(*  Title:      ZF/pair.thy
    Author:     Lawrence C Paulson, Cambridge University Computer Laboratory
    Copyright   1992  University of Cambridge
*)

section‹

  pair imports upair
 

  ‹simpdata.ML›

  ‹
 map_theory_simpset
 (Simplifier.set_mksimps (fn ctxt => map mk_eq o ZF_atomize o Variable.gen_all ctxt)
 #> Simplifier.add_cong @{thm if_weak_cong})
 ›

  ‹val ZF_ss = simpset_of context›

  defined_Bex ("∃x∈A. P(x) ∧ Q(x)") = ‹
 K (Quantifier1.rearrange_Bex (fn ctxt => unfold_tac ctxt @{thms Bex_def}))
 ›

  defined_Ball ("∀x∈A. P(x) ⟶ Q(x)") = ‹
 K (Quantifier1.rearrange_Ball (fn ctxt => unfold_tac ctxt @{thms Ball_def}))
 ›


(** Lemmas for showing that \<langle>a,b\<rangle> uniquely determines a and b **)

lemma singleton_eq_iff [iff]: "{a} = {b} ⟷ a=b"
by (rule extension [THEN iff_trans], blast)

lemma doubleton_eq_iff: "{a,b} = {c,d} ⟷ (a=c ∧ b=d) | (a=d ∧ b=c)"
by (rule extension [THEN iff_trans], blast)

lemma Pair_iff [simp]: "⟨a,b⟩ = ⟨c,d⟩ ⟷ a=c ∧ b=d"
by (simp add: Pair_def doubleton_eq_iff, blast)

lemmas Pair_inject = Pair_iff [THEN iffD1, THEN conjE, elim!]

lemmas Pair_inject1 = Pair_iff [THEN iffD1, THEN conjunct1]
lemmas Pair_inject2 = Pair_iff [THEN iffD1, THEN conjunct2]

lemma Pair_not_0: "⟨a,b⟩ ≠ 0"
  unfolding Pair_def
apply (blast elim: equalityE)
done

lemmas Pair_neq_0 = Pair_not_0 [THEN notE, elim!]

declare sym [THEN Pair_neq_0, elim!]

lemma Pair_neq_fst: "⟨a,b⟩=a ==> P"
proof (unfold Pair_def)
  assume eq: "{{a, a}, {a, b}} = a"
  have  "{a, a} ∈ {{a, a}, {a, b}}" by (rule consI1)
  hence "{a, a} ∈ a" by (simp add: eq)
  moreover have "a ∈ {a, a}" by (rule consI1)
  ultimately show "P" by (rule mem_asym)
qed

lemma Pair_neq_snd: "⟨a,b⟩=b ==> P"
proof (unfold Pair_def)
  assume eq: "{{a, a}, {a, b}} = b"
  have  "{a, b} ∈ {{a, a}, {a, b}}" by blast
  hence "{a, b} ∈ b" by (simp add: eq)
  moreover have "b ∈ {a, b}" by blast
  ultimately show "P" by (rule mem_asym)
qed


subsection‹Sigma: Disjoint Union of a Family of Sets›

text‹Generalizes Cartesian product›

lemma Sigma_iff [simp]: "⟨a,b⟩: Sigma(A,B) ⟷ a ∈ A ∧ b ∈ B(a)"
by (simp add:java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [24, 23) out of bounds for length 24

lemma SigmaI [TC,intro!]: "[
by simp

java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [35, 32) out of bounds for length 55
SigmaD = Sigma_iff [THEN iffD1, HEN conjun]

(*The general elimination rule*)
lemma SigmaE [elim!]:
    "[rule [ iff_trans,)
        ∧x ∈ B(x);  c=⟨\rangle>] P
] ==> P"
by (unf

lemma SigmaE2 [elim!]:
    "[
        java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Index 8 out of bounds for length 0
🚫
by (unfold Sigma_def, blast)

lemma Sigma_cong:
    java.lang.StringIndexOutOfBoundsException: Range [0, 13) out of bounds for length 8
     Sigma(A,B) = Sigma(A',B')"
by (simp add: Sigma_def)

(*Sigma_cong, Pi_cong NOT given to Addcongs: they cause
  flex-flex pairs and the "Check your prover" error.  Most
  Sigmas and Pis are abbreviated as * or -> *)

lemma Sigma_empty1 [simp]: "Sigma(0,B) = 0"
by blast

lemma Sigma_empty2 [simp]: "A*0 = 0"
by blast

lemma Sigma_empty_iff: "A*B=0 ⟷ A=0 | B=0"
by blast


subsection‹Projections term‹fst› and term‹snd››

lemma fst_conv [simp]: "fst(⟨a,b⟩) = a"
by (simp add: fst_def)

lemma snd_conv [simp]: "snd(⟨a,b⟩) = b"
by (simp add: snd_def)

lemma fst_type [TC]: "p ∈ Sigma(A,B) ==> fst(p) ∈ A"
by auto

lemma snd_type [TC]: "p ∈ Sigma(A,B) ==> snd(p) ∈ B(fst(p))"
by auto

lemma Pair_fst_snd_eq: "a ∈ Sigma(A,B) ==> <fst(a),snd(a)> = a"
by auto


subsection‹The Eliminator, term‹split››

(*A META-equality, so that it applies to higher types as well...*)
lemma split [simp]: "split(λx y. c(x,y), ⟨a,b⟩) ≡ c(a,b)"
by (simp add: split_def)

lemma split_type [TC]:
    "[p ∈ Sigma(A,B);
         ∧x y.[x ∈ A; y ∈ B(x)] ==> c(x,y):C(⟨x,y⟩)
\<rbrakk> ==> split(λx y. c(x,y), p) ∈ C(p)"
by (erule SigmaE, auto)

lemma expand_split:
  "u ∈ A*B ==>
        R(split(c,u)) ⟷ (∀x∈A. ∀y∈B. u = ⟨x,y⟩ ⟶ R(c(x,y)))"
by (auto simp add: split_def)


subsection‹A version of term‹split› for Formulae: Result Type typ‹o››

lemma splitI: "R(a,b) ==> split(R, ⟨a,b⟩)"
by (simp add: split_def)

lemma splitE:
    "[split(R,z); z ∈ Sigma(A,B);
        ∧x y. [z = ⟨x,y⟩; R(x,y)] ==> P
\<rbrakk> ==> P"
by (auto simp add: split_def)

lemma splitD: "split(R,⟨a,b⟩) ==> R(a,b)"
by (simp add: split_def)

text ‹
 \bigskip Complex rules for Sigma.
 ›

lemma split_paired_Bex_Sigma [simp]:
     "(∃z ∈ Sigma(A,B). P(z)) ⟷ (∃x ∈ A. ∃y ∈ B(x). P(⟨x,y⟩))"
by blast

lemma split_paired_Ball_Sigma [simp]:
     "(∀z ∈ Sigma(A,B). P(z)) ⟷ (∀x ∈ A. ∀y ∈ B(x). P(⟨x,y⟩))"
by blast

end