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products/Sources/formale Sprachen/PVS/trig_fnd/ (Beweissystem der NASA Version 6.0.9^©) Datei vom 28.9.2014 mit Größe 5 kB

Quelle trig_basic.pvs Sprache: PVS

trig_basic : THEORY
%-----------------------------------------------------------------------------
%     trig_basic:
%     -----------
%         - definition of pi with crude upper and lower bounds
%         - definition of sin, cos, and tan
%         - pythagorean properties: sq(sin(a)) + sq(cos(a)) = 1
%         - sum and difference of two angles
%         - double angle formulas
%         - negative properties, e.g. sin(-a)
%         - periodicity, e.g. sin(a) = sin(a + 2 * j * pi)
%         - co-function identities, e.g. sin(pi/2 - a) = cos(a)
%         - location of zeros of trig functions
%
%   Version 1.1 27/10/03 Foundational Version David Lester
%
%   CHANGES
%         - Oct 21 2004 (C. Munoz) Moved pi_lb, pi_ub, pi_bound to atan_approx
%
%-----------------------------------------------------------------------------
BEGIN

  IMPORTING reals@sqrt, sincos_def, atan_approx

  a,b,c,d           : VAR real
  nnc               : VAR nonneg_real
  j                 : VAR integer

% This is now in atan_approx.pvs
%
%  pi_lb  : real = 31415926/10000000
%
%  pi_ub  : real = 31415927/10000000
%
%  pi_bound : JUDGEMENT pi HAS_TYPE {r:posreal | pi_lb < r AND r < pi_ub}

% -------------------- definition of sin and cos --------------------
%
% This is now in sincos_def.pvs
%
%  trig_range  : TYPE = {a | -1 <= a AND a <= 1}
%
%  sin(x:real) : real = sin_phase(x-2*pi*floor(x/(2*pi)))
%  cos(x:real) : real = cos_phase(x-2*pi*floor(x/(2*pi)))
%
%  sin_range_ax: LEMMA -1 <= sin(a) AND sin(a) <= 1
%  cos_range_ax: LEMMA -1 <= cos(a) AND cos(a) <= 1
%
%  sin_range   : JUDGEMENT sin(a) HAS_TYPE trig_range
%  cos_range   : JUDGEMENT cos(a) HAS_TYPE trig_range
%
%  Tan?(a)        : bool = cos(a) /= 0
%
%  tan(a:(Tan?))  : real = sin(a)/cos(a)

% -------------------- Pythagorean Property --------------------

  sin2_cos2    : LEMMA sq(sin(a)) + sq(cos(a)) = 1

  cos2         : LEMMA sq(cos(a)) = 1 - sq(sin(a))

  sin2         : LEMMA sq(sin(a)) = 1 - sq(cos(a))

% --------------------- Basic Values ----------------------------

  cos_0         : LEMMA cos(0) = 1

  sin_0         : LEMMA sin(0) = 0

  sin_pi2       : LEMMA sin(pi/2) = 1

  cos_pi2       : LEMMA cos(pi/2) = 0

  tan_0         : LEMMA tan(0) = 0

% --------------------- Negative Properties ----------------------

  sin_neg : LEMMA sin(-a) = -sin(a)
  cos_neg : LEMMA cos(-a) = cos(a)
  tan_neg : LEMMA FORALL(a:(Tan?)): tan(-a) = -tan(a)

% -------------------- Co-Function Identities -----------------------

  cos_sin    : LEMMA cos(a) = sin(a+pi/2)
  sin_cos    : LEMMA sin(a) = -cos(a+pi/2)
  sin_shift  : LEMMA sin(pi/2 - a) = cos(a)
  cos_shift  : LEMMA cos(pi/2 - a) = sin(a)

% --------------------- Arguments involving pi ---------------------

  neg_cos     : LEMMA -cos(a) = cos(a+pi)
  neg_sin     : LEMMA -sin(a) = sin(a+pi)

  sin_pi      : LEMMA sin(pi) = 0
  cos_pi      : LEMMA cos(pi) = -1
  tan_pi      : LEMMA tan(pi) = 0
  sin_3pi2    : LEMMA sin(3*pi/2) = -1
  cos_3pi2    : LEMMA cos(3*pi/2) = 0
  sin_2pi     : LEMMA sin(2*pi) = 0
  cos_2pi     : LEMMA cos(2*pi) = 1
  tan_2pi     : LEMMA tan(2*pi) = 0

% ----------------- Sum and Difference of Two Angles ----------------

  sin_plus  : LEMMA sin(a + b) = sin(a)*cos(b) + cos(a)*sin(b)
  sin_minus : LEMMA sin(a - b) = sin(a)*cos(b) - sin(b)*cos(a)

  cos_plus  : LEMMA cos(a + b) = cos(a)*cos(b) - sin(a)*sin(b)
  cos_minus : LEMMA cos(a - b) = cos(a)*cos(b) + sin(a)*sin(b)

  tan_plus  : LEMMA Tan?(a) AND Tan?(b) AND Tan?(a+b) AND
                    tan(a) * tan(b) /= 1 IMPLIES
                      tan(a + b) = (tan(a) + tan(b))/(1 - tan(a)*tan(b))

  tan_minus : LEMMA Tan?(a) AND Tan?(b) AND Tan?(a-b) AND
                    tan(a) * tan(b) /= -1 IMPLIES
                      tan(a - b) = (tan(a) - tan(b))/(1 + tan(a)*tan(b))

  arc_sin_cos  : LEMMA sq(a)+sq(b)=sq(c) IMPLIES
                            EXISTS d: a = c*cos(d) AND b = c*sin(d)

  pythagorean  : LEMMA sq(a)+sq(b)=sq(nnc) IMPLIES
                            EXISTS(alpha:real): nnc=a*cos(alpha)+b*sin(alpha)

% -------------------- Double Angle Formulas --------------------

   sin_2a     : LEMMA sin(2*a) = 2 * sin(a) * cos(a)
   cos_2a     : LEMMA cos(2*a) = cos(a)*cos(a) - sin(a)*sin(a)
   cos_2a_cos : LEMMA cos(2*a) = 2 * cos(a)*cos(a) - 1
   cos_2a_sin : LEMMA cos(2*a) = 1 - 2 * sin(a)*sin(a)
   tan_2a     : LEMMA Tan?(a) AND Tan?(2*a) AND
                      tan(a) * tan(a) /= 1 IMPLIES
                        tan(2*a) = 2 * tan(a)/(1 - tan(a) * tan(a))

% ------------------------- Periodicity -----------------------------

%  IMPORTING reals@prelude_aux_reals

  n: VAR nat
  k: VAR integer

  sin_period  : LEMMA sin(a) = sin(a + 2 * j * pi)
  cos_period  : LEMMA cos(a) = cos(a + 2 * j * pi)
  tan_period  : LEMMA Tan?(a) IMPLIES tan(a) = tan(a + j * pi)

  sin_k_pi    : LEMMA sin(k*pi) = 0
  cos_2k_pi   : LEMMA cos(2*k*pi) = 1
  cos_k_pi    : LEMMA cos(k*pi) = (-1)^(k)
  sin_k_pi2   : LEMMA sin(k*pi + pi/2) = (-1)^k
  tan_k_pi    : LEMMA tan(k*pi) = 0

% -------------------- Characterization of zeroes -------------------

  sin_eq_0_2pi : COROLLARY 0 <= a AND a <= 2*pi IMPLIES
                    (sin(a)=0 IFF a=0 OR a=pi OR a=2*pi)

  cos_eq_0_2pi : COROLLARY 0 <= a AND a <= 2*pi IMPLIES
                    (cos(a)=0 IFF a=pi/2 OR a=3*pi/2)

  sin_eq_0     : LEMMA sin(a) = 0 IFF EXISTS (i: int): a = i * pi

  cos_eq_0     : LEMMA cos(a) = 0 IFF EXISTS (i: int): a = i * pi + pi/2

% ---------------------- Maximum Points -----------------------------

  sin_eq_1     : LEMMA sin(a) = 1 IFF EXISTS (i: int): a = 2 * i * pi + pi/2
  cos_eq_1     : LEMMA cos(a) = 1 IFF EXISTS (i: int): a = 2 * i * pi

END trig_basic

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