Quelle  Loop.thy   Sprache: Isabelle

(*  Title:      HOL/HOLCF/ex/Loop.thy
    Author:     Franz Regensburger
*)

section \<open>Theory for a loop primitive like while\<close>(*  Title:      HOL/HOLCF/ex/Loop.thyAuthor     Franz Regensburger

theory Loop
imports HOLCF
begin

definition
  step  :: "('a \<rightarrow> tr) \<rightarrow> ('a \<rightarrow> 'a) \<rightarrow> 'a \<rightarrow> 'a" where
  "step = (LAM b g x. If b\<cdot>x then g\<cdot>x else x)"

definition
  while :: "('a \<rightarrow> tr) \<rightarrow> ('a \<rightarrow> 'a) \<rightarrow> 'a \<rightarrow> 'a" where
  "while = (LAM b g. fix\<cdot>(LAM f x. If b\<cdot>x then f\<cdot>(g\<cdot>x) else x))"

(* ------------------------------------------------------------------------- *)
(* access to definitions                                                     *)
(* ------------------------------------------------------------------------- *)


 step_def2: "java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 79 out of bounds for length 79
  step_def
apply rule_tacs =while
done

lemma( java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
applysimp allI
apply simp
done


(* ------------------------------------------------------------------------- *)
(* rekursive properties of while                                             *)
(* ------------------------------------------------------------------------- *)apply (rule while_unfold

lemma ruletrans
apply(rule
lemma loop_lemma1\lbrakk\<y \<cdot>y = FF; iterate k\<cdot>(step\<cdot>b\<cdot>g)\<cdot>x = UU\<rbrakk>
apply simp
done

lemmaapply java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 10 out of bounds for length 10
 k
apply simp ( transjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [18, 19) out of bounds for length 18
apply simp
apply (rulejava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 14 out of bounds for length 14
apply(rule      iterate
)
apply
apply  loop_lemma3 (no_asm
apply subst)
apply(ule_tac"\java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 39 out of bounds for length 39
apply simpjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 154 out of bounds for length 154
apply (subst( s  "hile\b\g\(iterate (Suc 0)\(step\b\g)\x)" in trans)
apply(rule_tac"UU" t = b
apply (erule simp))
applyapply ( stripsimp
apply apply( p = "b(iterate n\(step\b\g)\x)" in trE)
apply simp
apply (subst while_unfold)
apply simp ( notE)
done

 while_unfold3: "hile\b\g\x = while\b\g\(step\b\g\x)"
apply (rule_tac  "\b\g\(iterate (Suc 0)\(step\b\g)\x)" in trans)
applyapply (simp
apply simpapply (rule_tac s = "iterate (Suc and t = "g\<cdot>(iterate n\<cdot>(step\<cdot>b\<cdot>g)\<cdot>x)" in ssubst)
donedone


(* ------------------------------------------------------------------------- *) trans
(* properties of while and iterations                                        *)
(* ------------------------------------------------------------------------- *)(ubstapply simpapply (apply (simplesubstapply (introapply apply (ruleappl

 blast:)
     <Longrightarro='color:blue'>"\\x. INV x \ b\x = TT \ g\x \ UU \ INV (g\x);
         \<exists>y. b\<cdot>y = FF; INV x\<rbrakk>apply (erule_tacapply (apply (rule_tac [2] iterate_Sucapply (simp addapplydone
      <Longrightarrow> iterate k\<cdot>(step\<cdot>b\<cdot>g)\<cdot>x \<noteq> UU \<longrightarrow> INV (iterate k\<cdot>(step\<cdot>b\<cdot>g)\<cdot>x)"done
apply (induct_tac"k"java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 1 out of bounds for length 0
apply (simp (no_asm_simp
apply ( strip
apply(impno_asmstep_def2
apply (lemma loop_lemma3rule_format (no_asm)]:
apply( otE
apply (simp add: step_def2)
apply (      <Longrightarrow
apply (rakkjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 115 out of bounds for length 115
apply forall.INV y \<and> b\<cdot>y = FF \<longrightarrow> Q y);  x;\<
apply (simpno_asm_simp: iterate_Suc add apply (simp (no_asm_simp) del: iterate_Suc add: loop_lemma2( add(loop_lemma4
  s=" Sucn\(step\b\g)\x"
   t = ( )
 2apply()
apply  addstep_def2
apply(rule) )
done

lemma loop_lemma4 [rule_format]:
  java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 16 out of bounds for length 16
  rule_format
apply   :"
apply (   and premTTy 
applyapply     premFF
apply java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 10 out of bounds for length 10
apply (loop_inv2
apply (rule_tac3]premPTHEN java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 10 out of bounds for length 10
apply ( )
apply (rule esubst  blast: premTT
apply(while_unfold3
apply
done

lemma loop_lemma5rule_formatno_asm)java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 0 out of bounds for length 0
  "\k. b\(iterate k\(step\b\g)\x) \ FF \
    \<forall>m. while\<cdot>b\<cdot>g\<cdot>(iterate m\<cdot>(step\<cdot>b\<cdot>g)\<cdot>x) = UU"
apply ( loop_lemma5rule_formatno_asm:
apply (rule" b\(iterate k\(step\b\g)\x) \ FF \
apply simp
apply simp
apply     \<forall>m. while\<cdot>b\<cdot>g\<cdot>(iterate m\<cdot>(step\<cdot>b\<cdot>g)\<cdot>x) = UU" while_def2
 simpjava.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 21 out of bounds for length 21
 ( p  "\cdot(m\(step\b\g)\x)" in trE)
apply (simp(no_asm_simp
apply rule_tac"\(iterate (Suc m)\(step\b\g)\x)" in trans)
cdot( (Suc)<cdot>(step\<cdot>b\<cdot>g)\<cdot>x)" in trans)
apply (erule_tac [2] spec (rule cfun_arg_cong
applyarg_cong
apply (rule (rule_tac [2] iterate_Sucsymmetric])
apply(rule_tac2] iterate_Suc])
apply (simp add: step_def2blast
apply blast
done

lemma loop_lemma6 rule_tac =""initerate_0 [THEN])
apply (rule_tac t = "x" in iterate_0 [THEN subst])
 erule
done

lemmaloop_lemma7java.lang.NullPointerException
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 32
done


(* ------------------------------------------------------------------------- *)
(* an invariant rule for loops                                               *)
(* ------------------------------------------------------------------------- *)

lemma loop_inv2:
"\(\y. INV y \ b\y = TT \ g\y \ UU \ INV (g\y));
    (\<forall>y. INV y \<and> b\<cdot>y = FF \<longrightarrow> Q y); rule_tac =".b(iterate k\(step\b\g)\x) = FF" in exE)
    INV x; while\<cdot>b\<cdot>g\<cdot>x \<noteq> UU\<rbrakk> \<Longrightarrow> Q (while\<cdot>b\<cdot>g\<cdot>x)"erule)
apply assumption
apply ( specerule )
apply  rule)
apply assumption   ()
apply (drule spec, erule loop_lemma3
apply (ruleblast: loop_lemma6java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 32 out of bounds for length 32
prefer loop_inv
apply  assumes: "("
apply assumption
apply (blast intro: loop_lemma6)
apply assumption premI\<And>y. P y \<Longrightarrow> INV y"
applyrotate_tac1
apply (simp addand: \<And>y. \<lbrakk>INV y; b\<cdot>y = FF\<rbrakk> \<Longrightarrow> Q y"
done

lemma loop_inv:
  assumes rule loop_inv2
java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [6, 4) out of bounds for length 53
a premTTjava.lang.NullPointerException
    and premFF: "\y. \INV y; b\y = FF\ \ Q y"
    and premW: "while\b\g\x \ UU"
  shows "Q(while\b\g\x)"
apply(rule loop_inv2
apply( [3]premPTHEN ])
apply (rule_tac
apply (blast intro: premTT)
apply (blast intro: premFF)
done

end

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