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products/Sources/formale Sprachen/PVS/vectors/ (Beweissystem der NASA Version 6.0.9^©) Datei vom 28.9.2014 mit Größe 3 kB

Quelle matrices.pvs Sprache: PVS

matrices : THEORY
BEGIN

  IMPORTING vect2D,vect3D

  Mat3 : TYPE = ARRAY[[below(3),below(3)]->real]

  Mat2 : TYPE = {m:Mat3|m(2,0)=0 AND m(2,1)=0 AND m(2,2)=1}

  m,n,l        : VAR Mat3
  v,w          : VAR Vect3
  x00,x01,x02,
  x10,x11,x12,
  x20,x21,x22,
  k            : VAR real

  mat3(x00,x01,x02,x10,x11,x12,x20,x21,x22): Mat3 =
                  LAMBDA(x,y:below(3)):
               IF    (x=0 AND y=0) THEN x00
               ELSIF (x=0 AND y=1) THEN x01
               ELSIF (x=0 AND y=2) THEN x02
               ELSIF (x=1 AND y=0) THEN x10
               ELSIF (x=1 AND y=1) THEN x11
               ELSIF (x=1 AND y=2) THEN x12
               ELSIF (x=2 AND y=0) THEN x20
               ELSIF (x=2 AND y=1) THEN x21
               ELSIF (x=2 AND y=2) THEN x22
               ELSE 0
               ENDIF

  putAt(m:Mat3, i, j:below(3),r:real): Mat3 =  m WITH [(i,j) := r]

  id: Mat3 = mat3(1,0,0,
                  0,1,0,
                  0,0,1)

  row(m:Mat3, i:below(3)): Vect3 = vect3(m(i,0),m(i,1),m(i,2))

  col(m:Mat3, i:below(3)): Vect3 = vect3(m(0,i),m(1,i),m(2,i))

% ------- Determinant

  det(m): real = m(0,0)*m(1,1)*m(2,2) +
       m(0,1)*m(1,2)*m(2,0) +
       m(0,2)*m(1,0)*m(2,1) -
       m(0,2)*m(1,1)*m(2,0) -
       m(0,0)*m(1,2)*m(2,1) -
       m(0,1)*m(1,0)*m(2,2)

  singular?(m): bool = (det(m) = 0)

  NonSingular  : TYPE = {m: Mat3 | NOT singular?(m)}
  ns           : VAR NonSingular

  det_id : LEMMA  det(id) = 1

% ------- Transposed

  T(m): Mat3 =  mat3(m(0,0),m(1,0),m(2,0),
                     m(0,1),m(1,1),m(2,1),
                     m(0,2),m(1,2),m(2,2))

  det_T: LEMMA det(m) = det(T(m));

% ------ Products

  *(k,m): Mat3 =    mat3(k*m(0,0),k*m(0,1),k*m(0,2),
                         k*m(1,0),k*m(1,1),k*m(1,2),
                         k*m(2,0),k*m(2,1),k*m(2,2));

  *(v,m): Vect3 =   vect3(v*col(m,0),v*col(m,1),v*col(m,2));

  *(m,v): Vect3 =   vect3(row(m,0)*v,row(m,1)*v,row(m,2)*v);

  *(m,n): Mat3 =    mat3(row(m,0)*col(n,0),row(m,0)*col(n,1),row(m,0)*col(n,2),
                         row(m,1)*col(n,0),row(m,1)*col(n,1),row(m,1)*col(n,2),
                         row(m,2)*col(n,0),row(m,2)*col(n,1),row(m,2)*col(n,2))

  id_left1 : LEMMA id*m = m

  id_right1: LEMMA m*id = m

  id_left2 : LEMMA id*v = v

  id_right2: LEMMA v*id = v

  associativity_1    : LEMMA (m*n)*l = m*(n*l)

  associativity_2    : LEMMA (m*n)*v = m*(n*v)

  associativity_3    : LEMMA (v*m)*n = v*(m*n)

  distribution_minus : LEMMA m*(v-w) = (m*v)-(m*w)

  distribution_add   : LEMMA  m*(v+w) = (m*v)+(m*w)

% ------ Mat2

  mat2(x00,x01,x10,x11): Mat2 =  mat3(x00,x01,0,x10,x11,0,0,0,1)

  det_mat2 : LEMMA  det(mat2(x00,x01,x10,x11)) = x00*x11 - x01*x10

  cofactor_ij(m:Mat3, i,j:below(3)): Mat3 = LAMBDA(a,b:below(3)):
                IF    (a=i AND b=j) THEN 1
                ELSIF (a=i OR  b=j) THEN 0
                ELSE  m(a,b)
                ENDIF

  cofactor(m:Mat3): Mat3 =   LAMBDA(i,j:below(3)): det(cofactor_ij(m,i,j))

% ------ Inverse

  inv(ns): Mat3 = (1/det(ns))*T(cofactor(ns))

  inv_id    : LEMMA inv(id) = id

  inv_left  : LEMMA inv(ns)*ns = id

  inv_right : LEMMA ns*inv(ns) = id

% ------ pp: Mat3 -> (Vect3,Vect3,Vect3)

  pp(m):[Vect3,Vect3,Vect3]= (row(m,0),row(m,1),row(m,2))

% ------ System of equations
% ------ Ax=B

  sol_eqs(A:NonSingular,B:Vect3):Vect3 = inv(A)*B

  sol_eqs_correctness : LEMMA ns*sol_eqs(ns,v) = v

% ------ 2 equations 2 variables

  system2(v,u:Vect2): MACRO Mat2 =  mat2(x(v),y(v),x(u),y(u))

% ------ 3 equations 3 variables

  system3(v,u,w:Vect3): MACRO Mat3 =
                         mat3(x(v),y(v),z(v),x(u),y(u),z(u),x(w),y(w),z(w))

END matrices

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