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products/Sources/formale Sprachen/PVS/measure_integration/ (Beweissystem der NASA Version 6.0.9^©) Datei vom 28.9.2014 mit Größe 3 kB

Quellcode-Bibliothek product_integral_def.pvs Sprache: PVS

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% Iterated Integrals over [T1,T2]
%
%     Author: David Lester, Manchester University, NIA, Université Perpignan
%
% All references are to SK Berberian "Fundamentals of Real Analysis",
% Springer, 1991
%
%     Version 1.0            1/5/07   Initial Version
%------------------------------------------------------------------------------

product_integral_def[(IMPORTING subset_algebra_def, measure_def)
       T1,T2: TYPE,
       S1:sigma_algebra[T1],S2:sigma_algebra[T2],
       mu:measure_type[T1,S1], nu:measure_type[T2,S2]]: THEORY

BEGIN

  IMPORTING integral[T1,S1,mu],
            integral[T2,S2,nu],
            reals@real_fun_ops[[T1,T2]]

  h:  VAR [[T1,T2]->real]
  f:  VAR integrable[T1,S1,mu]
  g:  VAR integrable[T2,S2,nu]
  N1: VAR null_set[T1,S1,mu]
  N2: VAR null_set[T2,S2,nu]
  x:  VAR T1
  y:  VAR T2
  c:  VAR real

  integrable1?(h):bool
    = EXISTS N1,f: FORALL x: NOT member(x,N1) =>
                   integrable?(lambda y: h(x,y)) AND
                   integral(lambda y: h(x,y)) = f(x)

  integrable2?(h):bool
    = EXISTS N2,g: FORALL y: NOT member(y,N2) =>
                   integrable?(lambda x: h(x,y)) AND
                   integral(lambda x: h(x,y)) = g(y)

  integrable1: TYPE+  = (integrable1?) CONTAINING (lambda x,y: 0)
  integrable2: TYPE+  = (integrable2?) CONTAINING (lambda x,y: 0)

  g1,h1: VAR integrable1
  g2,h2: VAR integrable2

  integrable1_zero: LEMMA integrable1?(lambda x,y: 0)
  integrable1_add:  JUDGEMENT +(g1,h1)    HAS_TYPE integrable1
  integrable1_scal: JUDGEMENT *(c,h1)     HAS_TYPE integrable1
  integrable1_opp:  JUDGEMENT -(h1)       HAS_TYPE integrable1
  integrable1_diff: JUDGEMENT -(g1,h1)    HAS_TYPE integrable1

  integrable2_zero: LEMMA integrable2?(lambda x,y: 0)
  integrable2_add:  JUDGEMENT +(g2,h2)    HAS_TYPE integrable2
  integrable2_scal: JUDGEMENT *(c,h2)     HAS_TYPE integrable2
  integrable2_opp:  JUDGEMENT -(h2)       HAS_TYPE integrable2
  integrable2_diff: JUDGEMENT -(g2,h2)    HAS_TYPE integrable2

  null_integrable1(h1):[null_set[T1,S1,mu],integrable[T1,S1,mu]]
    = choose({(N1,f) | FORALL x: NOT member(x,N1) =>
                       integrable?(lambda y: h1(x,y)) AND
                       integral(lambda y: h1(x,y)) = f(x)})

  null_integrable2(h2):[null_set[T2,S2,nu],integrable[T2,S2,nu]]
    = choose({(N2,g) | FORALL y: NOT member(y,N2) =>
                       integrable?(lambda x: h2(x,y)) AND
                       integral(lambda x: h2(x,y)) = g(y)})

  null_integral1_def: LEMMA
      (N1,f) = null_integrable1(h1) AND
      (NOT member(x,N1)) =>
      (integrable?(lambda y: h1(x,y)) AND
       integral(lambda y: h1(x,y)) = f(x))

  null_integral2_def: LEMMA
      (N2,g) = null_integrable2(h2) AND
      (NOT member(y,N2)) =>
      (integrable?(lambda x: h2(x,y)) AND
       integral(lambda x: h2(x,y)) = g(y))

  integral1(h1): integrable[T1,S1,mu]
    = lambda x: LET (N1,f) = null_integrable1(h1) IN
                IF member(x,N1) THEN 0 ELSE f(x) ENDIF

  integral2(h2): integrable[T2,S2,nu]
    = lambda y: LET (N2,g) = null_integrable2(h2) IN
                IF member(y,N2) THEN 0 ELSE g(y) ENDIF

  integral1_zero: LEMMA integral1(lambda x,y: 0) = lambda x: 0
  integral1_add:  LEMMA ae_eq?(integral1(g1+h1), integral1(g1) + integral1(h1))
  integral1_scal: LEMMA ae_eq?(integral1(c*h1),  c*integral1(h1))
  integral1_opp:  LEMMA ae_eq?(integral1(-(h1)), -integral1(h1))
  integral1_diff: LEMMA ae_eq?(integral1(g1-h1), integral1(g1) - integral1(h1))

  integral2_zero: LEMMA integral2(lambda x,y: 0) = lambda y: 0
  integral2_add:  LEMMA ae_eq?(integral2(g2+h2), integral2(g2) + integral2(h2))
  integral2_scal: LEMMA ae_eq?(integral2(c*h2),  c*integral2(h2))
  integral2_opp:  LEMMA ae_eq?(integral2(-(h2)), -integral2(h2))
  integral2_diff: LEMMA ae_eq?(integral2(g2-h2), integral2(g2) - integral2(h2))

END product_integral_def

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