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#W z_pi.gi GAP4 Package `Resclasses' Stefan Kohl
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## This file contains implementations of methods for computing with the
## semilocalizations Z_(pi) of the ring of integers.
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#M Z_piCons( <filter>, <pi> ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Z_(pi)
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## Returns the semilocalization Z_(pi) of the ring of integers,
## for given prime set <pi>.
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InstallMethod( Z_piCons, "natural Z_pi (ResClasses)", true,
[ IsRing, IsList ], 0,
function ( filter, pi )
local R, piStr;
R := Objectify( NewType( FamilyObj( Integers ),
IsRing and IsAttributeStoringRep ),
rec( primes := Immutable( pi ) ) );
SetIsTrivial( R, false );
SetIsWholeFamily( R, false );
SetFilterObj( R, IsZ_pi );
SetZero( R, 0 ); SetOne( R, 1 );
SetIsFinite( R, false ); SetSize( R, infinity );
SetIsAssociative( R, true ); SetIsCommutative( R, true );
SetRepresentative( R, 1/Minimum(Difference(List(pi,NextPrimeInt),pi)) );
SetElementsFamily( R, FamilyObj( 1 ) );
SetNoninvertiblePrimes( R, R!.primes );
piStr := String(pi);
return R;
end );
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#F Z_pi( <pi> ) . . . . . . . . . semilocalization Z_(pi) for prime set <pi>
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InstallGlobalFunction( Z_pi,
function ( arg )
local pi;
if IsInt( arg[1] ) then pi := arg; else pi := arg[1]; fi;
if not IsList( pi ) or not ForAll( pi, IsPrimeInt )
then Error( "Z_pi( <pi> ): <pi> must be a set of primes.\n" ); fi;
return Z_piCons( IsRing, Set( pi ) );
end );
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#M ViewString( <R> ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . for Z_(pi)
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InstallMethod( ViewString,
"for Z_(pi) (ResClasses)", ReturnTrue, [ IsZ_pi ], 0,
function ( R )
local pistr;
pistr := String(NoninvertiblePrimes(R));
return Concatenation( "Z_(", pistr{[2..Length(pistr)-1]}, ")" );
end );
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#M ViewObj( <R> ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . for Z_(pi)
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InstallMethod( ViewObj, "for Z_(pi) (ResClasses)", ReturnTrue, [ IsZ_pi ], 0,
function ( R ) Print(ViewString(R)); end );
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#M PrintObj( <R> ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . for Z_(pi)
##
InstallMethod( PrintObj,
"for Z_(pi) (ResClasses)", ReturnTrue, [ IsZ_pi ], 0,
function ( R ) Print( String( R ) ); end );
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#M String( <R> ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . for Z_(pi)
##
InstallMethod( String,
"for Z_(pi) (ResClasses)", ReturnTrue, [ IsZ_pi ], 0,
R -> Concatenation( "Z_pi( ", String( NoninvertiblePrimes( R ) ), " )" ) );
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#M \=( <R>, <S> ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . for Z_(pi)'s
##
InstallMethod( \=,
"for Z_(pi)'s (ResClasses)", ReturnTrue,
[ IsZ_pi, IsZ_pi ], 0,
function ( R, S ) return R!.primes = S!.primes; end );
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#M \in( <x>, <R> ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . for object and Z_(pi)
##
InstallMethod( \in,
"for object and Z_(pi) (ResClasses)", ReturnTrue,
[ IsObject, IsZ_pi ], 0,
function ( x, R )
if not IsRat(x) then return false; fi;
return Intersection(Set(Factors(DenominatorRat(x))),R!.primes) = [];
end );
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#M Intersection2( <R>, <S> ) . . . . . . . . . . . . . . . . . for Z_(pi)'s
##
InstallMethod( Intersection2,
"for Z_(pi)'s (ResClasses)", ReturnTrue,
[ IsZ_pi, IsZ_pi ], 0,
function ( R, S )
return Z_pi( Union( R!.primes, S!.primes ) );
end );
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#M Intersection2( Rationals, <R> ) . . . . . . . . for Rationals and Z_(pi)
##
InstallMethod( Intersection2,
"for Rationals and Z_(pi) (ResClasses)", ReturnTrue,
[ IsRationals, IsZ_pi ], 0,
function ( Rat, R ) return R; end );
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#M Intersection2( <R>, Rationals ) . . . . . . . . for Z_(pi) and Rationals
##
InstallMethod( Intersection2,
"for Z_(pi) and Rationals (ResClasses)", ReturnTrue,
[ IsZ_pi, IsRationals ], 0,
function ( R, Rat ) return R; end );
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#M IsSubset( <R>, <S> ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . for Z_(pi)'s
##
InstallMethod( IsSubset,
"for Z_(pi)'s (ResClasses)", ReturnTrue,
[ IsZ_pi, IsZ_pi ], 0,
function ( R, S ) return IsSubset( S!.primes, R!.primes ); end );
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##
#M IsSubset( Rationals, <R> ) . . . . . . . . . . . for Rationals and Z_(pi)
##
InstallMethod( IsSubset,
"for Rationals and Z_(pi) (ResClasses)", ReturnTrue,
[ IsRationals, IsZ_pi ], 0, ReturnTrue );
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#M IsSubset( <R>, Integers ) . . . . . . . . . . . . for Z_(pi) and Integers
##
InstallMethod( IsSubset,
"for Z_(pi) and Integers (ResClasses)", ReturnTrue,
[ IsZ_pi, IsIntegers ], 0, ReturnTrue );
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#M StandardAssociate( <R>, <x> ) . . . . . for Z_(pi) and an element thereof
##
InstallMethod( StandardAssociate,
"for Z_(pi) and an element thereof (ResClasses)", ReturnTrue,
[ IsZ_pi, IsRat ], 0,
function ( R, x )
local pi;
if not x in R then return fail; fi; if x = 0 then return 0; fi;
pi := NoninvertiblePrimes( R );
return Product( Filtered( Factors( AbsInt( NumeratorRat( x ) ) ),
p -> p in pi ) );
end );
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#M GcdOp( <R>, <x>, <y> ) . . . . . . . for Z_(pi) and two elements thereof
##
InstallMethod( GcdOp,
"for Z_(pi) and two elements thereof (ResClasses)",
ReturnTrue, [ IsZ_pi, IsRat, IsRat ], 0,
function ( R, x, y )
if not x in R or not y in R then return fail; fi;
return Gcd( StandardAssociate( R, x ), StandardAssociate( R, y ) );
end );
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#M LcmOp( <R>, <x>, <y> ) . . . . . . . for Z_(pi) and two elements thereof
##
InstallMethod( LcmOp,
"for Z_(pi) and two elements thereof (ResClasses)",
ReturnTrue, [ IsZ_pi, IsRat, IsRat ], 0,
function ( R, x, y )
if not x in R or not y in R then return fail; fi;
return Lcm( StandardAssociate( R, x ), StandardAssociate( R, y ) );
end );
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#M Factors( <R>, <x> ) . . . . . . . . . . for Z_(pi) and an element thereof
##
InstallMethod( Factors,
"for Z_(pi) and an element thereof (ResClasses)", ReturnTrue,
[ IsZ_pi, IsRat ], 0,
function ( R, x )
local pi, p;
if not x in R then return fail; fi;
pi := NoninvertiblePrimes( R );
p := Filtered( Factors( AbsInt( NumeratorRat( x ) ) ), q -> q in pi );
if x = Product( p ) then return p;
else return Concatenation( [ x / Product(p) ], p ); fi;
end );
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#M IsUnit( <R>, <x> ) . . . . . . . . . . for Z_(pi) and an element thereof
##
InstallMethod( IsUnit,
"for Z_(pi) and an element thereof (ResClasses)", ReturnTrue,
[ IsZ_pi, IsRat ], 0,
function ( R, x )
local pi;
if not x in R then return fail; fi; if x = 0 then return false; fi;
pi := NoninvertiblePrimes( R );
return Intersection( Factors( AbsInt( NumeratorRat( x ) ) ), pi ) = [ ];
end );
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#M IsIrreducibleRingElement( <R>, <x> ) . for Z_(pi) and an element thereof
##
InstallMethod( IsIrreducibleRingElement,
"for Z_(pi) and an element thereof (ResClasses)", ReturnTrue,
[ IsZ_pi, IsRat ], 0,
function ( R, x )
local pi;
if not x in R then return fail; fi;
pi := NoninvertiblePrimes( R );
return Length( Filtered( Factors( AbsInt( NumeratorRat( x ) ) ),
q -> q in pi ) ) = 1;
end );
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#E z_pi.gi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ends here
