Impressum LK0.thy

(*  Title:      Sequents/LK0.thy
  Author: Lawrence C Paulson, Cambridge University Computer Laboratory
  Copyright 1993 University of Cambridge
 
 There may be printing problems if a seqent is in expanded normal form
 (eta-expanded, beta-contracted).
*)

section ‹Classical First-Order Sequent Calculus›

theory LK0
imports Sequents
begin

setup ‹Proofterm.set_preproc (Proof_Rewrite_Rules.standard_preproc [])›

class "term"
default_sort "term"

consts

  Trueprop       :: "two_seqi"

  True         :: o
  False        :: o
  equal        :: "['a,'a] ==> o"     (infixl ‹=› 50)
  Not          :: "o ==> o"           (‹(‹open_block notation=‹prefix ¬›\›\¬ _)› [40] 40)
  conj         :: "[o,o] ==> o"       (infixr ‹∧› 35)
  disj         :: "[o,o] ==> o"       (infixr ‹∨› 30)
  imp          :: "[o,o] ==> o"       (infixr ‹⟶› 25)
  iff          :: "[o,o] ==> o"       (infixr ‹⟷› 25)
  The          :: "('a ==> o) ==> 'a"  (binder ‹THE › 10)
  All          :: "('a ==> o) ==> o"   (binder ‹∀› 10)
  Ex           :: "('a ==> o) ==> o"   (binder ‹∃› 10)

syntax
 "_Trueprop"    :: "two_seqe" (‹(‹notation=judgment›(_)/ ⊨ (_))› [6,6] 5)

parse_translation ‹[(🍋‹_Trueprop›, K (two_seq_tr 🍋‹Trueprop›))]›
print_translation ‹[(🍋‹Trueprop›, K (two_seq_tr' 🍋‹_Trueprop›))]›

abbreviation
  not_equal  (infixl ‹≠› 50) where
  "x ≠ y ≡ ¬ (x = y)"

axiomatization where

  (*Structural rules: contraction, thinning, exchange [Søren Heilmann] *)

  contRS: "$H ⊨ $E, $S, $S, $F ==> $H ⊨ $E, $S, $F" and
  contLS: "$H, $S, $S, $G ⊨ $E ==> $H, $S, $G ⊨ $E" and

  thinRS: "$H ⊨ $E, $F ==> $H ⊨ $E, $S, $F" and
  thinLS: "$H, $G ⊨ $E ==> $H, $S, $G ⊨ $E" and

  exchRS: "$H ⊨ $E, $R, $S, $F ==> $H ⊨ $E, $S, $R, $F" and
  exchLS: "$H, $R, $S, $G ⊨ $E ==> $H, $S, $R, $G ⊨ $E" and

  cut:   "[$H ⊨ $E, P; $H, P ⊨ $E] ==> $H ⊨ $E" and

  (*Propositional rules*)

  basic: "$H, P, $G ⊨ $E, P, $F" and

  conjR: "[$H⊨ $E, P, $F; $H⊨ $E, Q, $F] ==> $H⊨ $E, P ∧ Q, $F" and
  conjL: "$H, P, Q, $G ⊨ $E ==> $H, P ∧ Q, $G ⊨ $E" and

  disjR: "$H ⊨ $E, P, Q, $F ==> $H ⊨ $E, P ∨ Q, $F" and
  disjL: "[$H, P, $G ⊨ $E; $H, Q, $G ⊨ $E] ==> $H, P ∨ Q, $G ⊨ $E" and

  impR:  "$H, P ⊨ $E, Q, $F ==> $H ⊨ $E, P ⟶ Q, $F" and
  impL:  "[$H,$G ⊨ $E,P; $H, Q, $G ⊨ $E] ==> $H, P ⟶ Q, $G ⊨ $E" and

  notR:  "$H, P ⊨ $E, $F ==> $H ⊨ $E, ¬ P, $F" and
  notL:  "$H, $G ⊨ $E, P ==> $H, ¬ P, $G ⊨ $E" and

  FalseL: "$H, False, $G ⊨ $E" and

  True_def: "True ≡ False ⟶ False" and
  iff_def:  "P ⟷ Q ≡ (P ⟶ Q) ∧ (Q ⟶ P)"

axiomatization where
  (*Quantifiers*)

  allR:  "(∧x. $H ⊨ $E, P(x), $F) ==> $H ⊨ $E, ∀x. P(x), $F" and
  allL:  "$H, P(x), $G, ∀x. P(x) ⊨ $E ==> $H, ∀x. P(x), $G ⊨ $E" and

  exR:   "$H ⊨ $E, P(x), $F, ∃x. P(x) ==> $H ⊨ $E, ∃x. P(x), $F" and
  exL:   "(∧x. $H, P(x), $G ⊨ $E) ==> $H, ∃x. P(x), $G ⊨ $E" and

  (*Equality*)
  refl:  "$H ⊨ $E, a = a, $F" and
  subst: "∧G H E. $H(a), $G(a) ⊨ $E(a) ==> $H(b), a=b, $G(b) ⊨ $E(b)"

  (* Reflection *)

axiomatization where
  eq_reflection:  "⊨ x = y ==> (x ≡ y)" and
  iff_reflection: "⊨ P ⟷ Q ==> (P ≡ Q)"

  (*Descriptions*)

axiomatization where
  The: "[$H ⊨ $E, P(a), $F; ∧x.$H, P(x) ⊨ $E, x=a, $F] ==>
         $H ⊨ $E, P(THE x. P(x)), $F"

definition If :: "[o, 'a, 'a] ==> 'a" (‹(‹notation=‹mixfix if then else›\if (_)/ then (_)/ else (_))› 10)
  where "If(P,x,y) ≡ THE z::'a. (P ⟶ z = x) ∧ (¬ P ⟶ z = y)"


(** Structural Rules on formulas **)

(*contraction*)

lemma contR: "$H ⊨ $E, P, P, $F ==> $H ⊨ $E, P, $F"
  by (rule contRS)

lemma contL: "$H, P, P, $G ⊨ $E ==> $H, P, $G ⊨ $E"
  by (rule contLS)

(*thinning*)

lemma thinR: "$H ⊨ $E, $F ==> $H ⊨ $E, P, $F"
  by (rule thinRS)

lemma thinL: "$H, $G ⊨ $E ==> $H, P, $G ⊨ $E"
  by (rule thinLS)

(*exchange*)

lemma exchR: "$H ⊨ $E, Q, P, $F ==> $H ⊨ $E, P, Q, $F"
  by (rule exchRS)

lemma exchL: "$H, Q, P, $G ⊨ $E ==> $H, P, Q, $G ⊨ $E"
  by (rule exchLS)

ML ‹
(*Cut and thin, replacing the right-side formula*)
fun cutR_tac ctxt s i =
  Rule_Insts.res_inst_tac ctxt [((("P", 0), Position.none), s)] [] @{thm cut} i THEN
  resolve_tac ctxt @{thms thinR} i

(*Cut and thin, replacing the left-side formula*)
fun cutL_tac ctxt s i =
  Rule_Insts.res_inst_tac ctxt [((("P", 0), Position.none), s)] [] @{thm cut} i THEN
  resolve_tac ctxt @{thms thinL} (i + 1)
›


(** If-and-only-if rules **)
lemma iffR: "[$H,P ⊨ $E,Q,$F; $H,Q ⊨ $E,P,$F] ==> $H ⊨ $E, P ⟷ Q, $F"
  apply (unfold iff_def)
  apply (assumption | rule conjR impR)+
  done

lemma iffL: "[$H,$G ⊨ $E,P,Q; $H,Q,P,$G ⊨ $E] ==> $H, P ⟷ Q, $G ⊨ $E"
  apply (unfold iff_def)
  apply (assumption | rule conjL impL basic)+
  done

lemma iff_refl: "$H ⊨ $E, (P ⟷ P), $F"
  apply (rule iffR basic)+
  done

lemma TrueR: "$H ⊨ $E, True, $F"
  apply (unfold True_def)
  apply (rule impR)
  apply (rule basic)
  done

(*Descriptions*)
lemma the_equality:
  assumes p1: "$H ⊨ $E, P(a), $F"
    and p2: "∧x. $H, P(x) ⊨ $E, x=a, $F"
  shows "$H ⊨ $E, (THE x. P(x)) = a, $F"
  apply (rule cut)
   apply (rule_tac [2] p2)
  apply (rule The, rule thinR, rule exchRS, rule p1)
  apply (rule thinR, rule exchRS, rule p2)
  done


(** Weakened quantifier rules.  Incomplete, they let the search terminate.**)

lemma allL_thin: "$H, P(x), $G ⊨ $E ==> $H, ∀x. P(x), $G ⊨ $E"
  apply (rule allL)
  apply (erule thinL)
  done

lemma exR_thin: "$H ⊨ $E, P(x), $F ==> $H ⊨ $E, ∃x. P(x), $F"
  apply (rule exR)
  apply (erule thinR)
  done

(*The rules of LK*)

lemmas [safe] =
  iffR iffL
  notR notL
  impR impL
  disjR disjL
  conjR conjL
  FalseL TrueR
  refl basic
ML ‹val prop_pack = Cla.get_pack 🍋›

lemmas [safe] = exL allR
lemmas [unsafe] = the_equality exR_thin allL_thin
ML ‹val LK_pack = Cla.get_pack 🍋›

ML ‹
  val LK_dup_pack =
  Cla.put_pack prop_pack 🍋
  |> fold_rev Cla.add_safe @{thms allR exL}
  |> fold_rev Cla.add_unsafe @{thms allL exR the_equality}
  |> Cla.get_pack;
 ›

method_setup fast_prop =
  ‹Scan.succeed (fn ctxt => SIMPLE_METHOD' (Cla.fast_tac (Cla.put_pack prop_pack ctxt)))›

method_setup fast_dup =
  ‹Scan.succeed (fn ctxt => SIMPLE_METHOD' (Cla.fast_tac (Cla.put_pack LK_dup_pack ctxt)))›

method_setup best_dup =
  ‹Scan.succeed (fn ctxt => SIMPLE_METHOD' (Cla.best_tac (Cla.put_pack LK_dup_pack ctxt)))›

method_setup lem = ‹
  Attrib.thm >> (fn th => fn ctxt =>
  SIMPLE_METHOD' (fn i =>
  resolve_tac ctxt [@{thm thinR} RS @{thm cut}] i THEN
  REPEAT (resolve_tac ctxt @{thms thinL} i) THEN
  resolve_tac ctxt [th] i))
 ›


lemma mp_R:
  assumes major: "$H ⊨ $E, $F, P ⟶ Q"
    and minor: "$H ⊨ $E, $F, P"
  shows "$H ⊨ $E, Q, $F"
  apply (rule thinRS [THEN cut], rule major)
  apply step
  apply (rule thinR, rule minor)
  done

lemma mp_L:
  assumes major: "$H, $G ⊨ $E, P ⟶ Q"
    and minor: "$H, $G, Q ⊨ $E"
  shows "$H, P, $G ⊨ $E"
  apply (rule thinL [THEN cut], rule major)
  apply step
  apply (rule thinL, rule minor)
  done


(** Two rules to generate left- and right- rules from implications **)

lemma R_of_imp:
  assumes major: "⊨ P ⟶ Q"
    and minor: "$H ⊨ $E, $F, P"
  shows "$H ⊨ $E, Q, $F"
  apply (rule mp_R)
   apply (rule_tac [2] minor)
  apply (rule thinRS, rule major [THEN thinLS])
  done

lemma L_of_imp:
  assumes major: "⊨ P ⟶ Q"
    and minor: "$H, $G, Q ⊨ $E"
  shows "$H, P, $G ⊨ $E"
  apply (rule mp_L)
   apply (rule_tac [2] minor)
  apply (rule thinRS, rule major [THEN thinLS])
  done

(*Can be used to create implications in a subgoal*)
lemma backwards_impR:
  assumes prem: "$H, $G ⊨ $E, $F, P ⟶ Q"
  shows "$H, P, $G ⊨ $E, Q, $F"
  apply (rule mp_L)
   apply (rule_tac [2] basic)
  apply (rule thinR, rule prem)
  done

lemma conjunct1: "⊨P ∧ Q ==> ⊨P"
  apply (erule thinR [THEN cut])
  apply fast
  done

lemma conjunct2: "⊨P ∧ Q ==> ⊨Q"
  apply (erule thinR [THEN cut])
  apply fast
  done

lemma spec: "⊨ (∀x. P(x)) ==> ⊨ P(x)"
  apply (erule thinR [THEN cut])
  apply fast
  done


(** Equality **)

lemma sym: "⊨ a = b ⟶ b = a"
  by (safe add!: subst)

lemma trans: "⊨ a = b ⟶ b = c ⟶ a = c"
  by (safe add!: subst)

(* Symmetry of equality in hypotheses *)
lemmas symL = sym [THEN L_of_imp]

(* Symmetry of equality in hypotheses *)
lemmas symR = sym [THEN R_of_imp]

lemma transR: "[$H⊨ $E, $F, a = b; $H⊨ $E, $F, b=c] ==> $H⊨ $E, a = c, $F"
  by (rule trans [THEN R_of_imp, THEN mp_R])

(* Two theorms for rewriting only one instance of a definition:
   the first for definitions of formulae and the second for terms *)

lemma def_imp_iff: "(A ≡ B) ==> ⊨ A ⟷ B"
  apply unfold
  apply (rule iff_refl)
  done

lemma meta_eq_to_obj_eq: "(A ≡ B) ==> ⊨ A = B"
  apply unfold
  apply (rule refl)
  done


(** if-then-else rules **)

lemma if_True: "⊨ (if True then x else y) = x"
  unfolding If_def by fast

lemma if_False: "⊨ (if False then x else y) = y"
  unfolding If_def by fast

lemma if_P: "⊨ P ==> ⊨ (if P then x else y) = x"
  apply (unfold If_def)
  apply (erule thinR [THEN cut])
  apply fast
  done

lemma if_not_P: "⊨ ¬ P ==> ⊨ (if P then x else y) = y"
  apply (unfold If_def)
  apply (erule thinR [THEN cut])
  apply fast
  done

end