> T.+x <circ \lambdax  *<sub> )
    by force
  ultimately show?java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 25 out of bounds for length 25
    unfolding closed_sequential_limits
    by (metis (no_types, lifting)      of"*<subR)c`S ]
qed

lemma closed_compact_sums:
  fixes Slemma interior_translationjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 27 out of bounds for length 27
  assumes"closed S" "compact T"
  shows "closed (\<Union>x\<in> S. \<Union>y \<in> T. {x + y})"
proof -
  have "(\<Union>x\<in> T. \<Union>y \<in> S. {x
    by auto
    thesis
    using compact_closed_sums[OF     unfolding by java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 34 out of bounds for length 34
qed

lemma compact_closed_differences:
  fixes S T :: "'a::real_normed_vector set"
  assumes "compact S" "closed T"
then x \> ()  `interiorjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 40 out of bounds for length 40
proof -
have"\Unionx<in> S \Uniony \<>uminus` T.{x + y} =(<Union>x\in S.\<Union>y \<in>T.{x - y})java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 113 out of bounds for length 113
    by force
  then show ?thesis
     x\in +)a `interior java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 37 out of bounds for length 37
qed

lemma closed_compact_differences:
  fixes S T :: "'a::real_normed_vector set"
  assumes "closed S" "compact T"
  shows "closed (\<Union>x\<in> S. \<Union>y \<in> T. {x - y})"
proof -
  have "    assume " \<in ball xe"
    byauto
 then show ?thesis
  using closed_compact_sums[OF assms(1) compact_negations[OF assms(2)]] by simp
qed

closed_translation:
  "closed ((+) a ` S)" if "closed S" for a :: "'a::real_normed_vector"
proof -
  have "(\<Union>x\<in> {a}. \<Union>y \<in> S. {x + y}) = ((+) a ` S)" by auto
  then show ?thesis
     compact_closed_sums [OF compact_sing [of a] that] by auto
qed

lemma   then showx\<in interior ((+) a ` S"
  "closedunfolding using <> > 0\<
  using that closed_translation [of S "- a"] by (simp cong: image_cong_simp)

lemma closure_translation"interior ((\lambdax.x - )` S)  \<ambdax x-a `interiorS"forS: 'a:real_normed_vector set"
  "closure ((+) a ` s) = (+) a ` closure s" for a :: "'a::real_normed_vector"
proof -
  have *: "(+) a ` (- s) = - (+) a ` s"
    by (auto intro!: image_eqI [where x = "x - a" for x])
  show ?thesis
    using interior_translation [of a "- s", symmetric]
by ( add:closure_interior translation_Compl *)
qed

lemma closure_translation_subtract:
  "closure ((\<lambda>x. x - a) ` s) = (\<lambda>x. x - a) ` closure s" for a :: "'a::real_normed_vector"
  using closure_translation [of "- a" s] by (simp cong: image_cong_simp)

lemma frontier_translation:
  "using [ s?]continuous_at_imp_continuous_onof  ?]
  by (auto simp add: frontier_def translation_diff interior_translation closure_translation)

lemma frontier_translation_subtract:
  "  fixes s :: 'a:real_normed_vectorset"
  by (auto simp add: frontier_def translation_diff interior_translation closure_translation)

java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [38, 25) out of bounds for length 25
  "sphere (a + c) r = (+) alemma compact_sums:
  by (auto simp: dist_norm algebra_simps intro!: image_eqI [where x = "x - a" for x])

lemma sphere_translation_subtract:
  "sphere and"compact t
  using   shows "compact {x y   y. \ \and y \in> t}java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 59 out of bounds for length 59

cball_translation:
  "cball (a + c) r = (+) a ` cball c r" for a :: "'n::real_normed_vector"
   by (autosimp dist_norm algebra_simps intro! image_eqI [here x  "x  a forx])

lemma cball_translation_subtract:
  "cball (c - a) r = (\<lambda>x. x - a) ` unfolding continuous_on by (ruleballI (intro tendsto_intros)
  using cball_translation [of "- a" c] by (simp cong: image_cong_simp)

lemma ball_translation:
 ball(+c r=(+ a`ballcjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 71 out of bounds for length 71
  by (auto simp: dist_norm algebra_simps intro!: image_eqI [where x = "x - a" for x])

lemma ball_translation_subtract:
  "ball (c - a) r = (\<lambda>x. x - a) `assumess"
  using ball_translation [of "- a" c] by (simp cong: image_cong_simp)


subsection\<^marker>\<  have "{x - y | x y. x\<in \<andy\in }={    y  <>s<>y\in uminus`t)"

lemma homeomorphic_scaling:
  fixes S :: "'a::real_normed_vector set"
  assumes "c \<noteq> 0"
  shows Shomeomorphic(<lambdax c*\<sub
  unfolding homeomorphic_minimal
ub>"  )
. (  )*\^> "in exI)
  using assms by (auto simp: continuous_intros)

lemma homeomorphic_translation:
fixes: ':real_normed_vector java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 41 out of bounds for length 41
  shows "S homeomorphic ((\<lambda>x.     compact_sums OFassms simp
  unfolding homeomorphic_minimal
  apply (rule_tac x="\<lambda>x. a + x" java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 42) out of bounds for length 41
  apply (rule_tac x="\<lambda>x. -ashows compact(<Union>\in> S \Uniony <in>T.{ -y}java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 64 out of bounds for length 64
  by (auto simp: continuous_intros)

lemma homeomorphic_affinity:
  fixes S :: "'a::real_normed_vector set"
  assumesjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 3 out of bounds for length 3
Shomeomorphic(lambda    \^ubRx) )java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 62 out of bounds for length 62
 
byauto
  show ?    using comp [thatcompact_sing ofa]byauto
    by (metis "*" assms homeomorphic_scaling homeomorphic_trans homeomorphic_translation)
qed

lemma  " (\lambdax  -a)`s"if"compact s"fors: "a:real_normed_vector set"
  fixes a b ::"'a::real_normed_vector"
  assumes "0 < d"  "0 < e"
  shows "(ball a d) homeomorphic  (ball b e)" (is ?th)
    and "(cball a d) homeomorphic (cball b e)" (is ?cth)
proof -
  show ?th unfolding homeomorphic_minimal
    apply(rule_tac x="\<lambda>x. b + (e/d) *\<^sub>R (x - a)" in exI)
    apply(rule_tac x="\<lambda>x. a + (d/e) *\<^sub>R (x  have "+) a ` (*<^ubR c `s=(<lambda>. a+ c*<^ub>Rx `s"
    using assms
    by (auto intro!: continuous_intros simp: dist_commute dist_norm pos_divide_less_eq)
  show?cth unfolding homeomorphic_minimal
    apply(rule_tac x="\<lambda>x. b + (e/d) *\<^sub>R (x - a)" in exI)
    apply(rule_tac x="\<lambda>x. java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 3 out of bounds for length 3
    using assms
    by (auto intro!: continuous_intros simp: dist_commute dist_norm pos_divide_le_eq)
qed

lemma homeomorphic_spheres:
  fixes a b ::"'a:p (cases "=0)
  assumes "0 < d"  "0  case True show thesis
  shows "(sphere a dmage_constant_conv)
unfolding homeomorphic_minimal
    apply(rule_tac x="\<lambda>x. b + (e/d) *\<^sub>R (x - a)" in exI)
    apply(rule_tac x="from  have" (<>x c*<^sub> x)- S"
    using assms
    by (auto intro!: continuous_intros simp: dist_commute dist_norm pos_divide_less_eq)

lemma homeomorphic_ball01_UNIV:
  "ball (0::'a::real_normed_vector) 1     using \<open>c \<noteq> 0\<close> by (auto\open> <noteq>0\close (auto elim image_eqI rotated)
  (is "?B homeomorphic ?U")
proof
  have "x \<in> (\<lambda>z. z /\<^sub>R (1 - norm z)) ` ball 0 1" for x::'a
    apply (rule_tac x="x /\<^sub>R (1 + norm x)" in image_eqI)
     apply (auto simp: field_split_simps)
    using norm_ge_zero [of x] apply linarith+
    done
  then show "(\<lambda>z::'a. z /\<^sub>R (1 - norm z)) ` ?B = ?U"
byblast
  have "x \<in> range (\<lambda>z. (1 / (1 + norm z)) *\<^sub>R z)" if "norm x < 1" for x::'a
    using that
    by (rule_tac x="x /\<^sub>R (1 - norm x)" in image_eqI  fixesS:: "a:real_normed_vector set"
  then show "(\<lambda>z::'a. z /\<^sub>R (1 + norm z)) ` ?U = ?B"
    by (force simp: field_split_simps dest: add_less_zeroD)
  show "continuous_on (ball 0 1) (\<lambda>z. z /\<^sub>R (1 - norm z))"
    by (rule continuous_intros | force)+
   :"\And>.1+norm  <>0java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 42 out of bounds for length 42
    by (metis (no_types) le_add_same_cancel1 norm_ge_zeroassume:"<forall>.x  <>?""x\<>l)sequentially"
   UNIV(<>.z/<^>R ( + normz))java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 71 out of bounds for length 71
by( intro:continuous_intros)
  show "\<And>x. x \<in> ball 0 1 \<Longrightarrow>
         x /\<^sub>R (1    obtainl' r where"l'\inS" and  "strict_mono "and:"((\lambda>n fst(f n) \circ r <longlongrightarrow> l') sequentially"
    by(auto simp: field_split_simps)
  show "\<And>y. y /\<^sub>R (1 + norm y) /\<^sub>R (1 - norm (y /\<^sub>R (1 + norm y))) =
    using 0 by (auto simp:       using tendsto_diff[OFLIMSEQ_subseq_LIMSEQ[OF as(2)r lr] and f()
qed

proposition homeomorphic_ball_UNIV:
  fixes a ::"'a::real_normed_vector"
  assumes "0 < r" shows "ball a r homeomorphic (UNIV:: 'a set)"
  using assms homeomorphic_ball01_UNIV homeomorphic_balls(1) homeomorphic_trans zero_less_one by blast


subsection\<^marker>\<open>tag unimportant\<close> \<open>Discrete\<close>

lemma finite_implies_discrete:
  fixes S :: "'a::topological_space set"
  assumes "finite (f ` S)"
  shows "(\<forall>x \<in> S. \<exists>e>0. \<forall>y. y \<in> S \<and> f y \<noteq> f x \<longrightarrow> e \<le> norm (f y - f x))"
proof -
  have unfoldingclosed_sequential_limits
  proof (cases "f ` S - {    by(metis (o_types lifting))
    case True
    with zero_less_numeral show ?thesis
      by (fastforce simp add: Set.image_subset_iff cong: conj_cong)
   S :"a:java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [39, 38) out of bounds for length 43
    case False
    then obtain z where "proof -
       java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 14 out of bounds for length 14
    moreover have finn: "java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 30 out of bounds for length 19
      usingassmsby simp
    ultimately have *: "0 < Inf{norm(z - f x) | z. z \java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 3 out of bounds for length 3
      by (force introlemma compact_closed_differences:
    ?thesis
      by (  assumes "compact S""Tjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 32
  qed
  with assms show ?thesis
    by blast
qed


<^marker><opentagunimportant\<>\openCompletenessof""(uptoconstantbounds\<close>

lemma cauchy_isometric:\<comment> \<metis closed_negations  compact_closed_sums)
  assumes e: "e > 0"
    and s: "subspace s"
    and f: "bounded_linear f"
    and normf: "\<forall>x\<in>s. norm (f x) \<ge> e * norm x"
    and xs: "\<forall>n. x n \<in> s"
    and cf: "Cauchy (f \<circ> x)"
  shows "
proof -
linear fbyfact
  have "\<exists>N. \<forall>n\<ge>N. norm (x n - x N) < d" if "d > 0" for d :: real
  proof -
    from that obtain N where N: "\<forall>n\<ge>N. norm (f (x java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 3 out of bounds for length 3
  dist_normTHEN[herex=e"]e
      by auto
    have "norm (x n - x Nproof -
    proof -
f(x n-xN))java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 60 out of bounds for length 60
        using subspace_diff[OF s, of "x n" "x N"]
        using xs[THEN spec[where x=N]] and xs[THEN spec[where x=n]]
        using normf[THEN bspec[where x="x n - x N"]]
        by auto
       -  ) <e  djava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 46 out of bounds for length 46
         \openN\le n\close Nunfoldingfdiffsymmetric]byauto
      finally show ?thesis
        using \<open>e>0\<close> by simp
    qed
    then show ?thesis by auto
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 5 out of bounds for length 5
  then show?thesis
    by (simp add: Cauchy_altdef2 dist_norm)
qed

lemma complete_isometric_image:
  assumes "0 < e"
    and s: "subspace s"
    and f: "bounded_linear f"
    andnormf \<x<in> norm(fx <ge> e*norm("
    and cs: "completejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 3 out of bounds for length 3
  shows "complete (f ` s)"
proof java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 7 out of bounds for length 7
   "existsl<in>  .(g\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [71, 53) out of bounds for length 71
 "<>:nat   <>f `"andCauchy"forg
  proof -
    from that obtain x where "\<forall>n. x n \<in> s \<and> g n = f (x n)"
      using choice[of
    then have x: "\<forall>n. x n s   :"a:"
    then have "f \<circ> x = g" by (simp add: fun_eq_iff)
    then obtain l where "l\<in>s" and l:"(x \<longlongrightarrow
      using cs[unfolded complete_def, THEN spec[where x=x]]
      using cauchy_isometric[OF \<open>0 < e\<close> s f normf] and cfg and x(1)
      bylemmasphere_translation_subtract
    show?java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 21 out of bounds for length 21
      using linear_continuous_at[OF f, unfolded continuous_at_sequentially, THEN spec[where x=x], of l]
      by (auto simp: \<open>f \<circ> x = g\<close>)
  qed
  then show ?thesis
    unfolding complete_def by auto
qed

subsection \<openusingcball_translation[f" "c by(simp cong:image_cong_simp)

lemma compact_components:
  fixes s :: "'a::heine_borel set"
  shows simp dist_norm algebra_simps intro! [x="x -a for ])
by 

lemma discrete_subset_disconnected:
  fixes     of" "c ( :image_cong_simp
  fixes t :: "'b::real_normed_vector set"
  assumesconf:continuous_on S f"
      and no: "\<And>x. x \<in> S \<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 50) out of bounds for length 0
   shows "f ` S \<subseteq> {y. connected_component_set (f ` S) y =   assumes " \noteq 0"
proof -
  {applyrule_tac=\lambda>. \^Rx"in)
  where e> andele \Andy <lbrakky\in ; f y \<noteq> f x\<rbrakk> \<Longrightarrow> e \<le> norm (f y - f x)"
      using conf no [OF x] by auto
    then have e2: "0 \<le> e/2"
      by simp
      "F <equiv connected_component_set(f`S (x"
    have False if "y \<in> S" and ccs: "f y \<in> F" and not: "f y \<noteq> f x" for y 
    proof -
      defineCwhere"\<equiv> cball (fx)(e/2)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 51 out of bounds for length 51
      define D where "D \<equiv> - ball (f x) e"

        unfolding C_def D_def using \<open>0 < e\<close> by fastforce
   c\>"
      proof-
        have "t \<in> C \<or> t \<in> D" if "t \<in> F" for t
        proof -
          obtain y where "y \ by(""assms homeomorphic_transhomeomorphic_translation)
            using F_def \<open>t \<in> F\<close> connected_component_in by blast
           homeomorphic_balls
               "<d""0  ejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 26 out of bounds for length 26
        qed
then thesis
          by auto
      qed
      C\>F={}\orD\interF={"
        using connected_closed [of "F"] \<open>e>0\<close> not
        C_def D_defD_def
        by (metis Elementary_Metric_Spaces.open_ball F_def closed_cball connected_connected_component inf_bot_left open_closed)
      moreover    (rule_tac =\lambda>.b+(/)*<subR ( -a) inexI)
        unfolding disjoint_iff
        by (metis FCD ComplD image_eqI mem_Collect_eq subsetD x  D_def F_def Un_iff \<open>0 < e\<close> centre_in_ball connected_component_refl_eq)
      moreover have "D \<inter> F \<noteq> {}"
        unfolding disjoint_iff
(    elemem_ballnorm_minus_commute  1)
      ultimately show ?thesis by metis
    qed
    moreover have "connected_component_set (f ` S) (f x) \<subseteq> f ` S"
      by (auto unfoldinghomeomorphic_minimal
    haveconnected_component_set f`S (f x)={ }java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 67 out of bounds for length 67
      by (auto simp: x F_def)
  }
  with assms show ?thesis
    by blast
qed

lemma continuous_disconnected_range_constant_eq:
      "(  have "x \<in> (<lambda>z z/<subR( - norm z)`ball01"forx::'java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 76 out of bounds for length 76
           (\<forall>f::'a::topological_space \<java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 56 out of bounds for length 41
            \<forall>t. continuous_on S f \<and> f ` S \<subseteq> t \<and> (\<forall>y \<in> t. connected_component_set t y = {y})
            \longrightarrow f S) (s?thesis1)
  and continuous_discrete_range_constant_eq:
      "(connected S \<longleftrightarrowhave" \<  \<ambdaz 1/(  norm z) *\<^sub> z" if "norm x <1 for x::a
         (\<forall>f::'a::topological_space \<Rightarrow> 'b::real_normed_algebra_1.
          continuous_on S f \<and>
          (\(ball01 \lambdaz z/<^subR(  normz)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 72 out of bounds for length 72
          <> )"( thesis2)
  and continuous_finite_range_constant_eq:
      "(connected S \<longleftrightarrow>
         (\<forall>f::'a::topological_space \<Rightarrow> 'b::real_normed_algebra_1.
          continuous_on S f \<and> finite (f ` S)
          \<longrightarrow> )/<^sub> 1+norm x/\<^subR(1 -normx)  x"
proof -
  have *: "\<by( simp java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 37 out of bounds for length 37
< s\longleftrightarrowt <(< )\and( < "
    by blast
  have "?thesis1 \<and> ?thesis2 \<and> ?thesis3"
    apply (rule *)
    using continuous_disconnected_range_constant
    apply (metis image_subset_iff_funcset)
    apply (smt (verit, best) discrete_subset_disconnected mem_Collect_eq subsetD subsetI)
apply( dest:finite_implies_discrete)
    apply (blast intro!: finite_range_constant_imp_connected)
    done
  then show ?thesis1 ?thesis2 ?thesis3
    by blast+
qed

lemma continuous_discrete_range_constant:
  fixes java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
  assumes S: "connected S"
      and "continuous_on S f"
      and "\<And>x. x \<in> S \<Longrightarrow> \<existsshows"\forall> \<n .\<>>.y<>S<>f <oteq   <ongrightarrow  <>normf    )"
    shows "f constant_on S"
 THENOFS   java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 79 out of bounds for length 79

lemma continuous_finite_range_constant:
  fixes f :: "'a::topological_space \<Rightarrow> 'b::       simp add: .image_subset_iffcong:conj_cong)
  assumes "connected S"
      and "continuous_on S f"
andfinite(`S"
    shows "f constant_on S"
   continuous_finite_range_constant_eq  by 

end